Teste 2 0809_2 (soluções)

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Published on March 11, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o teste / 1o exame – 27 de Junho de 2009 Dura¸c˜ao da prova: 3 horas N´umero: Nome: Parte I O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (1 val): Considere os sinais cont´ınuos x(t) e y(t) representados na Figura 1. E T E T −1 +1 −2 0 2 4 −1 +1 0 1 2 3 d d d d rr rr     ¡ ¡ ¡ ¡ t x(t) t y(t) Figura 1: Qual das seguintes express˜oes relaciona os dois sinais? i) y(t) = x(−2t + 2) 2 ii) y(t) = −x 1 2 t + 4 2−1/5 −2/5 iii) y(t) = x(−2t + 4) 2 iv) y(t) = x − 1 2 t + 2 21 −2/5 Problema 2 (2 val): Considere o SLIT causal cont´ınuo descrito pela fun¸c˜ao de transferˆencia H(s) = 50 (s + 2)2 (s2 + 2s + 102)(s + 1) . (1 val) a) Qual ´e a resposta estacion´aria do sistema `a entrada escal˜ao unit´ario? i) yest(t) = 1 2 e−t u−1(t) 2 ii) yest(t) = 2u−1(t) 2−2/5 1 iii) yest(t) = 100e−t sin 10t + π 5 u−1(t) 2 iv) yest(t) = 50u−1(t) 2−2/5 −1/5 (1 val) b) Utilizando o conceito de polo dominante, aproxime o sistema dado por um de ordem inferior: i) n˜ao ´e poss´ıvel 2 ii) H(s) ≃ 50 (s + 2)2 s2 + 2s + 102 21 −1/3 iii) H(s) ≃ 2 1 s + 1 2 iv) H(s) ≃ 100 s + 2 s2 + 2s + 102 2−1/3 −1/3 Problema 3 (1.5 val): Seja x(t) um sinal real e peri´odico com per´ıodo fundamental T0 = 1 s. Os coeficientes da expans˜ao em s´erie de Fourier deste sinal s˜ao: a3 = −a−3 = −j3 a4 = a−4 = 5 . Qual ´e o sinal cont´ınuo x(t)? i) x(t) = 6 sin(3πt) + 10 cos(4πt) 2 ii) x(t) = −j3 sin(3πt) + 5 cos(4πt) 2−1/2 −3/4 iii) x(t) = 6 sin(6πt) + 10 cos(8πt) 2 iv) x(t) = −j3 sin(6πt) + 5 cos(8πt) 23/2 −1/4 v.s.f.f. 1

