Tema15 Lineas Transmisión (UNED)

50 %
50 %
Information about Tema15 Lineas Transmisión (UNED)

Published on January 9, 2016

Author: camar900

Source: slideshare.net

1. TEMA XV LINEAS DE TRANSMISIÓN 1

2. 15.1. OBTENCIÓN Y ANÁLISIS EN MODO NORMAL DE LAS ECUACIONES La línea de transmisión más utilizada en un principio fue la de dos hilos paralelos, de- nominada línea de Lecher, que fue quien estableció sus propiedades a partir de los trabajos experimentales precisos. Esta linea se utilizó inicialmente para transmitier señales de baja frecuencia, con lo cual su función principal era la de simple conexión entre sistemas que, por otra parte, no eran muy distantes. Posteriormente, la transmisión de señales por estas lineas, y por otras de tipo coax- ial, etcétera, se realizó a frecuencias más elevadas, donde los fenómenos de inducción y desplazamiento cobran más importancia que los simplemente resistivos o conductivos, es- tableciéndose una fuerte analogía con la propagación de ondas libres. De esta forma, desde un punto de vista formal, se obtuvo al mismo tiempo una conexión entre la teoría de cir- cuitos desarrollada inicialmente y el tratamiento en términos del campo electromagnético que es el apropiado en el estudio de las ondas. La forma práctica más generalizada de utilización de las líeas de transmisión es operando en su modo fundamental que es el TEM. Dado que la distribución transversal del camo electromagnético ya se ha visto que a efectos formales se reduce, para estos modos, a la resolución de un problema tipo estático, nos centraremos en este tema en el análisis de la propagación en la dirección longitudinal, aspecto que encuentra un tratamiento apropi- ado en términos de la teoría de circuitos de parámetros distribuidos. Desde este punto de vista se caracteriza a la línea en términos de su capacidad y autoinducción por unidad de longitud equivalentes, asociadas respectivamente a las energías de tipo eléctrico y mag- nético que el sistema puede almacenar por unidad de longitud, así como por la resistencia asociada a los cables o conductancia entre cables, también por unidad de longitud, parámet- ros asociados a la disipación energética que tendrá lugar en la línea. Conviene destacar, de acuerdo con lo estudiado en el tema anterior, que este análisis será también útil para los problemas de propagación en guías, debido a la línea equivalente que puede asociarse a cada modo de transmisión. Aunque ya se ha visto el formalismo general, vamos a particularizar la obtención de las ecuaciones de las líneas de transmisión para el caso de ondas TEM, y posteriormente en este apartado desarrollaremos su estudio en términos de los modos normales. Ecuaciones de las líneas de transmisión Particularizando las ecuaciones (14.4) del tema anterior para la situación correspondi- ente a ondas TEM, Ez = 0 y Hz = 0, una vez multiplicadas vectorialmente por uz, se obtiene ∂Et ∂z = µuz × ∂Ht ∂t (15.1) ∂Ht ∂z = −²uz × ∂Et ∂t En la práctica el medio entre conductores suele ser dieléctrico no magnético, µ = µo, mientras que dicho dieléctrico en principio tendrá una pérdidad que vendrán caracterizadas por una permitividad compleja ² = ²0 − j²00 . La parte imaginaria ligada a las pérdidas, frecuentemente se suele representar en términos de una conductividad equivalente que, como fácilmente se comprueba, vendrá dada por 2

3. σ = ω²00 (15.2) quedando la segunda de las ecuaciónes (15.1) en la forma ∂Ht ∂z = −²0 uz × ∂Et ∂t − σuz × Et Separando las dependencias del campo en la forma usual: Ht = ht(x1, x2)i(z, t) (15.3) Et = et(x1, x2)v(z, t) Las expresiones (15.1) toman la forma et ∂v ∂z = µ (ut × ht) ∂i ∂t (15.4) ht ∂i ∂z = −²0 (uz × et) ∂v ∂t − σuz × etv Desde un punto de vista formal, puede suponerse que et es el campo debido a un po- tencial unidad entre conductores (constante y uniforme a lo largo de toda la línea). Con referencia a un sistema tipo como el de la figura 15.1 el potencial v vendría entonces de- terminado por v(z, t) = Z c1 E · dl efectuándose la circulación del campo a lo largo de cualquier línea, en el plano transversal que une a los dos conductores. Figura 15.1 De forma análoga puede suponerse que ht corresponde a la distribución de campo mag- nético debida a una corriente unidad (en la figura 15.1 esta situación correspondería a cor- riente iguales y opuestas en ambos conductores), de forma que la intensidad vendría dada por i(z, t) = Z c2 H · dl Teniendo en cuenta la definición de los campos normalizados que conduce a que Z c1 et · dl = Z c2 ht · dl = 1 3

4. las dos ecuaciones 15.4, integradas respectivamente a los largo de las líneas C1 y C2, quedan en la forma ∂v ∂z = −L ∂i ∂t ∂i ∂z = −C ∂v ∂t − Gv donde se han utilizado las definiciones siguientes para los parámetros de la línea C, L y G C = ²0 Z c2 (uz × et) · dl [Farad/m] L = −µ Z c1 (ut × ht) · dl [Henry/m] (15.5) G = σ Z c2 (uz × et) · dl h (Ωm)−1 i que puede comprobarse coinciden con la capacidad, autoinducción y conductancia de la línea por unidad de longitud. Conviene destacar aquí que los parámetros introducidos pueden calcularse pro proced- imientos estáticos, una vez determinadas la geometría y el medio constitutivo del sistema, aunque los valores de dichos parámetros a alta frecuencia no coincidirán en general con los de frecuencias estáticas o baja frecuencia. Estas discrepancias son debidas básicamente a que las distribuciones de corrientes en los conductores, así como las propiedades del medio, serán diferentes en general a baja y alta frecuencia; no obstante, en el rango de alta frecuen- cia los valores de dichos parámetros permanecen prácticamente constantes en los márgenes usuales de utilización de las líneas. Desde un puento de vista formal, la hipótesis de campo TEM no nos ha permitido intro- ducir en el análisis las posibles pérdidas adscritas a la resistencia de los conductores, ya que una conductividad finita de los mismos llevaría automáticamente asociada una componente longitudinal del campo eléctrico. En la práctica la conductividad asociada a las paredes que conforman al sistema es finita si bien muy elevada; las ecuaciones ya obtenidas siguen siendo válidas, pero hay que complementarlas con el término debido a la caída de potencial asociada a la resistencia de los conductores. Teniendo esto en cuenta, las ecuaciones de línea de transmisión quedan en la forma ampliamente conocida: ∂v ∂z = −Ri − L ∂i ∂t (15.6) ∂i ∂z = −C ∂v ∂t − Gv siendo R la resistencia por unidad de longitud de la línea. Estas ecuaciones pueden justificarse con un modelo circuital apropiado. En la figuar 15.2 se representa a la línea utilizando el simbolismo usual de dos cables (uno considerado activo y otro de referencia), así como el circuito equivalente correspondiente a un tramo ∆z del sistema. Aplicando las ecuaciones básicas de los circuitos al modelo propuesto se obtiene 4

