Taller integral i_i_segundo_corte

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Published on September 21, 2015

Author: conchaes

Source: slideshare.net

1. TALLER I C´ALCULO INTEGRAL Carlos A. Benavides Gallego 1. Problema I Resuelva las siguientes integrales usando los m´etodos de sustituci´on o cambio de variable, integraci´on por partes, integraci´o por sustituci´on trigonom´etrica y fracciones parciales. 1. √ 3 − 2sds 2. 1√ x(1+ √ x)2 dx 3. sin5 (x 3 ) cos(x 3 )dx 4. sin(2t+1) cos2(2t+1) dt 5. 4y√ 2y2+1 dy 6. tan2 x sec2 xdx 7. tan7 x 7 sec2 x 2 dx 8. (θ4 − 2θ2 + 8θ − 2)(θ3 − θ + 2)dθ 9. sin √ θ√ θ cos3 √ θ dθ 10. (2r−1) cos √ 3(2r−1)2+6 √ 3(2r−1)2+6 dr 11. 5x+3 x2+2x−3 dx 12. (2x−1) (x−1)(x−2)(2x−3) 13. x (x2−1)(x−2) 14. 2x+1 (3x−1)(2x+5) 15. 2x2 +x−1 2x3+x2−5x+2 16. x2 ex dx 17. sec3 xdx 18. e2x sin 3xdx 19. ln(1 − x)dx 20. x ln xdx 2. Problema II Si no sabe qu´e sustituci´on hacer, intene reducir la interal paso a paso, usando una sustituci´on de prueba para simplificar un poco la integral, y despu´es otra para simplificarla un poco m´as. Ver´a a lo que nos referimos si se fija en la sustituci´on de los siguientes ejercicios. 1. 18 tan2 x sec2 x (2+tan3 x)2 dx a. u = tan x, seguido por v = u3 , despu´es de w = 2 + v. b. u = tan3 x, seguido por v = 2 + u. c. u = 2 + tan3 x 2. 1 + sin2 (x − 1) sin(x − 1) cos(x − 1)dx a. u = x − 1, seguido por v = sin u, despu´es de w = 1 + v2 . b. u = sin(x − 1), seguido por v = 1 + u2 . c. u = 1 + sin2 (x − 1) 3. Problema III En electricidad y magnetismo el potencial electri- co, φ, de una distribuci´on de carga continua esta definido por la integral φ = 1 4π 0 dq r (1) donde r es la distancia entre el diferencial de carga y el punto donde se quiere calcular el valor del poten- cial electrico. Supongamos que tenemos un anillo 1

2. cargado que reposa sobre el plano xy (Ver figura). Este anillo, de radio R, tiene una densidad lineal de carga λ (carga/por unidad de longitud). (a) Figura 1: Esquema geom´etrico del problema a. ¿C´omo es la integral que representa el poten- cial electrico, φ, en un punto en el eje z. b. ¿C´omo es el potencial electrico φ en funci´on de z, es decir: φ(z) c. Haga una g´rafica, en computador, de φ(z). d. ¿C´omo es el potencial en el centro del anillo? 4. Problema IV En mec´anica newtoniana algunos problemas (aque- llos que involucram movimientos circulares) pueden ser resueltos, f´acilmente, usando coordenadas po- lares. Estas coordenadas est´an definidas de la sigu- inete manera (ver figura 2) ˆr = cos θi + sin θj ˆθ = − sin θi + cos θj (2) Deacuerdo a lo anterior, el vector posici´on es r = (a) Figura 2: Esquema geom´etrico del problema rˆr. El vector velocidad ser´a v = dˆr dt = d(rˆr) dt = dr dt ˆr + r dˆr dt = ˙rˆr + r dˆr dt dˆr dt = d dt (cos θi + sin θj) = − dθ dt sin θi + dθ dt cos θj = ˙θ(− sin θi + cos θj) = ˙θˆθ (3) a. Demuestre que que el vector aceleraci´on en es- tas coordenadas es a = (¨r − r ˙θ)ˆr + (2 ˙r ˙θ + r¨θ)ˆθ donde ¨r = d2 r dt2 y ¨θ = d2 θ dt2 . ¿C´omo es el vector aceleraci´on para un movimiento circular con velocidad angular constante? b. Un bloque de masa m se desliza sobre una mesa sin fricci´on. La masa est´a constre˜nida a moverse dentro de un anillo de radio l el cual est´a fijo a la mesa (ver figura 3) En t = 0, el bloque se mueve dentro del anillo con ve- locidad v0. El coeficiente de fricci´on entre el bloque y el anillo es µ. Usando la segunda ley de Newton, Muestre que ¨θ = −µ ˙θ2 . c. Haga el cambio de variable ω = ˙θ y muestre que la ecuaci´on ¨θ = −µ ˙θ2 se reduce a ˙ω = −µω2 d. Reorganizando la ecuaci´on ˙ω = −µω2 e in- tegtrando tenemos que ω ω0 dω (ω )2 = −µ t 0 dt . 2

3. Resuelva esta integral y muestre que ω(t) = ω0 1+µω0t (a) Figura 3: Esquema geom´etrico del problema 5. Problemas para pensar (No entran en la nota del taller, pero dan d´esimas de m´as en el parcial) 1. La bibliotecaria de la escuela de Ingenieros mil- itares ha estado muy ocupada. El lunes cata- log´o solamente algunos libros de los nuevos li- bros recibidos. El martes recibi´o tantos libros nuevos como no hab´ıa catalogado el lunes, y catalog´o diez. el miercoles recibi´o doce m´as que el lunes, y catalog´o tantos como ese d´ıa. El jueves recibi´o el triple de los libros que hab´ıa catalogado el mi´ercoles, y catalog´o ocho. El viernes llegaron seis libros y pudo cata- logar doce menos de los que hab´ıa recibido el mi´ercoles. El s´abado pudo catalogar los diecis´eis libros que le quedaban porque la bib- lioteca estaba cerrada. ¿Cu´antos libros llegaro el lunes? 2. Alberto, Ricardo, Jaime y Tom´as han estado contando los resultados de un d´ıa de pesca:1) Tom´as ha cogido m´as que Jaime; 2) Alberto y Ricardo han pescado, entre los dos, lomismo que Jaime y Tom´as; 3) Alberto y Tom´as no han cogido tantos como Ricardo y Jaime. ¿Qui´en ha pesado m´as, qui´en ha sido el segundo, qu´en el tercero y qui´en el ´ultimo? 3

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