Teste 2 0809_1 (soluções)

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Published on March 11, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o teste / 1o exame – 21 de Janeiro de 2009 Dura¸c˜ao da prova: 3 horas N´umero: Nome: Parte I O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (1 val): Seja y(n) = 1 n x(n) ; n = 0 1 ; n = 0 a sa´ıda de um sistema discreto ao sinal de entrada x(n). O sistema ´e invert´ıvel? Sim 2 N˜ao 2−1 1 Problema 2 (1.5 val): A transformada de Laplace do sinal y(t) = 3e−10t sin(5(t − 2))u−1(t − 2) ´e i) Y (s) = 15e−2s s2 + 25 ; ℜe(s) > 0 2 ii) Y (s) = 15e−2(s+10) s2 + 25 ; ℜe(s) > 0 2−0.5 −0.5 iii) Y (s) = 15e−2s (s + 10)2 + 25 ; ℜe(s) > −10 2 iv) Y (s) = 15e−2(s+10) (s + 10)2 + 25 ; ℜe(s) > −10 2−0.5 1.5 Problema 3 (1.5 val): Na Figura 1 representa-se o espectro Xd ejΩ do sinal digital xd(n) resultante da amostragem de um sinal cont´ınuo x(t) ao ritmo de π 3 rad/s. - 6 − 5π 2 − 3π 2 − π 2 π 2 3π 2 5π 2 1 · · · · · · Ω Xd ejΩ Figura 1: Qual ´e o sinal cont´ınuo x(t)? i) x(t) = sin π 12 t πt 2 ii) x(t) = 6 sin π 12 t πt 2−0.1 1.5 iii) x(t) = sin π 3 t πt 2 iv) x(t) = 6 sin π 3 t πt 2−0.4 −0.3 v) x(t) = sin π 2 t πt 2 vi) x(t) = 6 sin π 2 t πt 2−0.4 −0.3 v.s.f.f. 1

Problema 4 (1.5 val): A frequˆencia fundamental do sinal peri´odico cont´ınuo x(t) = sin(4πt) cos(6πt) ´e ω0 = π rad/s 2 ω0 = 2π rad/s 2 ω0 = 4π rad/s 2 ω0 = 6π rad/s 2−0.1 0.5 −0.2 −0.2 e os coeficientes n˜ao nulos da sua expans˜ao em s´erie de Fourier s˜ao i) a−2 = −a2 = j 1 2 ; a−3 = a3 = 1 2 2 ii) a−1 = 1 2 + j 1 2 ; a1 = 1 2 − j 1 2 2−0.2 −0.4 iii) a−5 = −a5 = j 1 4 ; a−1 = −a1 = −j 1 4 2 iv) a−1 = j 1 4 ; a1 = −j 1 4 21 −0.4 Problema 5 (1.5 val): Na Figura 2 representam-se as respostas ao escal˜ao unit´ario de trˆes SLITs causais de 2a ordem: sistemas A, B e C. Todos os sistemas tˆem o mesmo polo real duplo. Um dos sistemas n˜ao tem zeros, enquanto que os outros dois tˆem um zero. t y(t) Sistema A 0 0.5 1 0 5 10 15 t y(t) Sistema B 0 0.5 1 0 5 10 15 t y(t) Sistema C 0 0.5 1 0 5 10 15 Figura 2: (0.3 val) a) O sistema B n˜ao tem zeros. Verdadeiro 2 Falso 2−0.3 0.3 (0.3 val) b) O sistema C tem um zero que est´a mais pr´oximo do eixo imagin´ario do plano s do que o polo real duplo. Verdadeiro 2 Falso 20.3 −0.3 (0.3 val) c) A resposta ao escal˜ao unit´ario do sistema C tem sobre-eleva¸c˜ao superior a 50%. Verdadeiro 2 Falso 2−0.3 0.3 (0.3 val) d) O tempo de estabelecimento do sistema C ´e superior a 0.5 s. Verdadeiro 2 Falso 20.3 −0.3 (0.3 val) e) Os sistemas A e B n˜ao tˆem o mesmo ganho est´atico. Verdadeiro 2 Falso 2−0.3 0.3 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 2o teste / 1o exame – 21 de Janeiro de 2009 Dura¸c˜ao da prova: 3 horas N´umero: Nome: Parte II O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Resolva cada um dos problemas de resolu¸c˜ao livre em folhas de teste separadas. Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efectuados. Problema 6 (5 val): Considere o sistema cont´ınuo representado na Figura 3, de que se sabe o seguinte: - - -S1 S2 x(t) z(t) y(t) Figura 3: 1. O sistema S1 ´e caracterizado pela rela¸c˜ao entrada sa´ıda z(t) = x(3t) + 2 . 2. O sistema S2 ´e linear e invariante no tempo. 3. A resposta impulsional do sistema S2 ´e h2(t) = 1 2 [δ(t − 1) − δ(t + 1)] . (1.5 val) a) Diga, justificando, se o sistema S1 ´e 1. com mem´oria 2. causal 3. linear 4. invariante no tempo 5. est´avel. (1 val) b) Diga, justificando, se o sistema S2 ´e 1. com mem´oria 2. causal 3. est´avel. (1.5 val) c) Admita que o sinal de entrada x(t) ´e peri´odico. O sinal de sa´ıda y(t) tamb´em ´e peri´odico? Em caso afirmativo relacione os per´ıodos fundamentais. Justifique a resposta. (1 val) d) Considere agora o sistema representado na Figura 4. Este novo sistema ´e composto pela s´erie dos mesmos blocos S1 e S2 definidos anteriormente, mas colocados pela ordem inversa. Este sistema ´e equivalente ao sistema dado incialmente, i.e., os dois sistemas podem ser representados pelo mesmo modelo? Justifique a resposta. - - -S2 S1 x(t) y(t) Figura 4: v.s.f.f. 3

