TeoriaMatrices

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Published on January 18, 2009

Author: 5665

Source: authorstream.com

Slide 1: Teoría de Matrices Colección Matemáticas para la Administración - Carlos Mario Morales C Siguiente Salir Slide 2: Teoría de Matrices Las matrices constituyen un instrumento poderoso para tratar con los sistemas lineales. Aquí se presenta la definición de matriz, las operaciones con matrices, y define el concepto de determinantes. Definición de Matriz Una matriz A se define como un arreglo rectangular de números ordenados en filas (m) y columnas (n). De esta forma una matriz de m x n se escribe como: A = Si m = n se dice que la matriz es cuadrada. Notación de una matriz: De manera abreviada las matrices se denotan con una letra mayúscula acompañada de subíndices que indican el número de filas por el número de columnas. Así por ejemplo para la matriz de la definición será: Amxn y la notación indica que se trata de una matriz A de m filas y n columnas. Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 3: En forma extensa, las matrices se denotan indicando todos los elementos que la componen entre corchetes, ubicados en la posición que ocupan en el arreglo. B = Los elementos se denotan con letras minúsculas acompañados de subíndices que indican la fila y la columna en la cual se encuentra ubicado. Así por ejemplo el elemento b32 indica que se trata del elemento b ubicado en la fila 3 con la columna 2. Para la matriz que se indica es b32 es 34. Matrices Especiales. Matriz Diagonal: La matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero. Es decir, si la Matriz CixJ es una matriz diagonal todos los elementos cij = 0 para i ? j. Ejemplo: C= Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 4: Matriz Escalar: La matriz escalar es una matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales. Es decir, que si la Matriz DixJ es una matriz escalar todos los elementos dij son iguales para i = j. Ejemplo: D= Matriz Identidad: La matriz identidad es una matriz escalar donde los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1. Es decir, que si la Matriz IixJ es una matriz identidad todos los elementos iij = 1 para i = j. Ejemplo: I= Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 5: Transpuesta de una matriz Sea una matriz M= [mij], es decir de orden ixj; se define su transpuesta como la matriz MT= [mji]. Es decir, que la transpuesta será una matriz de orden jxi, cuyos elementos serán mji. En la práctica la transpuesta se obtiene intercambiando las filas y las columnas de la matriz original. Ejemplos: ¿Hallar JT ? Si J4x3= Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente De acuerdo a la definición JT será del orden 3x4 y las filas se convierten en columnas y estas a su vez en filas, así: JT = Nótese que: j32 = 3 = jT23; j42 = 0 = jT24 ; j22 = 5 = jT22 La transpuesta de la transpuesta es la matriz original. (JT )T= J= Slide 6: ¿Hallar ET? Si E4x1 = ¿Hallar GT? Si G1x1 = Igualdad de matrices Dos matrices A y B son iguales si se cumple que: A y B son del mismo orden y Todos los elementos aij = bij Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente De acuerdo a la definición ET será del orden 1x4; las filas se convierten en columnas y la columna a su vez en una fila, así: ET = De acuerdo a la definición GT será del orden 1x1; así: GT = A es igual a B si y solo si x=8 y y=7 Slide 7: Operaciones entre matrices Suma de matrices Si A y B son matrices del mismo orden mxn, entonces se puede definir la suma de A + B como la matriz C de orden mxn y cuyos elementos cij serán: cij = aij + bij Ejemplos: Sumar las matrices A y B. Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Ya que A y B tienen igual orden, las matrices se pueden sumar. + = = Es decir: A3x3 +B3x3 = C3x3, los elementos de C serán: cij = aij+bij Slide 8: b) Sumar las matrices C y D. Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Ya que C y D tienen igual orden, las matrices se pueden sumar. Es decir: C4x5 +D4x5 = E4x5, los elementos de E serán: eij = cij+dij Slide 9: Multiplicación escalar Si A = [aij] es una matriz de mxn y ? es un número real cualquiera, entonces el múltiplo escalar de A por ? (?A), es una matriz B = [bij] de mxn, donde: bij = ?aij donde 1 < i < m; y 1< j < n . Ejemplos: Si la matriz C representa los costos de tres productos en dos ciudades. Encuentre la matriz de los precios de venta de los productos si el fabricante exige un margen de utilidad del 40%. Matriz de Costos= C= Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Para hallar la matriz de precios de venta de los productos se debe multiplicar cada costo por el factor 1.4. Es decir, se debe multiplicar la matriz de costos por el escalar ? = 1.4. C= = Matriz de precios= P = Slide 10: Ejemplos: Si la matriz P representa los precios de lista de dos productos en tres ciudades. Encuentre la matriz de los precios de venta de los productos si el comerciante ofrece un descuento del 20% sobre el precio de lista. Matriz Precios de Lista = P= Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Para hallar la matriz de precios de venta de los productos se debe multiplicar cada precio de lista por el factor 0.8. Es decir, se debe multiplicar la matriz de costos por el escalar ? = 0.8 P= De esta manera la matriz de precios de venta es P´ = Slide 11: Diferencia entre matrices La diferencia entre matrices no esta definida directamente. No obstante, considerando la definición de la suma y la multiplicación escalar se puede definir la diferencia entre matrices como la suma de dos matrices, en la cual la segunda esta multiplicada por el escalar ? = -1. Es decir, la diferencia de A y B, siendo ellas del mismo orden, se define como: A + (-1)B. Multiplicación de matrices Si A es una matriz de orden mxn y B una matriz de orden kxp, se puede definir la multiplicación de AxB solo si n es igual a k (n= k). Es decir si el número de columnas de A es igual al número de filas de B En caso de que n=k, entonces, el producto de AxB = C será del orden mxp y los elementos de C = [cij] son iguales a la sumatoria del producto de los elementos de la fila i de A por los elementos de la columna j de B. Es decir: cij = ? aik . bkj (1) Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 12: Ejemplo Sean las matrices M y G. Hallar el producto de M por G Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Solución Es posible hallar el producto de M por G ya que el número de columnas de M (3) es igual al número de filas de G (3). De otro lado, el orden de MG = C será 2x2 y los elementos de C, serán: c11 = [(15x10)+(10x0)+(5x3)] = 165 c12 = [(15x1)+(10x2)+(5x5)] = 60 c21 = [(4x10)+(0x0)+(3x3)] = 49 c22 = [(4x1)+(0x2)+(3x5)] = 19 Slide 13: Propiedades de la suma de matrices Sean las matrices A, B, C, y D de orden m x n, se puede comprobar que: 1. A + B = B + A –Propiedad Conmutativa- 2. A + (B + C) = (A + B) + C –Propiedad Asociativa- 3. Existe una Matriz O de orden m x n, tal que: A + O = A; O se denomina la matriz neutro aditivo. 4. Para cada matriz A existe una matriz D de m x n, tal que A + D = O; es decir que D = – A, donde –A se denomina Inverso aditivo o negativo de A Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 14: Propiedades de la multiplicación de matrices Sean las matrices A, B y C son del orden apropiado para ser multiplicadas, entonces, se puede comprobar que: A(BC) = (AB)C –Propiedad asociativa de la multiplicación- A(B+C) = AB +BC –Propiedad distributiva- (A+B)C = AC +BC –Propiedad distributiva- Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 15: Propiedades de la multiplicación escalar Si ? y ? son números reales y A, B son matrices del orden apropiado para las operaciones que se plantean, entonces se puede demostrar que: ?(?A) = (??)A 2. (? + ?)A = ?A + ?A 3. ?(A + B) = ?A + ?B 4. A(?B) = ?(AB) = (?A)B Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 16: Propiedades de la transpuesta Si ? es un número real y A, B son matrices del orden apropiado para las operaciones que se plantean, entonces se puede demostrar que: 1. (AT)T = A 2. (A + B)T = AT + BT 3. (AB)T = BTAT 4. (?A)T = ?AT Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 17: Matriz Escalonada por Filas (MERF) Definición Una matriz de m x n esta en forma Escalonada Reducida por Filas cuando satisface las siguientes propiedades: 1. Todas las filas que constan solo de ceros, si las hay, están en la parte inferior de la matriz 2. Al leer de izquierda a derecha, la primera entrada distinta de cero en cada fila (que no esté formado completamente por ceros) es un 1, llamado la entrada principal de su fila 3. Si las filas i y i+1 son dos filas sucesivas que no consten completamente de ceros entonces la entrada principal de la fila i+1 esta a la derecha de la entrada principal de la fila i 4. Si la columna contiene una entrada principal de alguna fila, entonces el resto de las entradas de esta columna son iguales a cero. Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 18: Transformación de una matriz en una Matriz Escalonada Reducida por Filas Para transformar una matriz en una Matriz Escalonada Reducida por Filas se pueden realizar las siguientes tres operaciones elementales sobre la matriz A: Intercambiar filas de la matriz A, es decir, pasar la fila i a la posición de la fila j y a su vez pasar la fila j a la posición de la fila i. Multiplicar cualquier fila por un escalar ? ? 0 Sumar ? veces la fila i de la matriz A a la fila j, i ? j. Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 19: INVERSA DE LA MATRIZ Una matriz A de orden pxp es invertible si existe una matriz B de orden pxp, tal que: AB = BA = Ip Recuérdese la definición de Matriz Identidad. Si no existe la matriz inversa de A, entonces se dice que A es singular o no invertible. Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 20: Calculo de la Matriz Inversa A continuación se expone un procedimiento práctico para hallar la inversa de la matriz. Paso 1. Formar la matriz [A | In], la cual se obtiene de aumentar la matriz A con la matriz In. Paso 2 Se transforma la Matriz del paso 1 a una Matriz Escalonada Reducida. Paso 3 Si la Matriz Escalonada Reducida que se obtiene en el paso 2 es [C|D], si C = In entonces D será la Inversa de A; por el contrario si C no es igual In entonces se puede afirmar que A no tiene Inversa. Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 21: Propiedades de la matriz Inversa Si A y B son matrices no singulares o invertibles y A-1 y B-1 son las inversas respectivamente se puede probar que:: (A-1)-1 = A (AB)-1 = B-1A-1 (AT)-1 = (A-1)-T . Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 22: DETERMINANTES Por definición a toda matriz cuadrada le podemos asignar un número real el cual se denomina Determinante. El número se define como una serie de operaciones que se realizan en las diagonales de la matriz. A continuación se hace una definición práctica que permite comprender el concepto y hacer uso de él en las aplicaciones a las que se recurre en el curso de métodos cuantitativos para administración y contaduría Definición Definición 1: Determinante de una matriz de 2x2; Sea X la siguiente matriz, Se define el determinante, como: det (X)= ¦X¦ = X1.X4 – X2.X3 Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 23: DETERMINANTES Definición 2 Determinante de una matriz de 3x3; Sea X la siguiente matriz, Se define el determinante, como: det (X)= ¦X¦ =(X1.X5.X9 + X2.X6.X7 + X3.X2.X8 )-( X2.X4.X9 + X1.X6.X8 + X3.X5.X7) De manera práctica esto se puede obtener aumentando las dos primeras columnas y sobre la matriz resultante se calcula el determinante como la suma de los productos de las diagonales de izquierda a derecha, menos la suma de los productos de las diagonales de derecha a izquierda Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 24: Propiedades de los Determinantes 1. Se puede demostrar que los determinantes de una matriz y de su transpuesta son iguales; es decir Det (A) = Det (AT) 2. Si la matriz B se obtiene de la matriz A al intercambiar dos filas o dos columnas de A, entonces se puede demostrar que Det(B) = -Det(A) 3. Se puede demostrar que si dos filas o dos columnas de A son iguales, entonces Det(A) = 0. 4. Se puede demostrar que si una fila o columna de una matriz A consta solo de ceros, entonces Det (A) = 0 5. Si B se obtiene de multiplicar una fila o columna de A por un número real ?, entonces Det (B) = ?Det(A) 6. Si B se obtiene de sumar un múltiplo de una fila o columna s a una fila o columna r (r?s) de una matriz A, entonces el Det(B) = Det(A) 7. Se puede demostrar que el determinante del producto de dos matrices A, B, es igual al producto del determinante de cada una de ellas, es decir: Det(A.B) = Det(A).Det(B) 8. Se puede demostrar que si A tiene inversa, es decir que es no singular, entonces Det(A) ? 0. Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 25: Créditos Producción: Mora Proyectos © 2008 Realizado con: Microsoft PowerPoint 2007 Dirección: Carlos Mario Morales C Colección: Matemáticas para la Administración y los Negocios Microsoft PowerPoint 2007 es una marca registrada ©2007

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