Sistemas de numeração

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Published on March 12, 2014

Author: skosta

Source: slideshare.net

Sistemas de numeração Prof. Sérgio Souza Costa Notas de aula em: https://sites.google. com/site/profsergiocosta/projects/eacit/notas-de- aula/sistemasdenumeracao

Sobre mim Sérgio Souza Costa Professor - UFMA Doutor em Computação Aplicada (INPE) prof.sergio.costa@gmail.com https://sites.google.com/site/profsergiocosta/home https://twitter.com/profsergiocosta http://gplus.to/sergiosozuzacosta http://www.slideshare.net/skosta/presentations?order=popular http://br.linkedin.com/pub/s%C3%A9rgio-souza-costa/20/9b0/ba9/

O que é um número ?

? Pedra (Calculus em latim) As pedras foram um dos primeiros mecanismos utilizados pelo homem para representar e controlar as quantidades.

Civilizações como os egípcios e os sumérios já possuíam um sistema de escrita numérica. Cada sistema possui um conjunto de símbolos para representar o conceito de quantidade, ou seja, os números. Escrita númerica Representações utilizadas pelos egípcios.

Três noções numéricas básicas: número, numeral e algarismo

Número é a ideia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos e medimos. Assim, estamos pensando em números quando: ● contamos as portas de um automóvel, ● enumeramos a posição de uma pessoa numa fila ou ● medimos o peso de uma caixa. Número

Numeral é toda representação de um número, seja ela escrita ou falada. Algarismos (ou dígitos) é todo símbolo numérico que usamos para formar os numerais escritos. ● Por exemplo, o número vinte e três pode ser representado pelo numeral XXIII ( no sistema romano ), pelo numeral 23 ( no sistema indo-arábico ) e de muitas outras maneiras. ● No sistema indo-arábico, sua representação usou os algarismos 2 e 3, e no sistema romano usou os algarismos X e I. Além disso, um mesmo numeral, como 34, pode representar números diferentes dependendo do sistema numérico. Numeral e algarismos

Numeral é toda representação de um número, seja ela escrita ou falada. Algarismos (ou dígitos) é todo símbolo numérico que usamos para formar os numerais escritos. ● Por exemplo, o número vinte e três pode ser representado pelo numeral XXIII ( no sistema romano ), pelo numeral 23 ( no sistema indo-arábico ) e de muitas outras maneiras. ● No sistema indo-arábico, sua representação usou os algarismos 2 e 3, e no sistema romano usou os algarismos X e I. Além disso, um mesmo numeral, como 34, pode representar números diferentes dependendo do sistema numérico. Numeral e algarismos Algarismo é também referido como digito.

Sistemas numéricos é todo conjunto de regras para a produção sistemática de numerais e associa-los a números. No caso de sistemas de numeração escrita, a produção dos numerais é feita através de combinações de algarismos e eventuais símbolos não numéricos ( como a vírgula no sistema indo-arábico, ou vinculum no sistema romano etc ). Sistemas numéricos

Sistemas numéricos é todo conjunto de regras para a produção sistemática de numerais e associa-los a números. No caso de sistemas de numeração escrita, a produção dos numerais é feita através de combinações de algarismos e eventuais símbolos não numéricos ( como a vírgula no sistema indo-arábico, ou vinculum no sistema romano etc ). Sistemas numéricos Esta combinação pode levar em conta ou não as posições onde são encontrados estes símbolos, sendo classificados em posicionais ou não posicionais respectivamente.

Por exemplo, o principal sistema numérico utilizado pelos romanos era não posicional. Este sistema era constituído por 7 algarismos diferente, cada um representando um valor fixo, independente de sua posição relativa no número: N = { I, V, X, L, C, D, M} Indicando respectivamente os valores: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 Sistemas não posicional

Nesse sistema não há um símbolo representativo para o zero; os números sao definidos da esquerda para direita, e seus valores obtidos segundo uma regra simples: ● Cada algarismo colocado a direita de um maior é adicionado a esse, por exemplo, VI representa o número seis. ● Cada algarismo colocado a esquerda de outro maior é subtrai desse, por exemplo, IV representa o número quatro. Sistemas não posicional

Nesse sistema não há um símbolo representativo para o zero; os números sao definidos da esquerda para direita, e seus valores obtidos segundo uma regra simples: ● Cada algarismo colocado a direita de um maior é adicionado a esse, por exemplo, VI representa o número seis. ● Cada algarismo colocado a esquerda de outro maior é subtrai desse, por exemplo, IV representa o número quatro. Sistemas não posicional Este sistema não foi criado para efetuar cálculos matemáticos, tarefa extremamente árdua de ser realizada com este sistema.

