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UACH Kinesiologia Fisica 1.2 Translación

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Published on June 14, 2008

Author: wgerber

Source: slideshare.net

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UACH Lecture, Spring 2007
UACH Lecture, Spring 2008
UACH Lecture, Spring 2009
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Física en la Kinesiología 1.2 Traslación Teoría Dr. Willy H. Gerber Instituto de Física, Universidad Austral, Valdivia, Chile 20.08.2009 W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 1 / 57

Velocidad Si deseamos describir la Traslación de un cuerpo debemos comenzar por estudiar como cambia la Posición en el Tiempo. Esto corresponde a la Velocidad que estudiaremos viendo: ▶ Camino recorrido ▶ Tiempo transcurrido ▶ Velocidad ▶ Diagrama Posición-Tiempo ▶ Velocidad Media ▶ Velocidad Instantánea W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 2 / 57

Camino recorrido I Caminar lo hacemos tan automático que no nos damos cuanta física estamos aplicando. Un símbolo cotidiano Johnnie Walker (Whisky). W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 3 / 57

Camino recorrido II Ya habíamos hablado de que para medir una distancia Δx necesitamos un Origen, que podemos denominar x0 . Para medir la distancia a un punto x(t), en que nos encontramos en el tiempo t, simplemente calculamos la diferencia: Δx = x(t) − x0 (1) Origen y Distancia W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 4 / 57

Camino recorrido III A modo de ejemplo, podemos indicar la posición x(t) de un bus en todo tiempo t. Supongamos que salio a las 8 : 00 de Valdivia (x0 = 0) y se dirige a Santiago. Si consultamos la posición a las 14 : 00 nos indicara x(14 : 00) = 439 km o Chillan Como el Origen lo elegimos como cero, la distancia recorrida es simplemente Δx = x(14 : 00) − x(8 : 00) = 439 km W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 5 / 57

Tiempo transcurrido I En forma similar, se puede definir un Origen t0 en la escala de Tiempo. Con ello a un tiempo t ha transcurrido un tiempo Δt = t − t0 (2) Cronometro W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 6 / 57

Tiempo transcurrido II En nuestro ejemplo del bus estamos llegando a Chillan a las t = 14 : 00 siendo nuestro Origen del tiempo t0 = 8 : 00. El tiempo transcurrido seria Δt = t − t0 = 14 : 00 − 8 : 00 = 6 hrs Esta duración es la típica que se observa en la mayor parte de las Alfarería de la Zona de empresas que cubren la ruta Chillan Valdivia - Santiago. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 7 / 57

Velocidad I En nuestro mundo, en que todo tiene que ir rápido, uno de los conceptos que nos permite describir esa rapidez es la velocidad. Podemos definir esta como: Δx = Δt Nota: se habla de rapidez cuando se indica la velocidad sin la dirección o sentido en que se viaja. Por ejemplo el tacometro del auto indica rapidez ya que no dice en que dirección viajamos. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 8 / 57

Velocidad II En nuestro ejemplo la velocidad seria: 434 km = = 72,3 km/hr 6 hr lo que parece un poco bajo ya que los buses típicamente viajan a velocidades entre 90 − 100 km/hr. ¿Porqué esta diferencia? W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 9 / 57

Diagrama Posición-Tiempo I Capaz podemos entender Chillan mejor lo que esta pasando si diagramamos la Posición x(t) en función del Tiempo t. Si se supone que la velocidad Posicion fue realmente 72,3 km/hr esto correspondería a una recta que pasa por por Valdivia (a las 8 : 00) y Chillan (a las 14 : 00). Valdivia 8 : 00 Tiempo 14 : 00 W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 10 / 57

Diagrama Posición-Tiempo II Mirando la gráfica de la lamina anterior, nos damos cuenta que hemos asumido que la velocidad fue siempre la misma. Sin embargo el viajero experimentado sabe que el bus probablemente paso por Temuco, capaz incluso por Los Ángeles. Concluimos que la velocidad calculada no es la Kultrun de la Zona de velocidad real, es una Velocidad Temuco promedio o Velocidad Media. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 11 / 57

La Velocidad Media Podemos así definir una Velocidad Media la podemos definir como: Chillan Δx ¯= (3) Δt 72,3 km/hr donde Δx es el camino Posicion recorrido y Δt el tiempo que transcurrió. Las Unidades serán Largo [L] dividido por 434 km tiempo [T]. Esto podría ser m/s, km/hr o mm/a˜os según n sea la escala que se 6 hr Valdivia requiera. 8 : 00 Tiempo 14 : 00 W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 12 / 57

