Rectas y planos en vectores

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Published on December 12, 2009

Author: Caliz

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Rectas y planos con vectores.

Repaso para el segundo cap´ıtulo de Geometr´ ıa Anal´ıtica Vectorial Ana Cristina Ch´vez C´liz a a 15 de octubre de 2009 1. Rectas y planos 1.1. Ecuaciones Dados un punto A : (a, b, c) y un vector u = li+mj+nk podemos determinar la ecuaci´n de una recta que pasa por el punto dado, con sentido correspondiente o al vector. En la figura 1 A : (a, b, c) es el punto conocido, el vector de color negro es nuestro vector conocido u = li + mj + nk, mientras que el vector ku es un m´ltiplo del vector u. P : (x, y, z) ser´ el punto final del vector ku, mientras u a que los vectores A = ai + bj + ck y P = xi + yj + zk son los vectores posici´no de los puntos A y P , respectivamente. Ahora, notemos que cualquier vector m´ltiplo de u est´ en la recta, y que u a adem´s, el vector posici´n del punto P es la suma del el vector A con un m´ltiplo a o u de u, esto podemos expresarlo mediante la ecuaci´n: o P = A + ku (1) A la ecuaci´n 1 es conocida como Ecuaci´n vectorial de la recta, y de esta o o podemos despejar y obtener estas otras ecuaci´nes: o x = a + kl y = b + km z = c + kn A estas ecuaciones se les llama ecuaciones param´tricas, y podemos de cada e una de ellas despejar k e igualarlas, obteniendo la ecuaci´n sim´trica de la recta: o e x−a y−b z−c = = l m n Para el plano funciona de manera similar, ya que la ecuaci´n vectorial de la o recta es la misma, y, dado que trabajamos en dos dimensiones, las ecuaciones param´tricas de la recta son: e 1

Figura 1: Encontrar una recta dados un punto y un vector 2

x = a + kl y = b + km Entonces, la ecuaci´n sim´trica de la recta resulta ser: o e x−a y−b = l m La cual, podemos despejar, y obtener una ecuaci´n a la que llamamos Ecuaci´n o o cl´sica: a n y= (x − a) + b m n Donde m es la pendiente de la recta. 1.2. Cosas importantes A continuaci´n se listan una serie de datos, observaci´nes, etc´tera, que o o e siempre tienes que tener a la mano: 1. La recta l que est´ dada por el vector u = u1 i + u2 j tiene pendiente u2 a u1 2. Si u = u1 i + u2 j es el vector direcci´n, ´sto implica que l = u2 x − u1 y = c, o e donde c es una constante. 3. Dados dos puntos, tambi´n podemos determinar la ecuaci´n de la recta e o que pasa por esos puntos: Sean (a, b) y (c.d) los puntos conocidos, entonces la ecuaci´n de la recta es: (x − a)(b − d) = (y − b)(a − c) o 4. Dados la pendiente de una recta l, λ = m y el vector direcci´n u = ni+mj, n o con el punto dado de la forma (0, b) la ecuaci´n ser´ de la forma y = λ(x) + b o a 5. Dados dos puntos (a, b) y (c, d) la pendiente entre estos dos puntos es: b−d a−c 3

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