advertisement

Rolle

50 %
50 %
advertisement
Information about Rolle
Education

Published on January 26, 2009

Author: azourna

Source: slideshare.net

advertisement

Παράγωγοι ΙΙ Ζουρνά Άννας

Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα και τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε:

Αν μια συνάρτηση f είναι:

συνεχής στο κλειστό διάστημα

παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα

και

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

τέτοιο, ώστε:

Θεώρημα Rolle Γεωμετρική Ερμηνεία Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της στο να είναι παράλληλη στον άξονα των x .

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της στο

να είναι παράλληλη στον άξονα των x .

Θεώρημα Rolle Γεωμετρική Ερμηνεία y O x β ξ΄ ξ α Α f( α ) = f( β ) Β

Θεώρημα Rolle Παράδειγμα 1 Έστω η συνάρτηση η f είναι συνεχής στο [1, 3] και παραγωγίσιμη στο (1, 3) με σύμφωνα με το θεώρημα Rolle , θα υπάρχει ένας αριθμός (1, 3) τέτοιος, ώστε

Έστω η συνάρτηση

η f είναι συνεχής στο [1, 3] και

παραγωγίσιμη στο (1, 3) με

Θεώρημα Rolle Παράδειγμα 1 Για να βρούμε το ξ λύνουμε την: M B A 2 3 ξ =2 1 O x y

Για να βρούμε το ξ λύνουμε την:

Θεώρημα Rolle Παράδειγμα 2 Έστω η συνάρτηση η f είναι συνεχής στο [ 0 , 2 ] και παραγωγίσιμη στο ( 0 , 2 ) με σύμφωνα με το θεώρημα Rolle , θα υπάρχει ένας αριθμός ( 0 , 2 ) τέτοιος, ώστε

Έστω η συνάρτηση

η f είναι συνεχής στο [ 0 , 2 ] και

παραγωγίσιμη στο ( 0 , 2 ) με

Θεώρημα Rolle Παράδειγμα 2 Άρα στο σημείο Μ(1, 0) η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τον άξονα των x. Για να βρούμε το ξ λύνουμε την:

Άρα στο σημείο Μ(1, 0) η εφαπτομένη είναι παράλληλη με τον άξονα των x.

Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.) Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε:

Αν μια συνάρτηση f είναι:

συνεχής στο κλειστό διάστημα

παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,

τέτοιο, ώστε:

Θεώρημα Μέσης Τιμής Γεωμετρική Ερμηνεία Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον Β A β ξ΄ ξ α x y Ο f( α ) f( ξ ) f( β )

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον

Θεώρημα Μέσης Τιμής Γεωμετρική Ερμηνεία τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Β A β ξ΄ ξ α x y Ο f( α ) f( ξ ) f( β )

τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

Θεώρημα Μέσης Τιμής Γεωμετρική Ερμηνεία να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ Β A β ξ΄ ξ α x y Ο f( α ) f( ξ ) f( β )

να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ

Θεώρημα Μέσης Τιμής Παράδειγμα 1 Έστω η συνάρτηση για Η f είναι συνεχής στο [0, 4] Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, 4) με παράγωγο την σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε:

Έστω η συνάρτηση

Η f είναι συνεχής στο [0, 4]

Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, 4) με παράγωγο την

Θεώρημα Μέσης Τιμής Παράδειγμα 1 Για να βρούμε το ξ λύνουμε την παρακάτω εξίσωση: ,

Θεώρημα Μέσης Τιμής Παράδειγμα 2 Έστω η συνάρτηση για Η f είναι συνεχής στο [1, e ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( 1 , e ) με παράγωγο την σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος ώστε:

Έστω η συνάρτηση

Η f είναι συνεχής στο [1, e ]

Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( 1 , e ) με παράγωγο την

Θεώρημα Μέσης Τιμής Παράδειγμα 2 Για να βρούμε το ξ λύνουμε την παρακάτω εξίσωση: ,

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Προσοχή! Χρειάζονται και στο επόμενο κεφάλαιο…

Προσοχή!

