Short Present

0 %
100 %
Information about Short Present
Entertainment

Published on March 18, 2018

Author: Mishlence

Source: authorstream.com

Презентация на PowerPoint: Определяне на собствените честоти на конзолна греда Съкратени записки от Светлин Стоянов Презентация на PowerPoint: Теоретично определяне на собствените честоти на конзолна греда Уравнение на Ойлер-Бернули. Извеждане на честотното уравнение на конзолна греда. Презентация на PowerPoint: За тънки греди е подходяща теорията на Ойлер-Бернули. Тя приема следните предпоставки: Масата на гредата е разпределена равномерно ; Напречните сечения, които са равнинни и перпендикулярни на оста на гредата, след деформацията остават равнинни и перпендикулярни на еластичната линия ; Зависимостта между напреженията и деформациите е линейна и се дава от закона на Хук . Съгласно теорията на Ойлер-Бернули, свободните напречни трептения се описват посредством следното частно диференциално уравнение : . (1 )   Презентация на PowerPoint: Решението на това уравнение е провисването z (x , t) в дадена точка от гредата. То е функция на надлъжна координата x на точката и на времето t . Ще разделим това решение на две функции – едната зависеща само от надлъжната координата, а другата зависеща само от времето: . (2 ) Този метод за решаване на (1) е известен като метод на Фурие. Функцията X(x) , дава връзката между хоризонталната x и вертикалната y координата на дадена точка от гредата. Тоест, тази функция описва формата на гредата в деформирано състояние и се нарича собствена форма на трептене . Пример за такава функция е представен на фиг. 1 а.   Презентация на PowerPoint: Функцията описва изменението на големината на деформацията във времето при дадената форма - фиг. 1 б .   Фиг. 1 . Нагледен пример за свободни трептения: а – собствени форми, те са графично представяне на функцията X(x ) ; б – свободни трептения, получават се чрез умножаване на функцията на собствените форми и функцията   а б Презентация на PowerPoint: За да намерим функциите , заместваме (2) в (1): . Разделяме това уравнение на произведението и получаваме: . Кратък запис: или . Въвеждаме константата : .   Презентация на PowerPoint: От тук следват двете уравнения: , (3) , (4) където . (5) се нарича динамическа характеристика на гредата. Диференциалното уравнение (3) показва, че T(t ) е хармонична функция с ъглова честота ω . Тази функция има вида: Ще преминем към определянето на функцията X(x) на с обствените форми.   Презентация на PowerPoint: Диференциалното уравнение (4) е от четвърти ред с постоянни коефициенти и има следното общо решение: . ( 6 ) Граничните условия за запънатия край са : , (7) (8) Производната е: . ( 9 ) След заместване на ( 7 ) в ( 6 ) и на ( 9 ) в ( 8 ) се получава: , . Тогава, функцията на собствените форми ( 6 ) може да се запише в следния вид . ( 10 )   Презентация на PowerPoint: . ( 10 ) Производните са : , ( 1 1) . ( 1 2) Граничните условия за свободния край са: (1 3 ) (1 4 ) Замествайки (1 1 ) в (1 3 ) и (1 2 ) в (1 4 ) получаваме: , . Представяме тази система в матричен вид .   Презентация на PowerPoint: За да има тази система ненулево решение, трябва детерминантата на матрицата с множителите да бъде равна на нула, т.е. . Развивайки детерминантата получаваме . (1 5 ) От тригонометрията е известно, че , (1 6 ) . (1 7 ) Замествайки (15) и (16) в (14) намираме честотното уравнение на конзолна греда : . (1 8 ) Стойностите на k , за които това уравнение е удовлетворено, се наричат характеристични числа. Те са безброй много, затова ще ги бележим k n ( n = 1, 2, 3 …). От зависимост (5) се вижда, че на всяко фундаментално число k n съответства дадена собствена честота ω n , която се определя по формулата: . (19)   Презентация на PowerPoint: Характеристични числа на конзолна греда 1.8751 4.6941 7.8548 От уравнение (18) се вижда, че х арактеристичните числа зависят само от началните условия . Следователно те са едни и същи за всички конзолни греди, независимо от техните размери и материал. Тези характеристичните числа са представени в следващата таблица. Тъй като собствените форми завият само от характеристичните числа , те също са еднакви при всички конзолни греди и са представяни на следващите слайдове. Характеристични числа и собствени форми Презентация на PowerPoint: Характеристични числа и собствени форми Презентация на PowerPoint: В тората собствена форма има възел е т. А. Характеристични числа и собствени форми Презентация на PowerPoint: Третата собствена форма има възел е т. А и в т. В. Характеристични числа и собствени форми Презентация на PowerPoint: Втора собствена форма Трета собствена форма , Коефициент на положението n 21 Координата x 21 = n 21 L, mm Първи възел 0.783445 470.067 Коефициент на положението n 31 Координата x 31 = n 31 L, mm 0.503548 302.129 Втори възел Коефициент на положението n 32 Координата x 32 = n 32 L, mm 0.867678 520.607 Положение на възлите, като функция на дължината на гредата Презентация на PowerPoint: Собствените честоти обаче, както се вижда от формула (19), зависят от размерите и материала на гредата и по-конкретно от: масата m на метър, модула Е на еластичност на линейни деформации на материала и съпротивителния инерционен момент I спрямо оста, около която се извършва огъването. Собствени честоти Презентация на PowerPoint: При даден профил на напречното сечение на гредата, стойностите на m и I могат да бъдат взети от справочна литература. Стойности на параметрите на модела Модула E на еластичност на материала на гредата (стомана) е определен експериментално – E = 220 G P a . L = 600 mm a = 20 mm s = 3 mm m = 0.873 kg/m y , z – главни централни оси I y = 0.63 cm 4 ; I z = 0.17 cm 4 Презентация на PowerPoint: След това, от уравнение ( 19 ) се определени съответстващите собствени честоти. Прилагане на теорията на Ойлер-Бернули за изчисляване на собствените честоти Характеристично число 1.8751 4.6941 7.8548 Собствена честота на трептене около ос z, Hz: 32.173 201.627 564.562 Собствена честота на трептене около ос y , Hz : 61.936 388.146 1086.82 Презентация на PowerPoint: Експериментално определяне на собствените честоти на конзолна греда Опитна уредба. Методика за експериментално определяне. Резултати. Презентация на PowerPoint: Опитна уредба Презентация на PowerPoint: Свободните трептения на дадена точка от гредата са полихармонични, т.е. представляват сума от хармоници . Тези хармоници могат да бъдат отделени посредством правото преобразуване на Фурие и могат да бъдат представени посредством спектрограмата на трептенията. Честотите на тези хармоници са честотите на свободните трептения на гредата. Методика за експериментално определяне Презентация на PowerPoint: f exp , Hz 2 6.25 167.85 463.26 f т , Hz 27.55 178.6 4 510.8 9 ( f exp – f т )/ f exp , % -5.0 -6.4 -10. 3 Спектрограма – сравнителен анализ Презентация на PowerPoint: Софтуер за хармоничен анализ в реално време Разработено е софтуерно осигуряване на опитната уредба, предназначено за бъдещите лабораторни упражнения по динамика на греди. Презентация на PowerPoint: Опит 2

Add a comment

Related presentations