Tema 14 Propagación en Sistemas con Simetría Traslacional (UNED)

50 %
50 %
Information about Tema 14 Propagación en Sistemas con Simetría Traslacional (UNED)

Published on January 9, 2016

Author: camar900

Source: slideshare.net

1. TEMA XIV PROPAGACIÓN EN SISTEMAS CON SIMETRÍA TRASLACIONAL 1

2. 14.1. RELACIONES ENTRE LOS CAMPOS; FORMULACIÓN DEL PROB- LEMA Se entiende por sistema de transmisión con simetría traslacional, o sistema de trans- misión cilíndrico, aquel en el que existe una dirección privilegiada, llamémosla z, coinci- dente con la dirección de propagación de la onda electromagnética, a lo largo de la cual se conserva la sección transversal del sistema, no sólo en geometría sino también en lo que a las características electromagnéticas del medio se refiere. Esta hipótesis de simetría traslacional, con la sistematización que permite del problema de propagación, tiene prin- cipalmente dos ventajas. Por una parte, gran variedad de sistemas de transmisión se aco- modan al supuesto de simetría traslacional; por otro lado, muchas situaciones en que se rompe dicho supuesto, son tratables en términos de las soluciones obtenidas para sistemas de transmisión cilíndricos, directamente relacionables con el sistema actual. Un sistema de transmisión cilíndrico está generalmente constituido por diferentes re- giones conductoras y dieléctricas. En la figura 1 se representan las seciones transversales de sistemas de transmisión comúnmente utilizados, como son la líneas bifilar, ’’strip’’ y coaxial, y la guía rectangular. De estos sistemas los dos primeros son abiertos y la falta de confinamietno del campo electromagnético puede dar lugar a fenómenos de radiación que inhabilitan al sistema para su utilización a muy alta frecuencia; cabe destacar también que en el caso de las líneas, sistemas multiconductores, es posible la propagación de un ’’modo’’ de propagación en el que los campos no tienen componente según Z (modo Transversal Electro-Magnético, TEM), mientras que, como veremos posteriormente, este modo no puede propagarse en guías Figura 14.1 A efectos de un estudio formal de la propagación en estas estructuras podemos partir de una situación correspondiente a alimentación armónica, con lo que las dependencias temporales serán de la forma exp(jωt), siendo f = ω/2π la frecuencia de alimentación, centrándonos en una situación correspondiente a medios lineales e isótropos y en ausencia de fuentes. Con estas hipótesis las ecuaciones de Maxwell toman la forma 2

3. ∇ · E = 0 ∇ · H = 0 ∇ × E = −jωµH (14.1) ∇ × H = jωµE siendo ε y µ, respectivamente, las permitividades eléctrica y magnética de los materiales en que se efectúa la propagación, y describiendo al campo en términos de los vectores E y H como es usual en estos estudios. Por otra parte las superficies conductoras ideales que delimitan la geometría de nuestro problema, van a imponer las siguientes condiciones de contorno para los campos: • El campo eléctrico ha de ser normal en las proximidades de las superfiies metálicas. • El campo magnético ha de ser tangencial en las proximidades de dichas superficies un × E = 0 un · H = 0 (14.2) supuesto que los metales son conductores perfectos y siendo un el vector unitario normal a la superficie considerada. Dado que hemos privilegiado la coordenada z como dirección de propagación y a los largo de la cual suponemos que nuestro sistema posee simetría de traslación, descompong- amos tanto los vectores del campos, sean V, como el operador ∇, en sus componentes transversal y longitudinal V = Vt + Vz = Vt + Vzuz ∇ = ∇t + ∇z = ∇t + ∂ ∂z uz siendo uz el vector unitario en la dirección z. Las ecuaciones de Maxwll quedan entonces descompuestas en los siguientes términos ∇t · Et + ∂Ez ∂z = 0 ∇t · Ht + ∂Hz ∂z = 0 ∇t × Et − uz × ∇tEz + uz × ∂Et ∂z = −jωµ (Ht + Hz) ∇t × Ht − uz × ∇tHz + uz × ∂Ht ∂z = jωε (Et + Ez) donde se ha sustituído ∇t × uz por (−uz × ∇t) . Las dos últimas expresiones, deducidas de las ecuaciones rotacionales de Maxwell, que son las esenciales para la determinación del campo electromagnético, se separan directa- mente en la siguientes: ∇t × Ht = jωεEzuz (14.3) 3