Problema 7 (8 val): Considere o SLIT causal representado na Figura 5, em que F(s) tem o diagrama de blocos representado na Figura 6 e K ´e um ganho.   - - - - 6 K F(s) H(s) r(t) y(t) + − Figura 5: - - -C(s) G(s) F (s) x(t) y(t) Figura 6: Na Figura 7 est˜ao representados os diagramas de Bode dos sistemas F(s) e G(s). ω ω m´odulo(dB)fase(rad) |G(jω)|dB |F(jω)|dB arg G(jω) arg F(jω) 10−2 10−2 10−1 10−1 100 100 101 101 102 102 103 103 104 104 −80 −40 0 0 40 − π 2 −π Figura 7: Parte I: Considere o sistema F(s) representado na Figura 6. (2 val) a) Obtenha a fun¸c˜ao de transferˆencia do bloco G(s). Justifique a resposta. (2 val) b) Obtenha a fun¸c˜ao de transferˆencia do bloco C(s). Justifique a resposta. (1.5 val) c) Qual ´e a resposta em regime estacion´ario do sistema F(s) ao sinal de entrada x(t) = [3 sin(0.08t) + 2 sin(t)] u−1(t) ? Justifique a resposta. Parte II: Considere agora o sistema em cadeia fechada representado na Figura 5. (1 val) d) Determine, em fun¸c˜ao do ganho K, a fun¸c˜ao de transferˆencia H(s). Justifique a resposta. (1.5 val) e) Por dimensionamento adequado do ganho K ´e poss´ıvel obter yest(t) = 10 u−1(t) para resposta estacion´aria do sistema `a entrada escal˜ao unit´ario? Justifique a resposta. Nota: Se n˜ao respondeu `as al´ıneas a) e/ou b), para responder `as al´ıneas d) e e) considere G(s) = 20(s + 1) (s + 5)(s + 40) e C(s) = 30 s . 4

Solu¸c˜oes: Problema 6 a) Com mem´oria, n˜ao causal, n˜ao linear (incrementalmente linear), variante no tempo e est´avel. b) Com mem´oria, n˜ao causal e est´avel. c) y(t) ´e peri´odico com T0y = 1 3 T0x . d) N˜ao porque S1 n˜ao ´e SLIT. Problema 7 a) G(s) = 10 s + 2 s(s + 100) . b) C(s) = 50 s + 10 . c) yest(t) ≃ 30 sin 0.08t − π 2 + 2 sin t − 3π 8 u−1(t). d) H(s) = 500K(s + 2) s3 + 110s2 + 500(2 + K)s + 1000K ; Alternativa: H(s) = 600K(s + 1) s3 + 45s2 + 300(1 + 3K)s + 600K . e) N˜ao. A resposta estacion´aria ´e sempre yest(t) = u−1(t). 5

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