Problema 4 (2 val): Na Figura 2 representam-se os mapas polos/zeros de quatro SLITs cont´ınuos. E ℜe(s) T ℑm(s) × ◦ ◦                                                      SLIT 1 E ℜe(s) T ℑm(s) × × ◦ ◦                                                      SLIT 2 E ℜe(s) T ℑm(s) × ◦ × ◦ ◦                                                                 SLIT 3 E ℜe(s) T ℑm(s) ×                                                                               SLIT 4 Figura 2: (1 val) a) Quais s˜ao os SLITs est´aveis? i) SLIT 1 2 ii) SLIT 2 2 iii) SLIT 3 2 iv) SLIT 4 2−2/5 −2/5 −1/5 1 (1 val) b) Quais s˜ao os SLITs causais? i) SLIT 1 2 ii) SLIT 2 2 iii) SLIT 3 2 iv) SLIT 4 2−1/5 1 −2/5 −2/5 Problema 5 (1.5 val): Na Figura 3 representa-se a resposta ao escal˜ao unit´ario de um SLIT causal de 2a ordem sem zeros. PSfrag t y(t) 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 Figura 3: (0.25 val) a) O coeficiente de amortecimento do sistema ´e superior a 1. Verdadeiro 2 Falso 2−1/4 1/4 (0.25 val) b) O ganho est´atico do sistema ´e 10. Verdadeiro 2 Falso 21/4 −1/4 (0.25 val) c) Na resposta do sistema ao escal˜ao unit´ario, o tempo de crescimento ´e superior a 1 s. Verdadeiro 2 Falso 2−1/4 1/4 (0.25 val) d) Na resposta do sistema ao escal˜ao unit´ario, a sobre-eleva¸c˜ao ´e superior a 50%. Verdadeiro 2 Falso 21/4 −1/4 (0.25 val) e) Na resposta do sistema ao escal˜ao unit´ario, o tempo de estabelecimento ´e superior a 1 s. Verdadeiro 2 Falso 21/4 −1/4 (0.25 val) f) O sistema tem 2 polos reais. Verdadeiro 2 Falso 2−1/4 1/4 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o teste / 1o exame – 27 de Junho de 2009 Dura¸c˜ao da prova: 3 horas N´umero: Nome: Parte II O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Resolva cada um dos problemas de resolu¸c˜ao livre em folhas de teste separadas. Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efectuados. Problema 6 (7 val): Considere o sistema cont´ınuo representado na Figura 4, de que se sabe o seguinte: E E Esistema 1 sistema 2 x(t) w(t) y(t) Figura 4: 1. O sistema 1 ´e linear e invariante no tempo. 2. A resposta de frequˆencia do sistema 1 ´e H1(jω) = e−jπω . 3. A rela¸c˜ao entrada/sa´ıda do sistema 2 ´e y(t) = 6w(3t) . 4. O espectro do sinal de entrada x(t), X(jω), tem a amplitude representada na Figura 5 e a fase arg X(jω) = 0 ∀ω . E T 2 1 −2 −1 0 1 2 ω |X(jω)| ¡ ¡ ¡¡d d   e e ee Figura 5: (1 val) a) Determine a rela¸c˜ao entrada/sa´ıda do sistema dado na Figura 4. Justifique a resposta. (2 val) b) Classifique o sistema dado quanto `a: 1. mem´oria 2. causalidade 3. linearidade 4. invariancia temporal 5. estabilidade. Justifique a resposta. (2 val) c) Esboce o espectro, Y (jω), do sinal de sa´ıda y(t). Justifique a resposta. (2 val) d) Pretende-se amostrar o sinal x(t). Escolha um ritmo de amostragem adequado ao sinal dado e esboce o espectro do correspondente sinal digital. Justifique a resposta. v.s.f.f. 3

Problema 7 (5 val): Considere o SLIT causal representado na Figura 6.   E E E E T H1(s) H2(s) H(s) r(t) y(t) + − Figura 6: Sabe-se o seguinte: 1. A fun¸c˜ao de transferˆencia do bloco H1(s) ´e H1(s) = K s em que K representa uma constante real. 2. O sistema H2(s) tem • 1 zero, • o valor inicial da resposta `a entrada escal˜ao unit´ario y(0+ ) = −1, e • a resposta de frequˆencia representada na Figura 7, de que se desconhecem os parˆametros M1 e M2 na caracter´ıstica de amplitude, e F1 e F2 na caracter´ıstica de fase. ω ω |H2(jω)|dBargH2(jω) 10−2 10−2 10−1 10−1 100 100 101 101 102 102 M1 M2 F1 F2 Figura 7: (2 val) a) Determine os parˆametros M1, M2, F1 e F2 que caracterizam a resposta de frequˆencia do sistema H2(s). Justifique a resposta. (1 val) b) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia H2(s). Justifique a resposta. (2 val) c) Que condi¸c˜ao deve satisfazer o ganho K que representa H1(s) para que o sistema em cadeia fechada seja est´avel e tenha tempo de estabelecimento ts < 3 s? Justifique a resposta. Nota: Se n˜ao respondeu `a al´ınea b), para responder `a al´ınea c) considere H2(s) = s s − 1 . 4

Solu¸c˜oes: Problema 6 a) y(t) = 6x(3t − π). b) Com mem´oria, n˜ao causal, linear, variante no tempo e est´avel. c) E T 4 2 −6 −3 0 3 6 ω |Y (jω)| ¡ ¡ ¡ ¡d d   e e e e E T 2π −2π −6 −3 0 3 6 ω arg Y (jω) r rr rr rr rrr d) Frequˆencia de amostragem: ωs > 4 rad/s. E T 2 ωs π −2π − 4π ωs 0 4π ωs 2π Ω |Xd(ejΩ )| · · · · · · ¡ ¡ ¡¡d d   e e ee ¡ ¡ ¡¡d d   e e ee ¡ ¡ ¡¡d d   e e ee arg Xd(ejΩ ) = 0 ∀Ω. Problema 7 a) M1 = −40 dB; M2 = 0 dB; F1 = π rad; F2 = 3π 2 rad. b) H2(s) = − s s + 1 . c) K < 0; Alternativa: K > 2. 5

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