TEMA 2 -LEY DE COULOMB E INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

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Published on November 19, 2009

Author: Diomedes1905

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LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA VOLUMÉTRICA

CAMPO DE UNA LÍNEA DE CARGA

CAMPO DE UNA LÁMINA DE CARGA

LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS

CAMPOS ELECTROMAGN ÉTICOS TEMA 2 LEY DE COULOMB E INTENSIDAD DE CAMPO EL ÉCTRICO Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez Ciclo Sep – Dic 2009 San Cristóbal, RD

TABLA DE CONTENIDO LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA VOLUMÉTRICA CAMPO DE UNA LÍNEA DE CARGA CAMPO DE UNA LÁMINA DE CARGA LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS

LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA VOLUMÉTRICA

CAMPO DE UNA LÍNEA DE CARGA

CAMPO DE UNA LÁMINA DE CARGA

LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB Coulomb afirmó que la fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, o sea: F es la fuerza [Newtons – N] Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o negativa [coulombs – C] R es la separación [metros – m] K es una constante de proporcionalidad -> 1 Unidades Sistema mks Aquí de nuevo, … Qué creen, ¿Es ε 0 adimensional?

Coulomb afirmó que la fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, o sea:

F es la fuerza [Newtons – N]

Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o

negativa [coulombs – C]

R es la separación [metros – m]

K es una constante de proporcionalidad

->

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB ACLARANDO : ε 0 -> permitividad del espacio libre -> LEY DE COULOMB [Forma Escalar] 2 RECORDANDO : Carga Electr ón -> 1.602 x10 -19 C Carga 1 Coulomb -> 6 x 10 18 electrones Fuerza 2Q de 1C y R=1m -> 9 x 10 9 N [Casi 1 mill ón de Toneladas ] Masa en Reposo Electr ón -> 9.109 x 10 -31 kg Radio Electrón -> 3.8 x 10 -15 m

ACLARANDO :

ε 0 -> permitividad del espacio libre ->

LEY DE COULOMB

[Forma Escalar]

LEY DE COULOMB (CONT.) [Forma Vectorial] donde a 12 es un vector unitario en la direcci ón de R 12 , es decir: Observe la siguiente figura, y verifique que si Q 1 y Q 2 tienen el mismo signo, el vector fuerza F 2 sobre Q 2 tiene la misma dirección que el vector R 12 . LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.) 3

LEY DE COULOMB (CONT.)

[Forma Vectorial]

donde a 12 es un vector unitario en la direcci ón de R 12 , es decir:

Observe la siguiente figura, y verifique que si Q 1 y Q 2 tienen el mismo signo, el vector fuerza F 2 sobre Q 2 tiene la misma dirección que el vector R 12 .

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.) 4 Ejemplo 2.1: Para ilustrar el uso de la forma vectorial de la Ley de Coulomb ubiquemos una carga Q 1 = 3 x 10 -4 C en M(1,2,3) y otra carga Q 2 =-10 -4 C en N(2,0,5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza que ejerce Q 1 en Q 2 . Solución: Se determina el vector R 12 y su magnitud: R 12 = r 2 – r 1 = (2-1) a x + (0-2) a y + (5-3) a z = a x - 2 a y + 2 a z Se determina el vector unitario a 12 : Se determina la fuerza F 2 :

Ejemplo 2.1:

Para ilustrar el uso de la forma vectorial de la Ley de Coulomb ubiquemos una carga Q 1 = 3 x 10 -4 C en M(1,2,3) y otra carga Q 2 =-10 -4 C en N(2,0,5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza que ejerce Q 1 en Q 2 .

Solución:

Se determina el vector R 12 y su magnitud:

R 12 = r 2 – r 1 = (2-1) a x + (0-2) a y + (5-3) a z = a x - 2 a y + 2 a z

Se determina el vector unitario a 12 :

Se determina la fuerza F 2 :

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.) 5 Algunas Conclusiones sobre la Ley de Coulomb: La fuerza expresada por la Ley de Coulomb es una fuerza mutua, esto es: La Ley de Coulomb es lineal. La fuerza debida a la acción de varias cargas es la suma de las fuerzas que sobre dicha carga ejercerían individualmente cada una de las otras cargas.

