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SistemasLineales

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Published on January 17, 2009

Author: 5665

Source: authorstream.com

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Slide 1: Algebra Lineal Contenido Sistemas Lineales Solución analítica Solución Gráfica Colección Matemáticas para la Administración - Carlos Mario Morales C Siguiente Salir Slide 2: Sistemas Lineales Los sistemas lineales son conjuntos compuestos por una o más ecuaciones. De acuerdo a la cantidad de ecuaciones y variables, los sistemas lineales pueden ser: Sistemas Lineales de una Ecuación con una incógnita Estos sistemas tienen la forma general: Ejemplos: a) b) c) Sistemas Lineales de una Ecuación con varias incógnitas Estos sistemas tienen la forma general: Ejemplos: a) Sistema de una ecuación con dos incógnitas b) Sistema de una ecuación con tres incógnitas c) Sistema de una ecuación con cuatro incógnitas Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 3: Sistemas Lineales de varias Ecuaciones con varias incógnitas Estos sistemas tienen la forma general: Ejemplos: a) Sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas: b) Sistema lineal de tres ecuaciones con dos incógnitas: c) Sistema lineal de dos ecuaciones y tres incógnitas: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 4: 1.2 Solución de los Sistemas Lineales Solución de Sistemas Lineales de una Ecuación con una incógnita La solución de los sistemas lineales de la forma: corresponde a un valor s, el cual tiene la propiedad de que cuando x = s se satisface la igualdad dada. Ejemplos: a) Solucionar: b) Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Si s = y x = s . Remplazando el valor de x en la ecuación dada se puede comprobar que: 4 = 3(4/3) ó 4 = 4 ;es decir, se satisface la igualdad. Nótese que para cualquier otro valor de s no se cumple la igualdad Restando 102 en ambos lados de la ecuación, ésta se puede escribir, como: Si s =-11.5 y si x = s Remplazando el valor de x en la ecuación se puede comprobar que: -92 = 8(11.5) ó -92 = -92 ; es decir, se satisface la igualdad. Nótese que para cualquier otro valor de s no se cumple la igualdad Slide 5: c) Solucionar: Solución de Sistemas Lineales de una Ecuación con varias incógnitas La solución de los sistemas lineales de la forma: corresponde a un conjunto de valores S= {s1, s2, s3,…, sn} que tienen la propiedad de satisfacer la igualdad cuando x1=s1, x2=s2, x3=s3,…xn=sn Nótese que pueden existen varios conjuntos S= {s1;s2;s3…sn} que satisfacen la igualdad Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Sumando los términos semejantes en x, y restando 62 en ambos lados de la ecuación, ésta se puede escribir, como: Si s = 12.4 y x = s . Remplazando el valor de x en la ecuación dada se puede comprobar que: -62 = 5(-12.4) ó -62 = -62 ;es decir, se satisface la igualdad. Nótese que para cualquier otro valor de s no se cumple la igualdad Slide 6: Ejemplos: a) Solucionar: b) Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Si s1= 3, s2= -11 y x= s1, y= s2 Remplazando los valores x y y en la ecuación se puede comprobar que: 5 = 9(3)+2(-11) ó 5 = 5; es decir, se satisface la igualdad. Nótese que las parejas S0 = {1, -2}; S1 = {0, 2,5}; o S2 = {4, -15,5} también son solución, y así existen también n parejas que satisfacen la igualdad. De esta forma se puede afirmar que existen infinitas soluciones posibles Si s1= 0,5,s2= -3,s3= 3 y x= s1, y= s2 , z = s3 Remplazando los valores x, y y z en la ecuación se puede comprobar que: 10 = 2(0,5)+6(3)+3(-3) ó 10 = 10; es decir, se satisface la igualdad. Nótese que los conjuntos S0 = {2, 0, 1}; S1 = {5, 0, 0}; o S2 = {2, 2, 0} también son solución, y así existen n parejas que satisfacen la igualdad. De esta forma se puede afirmar que existen infinitas soluciones posibles Slide 7: c) Solucionar: Solución de Sistemas Lineales de varias Ecuaciones con varias incógnitas La solución de los sistemas lineales de la forma: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Si s1= 1,s2= 1,s3= 1, s4= 72 y x1= s1, x2= s2 , x3= s3 ,x4= s4 Remplazando los valores x1, x2, x3 y x4 en la ecuación se puede comprobar que: 72 = 2(1)-3(1)+(1)+(72) ó 72 = 72; es decir, se satisface la igualdad. Nótese que los conjuntos S0 = {2, 1, 2, 69}; S1 = {5, 1, 10, 55}; o S2 = {0, 0, 0, 72} también son solución, y así existen n parejas que satisfacen la igualdad. De esta forma se puede afirmar que existen infinitas soluciones posibles Slide 8: es un conjunto de valores de S ={s1,s2,…,sn} que tienen la propiedad de satisfacer cada una de las ecuaciones cuando x1=s1, x2=s2, …,xn=sn . Una de las formas de hallar la solución S para este tipo de sistemas lineales es la técnica denominada Método de Eliminación. El método consiste en transformar el sistema lineal original en uno similar cuya solución sea más sencilla e igual a la del original. La transformación de los Sistemas Lineales se logra eliminando algunas variables a través de la suma o resta de múltiplos de las ecuaciones o multiplicando y dividiendo las ecuaciones por un número diferente de cero. En resumen para transformar los Sistemas Lineales se deben realizar varias veces las siguientes operaciones sobre las ecuaciones del sistema: Intercambiar dos ecuaciones. Multiplicar o dividir una ecuación por una constante distinta de cero. Sumar o restar un múltiplo de una ecuación con otra Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 9: Ejemplos: Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Paso 1) Para obtener un sistema más sencillo se puede eliminar la variable x, lo que permite obtener un sistema de dos ecuaciones. -Se podría eliminar cualquiera de las otras dos variables-. Para eliminar x se suman la ecuación (1) y la (2) multiplicada por -20; de otro lado, se resta la ecuación (3) de la (2); de esta manera se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. De la combinación de (1)y(2) se obtiene: De la combinación de (2)y(3) se obtiene: Slide 10:  Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Paso 2) Un sistema más sencillo se consigue eliminando y del sistema compuesto por (4) y (5). Para esto se suma la ecuación (4) más 36 veces la (5). De la combinación de (4) y (5) se obtiene: Paso 3) La ecuaciones (1), (5) y (6) forman el nuevo sistema transformado: Nótese que este es un sistema mas sencillo, el cual se puede resolver fácilmente. Slide 11:  Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Paso 4) En la ecuación (6), despejando z se obtiene que: Remplazando el valor de z en (5), se obtiene el valor de y: Remplazando los valores de z, y en (6),se obtiene el valor de x: Los valores de x, y, z que satisfacen las tres ecuaciones son: Nótese que esta solución es única, no existen tres números diferentes que satisfagan las tres ecuaciones del sistema. Slide 12: Ejemplos: b) Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Paso 1) Reescribiendo las ecuaciones se obtiene: Paso 2) Para transformar el sistema en uno más sencillo se elimina la variable x, lo que permite obtener un sistema de dos ecuaciones. Para eliminar x se resta de la ecuación (2), cinco veces la (1); de otro lado, se resta la ecuación (1) de la (3); de esta manera se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Slide 13: Solucionar: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente De la combinación de (1)y(2) se obtiene: De la combinación de (1)y(3) se obtiene: De (4) se obtiene que el valor de y es: A su vez de (5), se obtiene que y es igual: Considerando que y tiene dos valores diferentes se puede concluir que el sistema no tiene Solución. Para obtener un sistema más sencillo se elimina la variable x. Para esto se resta de la ecuación (1), dos veces la (2). Slide 14:  Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente De la combinación de (1)y(2) se obtiene: Despejando y de (3), obtenemos: Remplazando y en (2), se obtiene el valor de x: Si z es un número real cualquiera ?, entonces el sistema lineal se puede expresar como: Ya que z es cualquier número real entonces se puede concluir que el sistema tiene infinitas soluciones. Por ejemplo: sí ? = 1, entonces: z = 1, x = -5, y y = 7, la cual será una solución; De igual manera, si ? = 2, entonces: z = 2, x = -3, y y = 4, también será una solución y así sucesivamente; es decir, que el sistema tiene infinitas soluciones ya que ? puede ser cualquier valor. Slide 15: De los ejemplos anteriores podemos deducir que las soluciones de los sistemas lineales de varias ecuaciones con varias incógnitas puede llegar a ser: De solución única: cuando el número de ecuaciones e incógnitas del sistema lineal son iguales. Ejemplos: Con infinitas soluciones: cuando el número de ecuaciones es menor al número de incógnitas. Ejemplos: Sin solución: cuando el número de ecuaciones es mayor al número de incógnitas. Ejemplos: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 16: Método gráfico para la Solución de los Sistemas Lineales Otra forma de encontrar la solución de un sistema lineal es a través del método gráfico. Aunque el método es bastante sencillo, la metodología esta limitada desde el punto de vista práctico ya que solo es aplicable para sistemas bidimensionales, es decir sistemas con dos variables. El método utiliza