Toan nghia

33 %
67 %
Information about Toan nghia

Published on November 19, 2016

Author: KimLinCao

Source: slideshare.net

1. 1. SỐ HỮU TỶ http://toanhocviet.com/toan-lop-7_n58739_g790.aspx A. Định nghĩa số hữu tỉ, các phép toán về số hữu tỉ. I. Định nghĩa số hữu tỉ. Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số b a với a, b Z; b  0. II. Cộng, trừ số hữu tỉ. 1. Quy tắc cộng, trừ. Viết các số hưu tỉ dưới dạng các phân số cùng mẫu dương rồi thực hiện công, trừ phân số: Với x= m a ; y= m b ( a, b, m Z; m  0), ta có: x+y= m a + m b = m ba  ; x-y= m a - m b = m ba  2. Quy tắc "chuyển vế" Với mọi x, y, z Q ta có x+ y=z x = z- y. III. Nhân, chia số hữu tỉ. 1. Nhân số hữu tỉ. Với x= b a ; y= d c , ta có: x. y= b a . d c = db ca . . 2. Chia số hữu tỉ. Với x= b a ; y= d c , ( y  0) ta có: x:y= b a : d c = b a . c d 3. Nªu c«ng thøc x¸c ®Þnh gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè h÷u tØ x. ¸p dông tÝnh 3 ; 5 ; 0 . - C«ng thøc x¸c ®Þnh gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè h÷u tØ lµ : x nÕu x  0 x = - x nÕu x < 0 4. ViÕt c¸c c«ng thøc tÝnh lòy thõa cña mét sè h÷u tØ. C¸c c«ng thøc tÝnh luü thõa cña mét sè h÷u tØ lµ : - TÝch cña hai luü thõa cïng c¬ sè : xm . xn = xm + n - Th-¬ng cña hai luü thõa cïng c¬ sè : xm : xn = xm – n (x ≠ 0, m ≥ n) - Luü thõa cña luü thõa :   nmnm xx   - Luü thõa cña mét tÝch : (x . y)n = xn . yn

2. - Luü thõa cña mét th-¬ng : n nn y x y x       (y ≠ 0) CHƯƠNG II. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN. Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số một số dạng toán và phương pháp giải sau: I. Các phép toán về số hữu tỉ. Dạng 1. Phép cộng, trừ số hưu tỉ. 1. Phương pháp. Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số cùng mẫu dương, thực hiện phép cộng, trừ theo quy tắc cộng, trừ các phân số. Công thức như sau: Với x= m a ; y= m b ( a, b, m Z; m  0), ta có: x+y= m a + m b = m ba  ; x-y= m a - m b = m ba  Đối với học sinh miền núi, việc thực hiện quy đồng mẫu số là rất khó khăn, trong khi lên lớp, cùng với thời gian phụ đạo ngoài giờ cần nhắc lại, luyện tập việc thực hiện quy đồng mẫu số để đưa về phân số cùng mẫu. Việc trình bày lời giải cần hướng dẫn học sinh viết một dãy các đẳng thức số bằng nhau, biểu thức sau là kết quả của phép toán trước. Quá trình lên lớp cần vận dụng linh hoạt phương pháp thực hành giải toán, phù hợp với trình độ các đốitượng học sinh trong lớp. Nếu cần có thể đưa ra các hướng dẫn, các mức độ bài toán khác nhau cho từng đối tượng học sinh. 2. Bài tập minh hoạ: Tính: a, 0, 6+ 3 2  ; b, 3 1 - (-0, 4); c, 18 8 - 27 15 Giải. a, 0, 6+ 3 2  = 10 6 + 3 2 = 5 3 + 3 2 = 15 9 + 15 10 = 15 1 b, 3 1 - (-0, 4)= 3 1 +0, 4= 3 1 + 10 4 = 3 1 + 5 2 = 15 65  = 15 11 c, 18 8 - 27 15 = 9 4 - 9 5 =-1 Dạng 2. Phép nhân, chia số hưu tỉ. 1. Phương pháp. Viết số hữu tỉ dưới dạng các phân số, áp dụng quy tắc nhân, chia và các tính chất phép nhân để thực hiện. Đối với phép nhân, chia học sinh thực hiện rễ rằng hơn. Trong các bài tập cần chú ý rèn luyện cho học sinh rút gọn kết quả(nếu cần), khi thực hiện phép chia học sinh hay nhầm lẫn không nhân với nghịch đảo của số chia.

3. Với x= b a ; y= d c , ta có: x. y= b a . d c = db ca . . Với x= b a ; y= d c , ( y  0) ta có: x:y= b a : d c = b a . c d 2. Bài tập minh hoạ: Thực hiện phép tính. a, 7 2 . 8 21 ; b) 0, 24. 4 15 ; c, (-2). (- 12 7 ); d, 23 5 : (-2) Giải. a. 7 2 . 8 21 = 8.7 21.2 = 4.1 3.1 = 4 3 b. 0, 24. 4 15 = 100 24 . 4 15 = 25 6 . 4 15 = 10 9 c, (-2). (- 12 7 )= 1 2 . 2 7 = 7 d, 23 5 : (-2)= 23 5 . 2 1  = 46 5 Dạng 3. Thực hiện phối hợp các phép tính. 1. Phương pháp. Vận dụng linh hoạt các quy tắc, tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của các phép tính thực hiện liên tiếp một dãy các phép tính theo thứ tự thực hiện. Khi trình bày lời giải cần rèn luyện cho học sinh viết các biểu thức bằng nhau liên tiếp, biểu thức sau là kết quả của phép toán đứng trước, phép toán nào chưa thực hiện thì viết lại. 2. Bài tập minh hoạ: Tính giá trị các biểu thức. a, A = 2 1 5 3 7 5 6 5 3 3 2 3 2 3 2                          ; b, B = 4 5 4 16 1 0.5 23 21 23 21     c, C= 1 5 1 5 15 : 25 : 4 7 4 7               ; d, D= ( 7 3 + 2 1 )2 e, E= -5, 13: (5 28 5 - 8 1 9 . 1, 25 + 1 63 16 ) Giải. a, Có thể hướng dẫn học sinh giải theo hai cách sau: Cách 1. Trước hết tính giá trị các biểu thức trong ngoặc. 36 4 3 30 10 9 18 14 15 6 6 6 A          = 35 31 19 15 5 1 2 6 6 6 6 2 2         Cách 2. Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp. 2 1 5 3 7 5 6 5 3 3 2 3 2 3 2 A             2 5 7 1 3 5 6 5 3 3 3 3 2 2 2                    = 1 1 1 2 0 2 2 2 2 2              b, B = 4 5 4 16 4 4 5 16 1 0.5 1 0.5 1 1 0.5 2.5 23 21 23 21 23 23 21 21                         c, C = 1 5 1 5 1 1 5 7 15 : 25 : 15 25 : ( 10) 14 4 7 4 7 4 4 7 5                                        