5. v(z, t) = v(z + ∆z, t) + L∆z ∂i(z, t) ∂t + R∆z i(z, t) i(z, t) = i(z + ∆z, t) + C∆z ∂v(z, t) ∂t + G∆z v(z, t) Figura 15.2 Desarrollando v e i en z + ∆z en términos de su valores en z y pasando al límite cuando ∆z tiende a cero, se confirman fácilmente las ecuaciones básicas de las líneas de transmisión ya expuestas en (15.6). Para situaciones correspondientes a alimentación ar- mónica, como son las que trataremos a lo largo de este tema, dichas ecuaciones quedan en la forma ∂V (z) ∂z = −ZeI(z) (15.7) ∂I(z) ∂z = −YeV (z) donde V e I son los fasores corespondientes a v e i, y representado Ze e Ye a la impedancia y admitancia equivalentes de la línea por unidad de longitud, dadas por Ze = R + jωL (15.8) Ye = G + jωC Puede comprobarse que las ecuaciones (15.7) coinciden formalmente con las ya ex- puestas en el análisis general de guías, ecuaciones (14.43), que rigen el comportamiento de los modos normalizados en lo que a su dependencia con z se refiere. Análisis en modo normal de las ecuaciones La utilización de las magnitudes tensión e intensidad para describir la propagación en líneas de transmisión está justificada como continuación de la sistemática clásica de la teoría de circuitos. Para el estudio de las ecuaciones de línea de transmisión conviene, sin embargo, utilizar magnitudes transformadas, combinaciones lineales de V e I, de forma que se obtengan ecuaciones separadas para dichas magnitudes, conservando el carácter de ecuaciones de primer orden. A esta técnica de análisis se suele denominar análisis en modo normal, y las nuevas magnitudes, modos normales, vendrán ligados, como veremos, a las ondas incidente y reflejada que, en general, van a coexistir en la línea. De esta forma 5

6. se obtiene una descripción más natural de la propagación en la línea, aunque conviene conservar la correspondiente a V , I y parámetros relacionados, con objeto de poder aplicar directamente los resultados de la teoría de circuitos. Definamos como magnitud auxiliar para describir la propagación, la combinación sigu- iente: a(z) = V (z) + AI(z) siendo A una constante que determinaremos a partir de una condición de simplificación en nuestras ecuaciones transformadas. Combinando apropieadamente las ecuaciones (15.7) de partidad obtenemos µ ∂V ∂z + ZeI ¶ + A µ ∂I ∂z + YeV ¶ = 0 o bien ∂ ∂z (V + AI) + AYe µ V + Ze AYe I ¶ = 0 Dado la libertad que tenemos para definir A, escojamos A = Ze AYe ⇒ A = ± r Ze Ye = ±Zo (15.9) siendo Zo la denominada impedancia característica, que constituye un parámetro impor- tante en la caracterización de la línea, como posteriormente precisaremos. Con la determinación de A efectuada, los modos normales quedan definidos en la sigu- iente forma a+ = V + ZoI (15.10) a− = V − ZoI siendo Yo = Z−1 o , la admitancia característica de la línea. En términos de los modos normales las magnitudes V e I, vienen dadas por V = 1 2 ¡ a+ + a− ¢ (15.11) I = 1 2 Yo ¡ a+ − a− ¢ Por otra pare, las nuevas magnitudes obedecen a las siguientes ecuaciones separadas ∂a+ ∂z + p ZeYea+ = 0 (15.12) ∂a− ∂z + p ZeYea− = 0 cuyas soluciones son de la forma a+ = a+ o exp [j(ωt − βz)] 6

7. a− = a− o exp [j(ωt + βz)] siendo a± o constantes y viniendo definida la constante de propagación como β = −j p ZeYe = −j p (R + jωL) (G + jωC) (15.14) Fácilmente se relacionan a+ y a− con los modos propagantes según z creciente o de- creciente, es decir, con ondas incidente y reflejada respectivamente. 15.2 CARACTERIZACIÓN DE LA PROPAGACIÓN EN LÍNEAS DE TRANS- MISIÓN Las características básicas de una línea quedan precisadas en cuanto se conozcan los parámetros correspondientes a su circuito equivalente Ze, Ye. A partir de esto parámetros se ha introducido la impedancia característica Zo = r Ze Ye = s R + jωL G + jωC = r L C s 1 + R/(jωL) 1 + G/(jωC) (15.15) cuyo significado podemos determinar sin dificultad. Si suponemos una línea uniforme, indefinida, alimentada por un extremo, es lógico suponer que, dada la ausencia de fuentes de reflexión, en dicha línea sólo se propagará la onda progresiva incidente, que hemos simbolizado por a− . De esta forma, fijando a = 0, se obtiene V = 1 2 a+ (z) ; I = 1 2 Yoa+ (z) Definiendo entonces la impedancia en la línea como cociente entre los fasores V e I Z(z) = V (z) I(z) = 1 2 a+ (z) 1 2 Yoa+(z) = Zo (15.16) resultará que, en la situación que hemos supuesto, dicha impedancia será independiente de la posición en la línea y tendrá por valor Zo. De esta forma, si cortamos la línea en un punto y la terminamos con una impedancia igual a Zo, la línea se comportará como si fuera indefinida. Teniendo en cuenta esto, la impedancia característica de una línea será aquella que colocada terminando a la misma, absorbe toda la energía que sobre ella incida, no dando lugar, por tanto, a reflexiones. De la expresión (15.15) que define a la impedancia característica en términos de los parámetros de la línea, se deduce que, en el caso de una línea sin pérdidas, la impedancia característica es real y tiene por valor Zo = r L C = Ro (15.17) dado que G y R se consideran nulos; simbolizamos por Ro precisamente la valor de Zo para una línea sin pérdidas. Frecuentemente la línea tiene pérdidas, pero éstas son bajas en el sentido de que a las frecuencias de operación R/ωL y G/ωC son muy inferiores a la unidad; en esta situación, desarrollando la expresión (15.15) y quedándonos con los 7

