Potenciación

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Published on February 15, 2014

Author: wences1231

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Potenciación

Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a ´ POTENCIACION Si se tiene un producto de factores iguales, entonces se puede expresar como una potencia. Ejercicio 0.0.1. Observa el ejemplo y escribe en forma de potencia estos productos: 1) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 4) 9 × 9 = 7) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 2) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 5) 4 × 4 × 4 × 4 = 8) 2 × 2 = 3) 8 × 8 × 8 = 6) 5 × 5 × 5 = 9) 10 × 10 × 10 = Potenciacion de numeros naturales ´ ´ Ejercicio 0.0.2. Desarrolla y encuentra las potencias. ´ ´ Es la operacion que consiste en multiplicar un numero llamado base por si mismo, tantas veces como lo indica ´ otro llamado exponente; al resultado de esta operacion se le denomina potencia. 1. 33 = 3 × 3 × 3 = 27 10. 35 = 2. 72 = 11. 1200 = Ojo: 52 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero cinco u por s´ mismo dos veces.” ı 3. 54 = 12. 44 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 4. 82 = 13. 83 = 5. 122 = 14. 26 = 6. 32 = 15. 93 = 7. 43 = 16. 123 = 8. 113 = 17. 154 = 9. 25 = 18. 1203 = 52 = 5 × 5 = 25 Ojo: 25 nos dice en palabras: “multiplica al n´ mero dos u por s´ mismo cinco veces.” ı Definicion ´ ´ ´ Si a y n son numeros naturales, la potencia n-esima del ´ numero a se define del siguiente modo: an = a × a × a...a n−veces T´ rminos de la potenciacion e ´ Exponente Base 23 = 8 Potencia Ejercicio 0.0.3. Indica en cada caso cu´ l es la Base y cu´ l el Exponente: a a 52 ⇒ 5 es la base, 2 el exponente 32 ⇒ (−3)5 ⇒ 50 ⇒ − 42 ⇒ 63 ⇒ (−3)4 ⇒ 102 ⇒ ´ ¿Como se leen las potencias? Una potencia se puede leer de distintas formas: 52 = 25 23 = 8 24 = 16 Se lee: Se lee: Se lee: Tambien se lee: Tambien se lee: Tambien se lee: “5 al cuadrado es igual a 25” “2 al cubo es igual a 8” “2 elevado a la cuarta es igual a 16” “2 a la cuarta es igual a 16” “2 a la cuatro es igual a 16” “La cuarta potencia de dos es igual a 16” 1 Cuando el Cuando el 1ra forma 2da forma 3ra forma 4ta forma exponente es dos exponente es tres para cualquier exponente para cualquier exponente para cualquier exponente para cualquier exponente

´ Potenciacion Matem´ ticas a ´ ´ POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS ´ Observemos las siguientes potenciaciones. En ellas, la base es un numero entero y el exponente es un ´ numero natural. § § § ¤ + (+4)3 = (+4) · (+4) · (+4) = ¦ 64 ¥ ¤ § ¤ § ¤ + (−5)2 = (−5) · (−5) = ¦ 25 ¥ ¤ + (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = ¦ 16 ¥ − (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = ¦ 27 ¥ + (+3)4 = (+3) · (+3) · (+3) · (+3) = ¦ 81 ¥ − (−6)3 = (−6) · (−6) · (−6) = ¦ 216 ¥ § ¤ El resultado, es decir, la potencia, se obtiene multiplicando la base por s´ misma de tal manera que en el ı desarrollo la base aparece como factor tantas veces como indica el exponente. ´ El signo de la potencia se obtiene aplicando la regla de los signos de la multiplicacion de enteros: ´ iplicacion mult Ley de signos de la ´ ´ as da mas ´ + · + = + Mas por m da menos enos ´ + · − = − Mas por m ´ por menos da mas − · − = + Menos ´ r mas da menos − · + = − Menos po El signo de la m ultiplicacion tam ´ bien se simbo ´ liza por un pu nto (·): 2·2=4 ´ ´ ´ La potencia n-esima de un numero entero es el resultado de una multiplicacion en la que ´ el numero aparece como factor n veces. an = a × a × a . . . a donde a ∈ Z , n ∈ N, y n mayor que > 1 n−veces (−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625 (−7)3 = (−7) · (−7) · (−7) = −343 ´ REGLA DE SIGNOS DE LA POTENCIACION 1° Regla: Toda potencia de exponente par siempre es positiva. (+) par = + Ejemplo −→ (+2)4 = +16 (−) par = + Ejemplo −→ (−3)2 = +9 2° Regla: Toda potencia de exponente impar tiene el mismo signo de la base. (+)impar = + Ejemplo −→ (+2)3 = +8 (−)impar = − Ejemplo −→ (−2)5 = −32 Ejercicio 0.0.4. Escribe con numeros. ´ a) b) c) d) Positivo 8 elevado al cuadrado. Negativo 2 elevado a la cuarta potencia. Positivo 15 elevado al cubo. Negativo 16 elevado al cuadrado. e) Negativo 15 elevado a la sexta potencia. f) Positivo 7 elevado a la quinta. g) Positivo 3 elevado a la cuarta potencia. h) Negativo 2 elevado a la sexta potencia. 2

Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a Ejercicio 0.0.5. Expresa como un desarrollo de factores y calcula la potencia. f) (−55)2 = a) (−5)3 = (−5) · (−5) · (−5) = -125 b) (−6)4 = g) (+8)3 = c) (−9)5 = h) (−10)3 = d) (+12)3 = e) (+22)3 = i) (+3)5 = Ejercicio 0.0.6. Completa las tablas ´ Potenciacion Base (−2) Exponente ´ Potenciacion Potencia 16 Exponente Potencia 4 (+32) (−3)5 Base 64 16 3 (−8) (+7) 3 Ejercicio 0.0.7. Sin encontrar la potencia determina su signo. a) (−8)6 = + d) (−17)470 = g) (+20)17 = j) (+200)17 = b) (−19)5 = e) (+30)30 = h) (−20)17 = k) (+15)371 = c) (−278)23 = f) (+12)16 = i) (−13)20 = l) (−23)268 = Ejercicio 0.0.8. Completa el cuadro siguiente. Forma potencial Base Exponente (+2) 7 (−10) (−3) Forma desarrollada 4 Potencia 6 (−4) · (−4) · (−4) · (−4) · (−4) 125 Para tener en cuenta: ´ La expresion (− a)n no significa lo mismo que − an . (− a)n = − an • (−7)2 = (−7) · (−7) = +49 • −72 = − (7 · 7) = − (49) = −49 Ejercicio 0.0.9. Calcula las siguientes potencias: a. (−8)2 = +64 e. (−16)3 = i. (+5)3 = b. −82 = f. −26 = j. (−7)2 = c. (−9)3 = g. (−7)3 = k. −92 = d. −93 = h. −64 = l. (−5)−2 = 3

´ Potenciacion Matem´ ticas a EXPONENTE CERO, EXPONENTE UNO Y EXPONENTE NEGATIVO Exponente cero ´ Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente cero, es igual a uno. Exponente uno ´ Un numero entero (distinto de cero) elevado a exponente uno, es igual a ese mismo ´ numero. a1 = a a0 = 1 donde a = 0 Ejemplos: Ejemplos: 41 = 4 0 2 =1 61 = 6 50 = 1 2501 = 250 1500 = 1 Se conviene en no escribir el exponente 1 porque se lo sobreentiende. 10000 = 1 Ejercicio 0.0.10. Calcula las potencias de exponente cero y exponente uno. 30 = (−4)1 = 650 = 630 = Ejercicio 0.0.11. Observa el ejemplo y resuelve. 1) 2 + 51 + 4 + 30 − 3 = 3541 = (−7)0 = 10000 = 57431 = 2) 4 + 101 − 4 + 3 − 80 = 15240 = (−64)0 = 3) 50 − 7 + 120 − 31 + 4 − 7 = 2+5+4+1−3= 12 − 3 = £   = ¢9 ¡ Exponente negativo ´ Un numero entero (distinto de cero) elevado a un exponente negativo, es igual a 1 dividido entre el ´ numero entero elevado al mismo exponente pero con signo positivo. a−n = 1 an Ejercicio 0.0.12. Resuleve las siguientes potencias. 1. 3−3 = 2. (−3)−2 = donde a = 0, n ∈ N 3. 4−2 = Ejemplos: 1 1 = 4 16 2 1 1 5−2 = 2 = 5 25 1 1 1 = =− (−4)−3 = 3 −64 64 (−4) 2−4 = 4. (−2)−3 = 5. (−1)−5 = 6. 5−2 = Para tener en cuenta. § ¤ ´ • El 1 elevado a cualquier numero entero es igual a 1: ¦ n = 1 ¥ 1 § ¤ ´ • El 0 elevado a cualquier numero entero positivo es igual a 1: ¦ n = 1; n > 0 ¥ 0 § ¤ ´ • Un numero entero (distinto de 0) elevado a 0 es igual a 1: ¦ 0 = 1; n = 0 ¥ n § ¤ ´ ´ • Cualquier numero entero elevado a 1 es igual al mismo numero: ¦ 1 = n ¥ n 4

Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a ´ PROPIEDADES DE LA POTENCIACION ´ FORMULACION ´ Multiplicacion de potencias de la misma base EJEMPLOS Es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. PROPIEDAD • 32 · 33 = 32+3 = 35 § • (−4)−2 · (−4)7 = (−4)−2+7 = (−4)5 ¤ m+n am n ¦ ·a =a ¥ • 22 · 2−3 · 24 · 2−5 = 22+(−3)+4+(−5) = 26−8 = 2−2 Es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes. ´ Division de potencias de la misma base § • 57 ÷ 55 = 57−5 = 52 • 7−5 ÷ 7−4 = 7−5−(−4) = 7−5+4 = 7−1 ¤ • (−2)3 ÷ (−2)−2 = (−2)3−(−2) = (−2)3+2 = (−2)5 n m−n am ¦ ÷a =a ¥ Es igual a la primera base elevada al producto de los exponentes. Potencia de una potencia § ¥ ( am )n = am·n § ¦ ¥ § ¦ 4 2 = (−5)3×2 = (−5)6 = 72×4×2 = 716 • (−2)3 · (−3)3 = [(−2) · (−3)]3 = 63 • (8 ÷ 4)2 = 82 ÷ 42 • [6 ÷ (−4)]3 = 63 ÷ (−4)3 ¤ ¥ ( a ÷ b)n = an ÷ bn 2 • ( 3 · 4 ) 2 = 32 · 42 La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la potencia del divisor. Potencia de ´ una division = 24×3 = 212 • ( 2 · 3 ) 5 = 25 · 35 ¤ ( a · b)n = an · bn 72 • La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Potencia de una ´ multiplicacion 3 • (−5)3 ¤ ¦ • 24 • 104 ÷ 44 = (10 ÷ 2)4 = 54 Ejercicio 0.0.13. Expresa el resultado en forma de potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n. o 1) 52 · 55 · 54 = 5 2+5+4 = 511 2 3) (−9) ÷ (−9) = 5) 6) (−2)3 32 · 22 2 5 10) (−2) · (−2) · (−2) 11) (+8)5 ÷ (+8)3 = = 4 = = 7) (−5)3 · (+2)3 = (−2)−3 2 = 2 9) (+6) ÷ (−3) = 5 3 15) 2 2) 86 ÷ 84 = 4) 52 8) 83 ÷ 43 = −4 16) (−6)3 · (+5)3 = = 17) (−8)−2 ÷ (+4)−2 = 12) 45 ÷ 48 = 18) (−2)3 · (−2)4 · (−2)5 = 13) (−3)6 ÷ (−3)6 = 19) ( a · b · c)m = 14) (−5)2 3 20) am · an · a p = = 5

