Teste 1 0910_1 (soluções)

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Published on March 11, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 6 de Novembro de 2009 Dura¸c˜ao da prova: 2 horas N´umero: Nome: Parte I O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (1 val): Seleccione a exponencial complexa discreta peri´odica de maior per´ıodo fundamental. i) x(n) = ej π 4 n 2 ii) x(n) = ej π 3 n 2 iii) x(n) = ej π 2 n 2−1/5 −1/5 −1/5 iv) x(n) = ej 5π 8 n 2 v) x(n) = ej 2π 3 n 2 vi) x(n) = ejπn 21 −1/5 −1/5 Problema 2 (2 val): Considere o sinal cont´ınuo x(t) = 3 cos(2t) sin(πt) . (1 val) a) Classifique o sinal x(t) quanto `a paridade. Par 2 ´Impar 2 Nem par nem ´ımpar 2−1/2 1 −1/2 (1 val) b) Classifique o sinal x(t) quanto `a periodicidade. Peri´odico 2 N˜ao peri´odico 2−1 1 Problema 3 (1 val): Considere um sistema discreto causal. Na Figura 1 representa-se o sinal y1(n) obtido `a sa´ıda do sistema quando `a sua entrada se apresenta o sinal x1(n). −2 0 2 4 n x1(n) 1 1 2 3 2 −2 0 2 4 n 1 2 3 1 2 2 y1(n) −2 0 2 4 n x2(n) 1 1 3 2 3 3 ? n y2(n) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - - Figura 1: Sabe-se que a sa´ıda do sistema ao sinal de entrada x2(n) ´e um dos sinais dados em seguida. Seleccione esse sinal. i) −2 0 2 4 n y2(n) −2 −1 2 1 −1 1 • • • • • • • • • • • 2 ii) −2 0 2 4 n y2(n) 2 −1 −2 1 −1−1 • • • • • • • • • • • 2−1/3 −1/3 iii) −2 0 2 4 n y2(n) 2 1 −2 1 2 −1 • • • • • • • • • • • 2 iv) −2 0 2 4 n y2(n) 1 2 −1 −2 2 −1 • • • • • • • • • • • 2−1/3 1 v.s.f.f. 1