4. ∇t × Et = −jωµHzuz uz × ∇tHz − uz × ∂Ht ∂z = −jωεEt (14.4) uz × ∇tEz − uz × ∂Et ∂z = jωµHt Observemos que en las relaciones (14.4), operando adecuadamente, se pueden eliminar Et o Ht, con lo cual se obtienen las componentes transversales en términos de las longitudi- nales; en efecto, multiplicando la primera por jωε y operando en la segunda con (uz)× ∂ ∂z resulta jωεuz × ∇tEz − jωεuz × ∂Et ∂z = −ω2 µεHt − ∂ ∂z ∇tHz + ∂2 Ht ∂z2 = −jωεuz × ∂Et ∂z con lo cual, sumando se obtiene: − µ k2 + ∂2 ∂z2 ¶ Ht = jωεuz × ∇tEz − ∂ ∂z ∇tHz (14.5) donde se ha utilizado la notación de k para la constante de propagación que tendría la onda en un medio libre, de características electromagnéticas dadas por ε y µ, a la frecuencia angular ω : k2 ≡ ω2 µε (14.6) Un desarrollo análogo, eliminando Ht en las relaciones (14.4), conduce a la siguiente expresión par Et en términos de Ez y Hz : µ k2 + ∂2 ∂z2 ¶ Et = jωµuz × ∇tHz − ∂ ∂z ∇tEz (14.7) Como complemento al desarrollo que estamos llevando a cabo, observemos que podemos además de obtener ecuaciones de ondas separadas para Ez y Hz; para ello operemos sobre las relaciones (14.5) y (14.7) con [∇t×] y utilicemos las ecuaciones (14.3) para sustituir los valores de ∇t × Et y ∇t × Ht en términos de Hz y Ez respectivamente; operando adecuadamente en la forma citada se obtiene en definitiva: µ ∇2 t + ∂2 ∂z2 + k2 ¶ ½ Hz Ez ¾ = 0 (14.8) Las ecuaciones anteriores son la base para la resolución del problema de distribución del campo electromagnético en estructuras cilíndricas. Conviene destacar que su obtención no depende del carácter de los parámetros escalares ε y µ, que pueden ser complejos. Ob- servemos también que el formalismo desarrollado es válido aún cuando el medio no sea ho- mogéneo, compuesto por ejemplo por las superficies conductoras que definen la geometría 4

5. y diversos dieléctricos, siempre y cuando se conserve la simetría de traslación supuesta; en casos de estructura no homogénea compuesta por diversos medios parcialmente homogé- neos, tendríamos ecuaciones como la (14.8) para cada zona, pero con diferentes valores de k. Las ecuaciones (14.8) han de resolverse sujetas a la condición de que ∂/∂z es la misma para los diversos medios presentes, ya que en caso contrario no sería posible satisfacer las condiciones de contorno o continuidad para cualquier z y t. Esta condición queda cumplida observando que la dependencia con z de las soluciones es de la forma exp(±jβz), con una constante de propagación β que es única para los diferentes medios constitutivos del sistema; esta dependencia con z surge directamente separando variables en la soluciones de la ecuación de ondas. Conjuntando las dependencia con z y t, las magnitudes del campo, aparte de la depen- dencia con las coordenadas transversales, variarán según ej(ωt+βz) viniendo el signo menos ligado a las ondas que se propaguen según las z crecientes y el signo más a aquellas cuya velocidad de fase esté dirigida según las z decrecientes. La constante de propagación será en general compleja: β = β0 − jβ00 indicando β0 la constante de fase y β00 la constante de atenuación. Otra notación amplia- mente difundida utiliza una dependencia según ejωt−Γz siendo ahora Γ = α + jβ y coincidiendo α con la constante de atenuación (β00 en nuestra notación) y β con la constante de fase (nuestra β0 ) Volviendo a la formulación de nuestro problema, la dependencia con z supuesta para las soluciones nos reduce la ecuación de ondas (14.8) a la forma £ ∇2 t + ¡ k2 − β2 ¢¤ ½ Hz Ez ¾ = 0 (14.9) Una vez resuelta esta ecuación en conjunción con las condiciones de contorno del prob- lema, tenemos totalmente resuelto el campo electromagnético, dado que las compoenentes transversales vienen dadas en función de la longitudinales; en efecto, teniendo en cuenta la dependencia con z, y sustituyendo por tanto ∂/∂z por ∓jβ, las ecuaciones (14.5) y (14.7) conducen a Et = 1 k2 − β2 (jωµuz × ∇tHz ∓ jβ∇tEz) (14.10) Ht = 1 k2 − β2 (−jωεuz × ∇tEz ∓ jβ∇tHz) (14.11) 5