8. términos significativos se obtiene: Zo ≈ r L C 1 + R/(2jωL) 1 + G/(2jωC) ≈ Ro µ· 1 + RG 4ω2LC ¸ + j · G 2ωC − R 2ωL ¸¶ con lo cual las pérdidas dan lugar a una modificación muy pequeña, de segundo orden, en la parte real de Zo y traen consigo la aparición de una componente imaginaria, en Zo, de primer orden. Frecuentemente, en transmisiones a larga distancia, por cables submari- nos, etc., la componente de pérdidas asociadas al cable, R/ωL, es superior a las pérdidas debidas al dieléctrico, G/ωC; en estas circunstancias y en un margen adecuado de frecuen- cias puede lograrse la cancelación del término imaginario en la expresión de Zo si se eleva adecuadamente el valor de L de forma que se obtenga G C = R L Este objetivo se puede lograr, por ejemplo, intercalando regularmente a distancias apropi- adas autoinducciones, actualmente con núcleo de ferrita, colocadas en serie en los dos conductores de la línea; a este procedimiento se le denomina ‘‘pupinización’’, tomando el nombre del científico que los desarrolló. El interés del procedimiento citado queda claro si se observa su repercusión en la con- stante de propagación. A partir de la relación (15.14) que define la constante de propagación en términos de los parámetros de la línea, se obtiene que β2 = −ZeYe = ω2 LC µ 1 − j R ωL ¶ µ 1 − j G ωC ¶ que, con la condición expresada en (15.18), toma la forma de un cuadrado perfectgo, con lo cual resulta, β = ω √ LC µ 1 − j R ωL ¶ Desdoblando β en sus componentes de fase y atenuación β = β0 − jβ00 se obtienen los siguientes valores para ambas componentes β0 = ω √ LC β00 = ω √ LC ωL/R = √ RG En estas condiciones la línea posee una velocidad de fase y una atenuación constantes en el rango de frecuencias deseado, lo cual hace prácticamente equivalente a una línea ideal no dispersiva, que no introduce ni distorsión de fase ni de amplitudes, aspecto de enorme interés a efectos de transmisión de información. Magnitudes y parámetros utilizados para describir la propagación Como ya hemos visto en el apartado anterior, las magnitudes de trabajo utilizadas para describir la propagación de una onda en una línea de transmisión suelen ser o bien V e I, que permiten adaptar al estudio de líneas la teoría de circuitos, o bien los modos normales 8

9. a+ y a− que vienen ligados con la descripción de la propagación en una visualización más directa en términos de ondas incidentes y reflejadas. Ambas descripciones pueden utilizarse independientemente según convenga a la situación que se desee analizar, y los re- sultados obtenidos pueden expresarse y trasladarse de una descripción a la otra sin ninguna dificultad. Cuando se utiliza la descripción en términos de los modos normales, suele introducirse como parámetro para caracterizar a la propagación el denominado coeficiente de reflexión, definido como cociente entre las componentes reflejada e incidente ρ(z) = a− (z) a+(z) (15.19) Este coeficiente será en general complejo, y su variación con la posición está determinada, teniendo en cuenta las expresiones para los modos normales establecidas en las relaciones (15.13) ρ(z) = a− o a+ o exp(2jβz) En la práctica, frecuenctemente las condiciones de propagación quedan determinadas por la impedancia de terminación que se ponga en la línea, impedancia de carga que simbolizaremos por ZL. Debido a esto, se suele cambiar de variable utilizando l = −z y escogiendo el origen justamente en la carga, tal como se representa en la figura 15.3, de forma que las l crecientes van hacia el generador. En esto términos resulta ρ(l) = ρL exp(−2jβl) (15.20) siendo ρL, valor de ρ en l = 0, el coeficiente de reflexión en la carga. Figura 15.3 En el caso de una línea sin pérdidas, β = β0 se observa que el coeficiente de reflexión caría en fase, pero su módulo permanece constante a los largo de la línea. Este resultado, y en esencia la variación simple que posee el coeficiente de reflexión a lo largo de la línea, corrobora el interés que posee la descripción en términos de los modos normales. Cuando se describe la propagación en la línea en términos de voltajes e intensidades, el parámetro utilizado es la impedancia, que, como ya hemos dicho, se define como cociente entre V e I. Expresando V e I en términos de a+ y a− y utilizando las expresiones que, de las dependencias de a+ y a− con z, ya tenemos, puede obtenerse en definitiva cuál es la 9

10. dependencia de Z con la posición en la línea. No obstante, vamos a seguir otro camino para obtener esta dependencia, consistente en determinar en primer lugar cuál es la ecuación que gobierna la variación de Z con la posición. En la figura 15.4 se representa un tramo de línea de longitud dl, en términos de su circuito equivalente, siendo Z(l) y Z(l + dl) las impedancias vistas en los extremos del cuadripolo representado y que deseamos relacionar Figura 15.4 La asociación de Yedl y [Z(l)] −1 nos da una admitancia Y1 Yl = Yedl + 1 Z(l) Sumando, por otra parte, la impedancia (Y1)−1 con Zedl, obtenemos la impedancia Z(l + dl) = Z + dZ Z + dZ = Zedl + 1 Yedl + 1 Z(l) Desarrollando el segundo miembro y parando en los primeros términos, resulta Z + dZ = Zedl + Z(1 − YeZdl) o bien dZ dl = Ze − YeZ2 Normalmente en el trabajo con líneas de transmisión aparece frecuenctemente la im- pedancia característica y se obtiene uns simplificación conveniente normalizando las im- pedancias respecto a Zo ZN ≡ Z Zo = Z r Ye Ze Efectuando esta normalización y teniendo en cuenta la expresión (15.14), la ecuación para Z queda en la siguiente forma, denominada ecuación de Pierce; dZN dl = jβ ¡ 1 − Z2 N ¢ (15.21) Esta ecuación es del tipo de Riccati de primer orden; en la expresión aparece ZN al cuadrado 10

