Volatility models and their applications in Finance (2/4) - Handouts: Volatilitat i correlació_2014-2

50 %
50 %
Information about Volatility models and their applications in Finance (2/4) - Handouts:...
Finance

Published on February 16, 2014

Author: GerardSoler

Source: slideshare.net

Description

Introduction to Volatility models and their applications in Finance. Part 2 of 4.

Volatilitat i Correlació Sessió pràctica Gerard Albà Josep Salvà FME UPC – 27 Gener 2014

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: les gregues. Delta Gamma Vega Theta Rho i Phi 2. Gestió d’un Llibre de Derivats Valoració i Cobertura teòrica d’straddles Imputs de Mercat: la volatilitat la correlació els dividends discrets Problemes reals 2

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: les gregues. En una operació amb opcions, el market maker (creador de mercat) busca obtenir-ne un benefici independentment del valor final del payoff, o sigui, minimitzant tot tipus de risc. Un inversor també pot voler cobrir (parcialment o total) algun tipus de risc. Per això, primer de tot cal saber identificar i quantificar els riscos que poden afectar al valor de l’opció. En funció de la magnitud de cadascun, cal trobar formes de reduir la seva importància. 3

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: les gregues. Per exemple, segons la fórmula de Black-Scholes, el valor d’una opció de compra europea és de la forma: amb 4

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: les gregues. Per tant, el preu d’una call europea depèn de les següents variables o paràmetres: •Strike, •Preu del subjacent, •Tipus d’interès, •Dividends, •Volatilitat, •Temps a venciment, 5

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: les gregues. Podem pensar, doncs, en una funció en aquests paràmetres de la forma: i el mateix podem fer amb les opcions de venda (puts): 6

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: les gregues. Les gregues mesuren la sensibilitat del preu de l’opció a les variacions de les variables que afecten al seu valor. D’aquesta manera es pot quantificar l’efecte que té cadascuna d’elles i decidir de quines cal gestionar el risc. De totes les variables i paràmetres, l’strike i la data de venciment queden fixats a l’inici i es mantenen constants durant la vida de l’opció. 7

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: les gregues. 8

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la delta. La delta mesura la sensibilitat del preu de l’opció a canvis en el preu del subjacent. Si denominem D al preu del derivat, la delta és de la forma Per a opcions plain vanilla: 9

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la delta. 10

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la delta. La delta indica la quantitat de subjacent que cal tenir en una cartera replicant. Proporciona una aproximació lineal (en funció del preu del subjacent) al preu de l’opció 11

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la delta. Tot i així, el valor d’un derivat no és lineal en el preu del subjacent, fet pel qual l’aproximació és més inexacta com major és la variació . Això també fa que el valor de delta canviï quan ho fa el preu del subjacent o el temps. Per tant, el nombre d’accions que cal tenir en cartera per replicar el derivat no és constant. 12

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la gamma. Per tant la delta (que ens marca la quantitat de subjacent necessari per a fer la cobertura) resulta ser una sensibilitat molt important i ens interessa conèixer-ne la seva sensibilitat respecte l’evolució del subjacent. O sigui, ens interessa saber com i quant variarà la quantitat de subjacent en cartera si ho fa el preu del subjacent. Aquesta sensibilitat es la que s’anomena Gamma: 13

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la gamma. El signe de la gamma ens indicarà si haurem de comprar més subjacent quan el preu d’aquest augmenti o si n’haurem de comprar quan disminueixi (a l’inversa per a la venda de subjacent). Una gamma elevada ens indica que la quantitat de subjacent en cartera variarà més quan ho faci el preu del subjacent, mentre que una gamma reduïda ens indica que no caldrà variar gaire la quantitat de subjacent en cartera. 14

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la gamma. Per opcions plain vanilla tenim que la gamma és la mateixa per calls i puts, i és de la forma amb Igual que la delta, varia segons l’evolució de la resta de variables. 15

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la gamma. 16

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la gamma. Usant la gamma s’aconsegueix una millor aproximació de les variacions del preu de l’opció segons les del preu del subjacent. 17

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la gamma. A diferència de la delta, la gamma no es pot cobrir comprant o venent subjacent. Si es vol tenir una posició reduïda en gamma cal usar altres opcions. A la pràctica s’usen combinacions d’opcions cotitzades en mercats organitzats per neutralitzar la gamma de les opcions que es desitja cobrir. Tot i així, la poca liquiditat del mercat d’opcions fa que la cobertura de gamma no sigui tant dinàmica com pot ser la cobertura delta. 18

