Teste 1 0809_2

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Information about Teste 1 0809_2

Published on March 11, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 5 de Maio de 2009 Dura¸c˜ao da prova: 2 horas N´umero: Nome: Parte I O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (4.5 val): Seja y(n) =    1 x(n) ; x(n) = 0 0 ; x(n) = 0 a sa´ıda de um sistema discreto ao sinal de entrada x(n). (0.5 val) a) Classifique o sistema quanto `a mem´oria. Com mem´oria 2 Sem mem´oria 2 (0.5 val) b) Classifique o sistema quanto `a causalidade. Causal 2 N˜ao causal 2 (0.5 val) c) Classifique o sistema quanto `a invariˆancia temporal. Invariante no tempo 2 Variante no tempo 2 (0.5 val) d) Classifique o sistema quanto `a linearidade. Linear 2 Incrementalmente linear 2 N˜ao linear 2 (0.5 val) e) Classifique o sistema quanto `a estabilidade. Est´avel 2 Inst´avel 2 (1 val) f) Classifique o sistema quanto `a invertibilidade. i) N˜ao invert´ıvel 2 ii) Invert´ıvel, e o sistema inverso ´e: ii.1) x(n)=    1 y(n) ; n=0 0 ; n=0 2 ii.2) x(n)=    1 y(n) ; y(n)=0 0 ; y(n)=0 2 ii.3) x(n)= 1 y(n) 2 (1 val) g) Sabendo que o sinal x(n) ´e ´ımpar, classifique o sinal y(n) quanto `a paridade. par 2 ´ımpar 2 nem par nem ´ımpar 2 v.s.f.f. 1

Problema 2 (2 val): Seja H(s) = s2 s2 + 5s + 6 ; ℜe(s) > −2 a fun¸c˜ao de transferˆencia de um SLIT cont´ınuo. (1 val) a) Qual ´e a resposta de frequˆencia do sistema? i) N˜ao existe 2 ii) H(jω) = ω2 ω2 − j5ω − 6 2 iii) H(jω) = ω2 ω2 + 5ω + 6 2 (1 val) b) Qual ´e a resposta do sistema ao sinal de entrada x(t) = 1, ∀t? i) y(t) = δ(t) + 4e−2t − 9e−3t u−1(t) 2 ii) y(t) = 1 12 ∀t 2 iii) y(t) = −2e−2t + 3e−3t u−1(t) 2 iv) y(t) = 0 ∀t 2 Problema 3 (2.5 val): O espectro de frequˆencia de um sinal peri´odico x(t) ´e X(jω) = jδ(ω + 3π) + 3δ(ω + 2π) + 5δ(ω) + 3δ(ω − 2π) − jδ(ω − 3π) . (0.5 val) a) O sinal x(t) ´e real? sim 2 n˜ao 2 (1 val) b) O sinal x(t) tem componente cont´ınua? i) N˜ao 2 ii) Sim, com amplitude ii.1) 5 2π 2 ii.2) 5 π 2 ii.3) 5 2 2 ii.4) 5 2 (1 val) c) A frequˆencia fundamental do sinal x(t) ´e i) 0 2 ii) π 2 iii) 2π 2 iv) 3π 2 e os coeficientes da sua expans˜ao em s´erie de Fourier s˜ao i) a0=5; a1=a−1=3; a2=−a−2=−j 2 ii) a0= 5 2π ; a1=a−1= 3 2π ; a2=−a−2=−j 1 2π 2 iii) a0=5; a2=a−2=3; a3=−a−3=−j 2 iv) a0= 5 2π ; a2=a−2= 3 2π ; a3=−a−3=−j 1 2π 2 Problema 4 (1 val): Classifique as seguintes afirma¸c˜oes: (0.5 val) a) Seja y(t) = 0 , ∀t a sa´ıda de um sistema cont´ınuo ao sinal de entrada x(t) = 0 , ∀t . O sistema ´e linear. Verdadeiro 2 Falso 2 N˜ao se pode concluir 2 (0.5 val) b) Seja y(t) = 3e−2t u−1(t + 1) a sa´ıda de um sistema cont´ınuo linear ao sinal de entrada x(t) = e−2t u−1(t) . O sistema ´e causal. Verdadeiro 2 Falso 2 N˜ao se pode concluir 2 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 5 de Maio de 2009 Dura¸c˜ao da prova: 2 horas N´umero: Nome: Parte II O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Resolva cada um dos problemas de resolu¸c˜ao livre em folhas de teste separadas. Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efectuados. Problema 5 (5 val): Considere um sistema discreto linear e invariante no tempo. Na Figura 1 repre- senta-se a resposta do sistema, y(n), ao sinal de entrada escal˜ao unit´ario. −2 0 2 n 1 2 2 y(n) · · · · · · • • • • • • • • • • • Figura 1: (1 val) a) Esboce a resposta impulsional do sistema. Justifique a resposta. (1 val) b) O sistema ´e causal? Justifique a resposta. (1 val) c) O sistema ´e est´avel? Justifique a resposta. (1 val) d) Determine a resposta do sistema ao sinal de entrada constante, i.e., ao sinal x(n) = K , ∀n em que K ´e uma constante real. Justifique a resposta. (1 val) e) O sistema ´e invert´ıvel? Justifique a resposta. Nota: Se n˜ao respondeu `a al´ınea a), considere para as restantes al´ıneas que h(n) = 2δ(n) − 3δ(n − 1) + δ(n − 3) . v.s.f.f. 3

Problema 6 (5 val): Considere o sistema representado na Figura 2. Os blocos SLIT1 e SLIT2 representam - - -SLIT1 SLIT2 x(t) w(t) y(t) Figura 2: sistemas lineares e invariantes no tempo. Sabe-se o seguinte: 1. O sistema constitu´ıdo pelos dois SLITs em s´erie ´e est´avel e tem o mapa polos/zeros representado na Figura 3. - 6 ℜe(s) ℑm(s) × × ◦ −1−4 −2 Figura 3: 2. O SLIT1 ´e causal, sendo descrito pela equa¸c˜ao diferencial d dt w(t) + aw(t) = b d dt x(t) + cx(t) , em que a, b e c s˜ao constantes reais. 3. A resposta do SLIT1 ao sinal de entrada escal˜ao unit´ario ´e w(t) = 1 2 1 + e−2t u−1(t) . 4. A express˜ao alg´ebrica da fun¸c˜ao de transferˆencia do SLIT2 ´e H2(s) = d s + d , em que d ´e uma constante real. (1 val) a) Classifique quanto `a causalidade o sistema constitu´ıdo pelos dois SLITs em s´erie. Justifique a resposta. (2 val) b) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia do SLIT1, e obtenha os parˆametros a, b e c que descrevem a equa¸c˜ao diferencial que representa o sistema. Justifique a resposta. (1 val) c) Qual ´e a resposta em regime estacion´ario do SLIT1 ao sinal de entrada escal˜ao unit´ario? Justifique a resposta. (1 val) d) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia do SLIT2. N˜ao se esque¸ca de indicar a respectiva regi˜ao de convergˆencia. Justifique a resposta. 4

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