Teste 1 0809_1

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Information about Teste 1 0809_1

Published on March 11, 2014

Author: e-for-all

Source: slideshare.net

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 12 de Novembro de 2008 Dura¸c˜ao da prova: 2 horas N´umero: Nome: Parte I O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Nos problemas de resposta m´ultipla as respostas tˆem cota¸c˜oes tais que o valor m´edio da cota¸c˜ao de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema n˜ao for respondido tem cota¸c˜ao de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cota¸c˜ao ser´a a soma das cota¸c˜oes das respostas escolhidas. Problema 1 (2 val): Considere o sinal cont´ınuo x(t) = sin(3t) + 5 sin(πt) . (1 val) a) Classifique o sinal x(t) quanto `a periodicidade. i) N˜ao Peri´odico 2 ii) Peri´odico, com per´ıodo fundamental T0 = 2 2 T0 = 2π 3 2 T0 = 2π 2 (1 val) b) Classifique o sinal x(t) quanto `a paridade. par 2 ´ımpar 2 nem par nem ´ımpar 2 Problema 2 (2 val): Sejam x(t) e y(t), respectivamente, os sinais de entrada e de sa´ıda de um sistema cont´ınuo, cujas transformadas de Fourier se relacionam pela seguinte equa¸c˜ao: Y (jω) = e−j5ω X (j2(ω − 10)) . O espectro do sinal x(t) ´e X(jω) = 2 4 + jω . Qual ´e o sinal y(t)? i) y(t) = e−(2−j5)(t−5) u−1(t − 5) 2 ii) y(t) = e−(2−j10)(t−10) u−1(t − 10) 2 iii) y(t) = e−(2−j5)(t−10) u−1(t − 10) 2 iv) y(t) = e−(2−j10)(t−5) u−1(t − 5) 2 Problema 3 (2 val): O espectro de frequˆencia de um sinal x(t) ´e X(jω) = e|ω−5| + 5πδ(ω) . (1 val) a) O sinal x(t) ´e real? sim 2 n˜ao 2 (1 val) b) O sinal x(t) tem componente cont´ınua? Em caso afirmativo indique a sua amplitude no dom´ınio do tempo. i) N˜ao 2 ii) Sim, com amplitude ii.1) 2 2 ii.2) 5 2 2 ii.3) 5π 2 2 ii.4) 2π 2 v.s.f.f. 1

Problema 4 (3 val): Na Figura 1 representa-se a resposta impulsional de um SLIT cont´ınuo. - 6 −1 +1 0 1 2 3 ? t h(t) Figura 1: (0.5 val) a) Classifique o sistema quanto `a mem´oria. com mem´oria 2 sem mem´oria 2 (0.5 val) b) Classifique o sistema quanto `a causalidade. causal 2 n˜ao causal 2 (0.5 val) c) Classifique o sistema quanto `a estabilidade. est´avel 2 criticamente est´avel 2 inst´avel 2 (1.5 val) d) Qual ´e a resposta do sistema ao sinal de entrada x(t) = u−1(t) ? i) - 6 −1 +1 0 1 2 3 · · ·Q Q Q   t y(t) 2 ii) - 6 −1 +1 0 1 2 3 Q Q Q   t y(t) 2 iii) - 6 −1 +1 0 1 2 3 · · ·  Q Q Q t y(t) 2 iv) - 6 −1 +1 0 1 2 3   Q Q Q t y(t) 2 v) - 6 −1 +1 0 1 2 3 ? t y(t) 2 vi) - 6 −1 +1 0 1 2 3 t y(t) 2 Problema 5 (1 val): Classifique como verdadeira ou falsa a seguinte afirma¸c˜ao: A resposta de um sistema discreto a qualquer sinal de entrada ´e sempre zero no instante n = 0. O sistema n˜ao ´e invert´ıvel. Verdadeiro 2 Falso 2 2

Instituto Superior T´ecnico Sinais e Sistemas 1o teste – 12 de Novembro de 2008 Dura¸c˜ao da prova: 2 horas N´umero: Nome: Parte II O teste tem uma parte de resposta m´ultipla (Parte I) e uma parte de resolu¸c˜ao livre (Parte II) Resolva cada um dos problemas de resolu¸c˜ao livre em folhas de teste separadas. Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os c´alculos efectuados. Problema 6 (4 val): Considere um sistema discreto linear e invariante no tempo. Na Figura 2 repre- sentam-se os sinais, y1(n), y2(n) e y3(n), obtidos `a sa´ıda do sistema quando na entrada se apresentam os sinais x1(n), x2(n) e x3(n), respectivamente. −2 0 2 n x1(n) 1 2 3 2 −2 0 2 n 1 2 2 y1(n) −2 0 2 n x2(n) 2 3 2 −2 0 2 n 2 3 y2(n) −2 0 2 n x3(n)3 2 3 3 −2 0 2 n 2 3 y3(n) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •- - - Figura 2: (1 val) a) O sistema ´e causal? Justifique a resposta. (1 val) b) O sistema tem mem´oria? Justifique a resposta. (1 val) c) O sistema ´e invert´ıvel? Justifique a resposta. (1 val) d) Esboce a resposta impulsional do sistema. Justifique a resposta. v.s.f.f. 3

Problema 7 (6 val): Considere o sistema representado na Figura 3. Os blocos SLIT1 e SLIT2 representam - - -SLIT1 SLIT2 x(t) w(t) y(t) Figura 3: sistemas lineares e invariantes no tempo. Sabe-se o seguinte: 1. A resposta do sistema SLIT1 ao sinal de entrada x(t) = e4t u−1(−t) ´e w(t) = 2e4t u−1(−t) − e−2t u−1(t) . 2. O SLIT2 ´e causal, sendo descrito pela equa¸c˜ao diferencial d dt y(t) + ay(t) = w(t) , em que a representa uma constante real. 3. Com condi¸c˜ao inicial y(0) = 1, a resposta do SLIT2 ao sinal de entrada w(t) = u−1(t) ´e y(t) = 1 3 + 2 3 e−3t u−1(t) . (2 val) a) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia do SLIT1. N˜ao se esque¸ca de indicar a respectiva regi˜ao de convergˆencia. Justifique a resposta. (0.5 val) b) Classifique o SLIT1 em rela¸c˜ao `a estabilidade e `a causalidade. Justifique a resposta. (0.5 val) c) Qual ´e a resposta em regime transit´orio do SLIT1 ao sinal de entrada x(t) dado? Justifique a resposta. (2 val) d) Determine o parˆametro a que caracteriza a equa¸c˜ao diferencial que descreve o SLIT2, e obtenha a correspondente fun¸c˜ao de transferˆencia. Justifique a resposta. (1 val) e) Determine a fun¸c˜ao de transferˆencia da s´erie dos 2 sistemas. N˜ao se esque¸ca de indicar a respec- tiva regi˜ao de convergˆencia. Justifique a resposta. Nota: Se na al´ınea d) n˜ao determinou o parˆametro a, na al´ınea e) considere a = 5. 4

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