4. d, D = ( 7 3 + 2 1 )2= ( 14 13 )2= 196 169 e, E = -5, 13: (5 28 5 - 9 17 . 4 5 + 1 63 16 ) = -5, 13: (5 28 5 -2 36 13 + 1 63 16 ) = -5, 13 [(5-2+1)+ ( 28 5 + 36 13 + 63 16 )] = - 1, 26 Dạng 4. Tìm x trong đẳng thức. 1. Phương pháp. Vận dụng quy tắc chuyển vế đưa các số hạng chứa x sang một vế, các số hạng không chứa x sang một vế rồi thực hiện các phép tính trong các biểu thức. Quy tắc "chuyển vế": Với mọi x, y, z Q ta có x+ y=z x = z- y. Học sinh thường mắc sai lầm khi chuyển vế nhưng không đổi dấu, hay chuyển vế các số hạng không hợp lý. Khi lên lớp cần thường xuyên yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc và vận dụng quy tắc. 2. Bài tập minh hoạ: Tìm x, biết: a, x- 2 1 = 3 2 ; b, 7 2 - x = - 4 3 ; c, x + 3 1 = 4 3 ; d, x - 5 2 = 7 5 Giải. a, x= 3 2 + 2 1 = 6 34  = 6 1 ; b, x= 7 2 + 4 3 = 28 2114  = 28 35 c, x= 4 3 - 3 1 = 12 5 ; d, x= 7 5 + 5 2 = 35 39 2. TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU B. Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức. I. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số d c b a  Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ. II. Tính chất 1. Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu a c b d  thì ad = bc 2. Tính chất 2( tính chất hoán vị) Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức: a b c d a c b d d b c a d c b a  ;;; 3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: + từ tỉ lệ thức d c b a  ta suy ra  db db ca db ca d c b a       

5. +mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau f e d c b a  ta suy ra ....       fdb eca fdb eca f e d c b a ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 4. Chú ý: + Khi có dãy tỉ số 532 cba  ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5. + Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức d c b a  suy ra   2 2 1 2 1 2 1 2 . ; . . 0 ; ( , 0) k a k ca c a c a c k k k k k b d b d b d k b k d                  từ f e d c b a  suy ra 33 3 2 ; a c e a c e a c e b d f b d f b d f                            1. Luỹthừa của mộtthương: n n n x x y y       Với n  N, x  0 và x, y  Q. 2. Một số tính chất cơ bản: * . . a a m b b m  Với m  0. * . . a c a c b d b n d n    Với n  0. * n n a c a c b d b d               Với n  N. II.Có 5 d¹ng bµi tËp. 1. Toán chứng minh đẳng thức 2. Toán tìm x, y, z, ... 3. Toán đố 4. Toán về lập tỷ lệ thức 5. Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức. A. Loại toán chứng minh đẳng thức. 1)Các phương pháp:

6. Để chứng minh tỷ lệ thức : Ta có các phương pháp sau : Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng: ad= bc . Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k, từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k. Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải. Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh. 2) Bài tập Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau 1)Các phương pháp : Để Chứng minh tỷ lệ thức : a c b d  Ta có các phương pháp sau : Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc. Phương Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số ; a c b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k. Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải. Phương pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh. 2) Bài tập: Bài tập 1 ( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: a c b d  hãy suy ra tỷ lệ thức: a b c d a c    . Giải: Cách 1: Xét tích     (1) (2) a b c ac bc a c d ac ad       Từ (3) a c ad bc b d    a c b d  ; a c b d

7. Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d a c    - Cách 2: Đặt , a c k a bk c dk b d      Ta có:     1 1 (1),( 0) 1 1 (2),( 0) b ka b bk b k b a bk bk k d kc d dk d k d c dk dk k               Từ (1) và (2) suy ra: a b c d a c    - Cách 3: từ a c b d b d a c    Ta có: 1 1 a b a b b d c d a a a a c c          Do đó: a b c d a c    - Cách 4: Từ a c a b a b b d c d c d a a b a b c d c c d a c               - Cách 5: từ 1 1 a c b d b d b d a c a c a b c d a c            Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức a c b d  ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau: ; a b c d a b c d b d a c       (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ) Bài tập 2: chứng minh rằng nếu 2 a bc thì a) 2 2 2 2 ; ) ,( 0) a b c a a c c b b a b c a b a b          (với a , )b a c  Lời giải: a) - Cách 1: Xét tích chéo - Cách 2: từ 2 a c a bc b a    Đặt , a c k a bk c ak b a      Ta có:

8.             1 1 , 0 (1) 1 1 1 1 0 ,(2) 1 1 b ka b bk b k b a b bk b b k k a kc a ak a k a c a ak a a k k                       Từ (1) và (2) suy ra: a b c a a b c a      - Cách 3: Ta có             2 2 2 , , 0 a a ba b a ab bc ab do a bc a b a a b a ab bc ab b c a c a a b b c a c a                   Do đó: a b c a a b c b      Ngược lại từ a b c a a b c b      ta cũng suy ra được a2 = bc Từ đó ta có bài toán cho a b c a a b c b      chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức . - Cách 4: Từ a2 = bc a c a b a b a b b a c a c a c a a b c a a b c a                 b)- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc. b + c2b = bc (b +c) = (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc. c= bc ( b+c) Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c 2 2 2 2 a c c b a b     - Cách 2: Từ a2 = bc a c b a   Đặt a c k b a   suy ra a = bk, c = ak = bk2 Ta có       2 2 22 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 0 1 b k ka c b k b k k b b a b b k b k c k b k b b            Do đó: 2 2 2 2 a c c b a b   