6. donde se sobreentiende que, en el doble signo, el superior está ligado a ondas propagándose según z creciente y el inferior a las que lo hacen en sentido opuesto. 14.2. MODOS DE TRANSMISIÓN Las soluciones naturales de la ecuación de ondas homogénea en un medio isótropo indefinido, es decir, en susencia de contornos, son las ondas planas; ya se ha visto anteri- ormente en este curso, como en términos de dichas soluciones pueden resolverse proble- mas en que se encuentran presentes contornos, como ocurre en el estudio de la reflexión y refracción, etc. Aunque en principio podría resolverse el campo electromagnético en sistemas de transmisión como superposición de ondas planas, esto es a menudo difícil y siempre laborioso. Continuando el formalismo desarrollado anteriormente, el camino a seguir ahora consiste en encontrar distribuciones específicas del campo electromagnético que constituyan soluciones más naturales a nuestro problema. Dichas distribuciones, a las que denominaremos modos, resultan ser básicamente de tres tipos: TE (Transversal Eléc- trico, es decir Ez = 0), TM (Transversal Magnético, es decir Hz = 0) y TEM (Transversal Eléctromagnético, es decir Ez == Hz = 0), cuando el sistema de transmisión es homogé- neo. Hemos obtenido en la cuestión anterior, que en nuestros sistemas la ecuación general de ondas homogénea, se reduce a una ecuación en dos dimensiones, que escribiremos en la forma resumida £ ∇2 t + γ2 n ¤ ϕn = 0 (14.12) donde ϕn representa bien a Hz o bien a Ez y con la definición adicional γ2 n = k2 − β2 n = ω2 µε − β2 n (14.13) La ecuación (14.12) unidad a las condiciones de contorno de nuestro sistema, conforma un problema de autovalores donde γn son los autovalores y ϕn las autofunciones corre- spondientes. La presencia de contornos da lugar a una discretización del espectro de auto- valores, que por otro lado vendrán determinados precisamente por la geometría de nuestro sistema. La obtención de los autovalores permite calcular a su vez la constante de propa- gación correspondiente a cada modo, a la frecuencia de operación, a través de la relación de dispersión expuesta en la ecuación (14.13). Lógicamente no se pueden obtener expresiones concretas para las distribuciones de campo electromagnético de los diversos modos, sin antes especificar el sistame de trans- misión; este aspecto será desarrollado en algunos casos particulares en un tema posterior. No obstante, podemos encontrar diversas propiedades de índole general para los diferentes tipos de modos, a partir del formalismo ya estructurado. A continuación particularizare- mos para los modos TE, TM y TEM, que constituyen los más importantes para el análisis de la mayoría de guías de onda y líneas de transmisión homogéneas, y en tema posterior también estudiaremos otros tipos de modos con mayor utilidad en el análisis de estructuras no homogéneas. 6

7. Modos TE Estos modos se caracterizan por poseer, de las componentes longitudinales del campo, solamente la magnética (Ez = 0); también se les suele denominas modos H. Imponiendo esta condición Ez = 0 en las ecuaciones (14.10) y (14.11), que ligan las componentes transversales con las longitudinales, se obtiene Ht = ∓ jβn γ2 n ∇tHz (14.14) Et = jωµ γ2 n uz × ∇tHz = ∓ ³µ ε ´1/2 k βn uz × Ht (14.15) conviniendo como se ha hecho anteriormente que, en el doble signo, el superior corre- sponde a ondas incidentes (propagándose según z creciente) y el inferior a ondas reflejadas. Así pues, los modos TE quedan resueltos en cuanto se obtenga la componente Hz, dado que a partir de dicha componente la expresión (14.14) permite obtener por derivaciones apropiadas la componente Ht, y a partir de esta última queda determinada Et a través de la relación (14.15) Se deduce de las expresiones anteriores que las componentes transversales de los cam- pos eléctrico y magnético son siempre perpendiculares y relacionados entre sí por la im- pedancia de onda ZTE = |Et| |Ht| = ³µ ε ´1/2 k βn (14.16) formando un triedro directo Et, Ht y ±uz según que la onda sea incidente o reflejada, tal como corresponde al sentido de propagación de la energía. Para la determinación de la magnitud básica, Hz sabemos que ha de ser solución de la ecuación (14.12), y además que en los contornos metálicos el campo magnético ha de ser tangencial. Escogiendo una geometría tipo como puede ser la representada en la figua 14.2, dado que Hz es de por sí tangencial al contorno metálico, la condición expuesta afectará básicamente a Ht. Con referencia a la figura 14.2 la relación (14.14) puede escribirse en la forma Ht = ∓ jβn γ2 n µ ∂Hz ∂n un + ∂Hz ∂l ul ¶ indicando n la dirección normal al contorno. De aquí que la tangencialidad del campo magnético en el metal conduce a la siguiente condición de contorno para Hz : ∂Hz ∂n = 0 (14.17) sobre las paredes metálicas del sistema, supuesto que son conductores perfectos. Dada la relación del campo eléctrico con Ht, automáticamente se cumplirá que dicho campo eléctrico será perpendicular al contorno. Modos TM 7

8. Vienen definidos estos modos por la ausencia de componente longitudinal del campo magnético; se les denomina también modos E. Figura 14.2 Siguiendo un camino análogo al efectuado para el análisis de los modos TE, la imposi- ción de la condición Hz = 0 en las ecuaciones (14.10) y (14.11) conduce a Et = ∓ jβn γ2 n ∇tEz (14.18) Ht = jωε γ2 n uz × ∇tEz = ∓ µ ε µ ¶1/2 βn k uz × Et (14.19) También se observa que los campos eléctrico y magnético transversales son perpendic- ulares y relacionados entre sí por la impedancia de onda TM: ZTM = |Et| |Ht| = ³µ ε ´1/2 βn k (14.20) La determinación completa del campo se efectúa pues en términos de Ez, dado que Et y Ht se obtienen directamente de Ez a través de las relaciones (14.18) y (14.19). Por otra parte Ez ha de ser solución de la ecuación (14.12), sujeta a la condición Ez = 0 (14.21) sobre las paredes metálicas del sistema. Con esta condición queda automáticamente cumpl- ida la perpendicularidad del campo eléctrico sobre el contorno: efectivamente, con refer- encia a la figura 14.2, la expresión (14.18) puede ponerse en la siguiente forma: Et = ∓ jβn γ2 n µ ∂Ez ∂n un + ∂Ez ∂l ul ¶ 8