11. dado que si se invierte el sentido de l cambian tanto dl como dZN , permaneciendo inalter- ados ambos miembros de la ecuación. La ecuación diferencial para Z se integra fácilmente, resultando ZN = tanh(jβl + K) donde K puede determinarse, por ejemplo, de las condiciones de carga de la línea. Así, si en l = 0 suponemos que la impedancia es ZL, o ZLN normalizada a Zo, se obtiene ZNL = ZN (0) = tanh(K) con lo cual, desarrollando la función tangente hiperbólica de suma de dos argumentos, y utilizando la relación anterior, resulta en definitiva ZN = ZNL + j tan (βl) 1 + jZNL tan (βl) (15.22) Se comprueba aquí nuevamente que cuando ZL = Zo, es decir, ZLN = 1, la impedancia a lo largo de la línea es constante e igual a Zo, lo cual corresponde a la anulación de la variación de Z con respecto a l en la ecuación (15.21). Caracterización de una onda estacionaria Los modos normales a+ y a− constituyen ondas elementales progresivas cuya aso- ciación en general va a dar lugar a la formación de una onda estacionaria; la onda pro- gresiva, desde este punto de vista, será el caso particular correspondiente a coeficiente de reflexión nulo. Centrándonos principalmente en la situación correspondiente a líneas sin pérdidas, con objeto de una mayor claridad y sencillez de desarrollo, en este apartado procuraremos car- acterizar en general a las ondas estacionarias, tanto desde un punto de vista formal como en orden a su estudio experimental. Veamos en primer lugar cuáles son los diagramas de tensión e intensidad correspondi- entes a una onda estacionaria en general. Partiendo de las relaciones entre V e I y los modos a+ y a− , ecuacióne (15.11) y (15.13), se deduce, teniendo también en cuenta la definición del coeficiente de reflexión, que: V (z) = 1 2 ¡ a+ (z) + a− (z) ¢ = 1 2 a+ (z) [1 + ρ(z)] = 1 2 a+ o exp(−jβz) [1 + ρ(z)] (15.23) e igualmente, I(z) = 1 2Zo a+ o exp(−jβz) [1 − ρ(z)] (15.24) donde, en la situación de línea sin pérdidas, β es real, Zo también y coincidente con Roi = (L/C)1/2 , y ρ resulta ser un número complejo, de módulo constante y fase dada por 2βz. En las relaciones anteriores destaca que los módulos de los factores V e I son propor- cionales al módulo 1+ρ y 1−ρ, respectivamente, representados gráficamente en la figura 15.5, conjuntamente con las variaciones de V e I, con z, respectivamente. 11

12. Figura 15.5 La relación entre la impedancia y el coeficiente de reflexión se deduce inmediatamente a partir de las relaciones (15.23) y (15.24), obteniéndose Z = V I = Zo 1 + ρ 1 − ρ o bien ZN = Z Zo = 1 + ρ 1 − ρ (15.25) que fácilmente conduce también a ρ = ZN − 1 ZN + 1 (15.26) donde tanto ρ como Z son funciones de la posición. Es ilustrativo estudiar algunos casos particulares. Suponiendo, por ejemplo, que se termina la línea con un cortocircuito, ZL = 0, de (15.26) se obtiene que ρL = −1, lo que corresponde a una onda refejada de igual magnitud que la incidente pero opuesta en fase en l = 0, la posición de la carga, conduciendo a un valor nulo de V y máximo de I, tal como corresponde físicamente a un cortocircuito. Por otra parte, de la ecuación (15 .22) se deduce que Z(l) = jZo tan βl La impedancia es puramente reactiva, y a una distancia de l = λ/4, siendo λ la longitud de onda, se hace infinita correspondiento a una situación de circuito abierto; la impedancia se reproduce cada λ y toma todos los valores, imaginarios, a lo largo de la línea. En la figura 15.6 se representan los diagramas de onda estacionaria correspondientes a valores de |ρ| igual a 1, como en el caso analizado, a cero, correspondiendo a una onda progresiva debido a que ZL = Zo, y a un valor intermedio entre los dos citados. La mag- nitud representada es V pudiendo deducirse la gráfica correspondiente a I por lo estudiado anteriormente. Evidentemente, en el caso de líneas sin pérdidas, el rango posible de val- 12

13. ores de |ρ| es entre 0 y 1, no pudiendo ser mayor que la unidad pues ello significaría mayor potencia reflejada que incidente, lo cual es imposible si la carga se supone pasiva. Figura 15.6 En dichas gráficas destaca en primer lugar que, para cada situación, los valores de los máximos y de los mínimos son iguales, estando esto directamente ligado a la hipótesis de pérdidas nulas, con la conservación, conseccuentemente, del |ρ| a lo largo de la línea. Por otra parte se comprueba que los máximos y mínimos están separados entre sí λ/2, siendo la variación en torno a los mínimos mucho más acusada. Además, el cociente entre máximo y mínimo pasa de valores tendentes a infinito, para |ρ| próximo a la unidad, hasta valores tendentes a la unidad en el caso de onda progresiva. La forma de este diagrama de onda estacionaria, en lo que respecta a relación entre máx- imo y mínimo, así como localización de los mismos, viene directamente ligada al carácter de la carga que termina a la línea, y su determinación experimental constituye un proced- imiento para medir ZL. A efectos de caracterización experimental de una onda estacionaria se introduce como parámetro básico la denominada razón de onda estacionaria, término comúnmente repre- sentado por la siglas VSWR correspondientes a la denominación inglesa ‘‘Voltage Standing Wave Ratio’’; este parámetro se introduce como cociente entre los valores del potencial en puntos correspondientes a máximo y mínimo S = |Vmax| |Vmin| (15.27) Teniendo en cuenta la variación de |V | descrita gráficamente en la figura 15.5, o bien en vir- tud de la expresión (15.23) que la determina, se observa que Vmax corresponde a situaciónes en que ρ coincide con |ρ| ; de la misma forma Vmin corresponde a valores de ρ también reales y coincidentes con − |ρ|, con lo cual resulta S = 1 + |ρ| 1 − |ρ| (15.28) o bien 13

