Taules i fórmules matemàtiques d'interès

50 %
50 %
Information about Taules i fórmules matemàtiques d'interès

Published on March 14, 2016

Author: EnricGuaus

Source: slideshare.net

1. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es F´ısica i Matem`atiques per la M´usica Enric Guaus Departament de Sonologia, Escola Superior de M´usica de Catalunya. enric.guaus@esmuc.cat 14 de mar¸c de 2016 ´Index 1 Trigonometria 3 2 Sistemes de Coordenades 5 2.1 Dues dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Tres dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Logaritmes i exponencials 8 4 C`alcul diferecial i integral 9 4.1 C`alcul de derivades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.2 C`alcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5 Transformada de Fourier 11 5.1 Definicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5.2 Transformades b`asiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.3 Propietats de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . 12 1

2. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es ´Index de taules 1 Relacions trigonom`etriques per un triangle rectangle. . . . . . . . 3 2 Igualtats trigonom`etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Igualtats trigonom`etriques amb dos angles. . . . . . . . . . . . . 4 4 Operacions trigonom`etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Lleis trigonom`etriques per un triangle qualsevol. . . . . . . . . . 4 6 F´ormules d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 Canvi de coordenades de cartesianes a polars. . . . . . . . . . . . 5 8 Canvi de coordenades de cartesianes a cil´ındriques. . . . . . . . . 6 9 Canvi de coordenades de cartesianes a esf`eriques. . . . . . . . . . 7 10 Lleis dels exponents per tots els exponents racionals r i s. . . . . 8 11 Lleis dels logaritmes, per x i y > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 12 Taula de derivades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 13 Regles de les derivades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 14 Taula de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 15 Regles de les integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 16 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 17 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 18 Transformades b`asiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 19 Propietats de la Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . 12 ´Index de figures 1 Relaci´o entre coordenades cartesianes i polars (imatge de Vikipedia). 5 2 Relaci´o entre coordenades cartesianes i cil´ındriques (imatge de Vikipedia). 6 3 Relaci´o entre coordenades cartesianes i esf`eriques (imatge de Vikipedia). 7 2

3. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es 1 Trigonometria Relacions sin(α) = b c cos(α) = a c tan(α) = b a = sin(α) cos(α) α = arcsin b c α = arccos a c α = arctan b a csc(α) = 1 sin(α) = c b sec(α) = 1 cos(α) = c a cot(α) = 1 tan(α) = a b = cos(α) sin(α) Taula 1: Relacions trigonom`etriques per un triangle rectangle. Igualtats sin2 (α) + cos2 (α) = 1 sec2 (α) − tan2 (α) = 1 csc2 (α) − cot2 (α) = 1 sin(2α) = 2sin(α)cos(α) cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α) = 2cos2 (α) − 1 = 1 − 2sin2 (α) tan(2α) = 2tan(α) −tan2(α) sin(α 2 ) = 1−cos(α) 2 cos(α 2 ) = 1+cos(α) 2 tan(α 2 ) = 1−cos(α) 1+cos(α) Taula 2: Igualtats trigonom`etriques. 3

4. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es Igualtats amb dos angles sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± cos(α) sin(β) cos(α ± β) = cos(α) cos(β) ∓ sin(α) sin(β) tan(α ± β) = tan(α)±tan(β) 1∓tan(α) tan(β) Taula 3: Igualtats trigonom`etriques amb dos angles. Operacions sin α sin β = cos(α−β)−cos(α+β) 2 cos α cos β = cos(α+β)+cos(α−β) 2 sin α cos β = sin(α+β)+sin(α−β) 2 cos α sin β = sin(α+β)−sin(α−β) 2 sin α + sin β = 2 sin α+β 2 cos α−β 2 sin α − sin β = 2 cos α+β 2 sin α−β 2 cos α + cos β = 2 cos α+β 2 cos α−β 2 cos α − cos β = −2 sin α+β 2 sin α−β 2 Taula 4: Operacions trigonom`etriques. Nom Llei Llei del Sinus a sin(α) = b sin(β) = c sin(γ) Llei del Cosinus a2 = b2 + c2 − 2bc · cos(α) b2 = a2 + c2 − 2ac · cos(β) c2 = a2 + b2 − 2ab · cos(γ) Taula 5: Lleis trigonom`etriques per un triangle qualsevol. F´ormules eiα = cos(α) + i · sin(α) cos(α) = ℜ(eiα ) = eiα +e−iα 2 sin(α) = ℑ(eiα ) = eiα −e−iα 2i Taula 6: F´ormules d’Euler. 4

5. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es 2 Sistemes de Coordenades 2.1 Dues dimensions Figura 1: Relaci´o entre coordenades cartesianes i polars (imatge de Vikipedia). De cartesianes a polars r = x2 + y2 ϕ = arctan y x De polars a cartesianes x = r · cos ϕ y = r · sin ϕ Taula 7: Canvi de coordenades de cartesianes a polars. 5

6. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es 2.2 Tres dimensions Figura 2: Relaci´o entre coordenades cartesianes i cil´ındriques (imatge de Vikipedia). De cartesianes a cil´ındriques ρ = x2 + y2 ϕ = arctan y x z = z De cil´ındriques a cartesianes x = ρ · cos ϕ y = ρ · sin ϕ z = z Taula 8: Canvi de coordenades de cartesianes a cil´ındriques. 6

7. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es Figura 3: Relaci´o entre coordenades cartesianes i esf`eriques (imatge de Vikipedia). De cartesianes a esf`eriques r = x2 + y2 + z2 θ = arctan √ x2+y2 z ϕ = arctan y x D’esf`eriques a cartesianes x = r · sin θ · cos ϕ y = r · sin θ · sin ϕ z = r · cos ϕ Taula 9: Canvi de coordenades de cartesianes a esf`eriques. 7

8. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es 3 Logaritmes i exponencials Lleis a0 = 1 ar+s = ar · as a−r = 1 ar a p q = q √ ap = ( q √ a) p (ar ) s = ar·s (ab)r = ar · br Taula 10: Lleis dels exponents per tots els exponents racionals r i s. Lleis loga 1 = 0 loga b = ln b ln a loga xy = loga x + loga y loga x y = loga x − loga y loga 1 x = − loga x loga xy = y loga x Taula 11: Lleis dels logaritmes, per x i y > 0. 8

9. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es 4 C`alcul diferecial i integral 4.1 C`alcul de derivades Funci´o Derivada de la funci´o f(x) = k f′ (x) = 0 f(x) = x f′ (x) = 1 f(x) = kx f′ (x) = k f(x) = kxn f′ (x) = k · n · xn−1 f(x) = √ x f′ (x) = 1 2 √ x f(x) = n √ x f′ (x) = 1 n n√ xn−1 f(x) = ex f′ (x) = ex f(x) = ax f′ (x) = ax · ln a f(x) = ln x f′ (x) = 1 x f(x) = loga x f′ (x) = 1 x loga e f(x) = sin x f′ (x) = cos x f(x) = cos x f′ (x) = − sin x f(x) = tan x f′ (x) = 1 cos2 x = 1 + tan2 x f(x) = cot x f′ (x) = −1 sin2 x = −1 − cot2 x f(x) = arcsin x f′ (x) = 1√ 1−x2 f(x) = arccosx f′ (x) = −1√ 1−x2 f(x) = arctan x f′ (x) = 1 1+x2 f(x) = arccot x f′ (x) = −1 1+x2 Taula 12: Taula de derivades. Funci´o Derivada de la funci´o h(x) = f(x) ± g(x) h′ (x) = f′ (x) ± g′ (x) h(x) = k · f(x) h′ (x) = k · f′ (x) h(x) = f(x) · g(x) h′ (x) = f′ (x) · g(x) + f(x) · g′ (x) h(x) = f(x) g(x) h′ (x) = f′ (x)·g(x)−f(x)·g′ (x) [g(x)]2 h(x) = f [g(x)] h′ (x) = f′ [g(x)] · g′ (x) Taula 13: Regles de les derivades. 9

10. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es 4.2 C`alcul integral Funci´o Primitiva de la funci´o f(x) = 0 F(x) = 0dx = K f(x) = 1 F(x) = 1dx = x + K f(x) = a F(x) = adx = a 1dx = a(x + K) = ax + K′ f(x) = xn F (x) = xn dx = xn+1 n+1 + K f(x) = 1 x2 F(x) = 1 x2 dx = −1 x + K f(x) = 1√ x F(x) = 1√ x dx = 2 √ x + K f(x) = ex F(x) = ex dx = ex + K f(x) = ax F(x) = ax dx = 1 ln a ax + K f(x) = 1 x F(x) = 1 x dx = ln x + K f(x) = cos x F(x) = cos xdx = sin x + K f(x) = sin x F(x) = sin xdx = − cosx + K f(x) = 1 cos2 x F(x) = 1 cos2 x dx = tan x + K f(x) = 1√ 1−x2 F(x) = 1√ 1−x2 dx = arcsin x + K Taula 14: Taula de primitives. Funci´o Primitiva de la funci´o k; f(x) kf(x)dx = k f(x)dx f(x); g(x) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx f(x); g′ (x) f(x)g′ (x)dx = f(x)g(x) − g(x)f′ (x)dx Taula 15: Regles de les integrals. 10

11. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es 5 Transformada de Fourier 5.1 Definicions Forma can`onica f(t) = a0 2 + ∞ n=1 (ai · sin(nω0t) + bi · cos(nω0t)) a0 = 2 T T 2 −T 2 f(t), i = 1, 2, 3 . . . an = 2 T T 2 −T 2 f(t) cos(nω0t)dt, n = 1, 2, 3 . . . bn = 2 T T 2 −T 2 f(t) sin(nω0t)dt, n = 1, 2, 3 . . . Forma exponencial f(t) = ∞ n=−∞ Cnejnω0t Cn = 1 T T 2 −T 2 f(t)e−jnω0t dt, n=. . . ,-2,-1,0,1,2,.. . Relaci´o Cn = 1 2 a2 n + b2 n Taula 16: Series de Fourier Transformada directa f(t) F −→ F(ω) = ∞ −∞ f(t)e−jωt dt Transformada inversa F(ω) F−1 −−−→ f(t) = 1 2π ∞ −∞ F(ω)ejωt dt Taula 17: Transformada de Fourier 11

12. Taules i f´ormules matem`atiques d’inter`es 5.2 Transformades b`asiques Funci´o Transformada δ(t) 1 u(t)1 1/2(δ(f) + 1/(iπf)) sin(w0t) π i [δ(w − w0) − δ(w + w0)] cos(w0t) π[δ(w − w0) + δ(w + w0)] 1 δ(f) = 2πδ(w) e−at u(t), Re(a) > 0 1 a+iw e−a|t| 2a a2+w2 te−at u(t), Re(a) > 0 1 (a+iw)2 Taula 18: Transformades b`asiques. 5.3 Propietats de la Transformada de Fourier Linealitat F [αf(t) + βg(t)] = αF(ω) + βG(ω) Dualitat F[f(t)] = F(ω) → F[F(t)] = 2πf(−ω) Canvi d’escala F[f(at)] = 1 |a| F ω a Transformada de la conjugada F[f∗ (t)] = F∗ (−ω) Traslaci´o en temps F[f(t − t0)] = e−jωt0 F(ω) Traslaci´o en freq¨u`encia F[e+jω0t f(t)] = F(ω − ω0) Derivaci´o en temps F ∂n f(t) ∂tn = (jω)n F(ω) Derivaci´o en freq¨u`encia F [(−jt) n f(t)] = ∂n F (ω) ∂ωn Transformada de la integral F t −∞ f(τ)∂τ = F (ω) jω + πF(0)δ(ω) Transformada de la Convoluci´o F [f(t) ∗ g(t)] = . . . . . . = F ∞ −∞ f(τ)g(t − τ)∂τ = F(ω)G(ω) Teorema de Parseval ∞ −∞ |f(t)| 2 ∂t = 1 2π ∞ −∞ |F(ω)| 2 ∂ω Taula 19: Propietats de la Transformada de Fourier. 12

Add a comment

Related pages

Taules, gràfics i fórmules

Matemàtiques 3r ESO ... Matemàtiques 3r ESO Taules gràfics i fórmules ...
Read more

Fórmules de mat financera 1r BAT CS | Matemàtiques

Aquí teniu un resum de les fórmules que utilitcem a la unitat de ... Afegeix a les adreces d'interès l'enllaç permanent ... matematiques@ ibellvitge ...
Read more

Matemàtica financera Data - XTECBlocs

Departament de Matemàtiques Pàgina:1/2 ... Ara el tipus d’interès està baix, ... Taules_amortitzacio.rtf
Read more

Adreces d'interés - iesjbporcarmatematiques

Apunts, exercicis de matemàtiques resolts i proposats per ... dividir, taules,..." Calcula ben ràpid i intenta batir el teu rècord.
Read more

MATEMÀTIQUES - Cicle Mitjà Escola Catalunya

matemÀtiques. mÉs jocs per aprendre a multiplicar. ... taules de multiplicar: dibuixos amagats. segueix practicant les taules. calcula en un minut !
Read more

Matemàtiques on Pinterest | Math, Math Websites and Fractions

Explore Carlos Páez's board "Matemàtiques" on Pinterest, a visual bookmarking tool that helps you discover and save creative ideas ...
Read more

taules de multiplicar - Inici. XTEC - Xarxa Telemàtica ...

- Com introduir fórmules ... l'exercici consisteix en copiar aquesta taula deu vegades i anar modificant els valors oportuns per fer les taules de ...
Read more

Matemàtiques | ESO | edu365

ENLLAÇOS D'INTERÈS. Power Lines El joc de càlcul més galàctic. Parábola de los polígonos ... Les matemàtiques a la vida diària. Matematízate.com
Read more

Les funcions lineals i les lleis de la demanda i de l'oferta

amb la utilització de fórmules, taules i gràfics ... L’activitat convida a utilitzar eines matemàtiques per estudiar un problema d’economia.
Read more