Teste 1 1011_2 (soluções)

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Published on March 11, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 5 de Abril de 2011 Dura¸c˜ao da prova: 1.5 horas N´umero: Nome: Parte I O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (1 val): Considere o sinal discreto x(n) = 10 sin 5π 3 n + 7π 3 . O sinal x(n) ´e peri´odico? Em caso afirmativo, indique a sua frequˆencia fundamental. i) N˜ao 2−1/2 ii) Sim, com frequˆencia fundamental ii.1) π 3 rad 2 ii.2) 5π 3 rad 2 ii.3) 7π 3 rad 21 −1/4 −1/4 Problema 2 (3 val): Na Figura 1 representam-se os sinais cont´ınuos x1(t) e x2(t), sendo um deles um sinal par enquanto que o outro ´e um sinal ´ımpar. - 6 −2 2 t x1(t) −1 1 - 6 −2 2 t x2(t) −1 1 2 d d dd    d d Figura 1: (1 val) a) Qual ´e o sinal par? x1(t) 2 x2(t) 2−1 1 (2 val) b) Considere que os sinais dados representam as componentes par e ´ımpar de um sinal cont´ınuo x(t). Qual ´e o sinal x(t)? i) - 6 −2 2 t x(t) −2 2 ¡ ¡ ¡¡ 2 ii) - 6 −2 2 t x(t) −2 2 e e ee 2−2/3 2 iii) - 6 −2 2 t x(t) −2 2 e e ee 2 iv) - 6 −2 2 t x(t) −2 2 ¡ ¡ ¡¡ 2−2/3 −2/3 v.s.f.f. 1

Problema 3 (1 val): Seja y(n) = x(2n) ; n ≤ −1 x(n) ; n ≥ 0 a sa´ıda de um sistema discreto ao sinal de entrada x(n). O sistema ´e invert´ıvel? • n˜ao, um contra-exemplo ´e: i) x1(n) = δ(n + 1) x2(n) = δ(n + 3) 2 ii) x1(n) = u−1(n + 1) x2(n) = u−1(n + 3) 21 −1/3 • sim, o sistema inverso ´e: i) x(n) =    y n 2 ; n ≤ −1 y(n) ; n ≥ 0 2 ii) x(n) = y (2n) 2−1/3 −1/3 Problema 4 (2 val): Considere o sistema linear, invariante no tempo e causal descrito pela equa¸c˜ao diferencial d dt y(t) + 3y(t) = d dt x(t) + 5x(t) , em que x(t) e y(t) representam, respectivamente, os sinais de entrada e de sa´ıda. Sabe-se que o valor inicial da resposta `a entrada escal˜ao unit´ario ´e y(0) = 9 . Qual ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema? i) H(s) = 10s + 5 s + 3 2 ii) H(s) = s + 3 10s + 5 2−2/3 −2/3 iii) H(s) = s + 5 s + 3 2 iv) H(s) = s + 3 s + 5 22 −2/3 Problema 5 (4 val): Considere o sistema cont´ınuo linear e invariante no tempo representado na Figura 2. E E ESLIT1 SLIT2 x(t) z(t) y(t) Figura 2: Sabe-se que: 1. O SLIT1 ´e causal. 2. A fun¸c˜ao de fun¸c˜ao de transferˆencia do SLIT1 ´e H1(s) = 30 s + 2 . 3. A fun¸c˜ao de transferˆencia do SLIT2 ´e H2(s) = e−s . (1 val) a) O SLIT1 ´e est´avel? Sim 2 N˜ao 21 −1 (1 val) b) O SLIT2 ´e causal? Sim 2 N˜ao 21 −1 (2 val) c) Qual ´e a resposta no tempo, y(t), do sistema dado ao sinal de entrada x(t) = e−3t u−1(t) ? i) y(t) = 30 e−2t − e−3t u−1(t − 1) 2 ii) y(t) = 30 e−2(t−1) − e−3(t−1) u−1(t − 1) 2−2/3 2 iii) y(t) = 30 e−2t − e−3t u−1(t) 2 iv) y(t) = 30 e−2(t−1) − e−3(t−1) u−1(t) 2−2/3 −2/3 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 5 de Abril de 2011 Dura¸c˜ao da prova: 1.5 horas N´umero: Nome: Parte II O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efectuados. Problema 6 (9 val): Seja y(t) = +∞ t e3(t−σ) x(σ)dσ a resposta no tempo de um sistema cont´ınuo ao sinal de entrada x(t). (1.5 val) a) O sistema ´e linear? Justifique a resposta. (1.5 val) b) O sistema ´e invariante no tempo? Justifique a resposta. (2 val) c) Determine a resposta do sistema ao impulso unit´ario de Dirac. Justifique a resposta. (1 val) d) Classifique como verdadeira ou falsa a seguinte afirma¸c˜ao: A resposta deste sistema ao impulso unit´ario de Dirac caracteriza univocamente o seu com- portamento perante qualquer sinal de entrada. Justifique a resposta. (1.5 val) e) O sistema ´e est´avel? Justifique a resposta. (1.5 val) f) O sistema ´e causal? Justifique a resposta. Solu¸c˜ao: a) Sistema linear. b) Sistema invariante no tempo. c) x(t) = δ(t) −→ y(t) = e3t u−1(−t). d) Verdadeira porque o sistema ´e linear e invariante no tempo. e) Sistema est´avel. f) Sistema n˜ao causal. 3