14. |ρ| = S − 1 S + 1 (15.29) con lo cual, la medida de la razón de onda estacionaria en la línea nos determina el módulo del coeficiente de reflexión. Cabe destacar que la introducción del parámetro S sólo tiene sentido en líneas sin pérdidas o con pérdidas suficientemente pequeñas; en el caso ideal la razón de onda estacionaria se mantiene constante a lo largo de toda la línea y en la situación de pérdidas pequeñas los valores de S en puntos alejados serán diferentes, viniendo ligada esta diferencia al coeficiente de atenuación. Dependiendo de la carga, S podrá tomar val- ores que van desde S = 1 para el caso de onda progresiva (ρ = 0; ZL = Zo), hasta S tendente a infinito para ondas totalmente estacionarias correspondientes a cortocircuito, circuito abierto, etc. (|ρ| = 1). Evidentemente, la caracterización completa del coeficiente de reflexión, o de la im- pedancia de carga, precisa además de una información referente a la fase de ρ; esto se consigue mediante la determinación de las posiciones de los mínimos, normalmente referi- das a la posición de la carga. Para dicho propósito servirían itualmente la localización de los máximos en el diagrama de onda estacionaria, si bien se utiliza a los mínimos dado que la variación en torno a los mismos es mucho más acusada que en torno a los máximos, pu- diendo determinarse su posición experimentalmente con mucha mayor precisión. Por otra parte, la localización de los mínimos determina automáticamente la longitud de onda que coincide con el doble de la distancia entre mínimos consecutivos, lo cual indirectamente sirve para medir la frecuencia. Para conectar la fase de ρ, sea r, con la posición de los mínimos, acudimos a la expresión de V en función de la posición V (z) = 1 2 a+ o exp(jβl) [1 + |ρ| exp {j(−2βl + rL)}] siendo rL el valor de la fase de ρ en la posición de la carga, supuesta en l = 0. El primer mínimo respecto a la carga, que supondremos situado en l = l1, se producira cuando j(−2βl1 + rL) = jπ y se repetirán los mínimos cada semilongitud de onda, como ya hemos citado. La relación obtenida conduce a que −βl1 + rL 2 = π 2 ⇒ tan(−βl1 + rL 2 ) = tan π 2 = 0 y por tanto cot(rL/2) = − tan(βl1) lo que nos permite determinar rL experimentalmente, y por tanto, precisar completa- mente a ρ. Como además ρ y Z están ligados entre sí según la ecuación (15.25), la deter- minación de S y de la posición de un mínimo, sea l1 su distancia a la carga, determina a su vez la impedancia de carga, que operando adecuadamente puede expresarse como ZL Zo = 1 + ρL 1 − ρL = 1 S − j tan(βl1) 1 − 1 S j tan(βl1) (15.30) 14

15. Una técnica de laboratorio frecuentemente utilidada para la determinarción del dia- grama de onda estacionaria es mediante líneas o guías ranuradas. En la figura 15.7 se esquematiza una linea coaxial ranurada; la ranura se hace de tal forma que no corte las líneas de corriente asociadas a la distribución del campo electromagnético del modo en cuestión, en este caso el modo TEM, con lo cual la perturbación que introduce la presen- cia de la ranura va a ser pequeña. A través de dicha ranura se puede introducir una sonda metálica que en el caso de la figura muestrará la componente radial del campo eléctrico existente en la línea. Las corrientes que induce el campo en la sonda pueden ser detectadas mediante un rectificador y llevadas a un medidor de continua; normalmente los detectores utilizados operan en el rango de baja señal y poseen respuesta cuadrática, con lo que las lecturas del medidor serán proporcionales al cuadrado de la tensión (o del campo). Así, si son LM y Lm las lecturas correspondientes a un máximo y a un mínimo, respectivamente, la razón de onda estacionaria vendrá dada por S = µ LM Lm ¶1/2 Figura 15.7 15.3 TRANSFORMACIÓN COEFICIENTE DE REFLEXIÓN-IMPEDANCIA: DIAGRAMA DE SMITH Hemos descrito el comportamiento de una línea de transmisión en términos de la tensión e intensidad y también en términos de los modos normales. Se ha introducido el coeficiente de reflexión y con él se obtiene una visión muy directa de las diferentes situaciones que pueden presentarse; no obstante, y aunque en principio sea redundante, también se ha intro- ducido la impedancia dado que es quizá un parámetro más familiar, en términos del cual se desarrolla la teoría de circuitos, y que permite simplificar diversas situaciones como son las correspondientes a asociaciones serie o paralelo de elementos, etc. Desde un punto de vista práctico, en el estudio de una situación existen facetas cuyo análisis conviene hacerlo en términos de impedancias y otras que se prestan mejor a un tratamiento en términos del coe- ficiente de reflexión; lo interesante es poder efectuar dicho análisis según convenga y tener un procedimiento sencillo de trasladar los resultados que se obtengan de un planteamiento al otro. 15

16. Desde un punto de vista formal las relaciones de partida son la (15.25) y la (15.26) que establecen una transformación bilineal entre los planos complejos correspondientes a Z y a ρ. Actualmente la utilización de ordenadores facilita grandemente todo el aspecto opera- tivo, pero dada la importancia que han tenido, y que aún se conserva, vamos a desarrollar en este apartado un procedimiento gráfico que facilita grandemente todos los problemas operativos que surgen al necesitar transformar los diversos resultados en términos de Z y de ρ. Para cubrir este objetivo se han diseñado diversas cartas gráficas entre las que destaca, por ser universalmente utilizada, la carta de Smith; esta carta parte del principio de que la descripción del comportamiento de la línea es más secilla en términos de ρ y consiste en una representación de las impedancias en el plano complejo correspondiente al coeficiente de reflexión. Dicha representación se basa en la transformación bilineal representada por la relación (15.26) que utilizaremos en la forma ρ = 1 − 2 ZN + 1 (15.31) donde recordemos que ZN simboliza la impedancia normalizada Z/Zo. Entre las diver- sas formas de representar ZN en el plano ρ, la carta de Smith utiliza el procedimiento de representar dos familias de curvas, las correspondientes a resistencia constante y las de reactancia constante ZN = RN + jXN Aefectos de llevar a cabo la transformación conforme anteriormente descrita, recordemos en primer lugar que en general tendremos que analizar situaciones correspondientes a línea cargada con elementos pasivos, lo cual conduce a que RN ≥ 0 ; |ρ| ≤ 1 Figura 15.8 16