9. y como la condición Ez = 0 sobre el contorno nos lleva a que ∂Ez ∂l también sea nulo, sobre el contorno resultará Et = ∓ jβn γ2 n ∂Ez ∂n un siendo por tanto perpendicular a la pared. Teniendo en cuenta la relación (14.19), el campo magnético también cumple la condición de ser tangencial a la pared. Modos TEM Teniendo en cuenta de nuevo las ecuaciones que relacionan las componentes transver- sales con la longitudinales, la existencia de un modo TEM, definido por la ausencia de componentes del compo longitudinales (Ez = 0; Hz = 0), exige que se cumpla la condi- ción γ2 n = 0, es decir β2 = k2 = ω2 ε Esto significa que un modo TEM en un sistema de transmisión posee la misma constante de propagación que tendría la onda libre en el mismo medio. Este modo de transmisión posee una especial importancia por diferentes razones prác- ticas y conceptuales; por un lado constituye el modo principal de propagación en líneas de transmisión y, sin embargo, no puede propagarse en estructuras monoconductoras como son la guías de onda, tal como veremos a continuación. La ausencia de componentes longitudinales del campo electromagnético conduce, te- niendo en cuenta las ecuaciones (14.3) y anteriores, en que se efectuaba una separación del problema en sus partes transversal y longitudinal, a las siguientes ecuaciones para Et y Ht, que simbolizaremos unificadamente por un vector At : ∇t · At = 0 ∇t × At = 0 Así pues, el problema de resolución de la distribución transversal del campo electro- magnético de una onda TEM queda reducido a un problema estático en dos dimensiones. Evidentemente, en una guía hueca, como puede ser la representada en la figura 14.2, al imponer las condiciones de contorno homogéneas en las paredes, la única solución de tipo estático es la correspondiente a campo idénticamente nulo en el intrior; en efecto, si defin- imos, teniendo en cuentra la irrotacionalidad del campo, un potencia de forma que At = −∇tφ donde At puede ser el campo eléctrico y Φ representaría al potencial, esta magnitud obedece a la ecuación de Laplace ∇2 t φ = 0 9

10. correspondiente, por otra parte, a la anulación de γn; la imposición de que Φ sea constante en el contorno conduce a una distribución de Φ uniforme en toda la guía y, consecuente- mente, a un campo idénticamente nulo. Sería necesaria la presencia de otro conductor, como ocurre en líneas de transmisión, que pueda soportar otro potencial diferente, así como las corrientes asociadas que equilibren a las del otro conductor, para poder obtener campos transversales y con ello poderse propagar en las estructuras ondas TEM. De las ecuaciones (14.4), imponiendo que Hz = 0 y Ez = 0, se obtienen sencillamente las conocidas relaciones existentes entre el campo eléctrico y el magnético de una onda TEM Et = ∓ β ωε uz × Ht = ∓ ³µ ε ´1/2 uz × Ht (14.22) donde hemos hecho uso de que la constante de propagación para una onda TEM coincide con la correspondiente a la propagación en el medio libre, β = k. Se observa que los campos eléctrico y magnético son perpendiculares y están relacionados entre sí por la impedancia de onda TEM ZTEM = Et Ht = ³µ ε ´1 2 (14.23) resultado también ampliamente conocido para la propagación libre y que toma el valor de 376,7Ω para la propagación en el vacío. Diagrama ω − β para los modos de transmisión Los diagramas de dispersión ω − β para los modos de transmisión están basados en la relación (14.13) que repetimos aquí dado su interés γ2 n = k2 − β2 n = ω2 µε − β2 n donde βn es la constante de propagación en la estructura y γn es el autovalor correspondi- ente que viene determinado por la geometría y el índice del modo. Supuesto que la propagación se efectúa en un sistema homogéneo y sin pérdidas, lo primero que se observa para modos no TEM, en que γn 6= 0 es la existencia de una fre- cuencia denominada de corte, determinada por la condición β2 n = 0, por encima de la cual la constante de propagación para dicho modo es real y el modo se propaga sin atenuación, y por debajo de dicha frecuencia de corte la constante de propagación es imaginaria pura y el modo se atenúa; en esta última situación el modo se dice evanescente. La frecuencia de corte viene determinada por (ωc)n = 1 √ µε γn o lo que es lo mismo; (fc)n = v γn 2π (14.24) 10

