advertisement

PolynomialsI

67 %
33 %
advertisement
Information about PolynomialsI
Education

Published on March 6, 2009

Author: azourna

Source: slideshare.net

Description

Εισαγωγή στα πολυώνυμα, ορισμοί, βαθμός πολυωνύμου.
advertisement

Πολυώνυμα Άννας Ζουρνά

Ορισμός Μεταβλητές λέγονται τα μικρά γράμματα του ελληνικού ή και του λατινικού αλφάβητου τα οποία παίρνουν τιμές από συγκεκριμένα σύνολα αριθμών.

Μεταβλητές λέγονται τα μικρά γράμματα του ελληνικού ή και του λατινικού αλφάβητου τα οποία παίρνουν τιμές από συγκεκριμένα σύνολα αριθμών.

Ορισμός Αλγεβρική παράσταση λέγεται μία παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών. Παράδειγμα: 5 x 3 y 5 – 7 ω x 8 y 4 z 9

Αλγεβρική παράσταση λέγεται μία παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.

Παράδειγμα:

5 x 3 y 5 – 7 ω x 8 y 4 z 9

Ορισμός Αν σε μία αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, τότε καταλήγουμε στην αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης.

Αν σε μία αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, τότε καταλήγουμε στην αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης.

Άσκηση Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παρακάτω αλγεβρικής παράστασης για x=3, y=–2 και ω = – 1.

Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παρακάτω αλγεβρικής παράστασης για x=3, y=–2 και ω = – 1.

Ορισμός Μία αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο όταν μεταξύ των αριθμών και μεταβλητών της, σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού. Παραδείγματα: 12 x 3 y 5 , – 3ω z 9

Μία αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο όταν μεταξύ των αριθμών και μεταβλητών της, σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού.

Παραδείγματα: 12 x 3 y 5 , – 3ω z 9

Άσκηση Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι μονώνυμα; Αυτό είναι;

Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι μονώνυμα;

Ορισμοί Το κάθε μονώνυμο αποτελείται από δύο μέρη: Το αριθμητικό μέρος, που ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου και Το εγγράμματο μέρος του, που ονομάζεται κύριο μέρος .

Το κάθε μονώνυμο αποτελείται από δύο μέρη:

Το αριθμητικό μέρος, που ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου και

Το εγγράμματο μέρος του, που ονομάζεται κύριο μέρος .

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π r – x xy ω z – 5 ω 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π r – x xy ω z – 5 ω 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π r – x xy ω z – 5 ω x 2 y 4 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π r – x xy ω z – 5 – 5 ω x 2 y 4 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π r – x xy ω z ω – 5 – 5 ω x 2 y 4 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π r – x 1 xy ω z ω – 5 – 5 ω x 2 y 4 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π r – x xy ω z 1 xy ω z ω – 5 – 5 ω x 2 y 4 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π r – 1 – x xy ω z 1 xy ω z ω – 5 – 5 ω x 2 y 4 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π r x – 1 – x xy ω z 1 xy ω z ω – 5 – 5 ω x 2 y 4 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: 2π 2π r x – 1 – x xy ω z 1 xy ω z ω – 5 – 5 ω x 2 y 4 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων: r 2π 2π r x – 1 – x xy ω z 1 xy ω z ω – 5 – 5 ω x 2 y 4 3 3 x 2 y 4 Κύριο μέρος Συντελεστής Μονώνυμο

Να βρείτε τους συντελεστές και τα κύρια μέρη των παρακάτω μονωνύμων:

Ορισμός Βαθμός μονωνύμου λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του κυρίου μέρους του μονωνύμου. Συμβολίζεται με deg( μονώνυμο) ή ακόμη και με ο (μονώνυμο).

Βαθμός μονωνύμου λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του κυρίου μέρους του μονωνύμου.

Συμβολίζεται με deg( μονώνυμο)

ή ακόμη και με ο (μονώνυμο).

Παραδοχές Δεχόμαστε ότι ακόμη και οι αριθμοί αποτελούν μονώνυμα. Τα ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα και λέμε ότι είναι μηδενικού βαθμού. Το μηδέν λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό.

Δεχόμαστε ότι ακόμη και οι αριθμοί αποτελούν μονώνυμα.

Τα ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα και λέμε ότι είναι μηδενικού βαθμού.

Το μηδέν λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό.

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων: – 7xy ω z 38 ω 8 x x 5 ω 4 y 7 – 6 z 15x 5 ω 4 Βαθμός Μονώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων: – 7xy ω z 38 ω 8 x x 5 ω 4 y 7 – 6 z 9 15x 5 ω 4 Βαθμός Μονώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων: – 7xy ω z 38 ω 8 x x 5 ω 4 y 7 1 – 6 z 9 15x 5 ω 4 Βαθμός Μονώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων: – 7xy ω z 38 ω 8 x 16 x 5 ω 4 y 7 1 – 6 z 9 15x 5 ω 4 Βαθμός Μονώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων: – 7xy ω z 9 38 ω 8 x 16 x 5 ω 4 y 7 1 – 6 z 9 15x 5 ω 4 Βαθμός Μονώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων: 4 – 7xy ω z 9 38 ω 8 x 16 x 5 ω 4 y 7 1 – 6 z 9 15x 5 ω 4 Βαθμός Μονώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω μονωνύμων:

Ορισμοί Όμοια ονομάζονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος . Αντίθετα ονομάζονται τα όμοια μονώνυμα που έχουν αντίθετους συντελεστές.