´ Potenciacion Matem´ ticas a ANALISIS 2 es igual a 23·2 ? ¿Por qu´ 23 · 24 es igual a 23+4 ? e ¿Por qu´ 23 e Recordemos que 23 nos indica que debemos ´ multiplicar el numero 2 por si mismo 3 veces. De ´ manera semejante, la expresion 24 nos indica que ´ debemos multiplicar el numero 2 por s´ mismo 4 ı veces. Entonces, al multiplicar de tiene: ´ Es claro que el numero 2 nos indica que debemos ´ ´ multiplicar el numero que aparece entre parentesis por s´ mismo 2 veces. Pero por la primera propiedad, ı ´ que nos dice que cuando se estan multiplicando potencias con la misma base los exponentes se suman, el exponente resultante debe ser el producto de 3 por 2 Esto es: 23 · 24 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27 3 veces 23 4 veces 2 = 23 · 23 = 23+3 = 26 2 veces Vemos que en total terminamos multiplicando 7 ´ veces el numero 2, por eso debemos sumar los exponentes: Para simplificar este proceso largo multiplicamos los exponentes 3 por 2 23 23 · 24 = 23+4 = 27 2 = 23·2 = 26 Observa el ejemplo: 84 · 162 = 23 4 · 24 2 = 212 · 28 = 220 Ejercicio 0.0.14. Expresa como una sola potencia aplicando las propiedades de la potenciaci´ n o 1) 34 · 92 = 6) 81−1 · 3−3 = 2) 84 · 162 = 7) 92 · 27 = 3) 54 · 253 = 8) 362 · 6 = 4) 47 · 32 = 9) 100 · 22 = 5) 16−1 · 23 = 10) 81 · 42 = Observa el ejemplo y analiza. 25 · 16 = 52 · 42 Expresamos el 25 como potencia de 52 y 16 como potencia de 42 = (5 · 4)2 Aplicamos la propiedad distributiva reciprocamente ( a · b)n = an · bn = 202 = 400 Multiplicamos dentro del parentesis Encontramos la potencia Ejercicio 0.0.15. Aplica las propiedades de la potenciaci´ n igual que en el ejemplo anterior. o 1) 16 · 9 = 3) 16 · 64 = 5) 25 · 4 = 2) 27 · 8 = 4) 4 · 81 = 6) 36 · 49 = 6

Prof. Wenceslao Quispe Ticona Matem´ ticas a 25 ¿Por qu´ 3 es igual a 25−3 ? e 2 ´ En el numerador, 25 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 5 veces. ´ En el denominador, 23 nos indica que debemos multiplicar el numero 2 por si mismo 3 veces. Entonces se tiene: 2·2·2·2·2 25 = 3 2·2·2 2 Cancelando factores en el numerador y el denominador. 2·2·2·2·2 25 ¡ ¡ ¡ = = 2 · 2 = 22 2·2·2 23 ¡ ¡ ¡ De los cinco factores que hab´a en el numerador, se cancelaron 3 con los factores que ı estaban en el denominador. Por eso restamos los exponentes. 25 = 25−3 = 22 23 Ejercicio 0.0.16. Indica la propiedad aplicada en cada numeral 1. 1200 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 01 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (2 × 3)3 = 23 × 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. 2001 = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 = 4 2×3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. (20 ÷ 5)3 = 203 ÷ 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 150 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. (30 ÷ 5)2 = 302 ÷ 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 42 Ejercicio 0.0.17. Miscelanea 1) 23 + 32 − 52 = 9) 122 1 17) 42 · (−2)1 · 20 = = 18) 52 · (−2)2 · 22 = 2) 22 + 33 − 4‘2 = 10) 74 ÷ 7−3 = 3) 52 · 22 + 32 − 34 = 11) 63 ÷ (−3)3 = 4) (−2)3 + 52 (−7)1 + (−9)0 = 12) 62 ÷ (2)2 = 5) 24 6) 6−2 4 3 · (−4) = 13) (−5) ÷ (−5) 3 ·6= 2 19) (−3)−2 · (−3)6 · (−3)−4 = 20) (−2)3 · 24 · 2−3 · (−2)2 = −2 = 3 14) (−12) ÷ (−6) = 5 10 13 7) (−2) · (−2) = 15) (−15) 8) 23 · (−2)4 = 16) (−6)2 ÷ (2)2 = ÷ (−15) = 7 21) (−3)2 22) 23 −3 −2 3 = = 42 · 4 − 3 · 45 23) −1 3 2 = 4 ·4 ·4 24) (−2)3 · (−2)−4 · (−2) = [(−2)2 ]3 · (−2)−2

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