Teste 2 1011_2 (soluções)

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Published on March 11, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o teste – 3 de Junho de 2011 Dura¸c˜ao da prova: 2 horas N´umero: Nome: Parte I A prova tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (1.2 val): Na Figura 1 representam-se os mapas polos/zeros de quatro SLITs cont´ınuos. E e(s) T m(s) × ◦ ×                                                                 SLIT 1 E e(s) T m(s) ×                                                      SLIT 2 E e(s) T m(s) ◦ × ×                                                                               SLIT 3 E e(s) T m(s) × ◦ ◦                                                                               SLIT 4 Figura 1: (0.6 val) a) Quais s˜ao os SLITs est´aveis? i) SLIT 1 2 ii) SLIT 2 2 iii) SLIT 3 2 iv) SLIT 4 23/10 −2/5 3/10 −1/5 (0.6 val) b) Quais s˜ao os SLITs causais? i) SLIT 1 2 ii) SLIT 2 2 iii) SLIT 3 2 iv) SLIT 4 2−2/5 3/10 3/10 −1/5 Problema 2 (1.8 val): Seja y(t) = e−2t u−1(t) + e3t u−1(−t) a sa´ıda de um sistema cont´ınuo linear e invariante no tempo ao sinal de entrada x(t) = e3t u−1(−t) . (1.2 val) a) Qual ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia, H(s), do sistema? i) H(s) = −5 (s + 2)(s − 3) ; −2 < e(s) < 3 2 ii) H(s) = 5 s + 2 ; e(s) > −2 2−9/20 6/5 iii)H(s) = −5 (s + 2)(s − 3) ; e(s) > 3 2 iv)H(s) = 5 s + 2 ; e(s) < −2 2−9/20 −3/10 (0.6 val) b) Qual ´e a resposta em regime transit´orio do sistema ao sinal de entrada x(t) dado? i) ytrans(t) = e3t u−1(−t) 2−3/10 ii) ytrans(t) = e−2t u−1(t) 2 iii) ytrans(t) = e−2t u−1(t) + e3t u−1(−t) 23/5 −3/10 v.s.f.f. 1

Problema 3 (5.5 val): Na Figura 2 representam-se a resposta no tempo ao sinal de entrada escal˜ao unit´ario e a caracteristica de amplitude do diagrama de Bode de um SLIT est´avel e causal de 2a ordem e sem zeros. t y(t) 0 0 yfinal S ω |H(jω)|dB 102 W 0 40 14 dB Figura 2: (0.7 val) a) O sistema tem polos reais ou complexos? Reais 2 Complexos 2−7/10 7/10 (1.2 val) b) Qual ´e o valor final da resposta no tempo `a entrada escal˜ao unit´ario? yfinal = 10 2 yfinal = 40 2 yfinal = 54 2 yfinal = 100 2−1/5 −1/5 −4/5 6/5 (1.2 val) c) Qual ´e o valor da frequˆencia W? W = 5.102 rad/s 2 W = 103 rad/s 2−2/5 6/5 W = 5.103 rad/s 2 W = 104 rad/s 2−2/5 −2/5 (1.2 val) d) Qual ´e o valor da sobre-eleva¸c˜ao na resposta do sistema ao escal˜ao unit´ario? S 53% 2 S 62% 2 S 73% 2 S 85% 2−2/5 −2/5 6/5 −2/5 (1.2 val) e) Qual das seguintes express˜oes representa, aproximadamente, a resposta estacion´aria do sistema ao sinal de entrada x(t) = sin (100t) u−1(t) ? i) yest(t) 501 sin (100t − π) u−1(t) 2 ii) yest(t) 501 sin 100t − π 2 u−1(t) 2−1/5 6/5 iii) yest(t) 54 sin (100t − π) u−1(t) 2 iv) yest(t) 54 sin 100t − π 2 u−1(t) 2−4/5 −1/5 Problema 4 (1.5 val): Seja x(t) um sinal peri´odico com per´ıodo fundamental T0 = 1/2 s. Os coeficientes n˜ao nulos da expans˜ao em s´erie de Fourier deste sinal s˜ao: a−2 = −j a3 = 6 . Qual ´e a transformada de Fourier, X(jω), do sinal x(t)? i) X(jω) = −j2πδ(ω + 8π) + 12πδ(ω − 12π) 2 ii) X(jω) = −jδ(ω + 8π) + 6δ(ω − 12π) 23/2 −1/4 iii)X(jω) = −j2πδ(ω + 1) + 12πδ ω − 3 2 2 iv)X(jω) = −jδ(ω + 1) + 6δ ω − 3 2 2−1/2 −3/4 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o teste – 3 de Junho de 2011 Dura¸c˜ao da prova: 2 horas N´umero: Nome: Parte II A prova tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) No problema de resolu¸c˜ao livre justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efec- tuados. Problema 5 (10 val): Considere o sistema cont´ınuo representado na Figura 3. Sabe-se o seguinte: - sistema 1 - sistema 2 - sistema 3 -x(t) z(t) w(t) y(t) Figura 3: 1. O espectro do sinal `a sa´ıda do sistema 1 ´e Z(jω) = X jω 5 , em que X(jω) representa o espectro do sinal de entrada. 2. No dom´ınio do tempo, a rela¸c˜ao entrada/sa´ıda do sistema 2 ´e w(t) = ej10t z(t); . 3. O sistema 3 ´e um sistema linear e invariante no tempo cuja resposta de frequˆencia ´e H(jω) = e−j3ω , |ω| < 5 0 , caso contr´ario . 4. O espectro de frequˆencia, Z(jω), do sinal z(t) `a entrada do sistema 2 tem a amplitude representada na Figura 4 e a fase arg Z(jω) = 0 ∀ ω . E T −20 −10 0 10 20 ω 2 3 |Z(jω)| !!!!!!aaaaaa!!!!!!aaaaaa 6 Figura 4: (1.5 val) a) No dom´ınio do tempo, qual ´e a rela¸c˜ao entrada/sa´ıda do sistema 1? Justifique a resposta. (0.8 val) b) O sistema 1 ´e linear? Justifique a resposta. (1.5 val) c) O sistema 1 ´e invariante no tempo? Justifique a resposta. (1.5 val) d) Esboce a amplitude e a fase do espectro, X(jω), do sinal `a entrada do sistema 1. Justifique a resposta. (0.7 val) e) O sinal z(t) `a sa´ıda do sistema 1 tem componente cont´ınua? Em caso afirmativo, indique a sua amplitude no dom´ınio do tempo. Justifique a resposta. (0.7 val) f) O sinal z(t) `a sa´ıda do sistema 1 ´e real? Justifique a resposta. (2.5 val) g) Esboce a amplitude e a fase do espectro, Y (jω), do sinal `a sa´ıda do sistema 3. Justifique a resposta. (0.8 val) h) Utilizando o m´etodo do impulso invariante, pretende-se amostrar o sinal y(t) `a sa´ıda do sistema 3. Sugira um valor adequado para o per´ıodo de amostragem. Justifique a resposta. 3

Solu¸c˜ao: Problema 5: a) z(t) = 5x(5t). b) Sistema linear. c) Sistema variante no tempo. d) E T −4 −2 0 2 4 ω 2 .6 |X(jω)|   Q Q QQ  Q Q QQ6 arg X(jω) = 0 ∀ ω. e) Sim, com amplitude 3 2π . f) Sinal real. g) E T −5 0 5 ω 1 2 |Y (jω)| !!!aaa E T1 ω −3 arg Y (jω) B B B BB h) T < π 5 s. 4

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