11. siendo v la velocidad de la luz en el medio libre (c si se trata del vacío). Obviamente el mod TEM no tiene frecuencia de corte, pudiendo propagarse en líneas desde frecuencia cero. La ordenación de los modos se efectúa de acuerdo con los valores deγn o de sus frecuen- cia de corte; de acuerdo con esto, se denomina modo fundamental al de menor frecuencia de corte. La representación de la relación de dispersión (14.13) suele efectuarse en un diagrama ω − β como el de la figura 14.3. En dicha figura la recta de pendiente (µε)−1/2 es la correspondiente a propagación libre o de un modo TEM y a ella tiende asintóticamente la curva de dispersión, dibujada en trazo continuo, a frecuencias crecientes y para valores mucho mayores que ωo; esto corresponde a que cuando la longitud de onda es muy inferior a las dimensiones del moso considerado, cuando las longitudes de onda son comparables con las dimensiones citadas, las características de propagación se separan fuertemente de la correspondiente a propagación libre, cesando incluso la propagación para frecuencias inferiores a la de corte. Figura 14.3 Teniendo en cuenta que las velocidades de fase y de grupo vienen dadas por vF = ω β vG = dω dβ dichas magnitudes quedan directamente precisadas en el diagrama ω − βen cuando se fije el punto de operación (frecuencia de trabajo). En la figura 14.3 se señala, para una fre- cuencia ωola constante de propagación correspondiente, β, viniendo dadas vF y vGpor las 11

12. pendientes de las recta F y G; la velocidad de fase resulta ser en cualquier caso mayor o igual que la de la luz, c, mientras que la de grupo, que es la que tiene significado a efectos de propagación de energía o información, resulta inferior o como máximo igual a c. Por otra parte, a partir de la relación de dispersión, se demuestra fácilmente que vF · vG = c2 observándose que para frecuencias próximas al corte la velocidad de grupo tiende a cero y la de fase a infinito, mientras que a frecuencias mucho mayores que ωoambas velocidades tienden asintóticamente a la velocidad de propagación en el medio libre v(c en el caso del vacío). 14.3. PROPIEDADES DE ORTOGONALIDAD En un sistema de transmisión cualquiera, operando a frecuencias suficientemente ele- vadas, el campo real que se propaga no tiene por qué coincidir con los diferentes modos de propagación que anteriormente hemos introducido. No obstante, dichos modos correspon- den a las distribuciones de campo más naturales de la estructura y, si se pueden encontrar relaciones de ortogonalidad entre los mismos, así como demostrar que forman un conjunto completo, cualquier distribución de campo real podrá resolverse apropiadamente como su- perposición de dichos modos de transmisión. La demostraciión de que un conjunto de modos es completo no puede hacerse a nivel general, pero se comprueba fácilmente en di- versos casos particulares de gran interés práctico como son las guías de onda de sección rectangular, circular, etcétera, que se estudiarán posteriormente. Puede obtenerse, sin em- bargo (como veremos a continuación), relaciones de ortogonalidad entre los modos de un sistema cilíndrico cualquiera. Posteriormente nos ocuparemos de dar forma a conjuntos de modos convenientemente normalizados con objeto de poder tener una estructura formal adecuada para el desarrollo de la teoría general de guías. Conviene destacar, además que el disponer de estos conjuntos de modos ortogonales y completos, tiene la utilidad adicional de poder estudiar en términos de los mismos otras estructuras no coincidentes con el sistema cilíndrico de partida, como pueden ser guías con obstáculos, iris, etc., en las que se rompo la hipótesis de simetría traslacional. Para la obtención de las distintas relaciones de ortogonalidad entre los modos de un sistema de transmisión, utilizaremos la forma bidimensional de las identidades de Green, teniendo en cuenta la hipótesis de simetría traslacional. La primera identidad de Green en tres dimensiones surge de aplicar el teorema de Green a una función de la forma Ψ∇Φ Z S Ψ∇Φ · ds = Z V ¡ ∇Φ · ∇Ψ + Ψ∇2 Φ ¢ dV siendo S una superficie cerrada y V el volumen incluído en S. Escogiendo el volumen destacado en la figura 14.4, la separación en componentes transversales y longitudinales conduce a Z V ¡ Ψ∇2 t Φ + ∇tΨ · ∇tΦ ¢ dsT dz + Z V µ ∂Ψ ∂z · ∂Φ ∂z + Ψ ∂2 Φ ∂z2 ¶ dsT dz= 12

13. = Z SL Ψ ∂Φ ∂n dz dl − Z ST µ Ψ ∂Φ ∂z ¶ z dsT + Z ST µ Ψ ∂Φ ∂z ¶ z+dz dsT Figura 14.4 que desarrollando el último integrando y simplificando, queda de la forma Z V ¡ Ψ∇2 t Φ − ∇tΨ · ∇tΦ ¢ dsT dz= Z SL Ψ ∂Φ ∂n dz dl que, en dos dimensiones, puede escribirse Z ST ¡ Ψ∇2 t Φ − ∇tΨ · ∇tΦ ¢ ds= Z L Ψ ∂Φ ∂n dl (14.25) Intercambiando los papeles de Ψy Φ,y restando la ecuación resultante a la expresión (14.25) se obtiene la forma bidimensional del teorema de Green. Z V ¡ Ψ∇2 t Φ − Φ∇2 Ψ ¢ ds = Z SL µ Ψ ∂Φ ∂n − Φ ∂Ψ ∂n ¶ dl (14.26) Aplicando la relación (14.26) a dos autofunciones Ψi, Ψjde nuestra ecuación ∇2 t ψn = −γnψn que cumplan en el contorno ψi ∂ψj ∂n − ψj ∂ψi ∂n = 0 sobre L 13