Χρειάζονται και στο επόμενο κεφάλαιο…

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν : η f είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν :

η f είναι συνεχής στο Δ και

για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,

τότε η f είναι σταθερή

σε όλο το διάστημα Δ.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Παράδειγμα Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει ότι: και Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση: είναι σταθερή. Σύμφωνα με τις Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής αρκεί να αποδείξουμε ότι φ΄( x ) = 0

Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει ότι:

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Παράδειγμα Άρα σύμφωνα με τις Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής η συνάρτηση φ( x ) είναι σταθερή.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Έστω δύο συναρτήσεις f και g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν : οι f και g είναι συνεχείς στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c, τέτοια ώστε για κάθε x  Δ να ισχύει ότι: f(x) = g(x) + c

Έστω δύο συναρτήσεις f και g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν :

οι f και g είναι συνεχείς στο Δ και

για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c, τέτοια ώστε για κάθε x  Δ να ισχύει ότι:

f(x) = g(x) + c

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ΄ (x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

Αν f ΄ (x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε

η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ΄ (x) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

Αν f ΄ (x) < 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε

η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Παράδειγμα Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα

Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με παράγωγο την Η f ΄ μηδενίζεται για x = 0 και x = 1. Φτιάχνουμε το παρακάτω πινακάκι:

Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με παράγωγο την

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Το διάστημα που αφήνουμε για την f να είναι τουλάχιστον τρεις γραμμές τετραδίου.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Βάζουμε τις ρίζες της f ΄ (x). 0 και 1

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Η f ΄ (x) είναι πολυωνυμική, άρα θα ξεκινήσουμε από το +  με το πρόσημο του συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου .

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Σύμφωνα με τις συνέπειες του Θ.Μ.Τ., όπου η f ΄ (x) > 0, η f θα είναι γν. αύξουσα και όπου η f ΄ (x) < 0, η f θα είναι γν. φθίνουσα.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Συμπληρώνουμε τα f( 0 ) και f( 1 ) όπου η f παρουσιάζει: στο f( 0 ) τοπικό μέγιστο και στο f( 1 ) τοπικό ελάχιστο

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Άσκηση Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Άσκηση Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Άσκηση Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Άσκηση Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής Άσκηση Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Θα βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης

Δηλαδή τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα.

Add a comment

Related presentations

Related pages

Soziale Rolle – Wikipedia

Die soziale Rolle ist ein dem Theater entlehnter Begriff der Soziologie und Sozialpsychologie. Laut Definition des US-amerikanischen Anthropologen Ralph ...
Read more

Rolle – Wikipedia

Rolle (von mittelhochdeutsch rulle, „kleines Rad“) bezeichnet: ein kleines Rad (z. B. Bockrolle oder Lenkrolle) Rolle (Physik), eine mit einer Rille ...
Read more

Möbelhaus ROLLER | Möbel günstig online kaufen

Möbel online und bequem von zu Hause aus bestellen mit ROLLER - Verschiedene Zahlungsmöglichkeiten Zahlen per Rechnung 12 Monate Geld-zurück-Garantie
Read more

Räder und Rollen Industriebedarf | eBay

eBay hat tolle Angebote in Räder und Rollen Industriebedarf. Bei eBay einkaufen!
Read more

Duden | Rol­le | Rechtschreibung, Bedeutung, Definition ...

Definition, Rechtschreibung, Synonyme und Grammatik von 'Rolle' auf Duden online nachschlagen. Wörterbuch der deutschen Sprache.
Read more

Räder und Rollen: Transportrollen uvm. von Schwalb

Schwalb Rollen - Ihr Spezialist auf den Gebieten: Räder, Rollen, Transportrollen, Bockrollen, Seilrollen, Lenkrollen, Spezialrollen oder Sonder Rollen...
Read more

rollen | eBay - Elektronik, Autos, Mode, Sammlerstücke ...

Tolle Angebote bei eBay für rollen transportrollen. Sicher einkaufen.
Read more

Rolle – Wiktionary

Referenzen und weiterführende Informationen: [1a, 2, 4–5, 6, 7–8] Wikipedia-Artikel „Rolle“ [1b, 1c, 2, 4, 6] Jacob Grimm, Wilhelm Grimm ...
Read more

Rollenprofi Kuhnert - Rollen für jedermann

Alles rund um Räder und Rollen - von der kleinen Bettkastenrolle bis zur Schwerlastrolle mit einer Tragkraft von 11.000 kg verkaufen wir unser Sortiment ...
Read more

Rollen - der-rollenshop.de - Onlinespezialist für ...

Der Rollenshop ist der Onlineshop für Speedskates von Powerslide / Bont und Rollerblade, Nordic Skates, Speedrollen von Hyper / Bont oder auch Matter ...
Read more