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la vega. Tot i que en el model de valoració de Black-Scholes se suposa la volatilitat constant, sabem que també varia en el temps i segons el valor del subjacent. La sensibilitat d’una opció a canvis en la volatilitat s’anomena vega, i per a les opcions plain vanilla coincideix i és de la forma 19

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la vega. 20

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la vega. En moltes opcions la vega resulta ser molt important ja que l’exposició a canvis en la volatilitat pot ser molt elevada. En les opcions plain vanilla, el preu resulta ser molt sensible al valor de volatilitat usat. Preu d'una Vainilla segons la Volatilitat (S=10, K = 10, r= 4%, q= 0%, T=1) Preu Call Preu Put 3 2,5 Preu 2 1,5 1 0,5 0 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% Volatilitat 21

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la vega. Preus i Volatilitat Implícita 22

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la vega. Per tant, durant la vida de l’opció, els canvis en la volatilitat provocaran canvis en la seva valoració a més dels provocats pels canvis en les altres variables. Aquests canvis de volatilitat serien canvis en la volatilitat implícita. Si l’opció es manté fins al venciment, els canvis en la valoració no acaben important ja que el valor del payoff és independent de la volatilitat. El que sí que importa més són els canvis en la volatilitat realitzada que pot afectar a la cobertura delta/gamma. 23

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la vega. 24

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la vega. Els diferents nivells de volatilitat fan variar més o menys la gamma i per tant, fan que la cobertura a canvis en el subjacent sigui diferent. Que el preu de l’opció (plain vanilla) sigui superior quan augmenta la volatilitat és un dels factors que fa que els nivells implícits tendeixin a ser superiors als nivells realitzats. D’aquesta manera s’evita haver de fer la cobertura de la vega, tot i que podria ser coberta, igual que la gamma, usant combinacions d’opcions cotitzades; o mitjançant altres instruments més sofisticats com Variance Swaps. 25

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la theta. Hem vist que el preu d’un derivat depèn també del temps. La sensibilitat al pas del temps s’anomena Theta: I per a les opcions plain vanilla és de la forma: 26

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la theta. 27

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la rho i la phi. Igual que la volatilitat, tot i que en el model de BlackScholes es suposa un tipus d’interès lliure de risc fix durant la vida de l’opció, a la pràctica no ho és. El mateix passa amb la rendibilitat als dividends considerats. La sensibilitat als tipus d’interès s’anomena rho i la sensibilitat als dividends (o dividend yield) s’acostuma a anomenar phi. Tot i així, per a opcions plain vanilla no resulten ser molt importants i sovint no se’n realitza la cobertura, que es podria fer utilitzant instruments de renda fixa com Swaps de tipus d’interès o Dividend Swaps. 28

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la rho i la phi. L’expressió per a la rho de les opcions plain vanilla és I la de phi és 29

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 1. Gestió del risc d’una opció: la rho i la phi. 30

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Valoració i Cobertura teòrica d’straddles Com s’ha dit, la volatilitat realitzada en fer la cobertura afecta al valor de gamma (i per tant, de delta). Suposem que volem fer la cobertura delta de 100 straddles (call+put ATM) amb strike 10, tipus d’interès lliure de risc del 4%, volatilitat del 20%, sense dividends i amb un venciment a 20 dies. Generant una mostra d’evolució de preus durant els 20 dies amb una volatilitat del 20% i realitzant la cobertura delta una vegada cada dia s’obté un P&L gairebé nul. 31

