Trabalho eng civil

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Information about Trabalho eng civil

Published on March 10, 2014

Author: marceloauler

Source: slideshare.net

1 MATEMÁTICA – ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIOS SOBRE A TEORIA DE CONJUNTOS ( 1 ) 1. Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção n(C A) = 8%. Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%. 2. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule: a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras. b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

2 Solução: Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os da intersecção 200 - 20 = 180 ; 150 - 20 = 130 ; 100 - 20 = 80 ; 600 - 180 - 20 - 130 = 270 ; 400 - 180 - 20 - 80 = 120 ; 300 - 130 - 20 - 80 = 70. 270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870 Assim: a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 : b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 - 870 = 130 ; c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410 3. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2 500 Solução: Resposta na altermativa b). Observe o diagrama construído com base no enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam nenhum defeito citado. Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 - 10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.

3 4. Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros canais diferentes de A e B. Pergunta-se: a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B? b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B? c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A? d) Quantas pessoas não assitem ao canal A? Solução: Seja o diagrama a seguir: Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450. a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80 b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150. c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170. d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220. 5. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: (A) 200 (C) 900 (B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100

4 Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos. Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x = 1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: x = 1800 - 1600 = 200. Assim, (A) é a opção correta. 6. Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é .... Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100. Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.

5 7. Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões. Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450. 8. Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos - um de nível superior, um de nível médio e um de nível fundamental. É permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111 candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível fundamental?

6 Solução: Sejam: #(M) o número de candidatos de nível médio; #(S M) o número de candidatos aos níveis superior e médio; #(S) o número de candidatos ao nível superior; #(F) número de candidatos ao nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13. Então, 0,74×#(M) = 111, segue que, #(M) = 111 / 0,74 = 150 e #(S M) = 150 - 111 = 39 . Assim, 0,13×#(S) = 39, implicando em #(S) = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn-Euler com a quantidade de elementos. Temos: 300 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + #(F) = 700. Consequentemente, #(F) = 700 - 411 = 289. 9. No último clássico Corinthians × Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulista e carioca e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam pelo Flamengo. Pergunta-se: a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio? b) Quantos cariocas foram ao estádio? c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio? d) Quantos flamenguistas foram ao estádio? e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas? f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos? g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas? h) Quantos eram corintianos ou paulistas? i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas? Solução: Devemos construir uma tabela com os dados do enunciado e as diferenças: Cariocas Paulistas Totais Flamenguistas 11.000 4.000 15.000 Corintianos 5.000 80.000 85.000 Totais 16.000 84.000 100.000 Com base na tabela, podemos responder todas as perguntas, levando em conta que: I) O conectivo "e" está sempre associado a interseção de conjuntos e o conectivo "ou" está sempre associado a união de conjuntos. II) n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).

7 a) "Cruzando os dados" na tabela, vemos que o número de paulistas e corintianos é 80.000. b) O total de cariocas é 16.000 . c) O total de não-flamenguistas, ou seja , corintianos é 85.000. d) O total de flamenguistas é 15.000. e) O número de paulistas e não flamenguista, isto é, paulistas e corintianos é 80.000. f) O número de cariocas e corintianos é 5.000. g) O número de flamenguistas ou cariocas é 15.000 + 16.000 - 11.000 = 20.000. h) O número de paulistas ou corintianos 84.000 + 85.000 - 80.000 = 89.000 . i) O número de cariocas ou corintianos é 16.000 + 85.000 - 5.000 = 96.000. 10. Uma montadora de automóveis lançou no mercado um novo veículo em três versões: a versão simples MS; a luxuosa ML e a super luxuosa SL. Cada versão pode ser adquirida em uma dentre três cores: azul, vermelha ou preta. Consideremos que um consumidor escolha em primeiro lugar uma das versões (MS, ML OU SL). E em segundo lugar umas das cores (azul, vermelha ou preta). Quais as possibilidades de escolha? Solução : Considerando A o conjunto das versões de automóveis e B o conjunto de suas cores, o resultado procurado está no produto cartesiano A×B, ou seja, no conjunto dos pares ordenados (x , y), onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o seguinte a B. Então, as possibilidades de escolha estão no conjunto: A×B = {(MS, azul), (MS, vermelha), (MS, preta), (ML, azul), (ML, vermelha), (ML, preta), (SL, azul), (SL, vermelha), (SL, preta)}.

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