Algunas Conclusiones sobre la Ley de Coulomb:

La fuerza expresada por la Ley de Coulomb es una fuerza mutua, esto es:

La Ley de Coulomb es lineal.

La fuerza debida a la acción de varias cargas es la suma de las fuerzas que sobre dicha carga ejercerían individualmente cada una de las otras cargas.

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.) 6 D2.1 La carga Q A = - 20 μ C está en el punto A(-6,4,7), y la carga Q B = 50 μ C está en el punto B(5,8,-2) en el espacio libre. Si las distancias están dadas en metros, encontrar: R AB | R AB | F vectorial ejercida por Q B sobre Q A si ε 0 es -> F vectorial ejercida por Q B sobre Q A si ε 0 es -> Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: 11 a x + 4 a y – 9 a z m 14.76 m 30.76 a x + 11.184 a y – 25.16 a z mN 30.72 a x + 11.169 a y – 25.13 a z mN Otro más. -> Realizar Problema 2.1

D2.1

La carga Q A = - 20 μ C está en el punto A(-6,4,7), y la carga Q B = 50 μ C está en el punto B(5,8,-2) en el espacio libre. Si las distancias están dadas en metros, encontrar:

R AB

| R AB |

F vectorial ejercida por Q B sobre Q A si ε 0 es ->

F vectorial ejercida por Q B sobre Q A si ε 0 es ->

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:

11 a x + 4 a y – 9 a z m

14.76 m

30.76 a x + 11.184 a y – 25.16 a z mN

30.72 a x + 11.169 a y – 25.13 a z mN

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO 7 Campo Eléctrico en una Carga Puntual en el Origen Campo Eléctrico en una Carga Puntual Fuera del Origen El vector r′ localiza la carga puntual Q, el vector r determina cualquier punto P (x,y,z) del espacio, y el vector R de Q a P(x,y,z) es entonces R=r- r′ . Fuerza sobre unidad de carga

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) 8 En el escenario de la gráfica, la suma vectorial de las intensidades de campo eléctrico total en P debido a Q1 y Q2 puede hacerse por el carácter lineal de la ley de Coulomb, es decir: Si se agregan más cargas en otras posiciones del campo debido a n cargas puntuales, entonces:

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) 9 Ejemplo 2.2: Encontrar E en el punto P(1,1,1) que causan cuatro cargas idénticas de -3 nC localizados en los puntos P 1 (1,1,0), P 2 (-1,1,0), P 3 (-1,-1,0) y P 4 (1,-1,0), como se verifica en la siguiente figura. Solución : Del gráfico se observa que el vector r = a x + a y + a z y r 1 = a x + a y deduciendo que : r - r 1 = a z Adicionalmente se confirma que: | r - r 1 |= 1, | r - r 2 |= √5, | r - r 3 |= 3, | r - r 4 |= √5. Puesto que Entonces resulta :

Solución :

Del gráfico se observa que el vector r = a x + a y + a z y r 1 = a x + a y deduciendo que : r - r 1 = a z

Adicionalmente se confirma que:

| r - r 1 |= 1, | r - r 2 |= √5, | r - r 3 |= 3, | r - r 4 |= √5.