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Dia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TOTAL Gestió d’un Llibre de Derivats: Valoració i Cobertura teòrica d’straddles Spot 10,00 9,82 9,74 9,82 9,78 9,75 9,65 9,66 9,58 9,57 9,59 9,55 9,34 9,32 9,41 9,55 9,52 9,50 9,50 9,59 9,56 Preu Straddles -37,39 -38,14 -40,18 -36,52 -37,00 -37,39 -41,70 -40,62 -45,20 -45,65 -43,75 -46,04 -65,11 -67,29 -58,70 -45,22 -47,94 -49,48 -49,90 -40,81 -44,38 P&L opció -0,75 -2,04 3,66 -0,48 -0,39 -4,31 1,08 -4,58 -0,45 1,89 -2,29 -19,07 -2,18 8,59 13,48 -2,72 -1,54 -0,42 9,09 -3,57 -6,99 Delta 5,37 -25,23 -40,65 -28,12 -36,69 -43,47 -60,70 -61,74 -74,21 -77,91 -78,22 -84,33 -97,57 -98,75 -98,08 -94,84 -98,02 -99,47 -99,94 -99,99 -100,00 d1 0,07 -0,32 -0,53 -0,36 -0,48 -0,58 -0,85 -0,87 -1,13 -1,22 -1,23 -1,42 -2,25 -2,50 -2,34 -1,95 -2,33 -2,79 -3,45 -3,97 P&L accions -0,94 2,19 -3,31 1,18 1,13 4,21 -0,39 4,70 0,93 -1,39 2,64 17,57 2,15 -8,64 -13,60 2,77 1,51 0,34 -9,19 3,47 7,35 P&L 0,00 -1,69 0,15 0,35 0,70 0,75 -0,10 0,69 0,12 0,49 0,50 0,35 -1,50 -0,03 -0,05 -0,12 0,05 -0,03 -0,08 -0,10 -0,10 Bo -16,33 284,34 434,53 311,51 395,34 461,45 627,83 637,85 757,43 792,90 795,93 854,43 978,18 989,32 983,07 952,29 982,64 996,54 1001,15 1001,74 1001,92 Finançament -0,00179 0,03116 0,04762 0,03414 0,04332 0,05057 0,06880 0,06990 0,08301 0,08689 0,08723 0,09364 0,10720 0,10842 0,10773 0,10436 0,10769 0,10921 0,10972 0,10978 0,10980 P&L Acumulat 0,00 -1,69 -1,51 -1,12 -0,38 0,41 0,36 1,12 1,32 1,88 2,47 2,91 1,50 1,58 1,64 1,64 1,79 1,87 1,90 1,91 1,92 1,66839 1,92 32

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers Distribució de resultats a partir de 100 simulacions amb volatilitat implícita 20% i volatilitat realitzada 20%. El valor mig del P&L està a l’entorn dels 0€. 33

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Valoració i Cobertura teòrica d’straddles En canvi, si la volatilitat realitzada és superior a la implícita s’obtenen pèrdues majors. Amb una volatilitat realitzada del 30% obtindríem: Dia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TOTAL Spot 10,00 9,74 9,61 9,73 9,66 9,62 9,47 9,48 9,37 9,35 9,38 9,33 9,02 8,99 9,11 9,32 9,27 9,25 9,24 9,38 9,32 Preu Straddles -37,39 -40,98 -46,77 -39,83 -42,22 -44,33 -54,36 -53,30 -62,93 -64,60 -62,11 -66,87 -97,10 -100,47 -87,98 -67,97 -72,40 -74,85 -75,53 -62,28 -67,55 P&L opció -3,59 -5,79 6,94 -2,39 -2,11 -10,03 1,06 -9,63 -1,67 2,49 -4,76 -30,23 -3,37 12,49 20,01 -4,44 -2,44 -0,69 13,26 -5,27 -30,16 Delta 5,37 -39,50 -59,72 -43,63 -54,96 -63,34 -81,44 -82,42 -91,88 -94,06 -94,26 -97,07 -99,94 -99,98 -99,96 -99,72 -99,96 -100,00 -100,00 -100,00 -100,00 d1 0,07 -0,52 -0,84 -0,58 -0,76 -0,90 -1,32 -1,35 -1,74 -1,89 -1,90 -2,18 -3,44 -3,81 -3,58 -3,00 -3,58 -4,28 -5,30 -6,14 P&L accions -1,41 5,12 -7,16 2,76 2,57 9,12 -0,70 9,30 1,78 -2,38 4,75 29,53 3,27 -12,59 -20,12 4,34 2,34 0,58 -13,36 5,17 22,90 P&L 0,00 -5,00 -0,67 -0,22 0,37 0,46 -0,90 0,36 -0,33 0,11 0,11 -0,01 -0,70 -0,10 -0,10 -0,11 -0,10 -0,10 -0,10 -0,10 -0,10 Bo -16,33 420,59 614,94 458,46 568,06 648,69 820,25 829,64 918,30 938,80 940,78 967,08 993,05 993,57 993,50 991,39 993,72 994,13 994,27 994,38 994,50 Finançament -0,00179 0,04609 0,06739 0,05024 0,06225 0,07109 0,08989 0,09092 0,10064 0,10288 0,10310 0,10598 0,10883 0,10888 0,10888 0,10865 0,10890 0,10895 0,10896 0,10897 0,10899 P&L Acumulat 0,00 -5,00 -5,63 -5,78 -5,36 -4,84 -5,67 -5,22 -5,46 -5,25 -5,04 -4,96 -5,55 -5,54 -5,53 -5,54 -5,53 -5,52 -5,51 -5,51 -5,50 1,86869 -5,50 34