Problema 4 (1 val): As respostas no tempo de um sistema cont´ınuo aos sinais de entrada impulso unit´ario de Dirac (x1(t) = δ(t)) e escal˜ao unit´ario (x2(t) = u−1(t)) s˜ao, respectivamente, y1(t) = sin(2t) e y2(t) = 3 sin(2t) . O sistema ´e linear e invariante no tempo. Verdadeiro 2 Falso 2 N˜ao se pode concluir 2−1/2 1 −1/2 Problema 5 (1 val): Seja y(n) = ex(2n) a sa´ıda de um sistema discreto ao sinal de entrada x(n). O sistema ´e invert´ıvel? • n˜ao, um contra-exemplo ´e: i) x1(n) = δ(n + 1) x2(n) = δ(n − 1) 2 ii) x1(n) = u−1(n + 1) x2(n) = u−1(n − 1) 21 −1/3 • sim, o sistema inverso ´e: i) x(n) = ln y n 2 ; n par 0 ; n ´ımpar 2 ii) x(n) = ln y n 2 2−1/3 −1/3 Problema 6 (3 val): Seja H(s) = 5 s + 1 s2 + 8s + 15 a fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema cont´ınuo linear, invariante no tempo e causal. (1 val) a) Designando por x(t) e y(t), respectivamente, os sinais de entrada e de sa´ıda, qual ´e a equa¸c˜ao diferencial que descreve o sistema? i) 5 d dt y(t) + 5y(t) = d2 dt2 x(t) + 8 d dt x(t) + 15x(t) 2 ii) 5 d dt y(t) + 5y(t) = 15x(t) 2−1/3 −1/3 iii) d2 dt2 y(t) + 8 d dt y(t) + 15y(t) = 5 d dt x(t) + 5x(t) 2 iv) d2 dt2 y(t) + 8 d dt y(t) + 15y(t) = 5x(t) 21 −1/3 (1 val) b) Qual ´e a resposta y(t) do sistema ao sinal de entrada x(t) = e−2t ? i) y(t) = − 5 3 e−2t 2 ii) y(t) = − 5 3 e−2t + 5e−3t − 10 3 e−5t 21 −1/3 iii) y(t) = − 5 3 e−2t u−1(t) 2 iv) y(t) = − 5 3 e−2t + 5e−3t − 10 3 e−5t u−1(t) 2−1/3 −1/3 (1 val) c) Qual ´e a resposta impulsional h(t) do sistema? i) h(t) = −5e−3t u−1(t) 2 ii) h(t) = 5 e−3t − 2e−5t u−1(−t) 2−1/3 −1/3 iii) h(t) = −10e−5t u−1(−t) 2 iv) h(t) = 5 −e−3t + 2e−5t u−1(t) 2−1/3 1 Problema 7 (1 val): Seja Y (s) = e−5s (s + 2) s2 + 4s + 13 , ℜe(s) > −2 , a transformada de Laplace do sinal y(t). Qual ´e o sinal y(t)? i) y(t) = e−2(t−5) cos (3t) u−1(t) 2 ii) y(t) = e−2(t−5) cos (3(t − 5)) u−1(t − 5) 2−1/3 1 iii) y(t) = e−2t cos (3t) u−1(t) 2 iv) y(t) = e−2t cos (3(t − 5)) u−1(t − 5) 2−1/3 −1/3 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 6 de Novembro de 2009 Dura¸c˜ao da prova: 2 horas N´umero: Nome: Parte II O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Resolva cada um dos problemas de resolu¸c˜ao livre em folhas de teste separadas. Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efectuados. Problema 8 (5 val): Considere o sistema discreto linear e invariante no tempo representado na Figura 2, em que h1(n) = 1 3 n u−1(n) e h2(n) = δ(n − 1) representam respostas impulsionais. - - - 6 ? -   h2(n) h1(n) x(n) y(n) + + Figura 2: (1 val) a) Classifique o sistema h1(n) quanto `a estabilidade. Justifique a resposta. (1 val) b) Classifique o sistema h1(n) quanto `a causalidade. Justifique a resposta. (1 val) c) Classifique o sistema h2(n) quanto `a mem´oria. Justifique a resposta. (2 val) d) Determine a resposta do sistema, y(n), ao sinal de entrada x(n) = u−1(n) . Justifique a resposta. Solu¸c˜ao: a) Sistema est´avel. b) Sistema causal. c) Sistema com mem´oria. d) y(n) = 3 2 1 − 1 3 n+1 u−1(n) + u−1(n − 1). v.s.f.f. 3

Problema 9 (5 val): Considere a s´erie de dois sistemas cont´ınuos lineares e invariantes no tempo (SLIT) representada na Figura 3. - - -H1(s) H2(s) H(s) x(t) y(t) Figura 3: Sabe-se o seguinte: 1. O mapa polos/zeros e a regi˜ao de convergˆencia de H1(s) s˜ao os representados na Figura 4. E T ℜe(s) ℑm(s) ◦ ◦ × −2 −1 −j +j                                                                         Figura 4: 2. O sistema com fun¸c˜ao de transferˆencia H2(s) = 1 s + 2 ´e est´avel. 3. O sistema constitu´ıdo pela s´erie dos dois SLITs, H(s), ´e causal. 4. O valor final da resposta de H(s) `a entrada escal˜ao unit´ario ´e lim t→+∞ y(t) = 5 . (1 val) a) Classifique o sistema H1(s) quanto `a causalidade e `a estabilidade. Justifique a resposta. (2 val) b) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia H(s) da s´erie dos dois sistemas. Justifique a resposta. (1 val) c) O sistema H(s) ´e est´avel? Justifique a resposta. (1 val) d) Qual ´e a resposta estacion´aria de H(s) ao sinal de entrada escal˜ao unit´ario? Justifique a resposta. Solu¸c˜ao: a) Sistema n˜ao causal e inst´avel. b) H(s) = 2 s2 + 4s + 5 (s + 1)(s + 2) ; ℜe(s) > −1. c) Sistema est´avel. d) yest = 5u−1(t). 4

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