Nuevo Diagrama Posición-Tiempo I Si incluimos a Temuco, ambas pendientes se vuelven más Chillan empinadas, lo que significa que ahora la velocidad de viaje es mayor. De hecho si se asume que la distancia Valdivia - Temuco es de 162 km Posicion y el viaje tardo 2,0 horas, la 10 : 00 velocidad media en el primer Temuco trayecto es de: 10 : 30 162 km ¯= = 81 km/hr 2 hr Valdivia 8 : 00 Tiempo 14 : 00 que es mayor. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 13 / 57

Nuevo Diagrama Posición-Tiempo II Sin embargo los 81 km/hr continúan siendo una velocidad media en el trayecto Valdivia - Temuco. Incluso en dicho tramo deben de existir fluctuaciones. Primer esta el hecho que entre Valdivia y San Jose existe carretera y luego entre San Jose y Temuco autopista. Fuera de eso existen curvas, trafico, maniobras de adelantar, etc.. ¿Cómo podemos entonces calcular una velocidad instantánea? W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 14 / 57

Velocidad Instantánea I De los ejemplos anteriores vemos que solo podemos calcular una velocidad instantánea si la medimos en un tiempo muy corto, tan corto que la velocidad no varia en dicho tiempo. O sea podemos expresar esto en lenguaje matemático como: Δx = limΔt→0 (4) La velocidad en la montaña Δt rusa... W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 15 / 57

Velocidad Instantánea II La expresión (4) no es otra cosa que dividir la Distancia Δx por la Duración Δt con la condición que la Duración sea corta (limΔt→0 ). Esto se denomina en matemáticas una derivada. En el limite Δt → 0 la Distancia se escribe como Δx → dx y la Duración se escribe Δt → dt de modo que queda: dx ... depende de la posición. = (5) dt W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 16 / 57

Aceleración Ahora que sabemos como describir la variación en el tiempo de la Posición podemos explorar lo que significa la variación de la Velocidad. Para ello veremos: ▶ Otro Problema de la Curva ▶ Aceleración Media ▶ Aceleración Instantánea ▶ Aceleración Constante ▶ Aceleración Gravitacional W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 17 / 57

Otro Problema con la Curva Otro de los problemas con nuestra Velocidad de curva es que saltamos de estar en crusero Reposo a tener Velocidad de Crucero. En otras palabras, la Posicion Velocidad tiene que ir aumentando paulatinamente, lo que En reposo denominamos Aceleración. Tiempo W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 18 / 57

Aceleración Media Al igual que en el caso de la velocidad (3) podemos definir una aceleración media Δ ¯= a (6) Δt Con esta definición podemos caracterizar como aceleramos al correr: tardamos por ejemplo 1,5 s en llegar a una velocidad de 5 m/s, o sea aceleramos con: 5 m/s ¯= a = 3,33 m/s2 1,5 s W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 19 / 57

Aceleración Instantánea Al igual que con la Velocidad media (5) existe la necesidad de conocer la aceleración en un instante, la que se obtiene considerando intervalos de tiempo en que la aceleración es prácticamente constante: Δ d a = limΔt→0 = (7) Δt dt en que limΔt→0 nos recuerda que debemos tomar tiempos lo mas cortos posibles. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 20 / 57

Aceleración Constante I Un caso simple es el de la aceleración constante (¯ = a). Para a este caso no necesitamos considerar intervalos de tiempos Δt muy pequeños. En este caso la diferencia de la velocidad sera la velocidad en un momento t menos la velocidad inicial 0 : Δ = (t) − 0 y correspondientemente el tiempo transcurrido sera Δt = t − t0 Por ello la aceleración sera: Δ (t) − 0 a= = (8) Δt t − t0 y si despejamos la velocidad en el tiempo t se obtiene (t) = 0 + a(t − t0 ) W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 21 / 57

Aceleración Constante II Si se asume que el tiempo inicial es t0 = 0 la ecuación de la velocidad se reduce a: (t) = 0 + at (9) Con esta Ecuación podemos calcular como va aumentando la Velocidad si la Aceleración es positiva (a > 0) o esta disminuye si la Aceleración es negativa (a < 0) o sea se esta frenando. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 22 / 57

Aceleración Gravitacional I Una de las aceleraciones mas comunes que todos experimentamos y que es constante es la Aceleración Gravitacional. Su valor es de 9,8 m/s2 y su signo depende del sistema de coordenadas con el que estamos describiendo el movimiento. Torre de Pisa (Italia) W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 23 / 57