17. Figura 15.9 Carta de Smith

18. Así la transformación representada por (15.31) nos pasa del semiplano derecho del plano Z al interior de una circunferencia de radio unidad en el plano ρ. Esta transforma- ción podemos dividirla en otras más elementales. Supongamos por ejemplo, una recta RN constante, en el plano Z como la señalada por Lo en la figura 15.8; la operación 1 + ZN traslada Lo a la recta L1 que, invertida, se convierte en la circunferencial L2 que pasa por el origen, debido a la operación (1+ZN )−1 ; L3 surge de multiplicar por (-2), y finalmente L4 de trasladar a L3 una unidad real. Para distintos valores de RN obtendremos una familia de circunferencias en el plano ρ, todas ellas con centro en el eje real, en el punto (RN /(1 + RN ), 0), que pasan por el punto (1,0) y de diámetro 2/(1 + RN ). Mediante un procedimiento análogo, partiendo de rectas XN constante, obtenemos una familia de circunferencias en el plano ρ, todas ellas tangentes al eje real en el punto (1,0), de radio 1/XN y con centro en el punto (1, 1/XN ). Estas dos familias de curvas configuran la Carta de Smith, representada en la figura 15.9, que como ya hemos apuntado constituye en esencia un sistema de cálculo rápido, cuyas propiedades básicas destacaremos a continuación, mediante un estudio de diferentes casos de aplicación. Figura 15.10 Cualquier impedancia normalizada queda en este diagrama encerrada por la circunfer- encia R = 0. Por ejempolo, el punto de intersección de las curvas R = B y X = C 18

19. corresponde a la impedancia normalizada B + jC; así, en la figura 15.10, el punto A rep- resenta la impedancia ZN = 1 + j. El módulo del coeficiente de reflexión es la distancia de este punto al orígen expresada como franción del radio unidad. Para esto se suele dar una escala lineal de dicho radio. Por otra parte, la fase del coeficiente de reflexión referido a esta posición particular en el plano ρ (es decir, la fase de la tensión de la onda reflejada con respecto a la incidente en dicho punto) es, según la definición de ρ el ángulo medido desde el semieje positivo del eje real en sentido antihorario. Para facilitar esta lectura se suministra en la carta una escala de ángulos. APLICACIONES DE LA CARTA DE SMITH a) Fijada ZL calcular ρ Para ello conviene resaltar en primer lugar que en la Carta de Smith están represen- tadas las impedancias normalizadas y, como primer paso, la entrada en la carta ha de ser con ZL/Zo. Dado que la representación está confeccionada en el plano correspondiente al coeficiente de reflexión, situado en forma módulo argumental, una vez localizada ZLN , la distancia al centro nos dará |ρ|, también expuesto en una escala inferior, pudiendo leerse la fase en la circunferencia extrema del diagrama; esta última escala viene dada en grados y también en fracciones de λ. Una vez localizado ρL, la transformación de ρ a lo largo de la línea, supuesta sin pérdidas, caerá en una circunferencia correspondiente a |ρ| constante; en la carta se señalan los sentidos de giro según se recorra la línea hacia el generador o hacia la carga. Figura 15.11 19

20. En la figura 15.11 se destaca, por ejemplo, la situación correspondiente a ZLN = 1, 2 + j1, 3, resultanto |ρ| = 0, 5 con un argumento, en la carga, de 50o b) Transformación de impedancias Una vez fijada la frecuencia de operación se conoce la longitud de onda en la línea, sea λ. Si se precisa conocer el valor de la impedancia a una distancia l de la carga, el primer paso será establecer el valor de l en unidades de longitud de onda; a continuación, teniendo en cuenta la escala marcada como ‘‘longitudes de onda hacia el generador’’ se gira sobre la circunferencia correspondiente a |ρ| constante, un valor dado por las fracciones de λ deseadas y se localiza el valor de ZN en la carta. Con referencia a la figura 15.11, si se desea conocer el valor de Z a 0, 31λ de la carga, operando como se indica se encuentra ZN = 0, 34−j0, 06, valor que habria que multiplicar por Zo para encontrar Z. En la escala exterior, a ZLN le corresponde un accimut θL = 0, 180λ y a ZN el accimut θN = (0, 180λ + 0, 310λ) = 0, 490λ Conviene observar que, recorriendo la circunferencia correspondiente a |ρ| constante, el punto de cruce con el eje real (del plano ρ) de la derecha corresponden al valor de ρ = + |ρ| y en dicho punto la impedancia será real y de valor ZN = µ 1 + ρ 1 − ρ ¶ ρ=|ρ| = 1 + |ρ| 1 − |ρ| que coincide con la razón de onda estacionaria según se refleja en la relación (15.28). De acuerdo con esto y en relación a la figura 15.11, la razón de onda estacionaria cor- respondiente es S=3, valor que puede calcularse conociendo que |ρ| = 0, 5 o por lectura directa en una de las escalas inferiores de la carta. Por otra parte el punto de cruce con la parte positiva del eje real coincide en posición con un máximo de tensión, dado que esta situación corresponde, como ya se ha citado, a ρ = + |ρ| . De la misma forma se encuentra que el cruce con la parte negativa del eje real corresponde a un mínimo de tensión y en él se encuentra que la ZN es real y coincide en valor con S−1 . c) Dada S y la posición de un mínimo, encontrar ZL Esta es una técnica frecuenctemente utilizada para determinar experimentalmente el valor de la impedancia de carga. Una vez medida S se traza, de acuerdo con lo visto ante- riormente, la circunferencia correspondiente a |ρ| constante, que cortará al eje real positivo precisamente en el punto ZN = S. A continuación, en el punto simétrico respecto al ori- gen, tendríamos el mínimo y moviéndonos ‘‘hacia la carga’’ un ángulo determinado por la localización del mínimo (que normalmente se da como posición del mínimo respecto a la carga), tendremos determinada ZLN sobre la circunferencia de |ρ| constante. En el ejemplo reflejado en la figura 15.11, tendríamos que los datos experimentales serían: S = 3 Distancia mínimo-carga dmin = 0, 50λ − 0, 18λ = 0, 32λ 20

