Teste 2 0910_1 (soluções)

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Published on March 11, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o teste / 1o exame – 12 de Janeiro de 2010 Dura¸c˜ao da prova: 3 horas N´umero: Nome: Parte I A prova tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (4.5 val): Seja y(t) = t cos(5πt)x(t + 4) a sa´ıda de um sistema cont´ınuo ao sinal de entrada x(t). (0.5 val) a) O sistema tem mem´oria? Sim 2 N˜ao 21/2 −1/2 (0.5 val) b) O sistema ´e causal? Sim 2 N˜ao 2−1/2 1/2 (0.5 val) c) O sistema ´e invariante no tempo? Sim 2 N˜ao 2−1/2 1/2 (0.5 val) d) O sistema ´e linear? Sim 2 N˜ao 21/2 −1/2 (0.5 val) e) O sistema ´e est´avel? Sim 2 N˜ao 2−1/2 1/2 (1 val) f) Quando o sinal x(t) ´e par e peri´odico com per´ıodo fundamental T0 = 4 s, o sinal y(t) ´e: i) Par 2 ii) ´Impar 2 iii) Nem par nem ´ımpar 2−1/2 1 −1/2 (1 val) g) Quando o espectro do sinal x(t) ´e X(jω) = e−jω , o espectro do sinal y(t) ´e: i) Y (jω) = −5e−j5ω 2 ii) Y (jω) = −π [δ(ω − 5π) + δ(ω + 5π)] 2−1/5 −2/5 iii) Y (jω) = 3ej3ω 2 iv) Y (jω) = π [δ(ω − 5π) − δ(ω + 5π)] 21 −2/5 v.s.f.f. 1

Problema 2 (2.5 val): Na Figura 1 representa-se o espectro de frequˆencia X(jω) de um sinal cont´ınuo x(t). - 6 ω X(jω) 6 −10 1 6 0 2 6 6π 2 Figura 1: (0.5 val) a) O sinal x(t) ´e real? Sim 2 N˜ao 2−1/2 1/2 (0.5 val) b) O sinal x(t) tem componente cont´ınua? Em caso afirmativo, indique a sua amplitude no dom´ınio do tempo. i) N˜ao 2−1/4 ii) Sim, com amplitude ii.1) 1 2 ii.2) 2 2 ii.3) 1 π 2 ii.4) 1 2π 2−1/12 −1/12 1/2 −1/12 (1 val) c) O sinal x(t) ´e peri´odico? Em caso afirmativo, indique a sua frequˆencia fundamental. i) N˜ao 21 ii) Sim, com frequˆencia fundamental ii.1) −10 2 ii.2) 0 2 ii.3) 10 2 ii.4) 6π 2−1/4 −1/4 −1/4 −1/4 (0.5 val) d) Amostrar o sinal x(t) a um ritmo de 6π rad/s conduz a um sinal discreto que o representa de forma ´unica. Verdadeiro 2 Falso 2−1/2 1/2 Problema 3 (1 val): Na Figura 2 representam-se os sinais, y1(n) e y2(n), obtidos `a sa´ıda de um sistema discreto quando na entrada se apresentam os sinais x1(n) e x2(n), respectivamente. −2 0 2 n x1(n) 1 2 −2 0 2 n 2 2 y1(n) −2 0 2 n x2(n)2 −2 0 2 n 2 1 y2(n) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •- - Figura 2: O sistema ´e linear e invariante no tempo. Verdadeiro 2 Falso 2 N˜ao se pode concluir 2−1/2 1 −1/2 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o teste / 1o exame – 12 de Janeiro de 2010 Dura¸c˜ao da prova: 3 horas N´umero: Nome: Parte II A prova tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Resolva cada um dos problemas de resolu¸c˜ao livre em folhas de teste separadas. Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efectuados. Problema 4 (6 val): Considere o SLIT cont´ınuo, causal e est´avel, cuja caracter´ıstica de amplitude as- simpt´otica da resposta de frequˆencia est´a representada na Figura 3. - 6 −100 M 1 ω1 ω |H(jω)|dB @ @ @ @ @ @ @ @ @ Figura 3: Sabe-se ainda que: 1. O sistema tem dois zeros reais situados no semiplano complexo esquerdo. 2. A resposta do sistema ao escal˜ao unit´ario ´e a representada na Figura 4. t y(t) 0 10 20 30 40 50 −20 −10 0 Figura 4: 3. A resposta em regime estacion´ario do sistema ao sinal de entrada x(t) = 2 sin(t)u−1(t) ´e a representada na Figura 5. t yest(t) 0 10 20 30 40 50 −100 0 100 Figura 5: v.s.f.f. 3