9. - Cách 3: từ a2 = bc a c b a   2 2 2 2 2 2 2 2 (1) a c a c b a b a      Từ 2 2 (2),( 0) a c a a c c a b a b b a b       Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2 2 a c c b a b    - Cách 4: Ta có       2 2 2 2 2 2 , 0 c b ca c bc c c b c b a b bc b b c b           Do đó: 2 2 2 2 a c c b a b    Bài tập 3: Biết bz cy cx az ay bx a b c      Chứng minh rằng x y z a b c   Giải: Ta có 2 2 2 bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx a b c a b c            2 2 2 0 abz acy bcx bay cay cbx a b c          2 0 (1) abz acy y z abz acy bz cy a b c          2 0 (2) bcx baz z x bcx baz cx az b c a         Từ (1) và (2) suy ra: x y z a b c   Bài tập 1 (Bài 73/SGK-T14) Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: hãy suy ra tỷ lệ thức: . Giải: - Cách 1: Xét tích Từ Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra - Cách 2: Đặt Ta có: a c b d  a b c d a c        (1) (2) a b c ac bc a c d ac ad       (3) a c ad bc b d    a b c d a c    , a c k a bk c dk b d     

10. Từ (1) và (2) suy ra: - Cách 3: từ Ta có: Do đó: - Cách 4: Từ - Cách 5: từ Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau: (Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ) Bài tập 2: chứng minh rằng nếu thì a) (với a Lời giải: a) - Cách 1: Xét tích chéo - Cách 2: từ     1 1 (1),( 0) 1 1 (2),( 0) b ka b bk b k b a bk bk k d kc d dk d k d c dk dk k               a b c d a c    a c b d b d a c    1 1 a b a b b d c d a a a a c c          a b c d a c    a c a b a b b d c d c d       a a b a b c d c c d a c         1 1 a c b d b d b d a c a c        a b c d a c     a c b d  ; a b c d a b c d b d a c       2 a bc 2 2 2 2 ; ) ,( 0) a b c a a c c b b a b c a b a b          , )b a c  2 a c a bc b a   

11. Đặt Ta có: Từ (1) và (2) suy ra: - Cách 3: Ta có Do đó: Ngược lại từ ta cũng suy ra được a2 = bc Từ đó ta có bài toán cho chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức . - Cách 4: Từ a2 = bc b) - Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc.b + c2b = bc (b +c) = (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc.c= bc ( b+c) Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c , a c k a bk c ak b a            1 1 , 0 (1) 1 1 b ka b bk b k b a b bk b b k k                  1 1 0 ,(2) 1 1 a kc a ak a k a c a ak a a k k            a b c a a b c a                  2 2 2 , , 0 a a ba b a ab bc ab do a bc a b a a b a ab bc ab b c a c a a b b c a c a                   a b c a a b c b      a b c a a b c b      a b c a a b c b      a c a b a b a b b a c a c a c a a b c a a b c a                 2 2 2 2 a c c b a b    

12. - Cách 2: Từ a2 = bc Đặt suy ra a = bk, c = ak = bk2 Ta có: Do đó: - Cách 3: từ a2 = bc Từ Từ (1) và (2) suy ra: - Cách 4: Ta có Do đó: Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là thoả mãn chứng tỏ Giải: Từ Từ (1) và (2) suy ra a c b a   a c k b a         2 2 22 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 0 1 b k ka c b k b k k b b a b b k b k          2 2c k b k b b   2 2 2 2 a c c b a b    a c b a   2 2 2 2 2 2 2 2 (1) a c a c b a b a      2 2 (2),( 0) a c a a c c a b a b b a b       2 2 2 2 a c c b a b          2 2 2 2 2 2 , 0 c b ca c bc c c b c b a b bc b b c b           2 2 2 2 a c c b a b    1 2 3 4, , ,a a a a 2 3 2 1 3 3 2 4;a a a a a a  3 3 3 1 2 3 1 3 3 3 2 3 4 4 a a a a a a a a      2 1 2 2 1 3 2 3 3 32 3 2 4 3 4 (1) (2) a a a a a a a aa a a a a a       33 3 3 3 31 2 1 2 1 2 1 3 3 3 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 (3) a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a         

13. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: Từ (3) và (4) suy ra: Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau: Cho chứng minh rằng Bài tập 4: Biết Chứng minh rằng Giải: Ta có Từ (1) và (2) suy ra: Bài tập 5: Cho . Chứng minh rằng (với và các mẫu đều khác 0) Lời giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : 3 3 3 33 3 3 1 2 31 2 3 3 3 3 3 3 2 3 4 2 3 4 (4) a a a aa a a a a a a a        3 3 3 1 2 3 1 3 3 3 2 3 4 4 a a a a a a a a      1 2 4 2 3 4 a a a a a a   3 1 2 3 1 2 3 4 4 a a a a a a a a         bz cy cx az ay bx a b c      x y z a b c   2 2 2 bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx a b c a b c            2 2 2 0 abz acy bcx bay cay cbx a b c          2 0 (1) abz acy y z abz acy bz cy a b c          2 0 (2) bcx baz z x bcx baz cx az b c a         x y z a b c   cba z cba y cba x      4422 zyx c zyx b zyx a      4422 0abc )1( 9 2 224442 2 224 2 4422 a zyx cbacbacba zyx cba y cba z cba y cba x             )2( 9 2 )44(242 2 42 2 4422 b zyx cbacbacba byx cba x cba z cba y cba x            

14. Từ (1),(2),(3) suy ra suy ra Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu 1 a c b d   thì a b c d a b c d      với a, b, c, d ≠ 0 Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì? Giải: Với a, b, c, d ≠ 0 ta có: 1 1 a c a c a b c d b d b d b d          a b b c d d     (1) a c a b c d a b b b d b d c d d          (2) Từ (1) và (2) => a b a b a b c d c d c d a b c d            (ĐPCM) Bài 2: Nếu a c b d  thì: a, 5 3 5 3 5 3 5 3 a b c d a b c d      b, 2 2 2 2 2 2 7 3 7 3 11 8 11 8 a ab c cd a b c d      Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh? - Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d? - Bài 1 gợi ý gì cho giải bài 2? a. Từ 5 3 5 5 5 3 5 3 5 3 3 3 5 3 5 3 a c a b a b a c a b c d b d c d c d b d a b c d              (đpcm) b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 8 3 11 7 8 3 11 a c a b a b ab a b ab a b d c d c d cd c d cd c           )3( 9 44 44)448(484 44 448 4 484 4 4422 c zyx cbacbacba zyx cba y cba x cba z cba y cba x               c byx b zyx a zyx 9 44 9 2 9 2      zyx c zyx b zyx a      4422