Aceleración Gravitacional II Si medimos la posición de un cuerpo z en un sistema de ˆ z coordenadas en que el eje ˆ z esta diseccionado alejándose de la tierra, la Aceleración a = −g gravitacional es negativa. O sea el Cuerpo acelera en z<0 dirección del Centro de la Tierra por lo que: (t) = 0 − gt (10) W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 24 / 57

Aceleración Gravitacional III En el caso contrario, en que medimos desde un punto en dirección del Centro de la Tierra, la Aceleración ˆ z gravitacional debe ser tomada como positiva: a = +g (t) = 0 + gt (11) z>0 La Ecuación puede variar pero el fenómeno que describe y el comportamiento observado es el mismo. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 25 / 57

Posición Ahora que podemos calcular la Velocidad y la Aceleración buscamos pronosticar la Posición para una Aceleración dada. Para ello estudiaremos: ▶ Calculo del Camino ▶ Área Curva v-t ▶ Caso Aceleración Constante ▶ Ecuación de Movimiento ▶ Camino y Velocidad W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 26 / 57

Calculo del Camino Aun no hemos logrado calcular como evoluciona la Posición de un cuerpo para el caso de que la Velocidad no sea constante. Solo contamos con la Ecuación para el caso de que el Intervalo del Tiempo sea pequeño. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 27 / 57

Área Curva v-t I Si graficamos la Velocidad en función del Tiempo y consideramos un intervalo (pequeño) de Tiempo Δt podemos dibujar un rectángulo debajo de la curva. Este Δt = Δx rectángulo tiene una altura de y base Δt por lo cual su área es Area = Δt Sin embargo según (3) esto es Δt t justo la Distancia recorrida Δx durante el tiempo Δt. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 28 / 57

Área Curva v-t II Esto es extensible a cualquier intervalo de tiempo para lo cual hay que sumar los distintos intervalos de camino recorrido: Δx = Δxk = k Δtk k k en donde los Intervalos de Tiempo Δtk deben ser pequeños. Esto corresponde a lo que se denomina una integral: t1 t t2 t2 Δx = limΔtk →0 k Δtk = (t)dt k t1 W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 29 / 57

Caso Aceleración Constante I Para el caso de aceleración constante el calculo del área es relativamente simple. Dado que la velocidad esta data en este caso por (9), la (t) curva es una recta como at muestra la gráfica. Por ello el 1 2 at ⋅t área es la suma de un rectángulo 0 0t 0 0t y un triangulo t 1 1 at ⋅ t = at2 2 2 W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 30 / 57

Caso Aceleración Constante II Con ello el camino recorrido Δx es (t) at 1 1 Δx = 0t + at2 2 at ⋅t 2 o, empleando (1) 0 0t 0 1 x(t) − x0 = 0t + at2 2 t W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 31 / 57

Ecuación de Movimiento Si despejamos x(t) se obtiene así 1 x(t) = x0 + 0t + at2 (12) 2 que es la ecuación con la que podremos describir la posición de un cuerpo que se desplaza con aceleración constante. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 32 / 57

Camino y Velocidad Si se despeja el tiempo t de (9) (t) − 0 t= a y se introduce en (12) se obtiene 2 − 2 0 x = x0 + (13) 2a Esta ecuación nos permite calcular la Posición en función de la velocidad del Cuerpo. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 33 / 57

Caminando ▶ Observando ▶ Modelo Simplificado ▶ Altura al Caminar ▶ Aceleración del Pie ▶ Frenado del Pie ▶ Pie en Reposo ▶ Movimiento de la Rodilla ▶ Correr W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 34 / 57

Observando I Antes de comenzar a modelar el caminar, podemos estudiar una Secuencia de Imágenes que muestran como la persona camina. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 35 / 57

Observando II Empleando programas de Tracking se puede analizar el Desplazamiento de distintos Puntos: W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 36 / 57

Observando III Si se observa la Funcion de Posición del Pie en la Dirección horizontal, se observa una Curva con trazas tipo curvas parabólicas de aceleración y frenado: W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 37 / 57

Modelo Simplificado En este primer modelo trataremos de trabajar como si el caminar fuera un proceso que se puede describir en forma unidimensional. Esta es apropiado en la mayor parte del cuerpo. Solo el Pie presenta un desplazamiento de hasta 12 cm en la dirección vertical. Por ello veremos mas adelante la Dinámica del Pie en forma separada. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 38 / 57