(1 val) a) Determine os parˆametros M e ω1 na caracter´ıstica de amplitude assimpt´otica. Justifique a resposta. (1.5 val) b) Os polos do sistema s˜ao reais ou complexos? Caso sejam reais, indique a sua localiza¸c˜ao no plano complexo. Caso sejam complexos, especifique a sua frequˆencia natural, ωn, e coeficiente de amortecimento, ξ. Justifique a resposta. (1 val) c) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema. Justifique a resposta. (1 val) d) Esboce a caracter´ıstica de amplitude real do sistema. Para responder a esta al´ınea, utilize o gr´afico com a caracter´ıstica assimpt´otica, determinando e indicando no diagrama apenas os pontos que lhe pare¸cam relevantes para esbo¸car de forma aproximada a caracter´ıstica de amplitude da resposta de frequˆencia do sistema. Justifique a resposta. (1.5 val) e) Desenhe a caracter´ıstica de fase assimpt´otica do sistema e indique sobre esta as diferen¸cas mais significativas que espera obter relativamente ao diagrama real. Justifique a resposta. Nota: Se n˜ao respondeu `a al´ınea b), considere nas restantes al´ıneas que o sistema tem um par de polos complexos conjugados com coeficiente de amortecimento ξ = 0.2. Problema 5 (6 val): Considere o sistema cont´ınuo representado na Figura 6, em que G(s) representa a fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema linear, invariante no tempo e causal, e K1 e K2 s˜ao ganhos.   - - - - 6 K1 G(s) K2 H(s) r(t) y(t) + − Figura 6: Sabe-se que: 1. O sistema G(s) est´a inicialmente em repouso. 2. A resposta impulsional do sistema G(s) ´e g(t) = δ(t) − 2u−1(t) . 3. A resposta ao escal˜ao unit´ario do sistema em cadeia fechada H(s) ´e caracterizada por: valor inicial da resposta: y(0+ ) = −2; valor final da resposta: y(+∞) = 4. (1 val) a) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia G(s). Justifique a resposta. (1 val) b) Classifique G(s) quanto `a estabilidade. Justifique a resposta. (1 val) c) Determine, em fun¸c˜ao dos ganhos K1 e K2, a fun¸c˜ao de transferˆencia H(s) do sistema em cadeia fechada. Justifique a resposta. (1 val) d) Dimensione K1 e K2, e obtenha a fun¸c˜ao de transferˆencia H(s). Justifique a resposta. (1 val) e) O sistema em cadeia fechada ´e de fase m´ınima? Justifique a resposta. (1 val) f) Determine a resposta em regime estacion´ario do sistema H(s) ao sinal de entrada escal˜ao unit´ario. Justifique a resposta. Nota: Se n˜ao respondeu `a al´ınea a), considere nas restantes al´ıneas que G(s) = s − 4 s . 4

Solu¸c˜oes: Problema 4: a) M = 20 dB, ω1 = 1000 rad/s. b) Polos complexos conjugados: ωn = 1 rad/s, ξ = 0.1. c) H(s) = −10−5 (s + 103 )2 s2 + 0.2s + 1 ; Alternativa: H(s) = −10−5 (s + 103 )2 s2 + 0.4s + 1 . d) ω |H(jω)|dB 10−2 10−1 100 101 102 103 104 105 −120 −80 −40 0 40 Alternativa: ω |H(jω)|dB 10−2 10−1 100 101 102 103 104 105 −120 −80 −40 0 40 e) ω argH(jω) 10−2 10−1 100 101 102 103 104 105 0 π π 2 Alternativa: ω argH(jω) 10−2 10−1 100 101 102 103 104 105 0 π π 2 Problema 5: a) G(s) = s − 2 s . b) Criticamente est´avel. c) H(s) = K1(s − 2) (1 + K1K2)s − 2K1K2 ; Alternativa: H(s) = K1(s − 4) (1 + K1K2)s − 4K1K2 . d) H(s) = −2 s − 2 s + 1 ; Alternativa: H(s) = −2 s − 4 s + 2 . e) Sistema de fase n˜ao m´ınima. f) yest(t) = 4u−1(t). 5

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