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 5 de Abril de 2011 Dura¸c˜ao da prova: 1.5 horas N´umero: Nome: Parte I O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (1 val): Considere o sinal discreto x(n) = 20 cos 8π 3 n + π 3 . O sinal x(n) ´e peri´odico? Em caso afirmativo, indique a sua frequˆencia fundamental. i) N˜ao 2−1/2 ii) Sim, com frequˆencia fundamental ii.1) π 3 rad 2 ii.2) 2π 3 rad 2 ii.3) 8π 3 rad 2−1/4 1 −1/4 Problema 2 (3 val): Na Figura 1 representam-se os sinais cont´ınuos x1(t) e x2(t), sendo um deles um sinal par enquanto que o outro ´e um sinal ´ımpar. - 6 −2 2 t x1(t) −1 1 - 6 −2 2 t x2(t) −2 −1 1        d d    Figura 1: (1 val) a) Qual ´e o sinal ´ımpar? x1(t) 2 x2(t) 21 −1 (2 val) b) Considere que os sinais dados representam as componentes par e ´ımpar de um sinal cont´ınuo x(t). Qual ´e o sinal x(t)? i) - 6 −2 2 t x(t) −2 2 ¡ ¡ ¡¡ 2 ii) - 6 −2 2 t x(t) −2 2 e e ee 2−2/3 −2/3 iii) - 6 −2 2 t x(t) −2 2 e e ee 2 iv) - 6 −2 2 t x(t) −2 2 ¡ ¡ ¡¡ 2−2/3 2 v.s.f.f. 1

Problema 3 (1 val): Seja y(t) = x(3t) a sa´ıda de um sistema cont´ınuo ao sinal de entrada x(t). O sistema ´e invert´ıvel? • n˜ao, um contra-exemplo ´e: i) x1(t) = 1 ∀t x2(t) = −1 ∀t 2 ii) x1(t) = u−1(t − 1) x2(t) = u−1(t + 1) 2−1/3 −1/3 • sim, o sistema inverso ´e: i) x(t) = y2 t 3 2 ii) x(t) = y2 (3t) 21 −1/3 Problema 4 (2 val): Considere o sistema linear, invariante no tempo e causal descrito pela equa¸c˜ao diferencial d dt y(t) + 5y(t) = d dt x(t) + 3x(t) , em que x(t) e y(t) representam, respectivamente, os sinais de entrada e de sa´ıda. Sabe-se que o valor inicial da resposta `a entrada escal˜ao unit´ario ´e y(0) = 9 . Qual ´e a fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema? i) H(s) = 10s + 3 s + 5 2 ii) H(s) = s + 5 10s + 3 2−2/3 −2/3 iii) H(s) = s + 5 s + 3 2 iv) H(s) = s + 3 s + 5 2−2/3 2 Problema 5 (4 val): Considere o sistema cont´ınuo linear e invariante no tempo (SLIT) representado na Figura 2. E E ESLIT1 SLIT2 x(t) z(t) y(t) Figura 2: Sabe-se que: 1. O SLIT1 ´e causal. 2. A fun¸c˜ao de transferˆencia do SLIT1 ´e H1(s) = 40 s + 4 . 3. A fun¸c˜ao de transferˆencia do SLIT2 ´e H2(s) = e+s . (1 val) a) O SLIT1 ´e est´avel? Sim 2 N˜ao 21 −1 (1 val) b) O SLIT2 ´e causal? Sim 2 N˜ao 2−1 1 (2 val) c) Qual ´e a resposta no tempo, y(t), do sistema dado ao sinal de entrada x(t) = e−3t u−1(t) ? i) y(t) = 40 e−4(t+1) − e−3(t+1) u−1(t) 2 ii) y(t) = 40 e−4t − e−3t u−1(t) 2−2/3 −2/3 iii) y(t) = 40 e−4(t+1) − e−3(t+1) u−1(t + 1) 2 iv) y(t) = 40 e−4t − e−3t u−1(t + 1) 22 −2/3 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 5 de Abril de 2011 Dura¸c˜ao da prova: 1.5 horas N´umero: Nome: Parte II O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efectuados. Problema 6 (9 val): Seja y(t) = t −∞ e6(t−σ) x(σ)dσ a resposta no tempo de um sistema cont´ınuo ao sinal de entrada x(t). (1.5 val) a) O sistema ´e linear? Justifique a resposta. (1.5 val) b) O sistema ´e invariante no tempo? Justifique a resposta. (2 val) c) Determine a resposta do sistema ao impulso unit´ario de Dirac. Justifique a resposta. (1 val) d) Classifique como verdadeira ou falsa a seguinte afirma¸c˜ao: A resposta deste sistema ao impulso unit´ario de Dirac caracteriza univocamente o seu com- portamento perante qualquer sinal de entrada. Justifique a resposta. (1.5 val) e) O sistema ´e est´avel? Justifique a resposta. (1.5 val) f) O sistema ´e causal? Justifique a resposta. Solu¸c˜ao: a) Sistema linear. b) Sistema invariante no tempo. c) x(t) = δ(t) −→ y(t) = e6t u−1(t). d) Verdadeira porque o sistema ´e linear e invariante no tempo. e) Sistema inst´avel. f) Sistema causal. 3

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