teoria de probabilidad Jesus Daniel Garcia suarez

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Published on July 23, 2014

Author: jdaniel606

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para la profesora yenni

República bolivariana de Venezuela Ministerio de Educación Instituto universitario politécnico Santiago Mariño Cátedra : Estadística Profesora : Yenny ATIAS Teoría de la Probabilidad Realizado por : Jesus Daniel Garcia Suarez C.I 24362004

Introducción El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos. A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinarlos valores de probabilidad La incertidumbre es la falta de conocimiento seguro o fiable sobre una cosa especialmente cuando crea inquietud se presenta debido a la aleatoriedad del fenómeno que se observe, pero además por el desconocimiento del verdadero estado del sistema lo cual equivale a ignorar todos los parámetros que determinan ese estado de naturaleza.

Teoría de la probabilidad La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Muchos fenómenos naturales son aleatorios, pero existen algunos como el lanzamiento de un dado, donde el fenómeno no se repite en las mismas condiciones, debido a que la características del material hace que no exista una simetría del mismo, así las repeticiones no garantizan una probabilidad definida. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí. En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en lateoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros. Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones). Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática La autodefinición axiomática de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente autoprobable) se define la probabilidad estimada u honírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando es muy grande. La probabilidad de un suceso es unamedida que se escribe como

, y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente. La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen. Definición clásica de probabilidad La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará. La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n. La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1. La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde: Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1 Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por , es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por , etcétera, son elementos del espacio . Probabilidad discreta Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.

Probabilidad continua Una variable aleatoria es una función medible que da un valor numérico a cada suceso en . Función de densidad La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densidad. Espacio muestral Un espacio muestral S asociado a un experimento aleatorio, es un conjunto tal que: a) Cada elemento de S representa un resultado del experimento b) Cualquier forma de verificar el experimento da un resultado que corresponde a un elemento de S y sólo uno. Ejemplo: si lanzamos dos monedas, una de 1 Euro y otra de 50 céntimos, el espacio muestral será siendo C la cara de una moneda y X el reverso de la misma o cruz. Sucesos Sea S un espacio muestral dado. Un suceso es un subconjunto de S. Así si en un experimento el espacio muestral es siendo n finito, un suceso puede ser 1) Suceso simple es un subconjunto unitario de S. Esto es, habrá n sucesos simples , , …,

El suceso no es un suceso simple, sino que es la unión de dos sucesos simples: 2) Suceso imposible.- El suceso vacío o suceso imposible es el que no tiene ningún elemento y se le llama 3) Suceso seguro.- Es el que ocurre siempre en un determinado experimento. O sea que es el espacio muestral. Suceso seguro = S 4) Sucesos incompatibles o disjuntos.- Son los que no pueden ocurrir a la vez. Por ejemplo si , , E y F son incompatibles, no pueden ocurrir a la vez y entonces . Sin embargo los sucesos E y no son incompatibles, cuando ocurre está ocurriendo E y G y en este caso 5) Sucesos contrarios o complementarios Dado un suceso cualquiera E, el suceso contrario o complementario es el que ocurre cuando no ocurre E. O sea que, además de ser incompatibles, o sea , se complementan para formar el espacio muestral, o sea que La probabilidad de un suceso 1) Probabilidad.- A cada suceso simple le asignamos un número representado por y denominado probabilidad del suceso . Estos números (probabilidades) pueden asignarse arbitrariamente, con tal que satisfagan las siguientes condiciones: a) La probabilidad de cada suceso simple es un número no negativo, es decir siendo b) La suma de las probabilidades asignadas a todos los sucesos simples de un espacio muestral es 1. Esto es:

Por tanto siendo 2) Probabilidad del suceso imposible.- El suceso imposible tiene de probabilidad 0. 3) Probabilidad de un suceso.- Si E es la unión de dos o más sucesos simples, la probabilidad de E, representada por P(E) es la suma de las probabilidades de los sucesos simples cuya unión es E. Algunos teoremas de probabilidades 1) Probabilidad del suceso seguro.- La probabilidad del suceso seguro es 1, es decir Demostración 2) Si E y F son sucesos tales que (E está incluido o es subconjunto de F, o sea que si ocurre E ocurre también F, , E implica F) En resumen: Si 3) Probabilidad de un suceso cualquiera.- Siendo E un suceso cualquiera 4) Probabilidad de la unión de dos sucesos.- Si los sucesos son incompatibles en ese caso Si son sucesos incompatibles

Ejemplos El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas: Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es: Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadasde este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%). Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100% Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total. Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas: a) Amarilla: probabilidad del 50%. b) Verde: probabilidad del 30% c) Roja: probabilidad del 20%.

Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es: a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%. b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60% c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%. Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?: 1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100% 2.- Aplicamos la fórmula: Luego, P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54 Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%. Ejercicio 2º: Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos: a) Carlos, con una probabilidad del 60% b) Juan, con una probabilidad del 30% c) Luis, con una probabilidad del 10% En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente: a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%. b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%. c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%. En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:

1.- Los tres candidatos forman un sistema completo 2.- Aplicamos la fórmula: P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15 Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro amigo...

Conclusión Este trabajo está realizado para las personas que quieran conocer sobre la teoría de probabilidad y utilizar el método de la probabilidad en distintas formas de nuestra vida, La probabilidad forma una parte cierta en un resultado. La teoría de probabilidad es una disciplina especial y su dominio es aplicable a todas las ramas del saber, basándose en el convencimiento de que el grado de indeterminación de la ocurrencia de un suceso aleatoria se pueda determinar.

Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_probabilidad http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-24-est.htm http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/ayudas/probabilidad/probabilidad.htm http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-24-est.htm http://www.uv.es/ceaces/proble/proba/prob2.htm

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