21. El mínimo estará situado en la parte negativa del eje real en el punto correspondiente a ZN = 1/3 y moviéndonos hacia la carga la distancia 0, 32λ sobre la circunferencia |ρ| = 0, 5, llegaremos a la impedancia de carga ZLN = 1, 2 + j1, 3 d) Utilización de la carta operando con admitancias Partiendo de la relación que liga a Z y ρ ZN = 1 + ρ 1 − ρ se comprueba que invertir el signo de ρ (esto en la carta de Smith se corresponde con localizar el punto simétrico respecto del origen) conduce a calcular el inverso de ZN , es decir la admitancia YN = Z−1 N = µ 1 − ρ 1 + ρ ¶ Así pues, en la carta de Smith invertir un número complejo corresponde simplemente a localizar su simétrico respecto al origen. Consecuentemente, trabajar con admitancias sigue un camino totalmente análogo a la operación con impedancias. e) Adaptación de impedancias mediante un ‘‘stub’’ simple Si en un punto dado de la línea se consigue que la impedancia vista desde el generador corresponda a Zo se eliminará la onda reflejada; si esto se obtiene mediante colocación de impedancias reactivas (no disipativas) en la línea, en definitiva se logrará que a la carga se transmita el máximo de energía, situación de gran interés desde un punto de vista experi- mental. En la práctica la adaptación de impedancias puede obtenerse por diversos procedimien- tos entre los cuales, y a modo de ejemplo de aplicación de la carta de Smith, vamos a citar el de ‘‘stub’’ simple. Se denomina ‘‘stub’’ a un tramo de línea de longitud variable cortocircuitada por uno de sus extremos y que normalmente se acopla en paralelo con la línea principal, tal como se esquematiza en la figura 15.12; recordemos, de acuerdo con resultados ya obtenidos, que a lo largo del ‘‘stub’’ puede conseguirse cualquier valor de impedancia reactiva (parte real nula). Figura 15.12 En la figura 15.12, Y1 simboliza a la admitancia que se ve mirando hacia la carga en el 21

22. punto donde esta colocado el ‘‘stub’’ ; Y2 es la admitancia que se ve en el punto de unión mirando hacia el cortocircuito en el ‘‘stub’’ ; la admitancia a que da lugar, en el punto citado, la asociación de Y1 e Y2 será Y = Y1 + Y2 Figura 15.13 f) Adaptación de impedancias mediante un doble ‘‘stub’’ Como indica la figura 15.14 se trata de lograr la adaptación en este caso por medio de dos secciones de línea cortocircuitada situadas a una distancia D también fija. Las variables a encontrar en este caso son l1 y l2, la longitudes de las secciones de línea o sintonizadores. 22

23. Figura 15.14 donde se ha de considerar que Y1 proviene de transformar YL a lo largo de un tramo de línea d y, por otra parte, Y2 proviene de transformar una admitancia debida a un cortocircuito a lo largo de una distancia l. Al ser Y2 puramente reactiva, estará situada en la circunferencia unitaria (la más externa y que delimita la carta, y que corresponde a R = 0), siendo el punto de corte con el eje real negativo el correspondiente a impedancia cero (cortocircuito) y el simétrico respecto al origen (es decir, el punto de corte con el eje real positivo) el correspondiente a la admitancia infinita (cortocircuito). El problema se reduce a hallar un punto de la línea en que la admitancia normalizada sea de la forma Y1 = 1 ± jb1, punto que se encontrará moviéndonos desde YLN hacia el generador hasta encontrar los punto de corte con la circunferencia g = 1, como indica la figura 15.13. El arco recorrido desde YLN hasta Y1 o Y 0 1 nos dará la distancia d en longi- tudes de onda. La longitud l la hallamos, de forma análoga moviéndonos desde el punto C, representativo de la admitancia infinita del cortocircuito, hasta encontrar los puntos a o a0 de admitancias Y2 = −b1 e Y 0 2 = +b1 respectivamente. De esta forma la suma de las admitancias 1 ± jb1 y ∓b1 producen una admitancia normalizada igual a la unidad, es decir, Yo; con lo cual se logra la adaptación. El primer paso es tralsadar la admitancia YLN la distancia d1 hacia el generador obte- niendo, figura 15.15, la admitancia Y3 = g3 + jb3. La adición del primer sintonizador transforma esta admitancia en otra Y 0 3 = g3 + jb3 ± jb1 que se encontrará en la circun- ferencia g3 = cte. Tendremos que elegir una admitancia Y 0 3 tal que al girar la distancia D caiga sobre la circunferencia g = 1, teniendo entonces en la sección pp0 de la línea una admitancia Y4 = 1 ± jb2. La adicción del segundo sintonizador de admitancia ∓jb2 pro- duce la admitancia YN = 1 con lo que la adaptación queda lograda. El problema radica en encontrar la admitancia Y 0 3 adecuada. En lugar de proceder por tanteos lo que se hace es girar la circunferencia g = 1 en sentido contrario, es decir hacia la carga, una distancia igual a D. La intersección de la circunferencia girada con la circunferencia g3 = cte nos proporciona los puntoa A y B posibles soluciones para Y 0 3. Deshaciendo el giro obtener- mos los puntos A0 y B0 soluciones correspondientes a Y4. Esto nos permite conocer jb1 y jb2, admitancias de los sintonizadores y hallar sus longitudes como se indicó en el ejemplo 23

24. anterior. Figura 15.14 Obsérvese que todas las admitancias Y3 que caigan dentro del círculo sombreado no pueden adaptarse. Sería entonces necesario modificar la distancia D. 15.4 TRATAMIENTO DE LAS LINEAS CON PÉRDIDAS En la práctica todas las líneas tienen pérdidas, si bien frecuentemente dichas pérdidas son muy pequeñas y todo lo ya estudiado para líneas ideales sigue siendo útil. Formalmente las pérdidas se reflejan en aportar un pequeño término imaginario a la impedancia característica, que normalmente puede despreciarse, y también a la constante de propagación β, β = β0 − jβ00 = β0 − jα En este caso el término imaginario, la constante de atenuación, no puede despreciarse por muy pequeño que sea, si se considera un tramo de línea suficientemente grande, dado que el efecto de la atenuación se ve amplificado por la longitud. En el caso de pérdidas pequeñas los dos términos de la constante de propagación vienen ligados con los parámetros de la línea por β0 ≈ ω √ LC β00 ≈ 1 2 √ LC µ R L + G C ¶ 24