15. 2 2 2 2 2 2 7 3 11 8 7 3 11 8 a ab a b c cd c d      (đpcm) Bài 3: CMR: Nếu 2 a bc thì a b c a a b c a      điều đảo lại có đúng hay không? Giải: + Ta có: 2 a b a b a b a b c a a bc c a c a c a a b c a               + Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy: Ta có:       2 2 2 2 2 a b c a a b c a a b c a a b c a ac a bc ab ac a bc ab bc a a bc                       Bài 4: Cho a c b d  CMR 2 2 2 2 ac a c bd b d    Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c ac a c a c ac a c b d bd b d b d bd b d            (đpcm) Bài 5: CMR: Nếu a c b d  thì 4 4 4 4 4 a b a b c d c d         Giải: Ta có:   44 4 1 a c a b a b a a b b d c d c d c c d               Từ   4 4 4 4 4 4 4 4 2 a b a b a b c d c d c d       Từ (1) và (2) 4 4 4 4 4 a b a b c d c d          (đpcm)

16. Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì a c b d  Giải: Ta có:    2 2 3a c b a c d bd     Từ (3) và (2)    c b d a c d cb cd ad cd         a c b d   (đpcm) Bài 7: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: 2 2 ;b ac c bd  và 3 3 3 0b c d   CM: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c d d      Giải: + Ta có  2 1 a b b ac b c    + Ta có  2 2 b c c bd c d    + Từ (1) và (2) ta có   3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c a b c b c d b c d b c d           Mặt khác:   3 3 4 a b c a a b c a b c d b b c d d      Từ (3) và (4) 3 3 3 3 3 3 a b c a b c d d       Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì:         y z z x x y a b c b c a c a b         

17. Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các các số của (1) cho abc ta có:         a y+z y+z 2 b z x c x y z x x y abc abc abc bc ac ab          ? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac ? Ta sẽ biến đổi như thế nào? Từ (2)            y+z x y z x y z x y z x y z bc ab ac bc ab ac bc                       y-z z-x x-y a b c b c a c a b      (đpcm) Bài 9: Cho   bz-cy cx-az ay-bx 1 a b c   CMR: x y z a b c   Giải: Nhân thêm cả tử và mẫu của (1) với a hoặc b; c Từ (1) ta có: 2 2 2 2 2 2 bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx 0 a a b c a b c          x y bz-cy = 0 bz = cy = 2 c b     ay-bx = 0 ay = bx 3 x y a b     Từ (2) và (3) x y z a b c    (đpcm) Bài 10. Biết ' ' a 1 a b b   và ' ' b 1 c b c   CMR: abc + a’b’c’ = 0

18. Giải: Từ   ' ' a 1 ' ' 1 1 a b ab a b b      Nhân cả hai vế của (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3) Ta có: ' ' b 1 ' ' ' (2) c bc b c b c b c      Nhân cả hai vế của (2) với a’ ta có: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4) Cộng cả hai vế của (3) và (4) ta có: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = 0 (đpcm) B. Toán tìm x, y, z 1.Tìm mộtsố hạng chưa biết a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức Nếu Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết. b) Bài tập: Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b) - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 * Lưu ý: Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau : a) . . . . . ; ; a c b c a d a d a d b c a b c b d d c b         . 9,36 0.52.16,38 0,52.16,38 0,91 9,36 x x        1 2 3 2 : 1 : 3 3 4 5 x      

19. b) Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13) Giải : Suy ra x = 30 hoặc x =-30 * Lưu ý: Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức ; Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức Cách 1: ta có: Cách 2: từ Áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :   1 2 0,2:1 : 6 7 5 3 x  60 15 x x        2 2 2 60 15 . 15 . 60 900 30 x x x x x x            1 60 15 1 x x      1 9 7 1 x x    3 5 5 7 x x        3 5 3 .7 5 .5 7 21 25 5 5 7 5 12 46 3 6 x x x x x x x x                3 5 3 5 5 7 5 7 x x x x          3 5 3 5 2 1 5 7 5 7 12 6 3 1 6 3 5 5 6 5 5 3 3 6 6 x x x x x x x x                     

20. Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 2.Tìm nhiều số hạng chưa biết a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau: Tìm các số x, y, z thoả mãn (1) và x +y + z =d (2) ( trong đó a, b, c, a+b+c và a, b, c, d là các số cho trước) Cách giải: - Cách 1: đặt thay vào (2) Ta có k.a + k.b + k.c = d Từ đó tìm được - Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có       2 2 2 4 1 7 2 7 4 1 7 2 14 4 4 5 14 3 4 5 3 4 14 2 10 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                 x y z a b c   0 . ; . ; . x y z k a b c x k a y k b z k c          d k a b c d k a b c         . ; ; a d bd cd x y z a b c a b c a b c         

21. b)Khai thác. +Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau: * * *x.y.z = g +Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:      +Thay đổi cả hai điều kiện c)Bài tập Bàitập 1 : Tìm hai số x và y biết x y 2 3  và x + y = 20. Cách 1: Đặt ẩn phụ Đặt x y k 2 3   , suy ra: x = 2k, y = 3k Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = 4 Do đó: x = 8 và y = 12 Cách2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau . . . ; ; x y z x y z d a b c a b c a b c a d b d c d x y z a b c a b c a b c                     1 2 3k x k y k z e   2 2 2 1 2 3k x k y k z f   1 2 3 4 ; x y y z a a a a   2 1 4 3;a x a y a y a z  1 2 3b x b y b z  1 3 3 22 1b x b z b z b yb y b x a b c     3 31 2 2 1 2 3 z bx b y b a a a    

22. x y x y 20 4 2 3 2 3 5       Do đó: x = 8 và y = 12 Cách3: Phương pháp thế x y 2y x 2 3 3    mà x + y = 20 suy ra 5y/3 = 20 nên y = 12 Do đó:x = 8 Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết và x +y + z = 27 Giải: - Cách 1. Đặt Từ x + y + z = 27 ta suy ra Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12. - Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau: Bài tập 3: Tìm 3 số x,y,z biết và 2x + 3y – 5z = -21 Giải: - Cách 1: Đặt =k - Cách 2: Từ suy ra Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 3 4 x y z   2 , 3 , 4 2 3 4 x y z k x k y k z k       2 3 4 27 9 27 3k k k k k       27 3 2 3 4 2 3 4 9 2.3 6; 3.3 9; 4.3 12 x y z x y z x y z                 2 3 4 x y z   2 3 4 x y z   2 3 4 x y z   2 3 5 4 9 20 x y z  

23. Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết và Giải: - Cách 1: Đặt =k - Cách 2: từ suy ra Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có: Suy ra Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12. Bài tập 5: Tìm 3 số x, y, z biết và x.y.z = 648 Giải: - Cách 1: Đặt = k - Cách 2: Từ 2 3 5 2 3 5 21 3 4 9 20 4 9 20 7 6; 9; 12 x y z x y z x y z                2 3 4 x y z   2 2 2 2 3 5 405x y z    2 3 4 x y z   2 3 4 x y z   2 2 2 2 2 2 4 9 16 2 3 5 8 27 90 x y z x y z      2 2 2 2 2 2 2 3 5 2 3 5 405 9 8 27 90 8 27 90 45 x y z x y z           2 2 2 2 2 2 9 36 6 4 9 81 9 9 9 144 12 16 x x x y y y z z z                   2 3 4 x y z   2 3 4 x y z   2 3 4 x y z  

24. Từ đó tìm được y = 9; z = 12. Bài tập 6. Tìm x,y, z biết và x +y +z = 27 Giải: từ Từ suy ra Sau đó ta giải tiếp như bài tập 2. Bài tập 7. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27 Giải: Từ Từ Suy ra sau đó giải như bài tập 2 Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21 Giải: từ 6x = 4y = 3z Sau đó giải tiếp như bài tập 3 Bài tập 9: Tìm x, y, z biết và 2x +3y -5z = -21 Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 3 3 3 648 27 2 2 3 4 24 24 27 216 6 8 x x y z xyz x x x                   ; 6 9 2 x y z x  6 9 2 3 x y x y    2 2 4 z x z x    2 3 4 x y z   3 2 2 3 x y x y   4 2 2 4 x z x z   2 3 4 x y z   6 4 3 12 12 12 2 3 4 x y z x y z       6 3 4 6 3 4 5 7 9 x z y x z y    

25. Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 8 Bài tập 10: Tìm x,y,z biết và x +y +z =27 Giải: - Cách 1: Đặt =k - Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có Vậy x = 6; y= 9; z = 12 Bài 11. Tìm x, y, z biết: 15 20 28 x y z   và 2 3 2 186x y   Giải: Giả thiết cho 2 3 2 186x y   Làm như thế nào để sử dụng hiệu quả giả thiết trên? Từ 2 3 2 3 186 3 15 20 28 30 60 28 30 60 28 62 x y z x y z x y z             x = 3.15 = 45  y= 3.20 = 60  z = 3.28 = 84 6 3 4 3 3 6 6 3 4 3 3 6 0 5 7 9 5 7 9 6 3 ;4 3 ;3 6 x z y z z x x z y z z x x z y z z x                   4 6 8 2 3 4 x y z     4 6 8 2 3 4 x y z     4 6 8 2 3 4 x y z     4 6 8 18 27 18 1 2 3 4 9 9 4 1 6 2 6 1 9 3 8 1 12 4 x y z x y z x x y y z z                            

26. Bài 12. Tìm x, y, z cho: 3 4 x y  và 5 7 y z  và 2 3 372x y z   Giải: Nhận xét bài này và bài trên có gì giống nhau? Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào? Đưa tử số có cùng số chia Ta có: 3 4 15 20 x y x y    (chia cả hai vế cho 5) 5 7 20 28 y z y z    (chia cả hai vế cho 4) 15 20 28 x y z    Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 Bài 13. Tìm x, y, z biết 2 3 x y  và 5 7 y z  và x + y + z = 98 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?) Học sinh nên tự giải (tương tự bài nào em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 14. Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y –z = 95 (*) Cách 1: Từ 2x = 3y 3 2 x y   3y = 5z 5 3 y z   Đưa về cách giải giống ba bài trên: cách này dài dòng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ của x, y, z tương ứng ta sẽ giải được (*) + Làm thế nào để (1) cho ta (*) + chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x = 3y = 5z 2 3 5 95 5 30 30 30 15 10 6 15 10 6 19 x y z x y z x y z            

27. => x = 75, y = 50, z = 30 Bài 15. Tìm x, y, z biết:   1 2 3 1 2 3 4 x y z  và x – y = 15 Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự bài 11) BCNN(1 ;2 ;3) = 6 Chia các vế của (1) cho 6 ta có 15 5 12 9 8 12 9 3 x y z x y       => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16. Tìm x, y, z biết: a.   1 2 3 1 2 3 4 x y z     và 2x + 3y –z = 50 b.   2 2 4 2 3 4 5 x y z   và x + y +z = 49 Giải: a. Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự bài nào? (bài 11) Từ (1) ta có:       2 1 3 2 3 2 2 3 6 3 4 9 4 4 9 4 2 3 2 6 3 50 5 5 9 9 x y z x y z x y z                        1 5 11 2 x x     2 5 17 3 y x     3 5 23 4 z x     b. ? Nêu cách giải phần b? (tương tự bài 15)

28. Chia các vế cho BCNN (2;3;4) = 12 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3.12 4.12 5.12 49 1 18 10 15 18 16 15 49 x y z x y z x y z x y z                => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17. Tìm x; y; z biết rằng: a. 2 3 x y  và xy = 54 (2) b. 5 3 x y  và 2 2 4x y  (x, y > 0) Giải: ? Làm như thế nào để xuất hiện xy mà sử dụng giả thiết. a.         2 2 2 22 54 1 . . 9 2 3 2 2 3 2 4 6 6 4.9 2.3 6 6 6 x y x x y x x xy x x                Thay vào (2) ta có: 54 6 9 6 x y    54 6 9 6 x y       b. 2 2 2 2 2 4 1 5 3 25 9 25 9 16 4 25 5 4 2 x y x y x y x x              2 9 3 4 2 y x     Bài 18. Tìm các số a1, a2, …a9 biết: 91 2 a 9a 1 a 2 ... 9 8 1      và 1 2 9a a ... a 90    Giải :    1 2 91 a a ... a 1 2 ... 9a 1 90 45 1 9 9 8 ... 1 45              