Altura del Caminar Sea l el largo de la pierna y d el del paso. Eso significa que la altura en que se desplaza el Punto de Giro es de d2 h= l2 − (14) 4 Si el largo de la Pierna es de l = 0,88 m y el largo del paso d = 1,18 m entonces la altura en que esta el Punto de Giro es de: h = 0,65 m W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 39 / 57

Aceleración del Pie I Si focalizamos en la aceleración, al iniciarse el movimiento desde el reposo, la ecuación de movimiento es según (12) 1 2 x(t) = aa t (15) 2 con aa la Aceleración del Pie. Si colocamos el Origen en el punto donde se inicia la aceleración, el tiempo es a = 0,5 s y el camino x( a ) = 0,64 m la aceleración es de: 2x( a ) aa = 2 = 5,12 m/s2 Aceleración del Pie a W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 40 / 57

Aceleración del Pie II De igual forma podemos calcular con (9) la Velocidad máxima que alcanza el Pie (t) = aa t (16) Con el tiempo indicado anteriormente y la aceleración calculada se obtiene: max = aa a = 2,56 m/s Aceleración del Pie W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 41 / 57

Frenado del Pie I En el caso del frenado, teniendo el Pie la velocidad calculada anteriormente, la ecuación de movimiento esta dada por (12). Si considerando un nuevo origen espacio-tiempo en el momento que comenzamos a frenar, se tiene 1 x(t) = max t − af t2 (17) 2 y para la velocidad (9) Frenado del Pie (t) = max − af t (18) W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 42 / 57

Frenado del Pie II Como descocemos tanto el tiempo f como la aceleración af de frenado, podemos trabajar con la ecuación de camino y velocidad (13) 2− 2 max x= (19) 2af Para el caso en que nuestro pie se detiene la ultima ecuación se reduce a 2 max x( f ) = (20) 2af Frenado del Pie W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 43 / 57

Frenado del Pie III Con x( f ) = 0,54 m el camino restante para terminar el paso y los valores de la velocidad máxima se obtiene: 2 max af = = 6,07 m/s2 2x( f ) Con este valor y empleando la ecuación (??) finalmente se puede calcular el tiempo max 2 =− = 0,42 s af Frenado del Pie W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 44 / 57

Pie en Reposo Si medimos el tiempo en que el Pie esta en reposo vemos que dicho tiempo es de r = 0,46 s. Con ello la velocidad media del pie es según (3) x( a ) + x( f ) ¯= = 0,833 m/s a+ f + r que corresponde a la velocidad con que se mueve la Cadera y el Desplazamiento Cadera Hombro. y Pie W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 45 / 57

Movimiento de la Rodilla I Como vimos anteriormente la altura en que se encuentra nuestro cuerpo al caminar esta determinada por el largo de la pierna y del paso que damos. Dicha altura es siempre menor al largo de la pierna lo que nos obliga a encoger la cada vez que pasa del punto de apoyo posterior al delantero. Al hacer este movimiento la rodilla tiene un movimiento relativo al cuerpo y el pie que buscamos modelar. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 46 / 57

Movimiento de la Rodilla II Si l1 es el largo de la Pierna, l2 el del Muslo, xk es la Posición de la Rodilla, xt la xc del Tobillo, xc la del Trocánter Mayor y h la altura con que l1 caminamos, entonces se cumple que h xk h = l2 − (xk − xt )2 1 l2 − (xk − xc )2 2 + l2 (21) xt La Posición de la Rodilla se puede calcular despejando de esta ecuación el valor de xk (ver Anexo). W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 47 / 57

Correr Si tratamos de aplicar los cálculos al correr, veremos que tenemos algunas dificultades ya que pareciera ser que los pasos se vuelven muy largos. Esto es porque en la realidad nos desprendemos del suelo. Existe una aceleración vertical que hace que nos elevemos y luego por efecto de la gravedad volvemos a caer. La pregunta es que origina esta aceleración. En la próxima clase veremos que causa este efecto. W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 48 / 57

Posición de la Rodilla Para despejar en (21) la Posición de la Rodilla se debe cuadrar dos veces la ecuación despejando el termino con la raíz. Después de algún trabajo algebraico se obtiene: xk = xk1 + xk2 (22) con h (−(xt − xc )2 + (l1 + l2 )2 − h2 )((xt − xc )2 − (l1 − l2 )2 + h2 ) xk1 = 2((xt − xc )2 + h2 ) (23) y x3 − xc xt − x2 xt + x3 + (l2 − l2 )(xc − xt ) + h2 (xc + xt ) t 2 c c 2 1 xk2 = (24) 2((xt − xc )2 + h2 ) W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 49 / 57