Puesto que

Entonces resulta :

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.) 10 D2.2 Una carga de – 0.3 μ C se encuentra en el punto A(25,-30,15) en cms, y una segunda carga de 0.5 μ C en el punto B(-10,8,12) cms. Encontrar E en : El origen En P(15,20, 50) cms Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: 92.3 a x – 77.6 a y – 94.2 a z kV/m 11.9 a x – 0.519 a y + 12.4 a z kV/m Y ahora porque no vemos, … Solución en Ms Excel

D2.2

Una carga de – 0.3 μ C se encuentra en el punto A(25,-30,15) en cms, y una segunda carga de 0.5 μ C en el punto B(-10,8,12) cms. Encontrar E en :

El origen

En P(15,20, 50) cms

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:

92.3 a x – 77.6 a y – 94.2 a z kV/m

11.9 a x – 0.519 a y + 12.4 a z kV/m

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA 11 Sea ρ v la densidad de carga volum étrica en C/m 3 , entonces la carga para un ∆ v se expresa: Para que la densidad de carga volumétrica corresponda a una distribución suave y continua, se evalúa la expresión anterior mediante un proceso de acercamiento en el límite, es decir: De lo anterior, se verifica que la carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por integración sobre todo el volumen, es decir:

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.) 12 Ejemplo 2.3: Encontrar la carga total contenida en el haz de electrones de un tubo de rayos catódicos de longitud igual a 2 cm, como se muestra a continuación. Solución : De la figura se observa que: Se considera el diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas para encontrar la carga total, esto es: Integrando respecto a se tiene:

Solución :

De la figura se observa que:

Se considera el diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas para encontrar la carga total, esto es:

Integrando respecto a se tiene:

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.) 13 Ejemplo 2.3 (Cont.) : Solución : Integrando respecto a z, se tiene Finalmente:

Solución :

Integrando respecto a z, se tiene

Finalmente:

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.) 14 Si se suman todas las contribuciones de toda la carga dentro del volumen de una región dada y se deja que el elemento de volumen ∆ v se aproxime a cero, cuando el número de elementos se hace infinito, entonces dicha suma se convierte en una integral, esto es: D2.4 Calcular la carga total dentro de los volúmenes siguientes: 0.1 ≤ |x|, |y|, |z| ≤ 0.2 y 0 ≤ ρ ≤ 0.1, 0 ≤ Ф ≤ π , 2 ≤ z ≤ 4; ρ v = ρ 2 z 2 sin(0.6 Ф ) En el universo; Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: 0 1.018 mC 6.28 C

D2.4

Calcular la carga total dentro de los volúmenes siguientes:

0.1 ≤ |x|, |y|, |z| ≤ 0.2 y

0 ≤ ρ ≤ 0.1, 0 ≤ Ф ≤ π , 2 ≤ z ≤ 4; ρ v = ρ 2 z 2 sin(0.6 Ф )

En el universo;

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:

0

1.018 mC

6.28 C

CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA 15 Densidad de Carga [C/m]. Para una densidad (lineal y uniforme) en una l ínea de carga que se extiende desde - ∞ a + ∞ a lo largo del eje z, se tiene : Al variar Ф , con ρ y z contantes, la l ínea de carga conserva simetría azimutal. Si se varía z , con ρ y Ф constantes, la línea de carga conserva simetría axial, por tanto, el campo es independiente de z . Si varía ρ , con z y Ф constantes, el campo disminuye cuando ρ se incrementa, debido a la ley de Coulomb. Si E Ф =0, entonces E z + y E z - se cancelan. E ρ var ía únicamente con variación de ρ .

Al variar Ф , con ρ y z contantes, la l ínea de carga conserva simetría azimutal.

Si se varía z , con ρ y Ф constantes, la línea de carga conserva simetría axial, por tanto, el campo es independiente de z .

Si varía ρ , con z y Ф constantes, el campo disminuye cuando ρ se incrementa, debido a la ley de Coulomb.

Si E Ф =0, entonces E z + y E z - se cancelan.

E ρ var ía únicamente con variación de ρ .

CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA (CONT.) 16 De la gráfica se verifica que: Observe que el campo decae inversamente a la distancia a la línea de carga, a diferencia del caso puntual donde el campo disminuye con el cuadrado de la distancia.

CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA (CONT.) 17 Ejemplo 2.4: Considere una línea de carga infinita situada a lo largo del eje z. La misma pasa por x=6 y y=8. Se desea encontrar E en un punto P(x,y,z) cualquiera del campo Solución : Reemplazamos R en la ecuaci ón: Siendo R igual a: Por tanto, Observe que el campo no es función de z

Solución :

Reemplazamos R en la ecuaci ón:

Siendo R igual a:

Por tanto,

CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA (CONT.) 18 D2.5 A lo largo de los ejes x y y (positivo y negativo) en el espacio libre se encuentran líneas de carga uniforme e infinitas de 5 nC/m. Encontrar el valor de E en: P A (0,0,4) P B (0,3,4) Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: 45 a z V/m 10.8 a y + 36.9 a z V/m

D2.5

A lo largo de los ejes x y y (positivo y negativo) en el espacio libre se encuentran líneas de carga uniforme e infinitas de 5 nC/m. Encontrar el valor de E en:

P A (0,0,4)

P B (0,3,4)

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:

45 a z V/m

10.8 a y + 36.9 a z V/m

CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA 19 Densidad de Carga Superficial [C/m 2 ]. Consideremos una lámina infinita dividida en tiras de ancho infinitesimal, como se muestra a continuación: La densidad de carga lineal de una tira es: La contribución al campo de la tira en el punto P es:

CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA (CONT.) 20 Recordemos que una integral de la forma: Por tanto: Vectorialmente: Observe que el campo es constante en magnitud y dirección

CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA (CONT.) 21 Si el punto que se elige sobre el eje x es negativo, en la ecuación : el vector unitario a N es normal a la lámina, esto significa que se aleja de ella [hacia afuera]. Sea una l ámina con carga ρ s . Si se coloca otra lámina con carga ρ s , que se sitúa en x=a, el campo total resultante para x>a es: y Resultado Para x<0: ; ; Para 0<x<a: ; ; Este es el campo existente entre las placas de un capacitor

CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA (CONT.) 22 D2.6 Tres láminas infinitas cargadas uniformemente se localizan en el espacio libre como sigue: 3nC/m 2 en z=-4 6nC/m 2 en z=1 -8nC/m 2 en z=4 Encontrar E en el punto: P A (2,5,-5) P B (4,2,-3) P C (-1,-5,2) P D (-2,4,5) Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: -56.5 a z V/m 283 a z V/m 961 a z V/m 56.5 a z V/m

D2.6

Tres láminas infinitas cargadas uniformemente se localizan en el espacio libre como sigue:

3nC/m 2 en z=-4

6nC/m 2 en z=1

-8nC/m 2 en z=4

Encontrar E en el punto:

P A (2,5,-5)

P B (4,2,-3)

P C (-1,-5,2)

P D (-2,4,5)

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:

-56.5 a z V/m

283 a z V/m

961 a z V/m

56.5 a z V/m

LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS 23 Representación Gráfica Líneas de Campo en dos Dimensiones Un esquema muy pobre. Gráfica correcta. Gráfica correcta. Forma común de una gráfica de línea de corriente. En esta última gráfica, las flechas representan la dirección del campo en cada punto a lo largo de la línea, y el espaciamiento entre las líneas es inversamente proporcional a la magnitud del campo.

Un esquema muy pobre.

Gráfica correcta.

Gráfica correcta.

Forma común de una gráfica de línea de corriente. En esta última gráfica, las flechas representan la dirección del campo en cada punto a lo largo de la línea, y el espaciamiento entre las líneas es inversamente proporcional a la magnitud del campo.

LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS (CONT.) 24 Ecuación Líneas de Flujo: Por geometría, se deduce que: como se verifica en el siguiente gráfico: Ejemplo: Considere el campo de una línea de carga uniforme con Resultando En coordenadas cartesianas se tiene: Estableciendo la Ec. Diferencial: Por tanto: Esta es la Ec. De las líneas de flujo

LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS (CONT.) 25 D2.7.a Obtener la ecuación de las líneas de flujo que pasan por el punto P(1,4,-2), en donde el campo es Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: x 2 +2y 2 =33

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:

x 2 +2y 2 =33

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

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