29. Từ đó dễ dàng suy ra a1; a2; … Bài 19. Tìm x; y; z biết: a.   1 2 3 1 1 y z x z x y x y z x y z            Giải: Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có từ (1)  21 1 2 3 x y zy z y z x z x y x x y z x y z                  Nếu a + y + z ≠ 0 : 1 2 0,5 1 2 1 2 1 2 1 1,5 3 2 2 2 2 3 5 2,5 3 6 3 2 3 3 5 5 3 2 6 x y z x y z y z y z x x y z x x x x x x z x y z y y y y x y x y z z z z z                                                    b. Tương tự các em tự giải phần b Tìm x, y, z biết: 1 1 2 x y z x y z y z x z x y            Nếu x + y + z ≠ 0 => x + y + z = 0,5 ĐS : 1 1 1 ; ; 2 2 2 x y z    Nếu x + y + z = 0 => x = y = z = 0 Bài 20. Tìm x biết rằng: 1 2 1 4 1 6 18 24 6 y y y x     

30. Giải:     1 4 1 2 1 6 2 8 1 4 2 8 24 18 6 18 6 24 18 6 1 4 24 1 4 24 1 24 18 6 2 1 4 18 6 2 18 6 24.2 6 3 6.4.2 3 8 5 y y y y y y x x x y y x y x x x x x                                    Bài 21. Tìm x, y,z biết rằng: 2 3 5 x y z   và xyz = 810 Giải:   3 3 33 3 3 2 3 5 2 2 2 2 3 5 30 810 27 27 2 10 8 8.27 2 .3 2.3 6 x y z x x x x y z xyz x x x x                          mà 3.6 9 2 3 2 15 x y y z      Bài 22. Tìm các số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng: 11 2 1 2 1 n n n n x xx x a a a a        và 1 2 nx x x c   ( 1 1 20,..., 0; ... 0n na a a a a      ) Giải: 1 1 21 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ... ... ... . ... n n n n n n n i i n x x x x xx x c a a a a a a a a a a c a x a a a                      

31. trong đó: i = 1, 2,…, n Bài 23. Tìm các số x; y; z ЄQ biết rằng:        : 5 : : 9 3:1:2:5x y z y z y     Giải: Ta có:         5 9 (1) 3 1 2 5 5 9 4 3 1 2 5 1 x y z y z y k x y z y z y x y                      4 4 3 4 3 4 2 2 x y k k x y x y k k k k k                  Từ (1) 5 5 5 2 3 9 5 5 9 10 9 1 3 3 6 1 5 5 1 3 z k z k y k y k x y k x k y x y z                                Bài 24. Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỷ số giữa số thứ 1 và số thứ 2 là 2 3 ; giữa số thứ 1 và số thứ 3 là 4 9 . Tìm 3 số đó? Giải: Ta có:       3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 1009 2 3 2 3 4 6 1 9 4 9 4 6 9 4 , 6 , 9 4 6 9 64 216 729 1009 1009 1 1 1.4 4 1.6 6 1.9 9 x y z x x y x y y x x z x y z z x k y k z k x y z k k k k k k k k k x y z                                                   

32. Bài 25. Tìm x, y biết : 2 1 3 2 2 3 1 5 7 6 x y x y x       Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết 1. Tìm một số hạng chưa biết c) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức Nếu . . . . . ; ; a c b c a d a d a d b c a b c b d d c b        Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết. b) Bài tập: Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b) - 0, 52 : x = - 9, 36 : 16, 38  . 9,36 0.52.16,38 0,52.16,38 0,91 9,36 x x        Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn như sau : a) 1 2 3 2 : 1 : 3 3 4 5 x       ' b)   1 2 0,2:1 : 6 7 5 3 x  có thể đưa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x. Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a) 60 15 x x    Giải : từ     2 2 2 60 15 . 15 . 60 900 30 x x x x x x            Suy ra x = 30 hoặc -30 Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức 1 60 15 1 x x      ; 1 9 7 1 x x    Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức 3 5 5 7 x x    Giải: Cách 1: từ

33.     3 5 3 .7 5 .5 5 7 7 21 25 5 12 46 5 3 6 x x x x x x x x                Cách 2: từ 3 5 3 5 5 7 5 7 x x x x        áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có   3 5 3 5 2 1 5 7 5 7 12 6 3 1 6 3 5 5 6 5 5 3 3 6 6 x x x x x x x x                      Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức       2 2 2 4 1 7 2 7 4 1 7 2 14 4 4 5 14 3 4 5 3 4 14 2 10 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                 Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 2. Tìm nhiều số hạng chưa biết a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau: Tìm các số x, y, z thoả mãn x y z a b c   (1) và x +y + z =d (2) ( trong đó a, b, c, a+b+c 0 và a, b, c, d là các số cho trước) Cách giải: - Cách 1: đặt . ; . ; . x y z k a b c x k a y k b z k c        thay vào (2) Ta có k. a + k. b + k. c = d   d k a b c d k a b c         Từ đó tìm được . ; ; a d bd cd x y z a b c a b c a b c          - Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có . . . ; ; x y z x y z d a b c a b c a b c a d b d c d x y z a b c a b c a b c                     b). Hướng khai thác từ bài trên như sau.

34. +Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau: * 1 2 3k x k y k z e   * 2 2 2 1 2 3k x k y k z f   *x. y. z = g +Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau: - 1 2 3 4 ; x y y z a a a a   - 2 1 4 3;a x a y a y a z  - 1 2 3b x b y b z  - 1 3 3 22 1b x b z b z b yb y b x a b c     - 3 31 2 2 1 2 3 z bx b y b a a a     +Thay đổi cả hai điều kiện c). Bài tập Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4 x y z   và x +y + z = 27 Giải: Cách 1. Đặt 2 , 3 , 4 2 3 4 x y z k x k y k z k       Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2 3 4 27 9 27 3k k k k k       Khi đó x = 2. 3 = 6; y = 3. 3 = 9; z = 4. 3 = 12 Vậy x = 6; y = 9; z = 12. - Cách 2. áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có. 27 3 2 3 4 2 3 4 9 2.3 6; 3.3 9; 4.3 12 x y z x y z x y z                 Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau: Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết 2 3 4 x y z   và 2x + 3y – 5z = -21 Giải: - Cách 1: Đặt 2 3 4 x y z   =k - Cách 2: Từ 2 3 4 x y z   suy ra 2 3 5 4 9 20 x y z   áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 3 5 2 3 5 21 3 4 9 20 4 9 20 7 6; 9; 12 x y z x y z x y z                C./ LẬP TỈ LỆ THỨC

