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SistemasLinealesSoluci�nAnalitica

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Published on January 14, 2009

Author: 5665

Source: authorstream.com

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Slide 1:  Carlos Mario Morales C Matemáticas para la Administración y los Negocios Slide 2: Sistemas Lineales Los sistemas lineales son conjuntos compuestos por una o más ecuaciones. De acuerdo a la cantidad de ecuaciones y variables, los sistemas lineales pueden ser: Sistemas Lineales de una Ecuación con una incógnita Estos sistemas tienen la forma general: Ejemplos: a) b) c) Sistemas Lineales de una Ecuación con varias incógnitas Estos sistemas tienen la forma general: Ejemplos: a) Sistema de una ecuación con dos incógnitas b) Sistema de una ecuación con tres incógnitas c) Sistema de una ecuación con cuatro incógnitas Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 3: Sistemas Lineales de varias Ecuaciones con varias incógnitas Estos sistemas tienen la forma general: Ejemplos: a) Sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas: b) Sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas: c) Sistema lineal de dos ecuaciones y tres incógnitas: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 4: 1.2 Solución de los Sistemas Lineales Solución de Sistemas Lineales de una Ecuación con una incógnita La solución de los sistemas lineales de la forma: corresponde a un valor s, el cual tiene la propiedad de que cuando x = s se satisface la igualdad dada. Ejemplos: a) Solucionar: b) Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Si s = y x = s . Remplazando el valor de x en la ecuación dada se puede comprobar que: 4 = 3(4/3) ó 4 = 4 ;es decir, se satisface la igualdad. Nótese que para cualquier otro valor de s no se cumple la igualdad Restando 102 en ambos lados de la ecuación, ésta se puede escribir, como: Si s =-11.5 y si x = s Remplazando el valor de x en la ecuación se puede comprobar que: -92 = 8(11.5) ó -92 = -92 ; es decir, se satisface la igualdad. Nótese que para cualquier otro valor de s no se cumple la igualdad Slide 5: c) Solucionar: Solución de Sistemas Lineales de una Ecuación con varias incógnitas La solución de los sistemas lineales de la forma: corresponde a un conjunto de valores S= {s1, s2, s3,…, sn} que tienen la propiedad de satisfacer la igualdad cuando x1=s1, x2=s2, x3=s3,…xn=sn Nótese que pueden existen varios conjuntos S= {s1;s2;s3…sn} que satisfacen la igualdad Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Sumando los términos semejantes en x, y restando 62 en ambos lados de la ecuación, ésta se puede escribir, como: Si s = 12.4 y x = s . Remplazando el valor de x en la ecuación dada se puede comprobar que: -62 = 5(-12.4) ó -62 = -62 ;es decir, se satisface la igualdad. Nótese que para cualquier otro valor de s no se cumple la igualdad Slide 6: Ejemplos: a) Solucionar: b) Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Si s1= 3, s2= -11 y x= s1, y= s2 Remplazando los valores x y y en la ecuación se puede comprobar que: 5 = 9(3)+2(-11) ó 5 = 5; es decir, se satisface la igualdad. Nótese que las parejas S0= {1, -2}; S1={0, 2,5}; o S2={4, -15,5} también son solución, y así existen también n parejas que satisfacen la igualdad. De esta forma se puede afirmar que existen infinitas soluciones posibles Si s1= 0,5,s2= -3,s3= 3 y x= s1, y= s2 , z = s3 Remplazando los valores x, y y z en la ecuación se puede comprobar que: 10 = 2(0,5)+6(3)+3(-3) ó 10 = 10; es decir, se satisface la igualdad. Nótese que los conjuntos S0 = {2, 0, 1}; S1 ={5, 0, 0}; o S2 ={2, 2, 0} también son solución, y así existen n parejas que satisfacen la igualdad. De esta forma se puede afirmar que existen infinitas soluciones posibles Slide 7: c) Solucionar: Solución de Sistemas Lineales de varias Ecuaciones con varias incógnitas La solución de los sistemas lineales de la forma: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Si s1= 1,s2= 1,s3= 1, s4= 72 y x1= s1, x2= s2 , x3= s3 ,x4= s4 Remplazando los valores x1, x2, x3 y x4 en la ecuación se puede comprobar que: 72 = 2(1)-3(1)+(1)+(72) ó 72 = 72; es decir, se satisface la igualdad. Nótese que los conjuntos S0 = {2, 1, 2, 69}; S1={5, 1, 10, 55}; o S2={0, 0, 0, 72} también son solución, y así existen n parejas que satisfacen la igualdad. De esta forma se puede afirmar que existen infinitas soluciones posibles Slide 8: es un conjunto de valores de S ={s1,s2,…,sn} que tienen la propiedad de satisfacer cada una de las ecuaciones cuando x1=s1, x2=s2, …,xn=sn . Una de las formas de hallar la solución S para este tipo de sistemas lineales es la técnica denominada Método de Eliminación. El método consiste en transformar el sistema lineal original en uno similar cuya solución sea más sencilla e igual a la del original. La transformación de los Sistemas Lineales se logra eliminando algunas variables a través de la suma o resta de múltiplos de las ecuaciones o multiplicando y dividiendo las ecuaciones por un número diferente de cero. En resumen para transformar los Sistemas Lineales se deben realizar varias veces las siguientes operaciones sobre las ecuaciones del sistema: Intercambiar dos ecuaciones. Multiplicar o dividir una ecuación por una constante distinta de cero. Sumar o restar un múltiplo de una ecuación con otra Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 9: Ejemplos: Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Paso 1) Para obtener un sistema más sencillo se puede eliminar la variable x, lo que permite obtener un sistema de dos ecuaciones. -Se podría eliminar cualquiera de las otras dos variables-. Para eliminar x se suman la ecuación (1) y la (2) multiplicada por -20; de otro lado, se resta la ecuación (3) de la (2); de esta manera se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. De la combinación de (1)y(2) se obtiene: De la combinación de (2)y(3) se obtiene: Slide 10:  Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Paso 2) Un sistema más sencillo se consigue eliminando y del sistema compuesto por (4) y (5). Para esto se suma la ecuación (4) más 36 veces la (5). De la combinación de (4) y (5) se obtiene: Paso 3) La ecuaciones (1), (5) y (6) forman el nuevo sistema transformado: Nótese que este es un sistema mas sencillo, el cual se puede resolver fácilmente. Slide 11:  Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Paso 4) En la ecuación (6), despejando z se obtiene que: Remplazando el valor de z en (5), se obtiene el valor de y: Remplazando los valores de z, y en (6),se obtiene el valor de x: Los valores de x, y, z que satisfacen las tres ecuaciones son: Nótese que esta solución es única, no existen tres números diferentes que satisfagan las tres ecuaciones del sistema. Slide 12: Ejemplos: b) Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Paso 1) Reescribiendo las ecuaciones se obtiene: Paso 2) Para transformar el sistema en uno más sencillo se elimina la variable x, lo que permite obtener un sistema de dos ecuaciones. Para eliminar x se resta de la ecuación (2), cinco veces la (1); de otro lado, se resta la ecuación (1) de la (3); de esta manera se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Slide 13: Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente De la combinación de (1)y(2) se obtiene: De la combinación de (1)y(3) se obtiene: De (4) se obtiene que el valor de y es: A su vez de (5), se obtiene que y es igual: Considerando que y tiene dos valores diferentes se puede concluir que el sistema no tiene Solución. Para obtener un sistema más sencillo se elimina la variable x. Para esto se resta de la ecuación (1), dos veces la (2). Slide 14:  Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente De la combinación de (1)y(2) se obtiene: Despejando y de (3), obtenemos: Remplazando y en (2), se obtiene el valor de x: Si z es un número real cualquiera ?, entonces el sistema lineal se puede expresar como: Ya que z es cualquier número real entonces se puede concluir que el sistema tiene infinitas soluciones. Por ejemplo: sí ? = 1, entonces: z = 1, x = -5, y y = 7, la cual será una solución; De igual manera, si ? = 2, entonces: z = 2, x = -3, y y = 4, también será una solución y así sucesivamente; es decir, que el sistema tiene infinitas soluciones ya que ? puede ser cualquier valor. Slide 15: De los ejemplos anteriores podemos deducir que las soluciones de los sistemas lineales de varias ecuaciones con varias incógnitas puede llegar a ser: De solución única: cuando el número de ecuaciones e incógnitas del sistema lineal son iguales. Ejemplos: Con infinitas soluciones: cuando el número de ecuaciones es menor al número de incógnitas. Ejemplos: Sin solución: cuando el número de ecuaciones es mayor al número de incógnitas. Ejemplos: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 16: Carlos Mario Morales C

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