Unidades Simbolo Tipo Ejemplos L Largo m, cm, mm, m T Tiempo s, min, hrs M Masa kg % Porcentaje − Simbolo Tipo Ejemplos L2 Área, Superficie m2 , cm2 L3 Volumen m3 , cm3 M/L3 Densidad kg/m3 , g/cm3 W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 50 / 57

Conversiones I 1 m = 10−6 m 1 nm = 10−9 m 1 nm3 = 10−9 m3 1 mm = 10−3 m 1 nm2 = 10−18 m2 1 m3 = 10−18 m 1 cm = 10−2 m 1 m = 10−12 m 1 mm3 = 10−9 m3 1m = 10+2 cm 1 mm2 = 10−6 m2 1 cm3 = 10−6 m3 1m = 10+3 mm 1 cm2 = 10−4 m2 1 m3 = 10+6 cm3 1m = 10+6 m 1 m2 = 10+4 cm2 1 m3 = 10+9 mm3 1m = 10+9 nm 1 m2 = 10+6 mm2 1 m3 = 10+18 m3 1 m2 = 10+12 m2 1 m3 = 10+27 nm3 1 m2 = 10+18 nm2 1lt = 10−3 m3 1ha = 10+4 m2 1m3 = 10+3 lt 1m2 = 10−4 ha W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 51 / 57

Conversiones II 1 g/cm3 = 10+3 kg/m3 1s = 1,67 × 10−2 min 1 kg/m3 = 10−3 g/cm3 1s = 2,78 × 10−4 hr 1s = 1,16 × 10−5 dias 1 m/s = 3,6 km/hr 1s = 3,17 × 10−8 aos 1 km/hr = 0,278 m/s 1 ao = 3,15 × 10+7 s 1 dia = 8,64 × 10+4 s 1 hr = 3600 s 1 min = 60 s W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 52 / 57

Bibliografia I Textos recomendados. En caso de links a Google Books se trata de un acceso gratuito a una versión incompleta del libro. Introduction to Kinesiology: Studying Physical Activity, S.J. Hoffman (Editor), Human Kinetics Publishers, 2008, ISBN-13: 9780736076135 → Leer en Google Books Dance Anatomy and Kinesiology, K. Clippenger, K.S. Clippinger, Human Kinetics Publishers, 2006, ISBN-13: 9780880115315 → Leer en Google Books W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 53 / 57

Bibliografia II Kinesiology: Movement in the Context of Activity, D.P. Greene, S.L. Roberts, Elsevier Science, 2004, ISBN-13: 9780323028226 → Leer en Google Books Kineseology for Occupational Therapy, M. Rybski, SLACK, Inc., 2004, ISBN-13: 9781556424915 → Leer en Google Books ACSM’s Resources for the Personal Trainer: Techniques, Complications, and Management, American College of Sports Medicine, K.E. Baldwin, N.I. Pire (Editors), Lippincott Williams Wilkins, 2006, ISBN-13: 9780781790536 → Leer en Google Books W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 54 / 57

Bibliografia III Biomechanics: Principles and Applications, D.R. Peterson, J.D. Bronzino (Editors), Taylor Francis, Inc., 2007, ISBN-13: 9780849385346 → Leer en Google Books Principles of Biomechanics Motion Analysis, I.W. Griffiths, Lippincott Williams Wilkins, 2005, ISBN-13: 9780781752312 → Leer en Google Books Comparative Biomechanics: Life’s Physical World, S. Vogel, A. Defarrari, Princeton University Press, 2003, ISBN-13: 9780691112978 → Leer en Google Books W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 55 / 57

Bibliografia IV Human-Like Biomechanics: A Unified Mathematical Approach to Human Biomechanics and Humanoid Robotics, V.G. Ivancevic, T.T. Ivancevic, Springer-Verlag New York, LLC, 2006, ISBN-13: 9781402041167 → Leer en Google Books W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 56 / 57

Contacto Dr. Willy H. Gerber wgerber@gphysics.net Instituto de Física Universidad Austral de Chile Campus Isla Teja Valdivia, Chile +(56) 63 221125 W. Gerber Física en la Kinesiología - 1.2 Traslación - Teoría 20.08.2009 57 / 57

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