14. y escogiendo factores de normalización apropiados, se obtiene sin dificultad que Z ST ψiψjds = δij (14.27) siendo δijla delta de Kronecker. También, partiendo de la primera identidad de Green (14.25) se obtiene fácilmente que Z ST ∇tψ · ∇tψjds = γ2 j δij (14.28) si ψi = 0 ó ∂ψj ∂n = 0 en L Otra relación de ortogonalidad, válida aún en el supuesto de que se aplique a dos fun- ciones generales ψ y φque no tienen por qué ser autofunciones de nuestro problema, surge de aplicar el teorema de Stokes a la función ψ∇φ Z L ψ∇φ · dl = Z ST ∇ × (ψ∇φ) · ds = − Z ST (∇φ × ∇ψ) · ds teniendo en cuenta que ∇ × (ψ∇φ) = ∇ψ × ∇φ Entonces, si se anula Ψo ∂φ/∂len el contorno, se obtiene Z ST (∇ψ × ∇φ) · ds = 0 (14.29) Operando adecuadamente con las relaciones (14.27) a (14.29), utilizadas en forma com- pleja y teniendo en cuenta las ecuaciones (14.14) y (14.15) y las (14.18) y (14.19) que relacionan las componentes transversales del campo, para los modos TE y TM, con las lon- gitudinales, así como la ecuación base (14.9) para la determinación de dichas componentes longitudinales y las condiciones de contorno para estas componentes, establecidas en las ecuaciones (14.17) y (14.21), se obtienen las siguientes relaciones de ortogonalidad para diferentes modos que pueden ser, ambos TE o TM, o uno TE y otro TM: Z ST Hzm · H∗ zn ds = 0 Z ST Ezm · E∗ zn ds = 0 Z ST Etm · E∗ tn ds = 0 (14.30) 14

15. Z ST Htm · H∗ tn ds = 0 Z ST (Etm × H∗ tn) · ds = 0 considerando que m y n simbolizan modos diferentes y que la integración se extiende a la sección transversal de la guía, supuesta delimitada por conductores perfectos, tal como exigen las condiciones de contorno (14.17) y (14.21) utilizadas. Las relaciones anteriores no son válidas en principio para conjuntos de modos diferentes como los que puedan establecerse, por ejemplo, en guías no homogéneas. No obstante, la última de las relaciones de ortogonalidad expuestas anteriormente puede demostrarse (1) con completa generalidad, y dado su interés la repetimos a continuación: Z ST (Em × H∗ n) · ds = Z ST (Etm × H∗ tn) · ds = 0 con m 6= n (14.31) Esta última relación indica que la energía en un sistema de transmisión es llevada in- dependientemente por los distintos modos que se propaguen, y, por tanto, la potencia total transmitida será la suma de la transportada por cada modo. En este hecho radica en último término la justificación de la descripción introducida del campo en modos. En un sistema de transmisión que posea paredes no muy buenas conductoras, puede seguir utilizándose la descripción del campo en términos de los modos correspondientes al sistema ideal, pero entoncies nos aparecerá un acoplamiento entre los diferentes modos, introducido por la ñconductividad finita de las paredes. 14.4. DESARROLLO DEL CAMPO EN MODOS NORMALIZADOS En apartados anteriores se ha llevado a cabo la separación del problema de determi- nación de la distribución transversal del campo electromagnético, estableciéndolo en tér- minos propios y con independencia de los factores que afecten a la propagación en la di- rección z. Esta separación queda precisada en el problema de autovalores determinado por la ecuación (14.12) y condiciones de contorno pertinentes. El posterior desarrollo del campo en términos de los modos de transmisión, ya hemos señalado que ofrece grandes posibilidades de análisis incluso de sistemas no ideales y en que se haya roto la hipótesis de simetría traslacional, donde el problema básico radicará en determinar las soluciones en lo que a su dependencia con z se refiere así como en lo relativo a las amplitudes con que influirán los distintos modos en el campo total en la estructura. Para el propósito citado anteriormente convendrá en principio separar el campo en lo que a sus dependencias transversales y longitudinales se refiere, definiendo las magnitudes con dependencia transversal de forma que sean fáciles de aplicar las diferentes relaciones de ortogonalidad, demostradas en el apartado anterior, que serán las que permitan determinar los coeficientes del desarrollo del campo. Este objetivo se logra con la definición de los modos normalizados, cuya base en forma consistente vamos a sentar a continuación. Este desarrollo vamos a centrarlo en sistemas con modos TE y TM, incluyendo si es preciso el mos TEM de líneas de transmisión; este modo, por otra parte, puede demostrarse 15