35. Bài 26. Cho 5 6 ( 5, 6) 5 6 a b a b a b        tìm ? a b Bài 27. Cho a a 4 a b c e d f    và e - 3d + 2f 0 Tìm 3 2 3 2 a b c d e f      D./ TOÁN ĐỐ Toán chia tỉ lệ 1. Phương pháp giải Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết Bước 4:Kết luận. 2. Bài tập Bài tập 1. (Bài 76 SBT-T14): Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5 Lời giải: Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c ) Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22 Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có : Suy ra 0 542 cba  2 11 22 542542     cbacba 42 4 42 2   b b a a

36. Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3.Khi đó ta có được: c-a=3 Bài tập 2: Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được. Lời giải: Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương) Theo bài ra ta có Suy ra 27 3  a a 357 5 287 4   c c b b Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây Bài tập 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là ,giữa số thứ hai và số thứ 3 là .Tìm ba số đó. Gọi 3 số phải tìm là a,b,c Theo bài ra ta có và Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9 102 5  c c 7 17 119 5166 42 516 4 6 2 542     cbacbacba 3 2 9 4 2 4 ; 3 9 a a b c   3 3 3 1009a b c   

37. Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi số thóc ở kho I, số thóc ở kho II và số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc Lời giải: Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0) Số thóc của kho I sau khi chuyển là Số thóc của kho II sau khi chuyển là Số thóc của kho III sau khi chuyển là theo bài ra ta có và a+b+c=710 từ Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220. Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn. Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh của mỗi khối. Lời giải: Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dương) Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b 1 5 1 6 1 11 1 4 5 5 a a a  1 5 6 6 b b b  1 10 11 11 c c c  4 5 10 5 6 11 a b c  4 5 10 4 5 10 5 6 11 5.20 6.20 11.20 a b c a b c      710 10 25 24 22 25 24 22 71 a b c a b c          3 m 3 3 3 1,2 ;1,4 ;1,6m m m

38. Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c Theo bài rat a có Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300 Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là 80 h/s,240h/s,300h/s Bài 28. Có 3 đội A; B; C có tất cả 130 người đi trồng cây. Biết rằng số cây mỗi người đội A; B; C trồng được theo thứ tự là 2; 3; 4 cây. Biết số cây mỗi đội trồng được như nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người đi trồng cây? Giải: + Gọi số người đi trồng cây của đội A; B; C lần lượt là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN* + Theo bài ra ta có: x.2 = y.3 = 4.z (1) và x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 .2 .3 4. 130 10 12 12 12 6 4 3 6 4 3 13 60; 10; 30 x y z x y z x y z x y z                Trả lời: Đội A; B; C có số người đi trồng cây theo thứ tự là 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30 Bài 29. Trường có 3 lớp 7, biết 2 3 có số học sinh lớp 7A bằng 3 4 số học sinh 7B và bằng 4 5 số học sinh 7C. Lớp 7C có số học sinh ít hơn tổng số học sinh của 2 lớp kia là 57 bạn. Tính số học sinh mỗi lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C lần lượt là x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo bài ra ta có: ; 1 3 4 5 a b b c  

39.   2 3 4 1 3 4 5 x y z  và x + y + z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12 57 18 16 15 18 16 15 19 x y z x y z         => x = 54; y = 18; z =45 Trả lời: số học sinh các lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài 30. Tìm ba số nguyên dương biết BCNN của chúng là 3150 và tỷ số số thứ nhất với số thứ 2 là 5 9 , của số thứ nhất với số thứ ba là 10 7 . Giải: Gọi ba số nguyên dương lần lượt là: x; y; z Theo bài ra ta có: BCNN (x;y;z) = 3150 2 5 10 ; ; 9 7 5 9 10 7 10 18 7 10 2.5. 18. 3 .2. 7. x x x y x z y z x y z k x k k y k k z k                  BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7  k = 5  x=50; y = 90; z = 35 Vậy 3 số nguyên dương lần lượt là x = 50; y = 90; z = 35. Dạng 3: Toán chia tỉ lệ 1. Phương pháp giải Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết Bước 4:Kết luận.

40. 2. Bài tập Bài tập 1: Trong một đợt lao động ba khối 7, 8, 9 chuyển được 912 3 m đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được 3 3 3 1,2 ;1,4 ;1,6m m m Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh của mỗi khối. Lời giải: Gọi số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c(h/s)(a, b, c là số nguyên dương) Số đất khối 7 chuyển được là 1, 2a Số đất khối 8 chuyển được là 1, 4b Số đất khối 9 chuyển được là 1, 6c Theo bài rat a có ; 1 3 4 5 a b b c   Và 1, 2a +1, 4b + 1, 6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300 Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số học sinh của khối 7, 8, 9 lần lượt là 80 h/s, 240h/s, 300h/s Bài tập 2:(Bài 76 SBT-T14):Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5 Lời giải: Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c (cm, a, b, c 0 ) Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22 Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có 542 cba  áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có 2 11 22 542542     cbacba Suy ra 102 5 42 4 42 2    c c b b a a Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm, 8cm, 10cm Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất bằng 3. Khi đó ta có được: c-a=3 Bài tập 3: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây, số cây mỗi lớp trồng được tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây. Tính số cây mỗi lớp trồng được. Lời giải: Gọi số cây trồng được của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a, b, c (cây, a, b, c nguyên dương) Theo bài ra ta có 7 17 119 5166 42 516 4 6 2 542     cbacbacba

41. Suy ra 357 5 287 4 217 3    c c b b a a Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21cây, 28cây, 35cây Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1 5 số thóc ở kho I, 1 6 số thóc ở kho II và 1 11 số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc Lời giải: Gọi số thóc của 3 kho I, II, III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0) Số thóc của kho I sau khi chuyển là 1 4 5 5 a a a  Số thóc của kho II sau khi chuyển là 1 5 6 6 b b b  Số thóc của kho III sau khi chuyển là 1 10 11 11 c c c  theo bài ra ta có 4 5 10 5 6 11 a b c  và a+b+c=710 từ 4 5 10 4 5 10 5 6 11 5.20 6.20 11.20 a b c a b c      710 10 25 24 22 25 24 22 71 a b c a b c          Suy ra a=25. 10=250; b=24. 10=240 ; c=22. 10=220. Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn, 240 tấn, 220 tấn. Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau 1) Sai lầm khi áp dụng tương tự H/s áp dụng . . x y x y a b a b   hay . . . . x y z x y z a b c a b c    Bài tập 1: (Bài 62 – SGKT31) tìm 2 số x, y biết rằng 2 5 x y  và x. y=10 H/s sai lầm như sau : . 10 1 2 5 2.5 10 x y x y     suy ra x=2, y=5 Bài làm đúng như sau: Từ 2 2. . 10 4 2 2 5 2 5 2 5 x y x x x y x x x          từ đó suy ra 5y  