25. y la influencia de β00 puede destacarse observando, por ejemplo, la expresión de la distribu- ción de V a lo largo de la línea: V = 1 2 a+ o exp(−jβ0 z) exp(−β00 z) + 1 2 a− o exp(jβ0 z) exp(β00 z) = = 1 2 a+ o exp(jβ0 l) exp(β00 l) + 1 2 a− o exp(−jβ0 l) exp(−β00 l) En la Figura 15.16 se expone un esquema tímio de onda estacionaria en una línea de pérdidas medias. Se observa que a medida que nos alejamos de la carga (se ha puesto un cortocircuito en l = 0), la relación máximo a mínimo disminuye y tendería a la unidad si nos alejásemos suficientemente de la carga, debido a que los máximos y mínimos son causados por la interferencia de las ondas incidente y reflejada y, esta última, a distancias suficientemente alejadas de la carga es prácticamente nula debido a su atenuación según exp(−β00 l). En esta situación, si el generador está suficientemente alejado de la carga, el desacoplo oscilador-carga es grande en el sentido de que cualquier variación en la carga no afecta al oscilador. Figura 15.16 Cuando las pérdidas son pequeñas puede considerarse que los modos a+ y a− trasportan básicamente la energía en forma independiente, pero aparece un pequeño término extra de interacción. En efecto, la potencia transmitida viene dada por P = 1 2 Re (V I∗ ) P = 1 8 Re ³h a+ o e−jβ0 z−β00 z + a− o ejβ0 z+β00 z i h (a+ o )∗ ejβ0 z−β00 z − (a− o )∗ e−jβ0 z+β00 z i Y ∗ o ´ O bien: P = 1 2 Re (V I∗ ) = 1 8 Re nh¯ ¯a+ o ¯ ¯2 exp(−2β00 z) − ¯ ¯a− o ¯ ¯2 exp(2β00 z) i Y ∗ o o + + 1 8 Re ©£ (a+ o )∗ (a− o )∗ exp(j2β0 z) − (a+ o )∗ (a− o )∗ exp(−2jβ0 z) ¤ Y ∗ o ª si las pérdidas son nulas o muy pequeñas el segundo sumando en la expresión de la 25

26. potencia transmitida es nulo puesto que Y ∗ o sería real y el factor que multiplica a Y ∗ o es la diferencia de dos complejos conjugados que es imaginario puro. En este caso la potencia total transmitida es la diferencia de las potencias asociadas a las ondas incidente y reflejada. Si las pérdidas son apreciables, desglosando a la admitnacia característica en sus com- ponentes, Yo = Go + jBo, y operando adecuadamente se obtiene: P = 1 2 Re (V I∗ ) = 1 8 Go ¯ ¯a+ o ¯ ¯2 exp(−2β00 z) · 1 − |ρ| 2 + 2 Bo Go Im(ρ) ¸ (15.32) siendo el último término debido exclusivamente a las pérdidas, y representa un intercambio de energía entre las ondas incidente y reflejada. Antes de proseguir es conveniente hacer un inciso respecto a las unidades en que se suele medir la atenuación. Según aparece β00 en las expresiones desarrolladas arriba, sus unidades corresponden, al igual que las de β0 , a [longitud]−1 ; no obstante, en la práctica la atenuación suele darse en decibelios (dB) o en nepers. El decibelio se define en términos de la relación entre las potencias transmitida en z y en z + L, así Atenuación en dB = 10 log10 e2β00 L = 8, 686β00 L (15.33) tal como se desprende de (15.32) supuesto despreciable el último término. El neper, por otra parte, se define en términos de la relación entre la amplitud de la onda en z y en z +L, según Atenuación en nepers = ln10 e2β00 L = β00 L (15.34) Las expresiones (15.33) y (15.34) corresponden a la atenuación introducida en la onda por un tramo de longitud L, y, teniendo en cuenta dichas expresiones, el coeficiente de atunuación β00 o α, suele expresarse en dB o en nepers por unidad de longitud. La expresión del coeficiente de reflexión, supuestas pérdidas no nulas, resulta ser ρ = a− o a+ o exp(2jβ0 z) exp(2β00 z) = ρL exp(−2jβ0 l) exp(−2β00 l) destacándose como diferencia importante respecto al caso sin pérdidas, que su módulo no permanece constante al movernos a lo largo de la línea, sino que decrece según exp(−2β00 l) a medida que nos alejamos de la carga. Por otra parte, observando la expresión (15.32) se comprende que cuando las pérdidas son apreciables, aún estando cargada la línea con un elemento pasivo, Re(ZL) > 0, pueden existir situaciones en que |ρ| sea mayor que la unidad sin que se viole el principio de conservación de la energía; esta situación, no obstante, se encuentra muy raramente y además |ρ| se atenuaría rápidamente al alejarnos de la carga, como ya hemos dicho, tomando valores inferiores a la unidad. El diagrama de Smith sigue siendo útil en el caso de líneas con pérdidas, sobre todo si estas son pequeñas. Sin embargo, la representación de ρ ya no será una circunferencia, sino que decrecerá siguiendo una espiral, a medida que nos alejamos de la carga; precisamente este decremento puede utilizarse en la medida de β00 mediante la determinación de S en puntos distantes. 26

Add a comment

Related pages

TEMA XV - UNED | Universidad Nacional de Educación a ...

LINEAS DE TRANSMISIÓN 1. ... Esta linea se utilizó inicialmente para transmitier señales de baja ... tema15.dvi Created Date:
Read more

Transmisión en vivo - Inicio

transmisión en vivo; e-biblioteca UNED; Siganos en . Eventos Plataforma . Recursos didácticos UNED. aprendizaje ... UNED Costa Rica (506)2527-2000.
Read more

Top 25 Supervisor De Líneas De Transmisión profiles ...

Here are the top 25 Supervisor De Líneas De Transmisión profiles on LinkedIn. Get all the articles, experts, jobs, and insights you need.
Read more

Adenda Transporte y distribución 2012, 2013

Parámetros de las líneas de transmisión. Inductancia y capacidad de las ... No existen Unidades Didácticas editadas por la UNED en esta ...
Read more

UNED | Vicerrectorado de Investigación

UNED: Universidad Nacional de Educación a Distancia. Portal Web de la UNED, ... de transmisión de la cultura y de generación de nuevos conocimientos ...
Read more

Jorge Costales | LinkedIn

Cálculo, Álgebra, Materiales,Teoría de Máquinas, Termodinámica, Transmisión de Calor ... (Concurso de robots seguidores de lineas ...
Read more

Yairis Ojeda | LinkedIn

Yairis Ojedas berufliches Profil anzeigen LinkedIn ist das weltweit größte professionelle Netzwerk, das Fach- und Führungskräften wie Yairis Ojeda ...
Read more