16. que puede incluirse, en un tratamiento genérico, como un modo TM degenerado. Sobre el particular volveremos cuando posteriormente estudiemos la línea coaxial como guía de ondas. Si son E y H los campos reales en la estructura, supondremos en primer lugar que estos campos puede resolverse según el siguiente desarrollo E(x1, x2, z, t) = X n vn(z, t) etn(x1, x2) + cn(z, t) ezn(x1, x2) (14.32) H(x1, x2, z, t) = X n in(z, t) hn(x1, x2) + dn(z, t) hzn(x1, x2) donde etn(x1, x2) ; ezn(x1, x2) htn(x1, x2) ; hzn(x1, x2) representan a los modos normalizados, que contienen la dependencia con las coordenadas transversales x1, x2.Formalmente las relaciones de ortonormalización permiten determinar los coeficientes del desarrollo; como ya hemos citado, la demostración de que el conjunto de modos es completo no se puede efectuar con generalidad, pero esta propiedad se verifica en la mayoría de los casos de interés. Normalización de los modos Para los campos transversales se escoge de tal forma que Z ST (etm × h∗ tn) · ds = Z ST etm · e∗ tn ds = Z ST htm · h∗ tn ds = δmn (14.33) lo que da lugar a que las dimensiones de et y ht sean de (longitud)−1 . Fijándonos en un modo concreto, y teniendo en cuenta que los campos Etny Htnson perpendiculares y relacionados entre sí por la impedancia de onda, el vector de Poynting complejo que nos da, en su parte real, el doble de la potencia Pn propagada por unidad de área, tendrá por valor: Etn · H∗ tn = Etn · E∗ tn Zn = ZnHtn · H∗ tn De esta forma, la definición de etn = 1 (2PnZn)1/2 Etn htn = 1 (2Pn/Zn)1/2 Htn 16

17. conduce a la interpretación de que las componentes envueltas en los integrandos de las relaciones (14.33) corresponden a campos que llevan potencia unidad por la sección con- siderada. A efectos formales, sin embargo, P entrará como un parámetro de conversión con dimensiones apropiadas (potencia). La transformación de Ez y Hz se suele hacer en la siguiente forma ezn = 1 (2Pn/Zn) 1/2 Ezn hzn = 1 (2PnZn)1/2 Hzn obteniéndose las siguientes relaciones de ortonormalización µ ε Z ST hzm · h∗ zn ds = ε µ Z ST ezm · e∗ zn ds = γ2 n k2 δmn (14.34) destacándose además una simetrización en las ecuaciones de Maxwell para los modos nor- malizados, así como en las relaciones entre campos transversales y longitudinales, como veremos posteriormente. De esta forma ezy hztienen dimensiones de impedancia y admi- tancia, respectivamente, por unidad de longitud. Determinación de los modos Lógicamente, el proceso de normalización no afecta a la ecuación base ni a las condi- ciones de contorno, resultando ¡ ∇2 t + γ2 n ¢ ½ hzn ezn ¾ = 0 (14.35) con γ2 n = k2 − β2 n así como, ½ ∂hzn ∂n ezn ¾ = 0 sobre las paredes metálicas del sistema (14.36) donde queda explícito, y será una notación que utilizaremos en adelante, que cuando aparezca doble expresión entre llaves, la superior corresponderá a modos TE y la inferior a modos TM. Componentes transversales Una vez resuelto el campo en sus componentes longitudinales, las transversales vienen en función de ellas de acuerdo con las relaciones (14.14) y (14.15) para los modos TE y 17

18. (14.18) y (14.19) para los TM. Teniendo en cuenta las relaciones de transformación anteri- ormente descritas, se obtiene ½ htn etn ¾ = −j k γ2 n ( pµ ε ∇thznq ε µ ∇tezn ) (14.37) así como la siguiente relación entre los campos transversales etn = htn × uz (14.38) Ecuaciones de Maxwell Consistentemente con las definiciones anteriores, las ecuaciones rotacionales de Maxwell resultan ∇ × ½ htn etn ¾ = jk ( − pµ ε hznq ε µ ezn ) (14.39) ∇ × ½ hzn ezn ¾ = j γ2 n k    q ε µ etn − q ε µ htn    14.5. SOLUCIÓN GENERAL PARA GUÍAS IDEALES Para completar el formalismo desarrollado en el presente tema, vamos a ocuparnos a continuación de obtener la separación del problema de propagación con z, correspondi- ente a cada modo, paralelamente al planteamiento autónomo que ya hemos realizado de la resolución del problema electromagnético para cada modo en lo que a su distribución transversal se refiere. Para ello recordemos el desarrollo del campo en funciones normalizadas (14.32) con sus componentes transversales y longitudinales E = Et + Ez = X n vn(z, t) etn(x1, x2) + cn(z, t) ezn(x1, x2) (14.40) H = Ht + Hz = X n in(z, t) hn(x1, x2) + dn(z, t) hzn(x1, x2) (14.41) donde los coeficientes del desarrollo, vn, in, cn y dn, son funciones de z, t. Sustituyendo los desarrollos para Ety Hzobtenidos de (14.40) y (14.41) en las ecua- ciones (14.3) ∇t × Et = −jωµHz = −jk r µ ε Hz 18