42. vậy x= 2, y= 5 hoặc x=-2, y= -5 hoặc từ 2 2 2 210 . 1 4 2 2 5 4 2 5 4 10 x y x x y x x x           hoặc đặt 2 , 5 2 5 x y x x x y x     vì xy=10 nên 2x. 5x=10 2 1 1x x     2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện số chia khác 0 Khi rút gọn h/s thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm Bài tập 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau là a b c b c c a a b      . Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó Cách 1:Ta có a b c b c c a a b      áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có        2 a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c                   Học sinh thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng 1 2 ta phải làm như sau + Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c nên mỗi tỉ số ; ; a b c b c c a a b   đều bằng -1 + Nếu a+b+c  0 khi đó   1 2 2 a b c a b c b c c a a b a b c            Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1 Bài tập 3: Cho biểu thức x y y z z t t x P z t t x x y z y             Tính giá trị của P biết rằng (1) x y z t y z t z t x t x y x y z            Lời giải: Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có 3( ) x y z t x y z t y z t z t x t x y x y z x y z t                   Cách 2:Từ (1) suy ra 1 1 1 1 x y z t x z t z t x t x y x y z                x y z t x y z t x y z t x y z t y z t z t x x y t x y z                         ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3 ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z Phải làm đúng như sau : Nếu x+y+z+t 0 suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4 Nếu x+y+z+t =0  x+y=-(z+t);y+z=-(t+x). Khi đó P=-4

43. ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1, bài tập 4 nên dùng cách 2 Bài tập tương tự : 1)Cho a, b, c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện a b c b c a c a b c a b         Hãy tính giá trị của biểu thức 1 1 1 b a c B a c b                2)Cho dãy tỉ số bằng nhau : 2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d                Tìm giá trị của biểu thức M biết : a b b c c d d a M c d d a a b b c             Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại, nếu các số hạng dưới bằng nhau thì các số hạng trên bằng nhau. 3. Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn Học sinh thường sai lầm nếu A2=B2 suy ra A=B Bài tập 4:Tìm x biết 1 60 15 1 x x      Giải: 1 60 15 1 x x              2 2 1 15 . 60 1 900x x        Học sinh thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31 phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29 E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho 2 số hữu tỷ a b và c d với b> 0; d >0. CM: a c ad bc b d    Giải: + Có db cd bd db 0; 0 a c ad bcb d b d           + Có: ad bc 0; 0 bd db ad bc a c b d b d          Tính chất 2: Nếu b > 0; d > 0 thì từ a c a a c c b d b b d d      

44. (Bài 5/33 GK Đ7) Giải: + (1) 0; 0 a c ad bcb d b d         thêm vào 2 vế của (1) với ab ta có:      2 ad ab bc ab a a c a b d c b d b b d            + Thêm vào hai vế của (1) dc ta có:         1 3 ad dc bc dc d a c c b d a c c b d d             + Từ (2) và (3) ta có: Từ a c a a c c b d b b d d       (đpcm) Tính chất 3: a; b; c là các số dương nên a, Nếu 1 a b  thì a a c b b c    b, Nếu 1 a b  thì a a c b b c    Bài 31. Cho a; b; c; d > 0. CMR: 1 2 a b c d a b c b c d c d a d a b              Giải: + Từ 1 a a b c    theo tính chất (3) ta có:

45.  1 a d a a b c d a b c        (do d>0) Mặt khác:  2 a a a b c a b c d       + Từ (1) và (2) ta có:  3 a a a d a b c d a b c a b c d            Tương tự ta có:  4 b b b a a b c d b c d a b c d             5 c c c b a b c d c d a c d a b             6 d+a+b+c d d d c d a b a b c d         Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo từng vế thì được: 1 2 a b c d a b c b c d c d a d a b              (đpcm) Bài 32. Cho a c b d  và ; 0b d  CMR: 2 2 a ab cd c b b d d     Giải: Ta có a c b d  và ; 0b d  nên 2 2 . . . d.d a b c d ab cd bb b d    Theo tính chất (2) ta có: 2 2 2 2 2 2 ab ab cd cd a ab cd c b b d d b b d d          (đpcm) Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau 2) Sai lầm khi áp dụng tương tự H/s áp dụng hay . . x y x y a b a b   . . . . x y z x y z a b c a b c   

46. Bài tập 1: (Bài 62 - SGK/T31) tìm 2 số x,y biết rằng và x.y=10 H/s sai lầm như sau : suy ra x=2,y=5 Bài làm đúng như sau: Từ từ đó suy ra vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5 hoặc từ hoặc đặt vì xy=10 nên 2x.5x=10 Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng và x.y.z= 648 H/s sai lầm như sau Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1 2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0 Khi rút gọn HS thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là . Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó Cách 1:Ta có áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng ta phải làm như sau + Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c nên mỗi tỉ số đều bằng -1 + Nếu a+b+c 0 khi đó Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1 Bài tập 4: Cho biểu thức 2 5 x y  . 10 1 2 5 2.5 10 x y x y     2 2. . 10 4 2 2 5 2 5 2 5 x y x x x y x x x          5y   2 2 2 210 . 1 4 2 2 5 4 2 5 4 10 x y x x y x x x           2 , 5 2 5 x y x x x y x     2 1 1x x     2 3 4 x y z   . . 648 27 2 3 4 2.3.4 24 x y z x y z      a b c b c c a a b      a b c b c c a a b             2 a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b c                   1 2 ; ; a b c b c c a a b      1 2 2 a b c a b c b c c a a b a b c            x y y z z t t x P z t t x x y z y            

47. Tính giá trị của P biết rằng Lời giải: Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có Cách 2:Từ (1) suy ra Ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3 Ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z Phải làm đúng như sau : Nếu x+y+z+t suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4 Nếu x+y+z+t =0 x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4 ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập 4 nên dùng cách 2 Bài tập tương tự : 1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện .Hãy tí

Add a comment