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers Distribució de resultats a partir de 100 simulacions amb volatilitat implícita 20% i volatilitat realitzada 30%. El valor mig del P&L està a l’entorn dels -20€. 35

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Valoració i Cobertura teòrica d’straddles I amb una volatilitat realitzada del 10%: Dia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TOTAL Spot 10,00 9,91 9,87 9,91 9,89 9,88 9,83 9,83 9,79 9,79 9,80 9,78 9,67 9,66 9,71 9,78 9,77 9,76 9,76 9,81 9,79 Preu Straddles -37,39 -36,61 -36,28 -34,72 -34,00 -33,27 -33,48 -32,36 -32,72 -31,97 -30,53 -30,25 -35,88 -35,99 -31,80 -25,87 -25,76 -25,34 -24,64 -19,60 -21,17 P&L opció 0,78 0,33 1,56 0,71 0,74 -0,22 1,12 -0,36 0,75 1,45 0,27 -5,63 -0,11 4,19 5,93 0,11 0,42 0,70 5,04 -1,56 16,22 Delta 5,37 -10,08 -18,36 -11,50 -16,05 -19,78 -30,28 -30,90 -40,06 -43,15 -43,32 -49,25 -71,91 -76,94 -73,58 -63,96 -72,87 -81,32 -89,80 -93,74 -100,00 d1 0,07 -0,13 -0,23 -0,14 -0,20 -0,25 -0,39 -0,40 -0,53 -0,57 -0,57 -0,66 -1,08 -1,20 -1,12 -0,91 -1,10 -1,32 -1,64 -1,86 P&L accions -0,47 0,44 -0,77 0,24 0,24 0,96 -0,12 1,18 0,23 -0,42 0,72 5,25 0,78 -3,53 -5,29 0,92 0,53 0,09 -4,29 1,60 -1,71 P&L 0,00 0,31 0,77 0,79 0,95 0,98 0,75 1,00 0,82 0,98 1,03 0,99 -0,37 0,67 0,66 0,64 1,03 0,95 0,79 0,75 0,04 Bo -16,33 136,88 218,59 150,57 195,61 232,46 335,72 341,78 431,59 461,83 463,52 521,61 740,89 789,56 756,98 662,98 750,06 832,64 915,50 954,18 1015,60 Finançament -0,00179 0,01500 0,02396 0,01650 0,02144 0,02548 0,03679 0,03746 0,04730 0,05061 0,05080 0,05716 0,08119 0,08653 0,08296 0,07266 0,08220 0,09125 0,10033 0,10457 0,11130 P&L Acumulat 0,00 0,31 1,09 1,91 2,87 3,87 4,64 5,68 6,54 7,57 8,64 9,69 9,37 10,12 10,86 11,59 12,69 13,72 14,60 15,45 15,60 1,19367 15,60 36

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers Distribució de resultats a partir de 100 simulacions amb volatilitat implícita 20% i volatilitat realitzada 10%. El valor mig del P&L està a l’entorn dels +19€. 37

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Valoració i Cobertura teòrica d’straddles I la volatilitat realitzada pot variar tant? Sí! Volatilitat Realitzada i Volatilitat Implícita 38

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Imputs de Mercat la volatilitat Segons els tipus de subjacent, la volatilitat implícita que usem per valorar l’aconseguim de formes molt diferents. En els Mercats Organitzats (ex: Equity) tenim opcions vainilla amb diversos venciments i strikes. Tenint la resta de variables només ens falta la volatilitat. Aquesta l’aconseguim buscant la volatilitat implícita que ens iguala el preu. Ull!! Les opcions sobre accions són americanes i les opcions sobre índexs son europees. En mercats OTC (Over-The-Counter) no tenim aquestes opcions coitzades per tant hem d’aconseguir les volatilitats d’altres formes. Per exemple en FX s’usa el Risk Reversal i el Butterfly, i en Tipus d’interès s’usa el Capstrapping. 39