Série Bits e Bytes - 01 - Os números e a invenção do computador http://www.youtube.com/watch?v=6rH00V0Bd6c

Em um sistema posicional o valor de cada algarismo de um número diferente, conforme sua posição no número. Por exemplo, no sistema decimal o numero representativo do valor 3433 é constituído por 4 algarismos, onde 3 tem o mesmo valor absoluto. O valor absoluto de cada algarismo é modificado por um peso conforme sua posição: 343310 = 3* 1000 + 4 * 100 + 3 * 10 + 3 Observe que este peso tem como potencia 10i para i = 0,1,2,3. Então, podemos reescrever o numero da seguinte maneira: 343310 = 3* 103 + 4 * 102 + 3 * 101 + 3 * 100 Sistema posicional

A base utilizada dependerá da quantidade de símbolos usada no sistema numérico em questão. No caso do sistema decimal temos 10 símbolos, portanto sua base é 10: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 A base 10 atualmente é a mais utilizada nas tarefas do dia a dia, porém em alguns casos precisaremos usar outra base. Sistema posicional (decimal)

De modo geral, em um sistema posicional de base B teremos um conjunto S de algarismos: S = {db-1 , db-2 , db-3 , .. d1 , d0 } Assim cada número pode ser descrito por: N= d(n-1) * base(n-1) + d(n-2) * base(n-2) +...+d(0) * base(0) Sistema posicional (decimal)

Os microprocessadores dos computadores fazem aritméticas usando a base 2, composta apenas por dois símbolos: 0, 1 Estes símbolos representam respectivamente ligado e desligado. Os projetista de computadores observaram que a distinção entre estes símbolos é muito mais confiável, do que se utilizasse diferentes valores de tensão para tentar representar o sistema decimal. Sistema posicional (binário)

Os microprocessadores dos computadores fazem aritméticas usando a base 2, composta apenas por dois símbolos: 0, 1 Estes símbolos representam respectivamente ligado e desligado. Os projetista de computadores observaram que a distinção entre estes símbolos é muito mais confiável, do que se utilizasse diferentes valores de tensão para tentar representar o sistema decimal. Alguns dos primeiros computadores usavam o sistema decimal, porém os circuitos eram mais complexos e menos confiáveis. Sistema posicional (binário)

Os microprocessadores dos computadores fazem aritméticas usando a base 2, composta apenas por dois símbolos: 0, 1 Estes símbolos representam respectivamente ligado e desligado. Os projetista de computadores observaram que a distinção entre estes símbolos é muito mais confiável, do que se utilizasse diferentes valores de tensão para tentar representar o sistema decimal. Alguns dos primeiros computadores usavam o sistema decimal, porém os circuitos eram mais complexos e menos confiáveis. Sistema posicional (binário) Como o sistema binário possuem menos símbolos, é necessário muito mais algarismos do que no sistema decimal para representar o mesmo número. Porém, a confiabilidade alcançada com os números binários compensa essa diferença.

Onde, d representa o dígito considerado e n representa a quantidade de dígitos do número. Por exemplo, para a base 2 temos: S = {0,1} O numero 1110 é representado como: 10112 = 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 Sistema posicional (binário)

● Uma palavra de N bits pode representar 2N valores ● Exemplo ● Uma palavra de 3 bits pode representar 23 valores, ou seja, 8 valores (de 0 a 7) ● 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 ● Uma palavra de 1 byte pode representar 28 valores, ou seja, 256 valores (de 0 a 255). Sistema posicional (binário)

0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 16 10000 17 10001 18 10010 19 10011 20 10100 Decimal e binário

● A conversão de binário para decimal é feita utilizado-se a mesma fórmula genérica de decomposição de um número, só que utilizando a base 2 ● Por exemplo: Qual o valor decimal correspondente ao número 10011? 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 1 * 20 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19 ● Exemplo 2: Qual o valor decimal correspondente ao número 101100? 1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 0 * 20 = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 0 = 44 Conversão binário decimal

● Converta em decimal os seguintes números binários ● 100110 ● 1010111 ● 0101011 ● 1010101 ● 11111000 Exercitando ...

● A conversão de um número decimal para um número binário é feita pela divisão do número decimal pela base destino sucessivamente ● O número binário é o resto de cada divisão ● Exemplo: 49(10) = ?(2) 49 ÷ 2 = 24 –> resto 1 24 ÷ 2 = 12 –> resto 0 12 ÷ 2 = 6 –> resto 0 6 ÷ 2 = 3 –> resto 0 3 ÷ 2 = 1 –> resto 1 1 ÷ 2 = 0 –> resto 1 110001 Conversão decimal binário

● Exemplo 2: 67(10) = ?(2) 67 ÷ 2 = 33 – resto 1 33 ÷ 2 = 16 – resto 1 16 ÷ 2 = 8 – resto 0 8 ÷ 2 = 4 – resto 0 4 ÷ 2 = 2 – resto 0 2 ÷ 2 = 1 – resto 0 1 ÷ 2 = 0 – resto 1 1000011 Conversão decimal binário

● Converta ● 123(10) = ?(2) ● 4567(10) = ?(2) ● 5892(10) = ?(2) ● 1101101(2) = ?(10) ● 10001110(2) = ?(10) Exercitando ...