19. se obtiene X n ∇t × (vnetn) = X n vn∇t × etn = −jk r µ ε X m dmhzm y teniendo en cuenta las ecuaciones rotacionales de Maxwell para los modos normal- izados (14.39), resulta que X n vnjk r µ ε hzn = jk r µ ε X m dmhzm de forma que teniendo en cuenta las relaciones de ortogonalidad, obtenemos la identi- ficación de los coeficientes vny dn : vn = dn En forma totalmente análoga se comprueba fácilmente que in = cn Utilizando la misma sistemática con la primera de las ecuaciones (14.4), resulta X · uz × ∇teznin ½ 0 1 ¾ − ∂vn ∂z ¸ htn = jk r µ ε X m imhtm donde, como ya hemos precisado, en las dobles expresiones entre llaves la parte superior corresponde a modos TE, en este caso cero por no poseer componente ez, y la parte inferior corresponde a modos TM. Utilizando ahora la relación (14.37) que nos permite pasar de ∇tez a et, así como la relación (14.38) para expresarlo todo en términos de ht, se obtiene: X · j γ2 n k r µ ε in ½ 0 1 ¾ − ∂vn ∂z ¸ htn = jk r µ ε X m imhtm Igualando entonces los términos correspondientes en el desarrollo anterior, por apli- cación directa de las relaciones de ortogonalidad, resulta ∂vn ∂z = − j k r µ ε · k2 − γ2 n ½ 0 1 ¾¸ in Siguiendo un camino análogo, partiendo de la segunda ecuación en (14.4) se obtiene una expresión similar para ∂in/∂z.Definiendo las impedancia de onda pra los modos TE y TM según Zn = r µ ε ½ k/βn βn/k ¾ (14.42) 19

20. ambas expresiones quedan de la forma sintética: ∂vn ∂z = −jβnZn in (14.43) ∂in ∂z = −jβn 1 Zn vn Estas expresiones tienen la forma característica de las denominadas ecuaciones de líneas de transmisión. Con la obtención de estas ecuaciones hemos completado la estruc- tura básica de nuestro formalismo; la resolución de la distribución transversal del campo electromagnético se podrá efectuar, en cuanto se precise la geometría del sistema, en tér- minos de las ecuaciones (14.35) y (14.36) que definen dicho problema, aspecto que de- sarrollaremos en un tema posterior. Por otra parte, a efectos de propagación con z cada modo obedece a unas ecuaciones tipo línea de transmisión, cuyo estudio se desarrollará en el próximo tema, y cuya resolución puede efectuarse con independencia de la sección transversal que posea el sistema de transmisión bajo estudio. Hemos de insistir en que todo este desarrollo es únicamente válido para guías ideales en que se supone que las paredes son conductores perfectos; en esta situación cada modo lleva su energía independientemente de los demás que se puedan haber excitado y la guía se comporta como un conjunto de líneas de transmisión independientes. La potencia neta que se propagará por la guía vendrá dada por P = 1 2 Re ·Z ST (E × H∗ ) · ds = ¸ = 1 2 Re ·Z ST (Et×H∗ t ) · ds ¸ y sustituyendo las expresiones del campo en términos de los modos normalizados, a la vez que haciendo uso de las relaciones de ortonormalización, se obtiene P = 1 2 Re " X n vn i∗ n # = X n Pn (14.44) siendo Pn la potencia media asociada a cada modo, que , debido a la forma de definición de las diferentes magnitudes introducidas, resulta en los términos familiares Pn = 1 2 Re (vn i∗ n) (14.45) Por otra parte, por lo discutido anteriormente, las expresiones de los campos reales en la guía, asociados a cada modo, vendrán dadas por En = r 2Pn Zn [ezn + Znetn] (14.46) Hn = p 2PnZn £ hzn + Z−1 n htn ¤ 20

Add a comment

Related pages

TEMA XIV PROPAGACIÓN EN SISTEMAS CON SIMETRÍA TRASLACIONAL

14.1. RELACIONES ENTRE LOS CAMPOS; FORMULACIÓN DEL PROB-LEMA Se entiende por sistema de transmisión con simetría traslacional, o sistema de trans-
Read more

Tema I - UNED | Universidad Nacional de Educación a Distancia

Propagación en sistemas con simetría traslacional ... hemos reescrito los temas 1 y 2 (temas 14 y 15 de las ... de la UNED (unidad 4 y dos temas de ...
Read more

symmetry boundary conditions > condiciones límite de ...

(KudoZ) English to Spanish translation of symmetry boundary conditions: condiciones límite de simetría [Medical Implants/Technical analysis/Finite ...
Read more

ASIGNATURA DE GRADO: ELECTROMAGNETISMO II

TEMA 6.€Propagación€guiada. Líneas de transmisión. Propagación en sistemas con simetría traslacional. ... Buscarlo en bibliotecas UNED
Read more

Electromagnetismo III

... guiada en sistemas de transmisión con simetría traslacional ... en sistemas con simetría traslacional ... Tema 14. Antenas ...
Read more

La simetría de los cristales - Crystallography and ...

La simetría traslacional de una distribución ordenada de ... con las 14 redes ... en 7 sistemas cristalinos. La simetría mínima produce ...
Read more

Aprobar matemáticas profesor10: CAD 25 UNED Matemáticas ...

... exámenes y problemas resueltos con solución en vídeo,de la ... TEMA 03 Sistemas de 2 ecuaciones con 2 ... 2 Simetría y puntos de corte con ...
Read more

Celda unidad - Wikipedia, la enciclopedia libre

Además de la simetría traslacional descrita en una red ... de simetría con los elementos de simetría traslacional y las 14 redes de ...
Read more