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Imputs de Mercat la volatilitat Nivells de Volatilitat de l’Eurodòlar 40

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Imputs de Mercat la volatilitat Nivells de Volatilitat de l’Euribor6M 41

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Imputs de Mercat la correlació Tal com passa amb la volatilitat, la correlació histórica no ens serveix per valorar i necessitem una correlació implícita per donar preus correctes. En aquest cas no tenim opcions a mercat organitzat, per tant les correlacions implícites s'han de treure d'opcions OTC. Si algú ens dongués un preu sobre una opció sobre dos actius i tenim totes les dades de mercat necessàries (preus, volatilitats, dividents, tipus d'interés...) i a sobre, sabem valorar l'opció, aleshores podem trobar una correlació implícita que iguala el preu. Sembla massa fàcil... 42

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Imputs de Mercat la correlació Correlació històrica entre UG FP i ITX SM Correlació històrica entre Eurodòlar i WTI (petroli) 43

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Imputs de Mercat els dividends discrets En Equity a més a més, tenim un altre problema: els dividends. En el model de Black-Scholes es dóna per fet que els dividends s'expressen com un rendiment constant de l'actiu i que aquest a més és en espècie. A l'hora de la veritat els dividends són discrets i generalment en una quantitat en euros, que generalment no coincideix amb el que s'havia pagat l'any anterior Així doncs, també hem d'obtenir un valor implícit dels dividends a mercat. Per això tenim els dividend swaps o els futurs de dividends. 44

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Imputs de Mercat els dividends discrets A l’esquerra: Índex de dividends pel 2014 de l’índex FTSE100 (UK) A la dreta: Índex de dividends pel 2014 de l’índex Eurostoxx50 (Euro) 45

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers A l’esquerra: Índex de dividends pel 2014 del BBVA A la dreta: Índex de dividends pel 2014 de Telefónica En els dos casos es pot observar que els moviments del preu són més marcats que en els índexs FTSE100 o Eurostoxx50 degut a la poca liquiditat 46

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Problemes reals Problemes entre la teoria i la pràctica: - Diferència entre la oferta i la demanda - Comisions de mercat i/o de brokeratge - Liquidesa i profunditat de mercat - Col·lateralització - Bases - etc. 47

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Problemes reals Liquidesa i profunditat del futur de l’Euribor3M Mar09 48

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Problemes reals Liquidesa i profunditat de la Call 98 de l’Euribor3M Mar09 49

Tècniques quantitatives pels Mercats Financers 2. Gestió d’un Llibre de Derivats: Problemes reals Diferència entre l’oferta i la demanda, accentuada a major nominal 50

Add a comment

Related presentations

Les changements sur le marché du distressed aux Etats-Unis et en Europe

Main Sections of the Report 1) Nifty Technical View 2) 4 Large Cap Trade Ide...

This presentation consits the yearly results of Kinepolis Group

Related pages

Stock Options Analysis and Trading Tools on I Volatility.com

... Options Data offers the most complete and accurate source of option prices and implied volatilities ... IVolatility Risk ... Financial Resources | ...
Read more

Volatility Clustering in Financial Markets: Empirical ...

Volatility Clustering in Financial Markets 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Lag Sample Autocorrelation Sample Autocorrelation ...
Read more

A Comparison of Local Volatility and Implied Volatility

A Comparison of Local Volatility and ... Model (2.4) is known as one of ... the Dupire volatility, we now summarize their features comprehensively.
Read more

Stochastic volatility - Wikipedia, the free encyclopedia

They are used in the field of mathematical finance to ... Stochastic volatility models are one approach ... Rates and Its Application to the ...
Read more

Local volatility - Wikipedia, the free encyclopedia

A local volatility model, ... Quantitative Finance 4. , who claims that such models provide the best average hedge for equity ... Application to Skew Risk ...
Read more

Stefano De Marco personal homepage - CMAP - Centre de ...

Stefano De Marco Assistant Professor ... Study of new rare event simulation schemes and their application to ... Some estimates in extended Stochastic ...
Read more

Abschlussarbeiten

... An Empirical Investigation on Fast and Stable Methods for the Calibration of Financial Models. ... their application to ... Volatilität (2011 ...
Read more

8. Mundell-Fleming Model with a Floating Exchange Rate

Mundell-Fleming Model with a Floating ... Blind application of this model to your country may ... and change their relative shares as ...
Read more