● Possui 16 dígitos: 1,..., 9, A, B, C, D, E, F ● A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13; E = 14 ; F = 15 ● A transformação para decimal é feita de maneira análoga ao já apresentado. Exemplos: ● (1B)16 = 1x161 + 11x160 = 16 + 11 = 2710 ● (EC)16 = 14x161 + 12x160 = 224 + 12 = 23610 ● (3AF)16 = 3x162 + 10x161 + 15x160 = 768 + 160 + 15 = 92310 Sistema hexadecimal

● Para converter um número decimal deve-se dividir o valor sucessivamente por 16 ● Exemplos: ● 12510 =?16 ● 125 ÷ 16 = 7 → Resto 13 = D ● 12510 =7D ● 345610 =?16 ● 3456 ÷ 16 = 216 → Resto 0 ● 216 ÷ 16 = 13 → Resto 8 ● 345610 =D8016 Conversão decimal hexadecimal

Para os computadores, o sistema binário se mostrou muito melhor que o sistema decimal. Porém, para nós, seres humanos esta representação é muito mais complexa, pois os números têm muitos algarismos. Assim, em computação é comum usar comum duas outras bases alternativas, cuja conversão para a base 2 é mais direta. ● O sistema octal (base 8) e hexadecimal (base 16). A conversão entre estes sistemas e o binário é direto por que estas bases são potência de dois. Por exemplo, o sistema octal que é composto por 8 simbolos pode ser representados por 3 algarismo binarios, ou seja, 23 . ● Com mais um algarismo, podemos representar os 16 símbolos do sistema hexadecimal: Conversão Hexadecimal - Binário

● 0000 – 0 ● 0001 – 1 ● 0010 – 2 ● 0011 – 3 ● 0100 – 4 ● 0101 – 5 ● 0110 – 6 ● 0111 – 7 ● 1000 – 8 ● 1001 – 9 ● 1010 – A ● 1011 – B ● 1100 – C ● 1101 – D ● 1110 – E ● 1111 – F Conversão Hexadecimal - Binário

A partir da tabela do slide anterior podemos facilmente converter um numero de Hexadecimal para binário. Por exemplo, o número 3CF116 na base 2: Ou seja, o numero 3CF11616 é representado por 0011110011110001000101102 . A mesma abordagem pode ser usada para converter um número binário para o equivalente em Hexadecimal ou Octal. Conversão Hexadecimal - Binário

● Exemplos ● AB16 = 101010112 ● 4CF16 = 0100110011112 ● FE6916 = 11111110011010012 ● 1010 1111 01102 = AF616 ● 1010101010101012 = 555516 ● 1011111011110111012 = 2FBDD16 Conversão Hexadecimal - Binário

No sistema octal existem 8 dígitos: 0 – 7 Sistema octal utiliza o mesmo procedimento de conversão do hexa → binário. 000 = 0 001 = 1 010 = 2 011 = 3 100 = 4 101 = 5 110 = 6 111 = 7 Sistema octal

● Exemplos de conversão ● 3248 = 0110101002 ● 12348 =0010100111002 ● 654378 = 1101011000111112 ● 010111011012 = 13558 ● 1101111110112 = 67738 ● 10101011101110112 = 1256738 Sistema octal

● Para converter da base octal para hexadecimal e vice-versa utiliza-se o sistema binário como intermediário ● Exemplos ● 2348 = 0100111002 = 9C16 ● 45628 = 1001011100102 = 972 16 ● 76568 = 1111101011102 = FAE 16 ● F216 = 111100102 = 3628 ● A8B16 = 1010100010112 = 52138 ● F9C316 = 11111001110000112 = 1747038 Mais conversões

Exercício Decimal Binário Octal Hexa 2345 1000110110101 FAE5 234517 10000111111011 21FB 2345112 AA34 67895 Complete a tabela a seguir

Além das conversões, é necessário conhecer as operações aritméticas em outras bases. As operações aritméticas em sistemas posicionais é muito mais simples do que nos sistemas não posicionais A regra é a mesma independentemente da base. Lembrando que a soma de 1 com 1 resulta em 10 (2 em decimal). Quando isso ocorre, dizemos que “vai 1” para ser somado na próxima posição. Por exemplo, somando os numeros 0100 e 0101 temos como resultado 1001: Operações aritméticas

● Os sistemas numéricos foram uma das grandes invenções da humanidade. Com os sistemas numéricos os homens passaram ser capazes de representar grandezas e realizar cálculos entre estas. ● Como o computador é uma maquina especializada em realizar cálculos, a formalização dos sistema numéricos foi de grande importância para a evolução da ciência computação. ● Deste modo, a compreensão destes sistemas é fundamental aos estudiosos destas áreas. Conclusão

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