el plano cartesiano en el cual se grafican las ecuaciones del sistema, el punto donde se interceptan las gráficas, será el punto que soluciona las ecuaciones del sistema. Para hallar la solución se procede de la siguiente manera: Paso 1. En el plano cartesiano se grafican las ecuaciones de sistema. Para graficar una ecuación se seleccionan dos puntos que cumplan con dicha ecuación. Considerando la condición de linealidad se puede asegurar que la solución de la ecuación estarán sobre la recta que resulta de unir los puntos anteriores. Paso 2. Considerando que la solución del sistema lineal debe cumplir con cada una de las ecuaciones, la solución del sistema necesariamente deberá ser el punto o puntos que interceptan las rectas que representan cada una de las ecuaciones. Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Slide 17: Ejemplos: a) Solucionar por el método gráfico: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Dibuje un plano cartesiano con una escala adecuada a los valores de las ecuaciones. 2) Para graficar la ecuación (1), se grafican dos puntos. Si x = 0, entonces y = 4; así un punto será (0,4). Si y = 0, entonces x = -4; entonces el punto será (-4,0). 3) Trace la recta entre los puntos (0,4) y (-4,0), ella representa la ecuación 1. 4) Para graficar la ecuación (2), se grafican dos puntos. Si x = 0, entonces y = 6; así un punto será (0,6). Si y = 0, entonces x = 3; entonces el punto será (3,0). 5) Trace la recta entre los puntos (0,6) y (3,0), ella representa la ecuación 2. 6) El punto de Intersección (0.6,4.4) son los valores que solucionan el sistema lineal La solución del Sistema Lineal es: x=0.6; y=4.4 y x Slide 18:  b) Solucionar por el método gráfico: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Dibuje un plano cartesiano 2) Ecuación (1). Si x = 0, entonces y = 2.5; así un punto será (0,2.5). Si y = 0, entonces x = 5; entonces el punto será (5,0). 3) Ecuación 1- Recta entre puntos (0,2.5) y (5,0). 4) Ecuación (2). Para cualquier valor de y , x = 2. 7) Trace la recta entre los puntos (0,4) y (4,0), ella representa la ecuación 2. 8) No hay un punto común para las tres rectas El Sistema Lineal no tiene solución y x 5) Ecuación (2). Recta para todo y, x = 2. 6) Ecuación (3). Si x = 0, entonces y = 4; así un punto será (0,4). Si y = 0, entonces x = 4; entonces el punto será (4,0). Slide 19:  c) Solucionar por el método gráfico: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Dibuje un plano cartesiano con una escala adecuada para las ecuaciones dadas. 2) Para graficar la ecuación (1) se determinan dos puntos. Si x = 0, entonces y = 6; así un punto será (0,6). Si y = 0, entonces x = 12; entonces el punto será (12,0). 3) Trace la recta de la ecuación 1, entre los puntos (0,6) y (12,0). 5) Trace la recta de la ecuación 2, entre los puntos (0,2) y (4,0). 6) No hay un punto común para las dos rectas El Sistema Lineal no tiene solución x 4) Para graficar la ecuación (2) se determinan dos puntos. Si x = 0, entonces y = 2; así un punto será (0,2). Si y = 0, entonces x = 4; punto (4,0). y Slide 20:  d) Solucionar por el método gráfico: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Dibuje un plano cartesiano con una escala adecuada para las ecuaciones dadas. 2) Para graficar la ecuación (1) se determinan dos puntos. Si x1 = 0, entonces x2 = -5; así un punto será (0,-5). Si x2= 0, entonces x1 = 6; entonces el punto será (6,0). 3) Trace la recta de la ecuación 1, entre los puntos (0,-5) y (6,0). 5) Trace la recta de la ecuación 2, entre los puntos (0,-5) y (6,0). 6) Las rectas coinciden, todos los puntos son solución El Sistema Lineal tiene infinitas solución 4) Para graficar la ecuación (2) se determinan dos puntos. Si x1 = 0, entonces x2 = -5; así un punto será (0,-5). Si x2= 0, entonces x1 = 6; entonces el punto será (6,0) x2 x1 Slide 21: En resumen el método de solución gráfica puede conducir a: Algebra Lineal- Carlos Mario Morales C Anterior Salir Siguiente Una Solución única. Cuando existe un Punto de Intersección entre las rectas que representan las ecuaciones del sistema lineal. Que no haya solución Cuando las rectas de las ecuaciones no tienen un punto coincidente Infinitas soluciones Cuando las dos rectas son coincidentes . Ecuación 1 Ecuación 2 Solución (x,y) Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 1 Ecuación 2 Slide 22: Créditos Producción: Mora Proyectos © 2008 Realizado con: Microsoft PowerPoint 2007 Dirección: Carlos Mario Morales C Colección: Matemáticas para la Administración y los Negocios Microsoft PowerPoint 2007 es una marca registrada ©2007

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