Όμοια ονομάζονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος .

Αντίθετα ονομάζονται τα όμοια μονώνυμα που έχουν αντίθετους συντελεστές.

Άσκηση Να βρείτε ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια και ποια από τα όμοια μονώνυμα είναι αντίθετα :

Να βρείτε ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια και ποια από τα όμοια μονώνυμα είναι αντίθετα :

Άσκηση Να βρείτε ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια και ποια από τα όμοια μονώνυμα είναι αντίθετα :

Να βρείτε ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια και ποια από τα όμοια μονώνυμα είναι αντίθετα :

Ορισμοί Τα πολυώνυμα είναι αθροίσματα μονωνύμων. Τα μονώνυμα που αποτελούν ένα πολυώνυμο ονομάζονται όροι του πολυωνύμου. Βαθμός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των μονωνύμων του.

Τα πολυώνυμα είναι αθροίσματα μονωνύμων.

Τα μονώνυμα που αποτελούν ένα πολυώνυμο ονομάζονται όροι του πολυωνύμου.

Βαθμός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των μονωνύμων του.

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων: 8x 5 + 15x 9 – 7x 4 + 6x 11 + 3 24 ω 9 + 75u 5 ω 4 – 7x 2 y 7 – 4 11x + 19x 2 – 37x ω y+ 6 – 2y 5 ω 6 + 9x 8 ω 4 – 12x 5 ω 3 y 7 5x 2 y 2 + 15x 5 – 14y 7 – 17 Βαθμός Πολυώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων: 8x 5 + 15x 9 – 7x 4 + 6x 11 + 3 24 ω 9 + 75u 5 ω 4 – 7x 2 y 7 – 4 11x + 19x 2 – 37x ω y+ 6 – 2y 5 ω 6 + 9x 8 ω 4 – 12x 5 ω 3 y 7 7 5x 2 y 2 + 15x 5 – 14y 7 – 17 Βαθμός Πολυώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων: 8x 5 + 15x 9 – 7x 4 + 6x 11 + 3 24 ω 9 + 75u 5 ω 4 – 7x 2 y 7 – 4 11x + 19x 2 – 37x ω y+ 6 15 – 2y 5 ω 6 + 9x 8 ω 4 – 12x 5 ω 3 y 7 7 5x 2 y 2 + 15x 5 – 14y 7 – 17 Βαθμός Πολυώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων: 8x 5 + 15x 9 – 7x 4 + 6x 11 + 3 24 ω 9 + 75u 5 ω 4 – 7x 2 y 7 – 4 3 11x + 19x 2 – 37x ω y+ 6 15 – 2y 5 ω 6 + 9x 8 ω 4 – 12x 5 ω 3 y 7 7 5x 2 y 2 + 15x 5 – 14y 7 – 17 Βαθμός Πολυώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων: 8x 5 + 15x 9 – 7x 4 + 6x 11 + 3 9 24 ω 9 + 75u 5 ω 4 – 7x 2 y 7 – 4 3 11x + 19x 2 – 37x ω y+ 6 15 – 2y 5 ω 6 + 9x 8 ω 4 – 12x 5 ω 3 y 7 7 5x 2 y 2 + 15x 5 – 14y 7 – 17 Βαθμός Πολυώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων:

Άσκηση Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων: 11 8x 5 + 15x 9 – 7x 4 + 6x 11 + 3 9 24 ω 9 + 75u 5 ω 4 – 7x 2 y 7 – 4 3 11x + 19x 2 – 37x ω y+ 6 15 – 2y 5 ω 6 + 9x 8 ω 4 – 12x 5 ω 3 y 7 7 5x 2 y 2 + 15x 5 – 14y 7 – 17 Βαθμός Πολυώνυμο

Να βρείτε τους βαθμούς των παρακάτω πολυωνύμων:

Ορισμοί Ομογενή λέγονται τα πολυώνυμα που όλοι οι όροι τους είναι μονώνυμα ίδιου βαθμού . Παράδειγμα: 12ω 3 y 5 – 3ω z 7 +2 x 2 y 6 Διώνυμο λέγεται ένα πολυώνυμο με δύο όρους. Τριώνυμο λέγεται ένα πολυώνυμο με τρεις όρους.

Ομογενή λέγονται τα πολυώνυμα που όλοι οι όροι τους είναι μονώνυμα ίδιου βαθμού .

Παράδειγμα: 12ω 3 y 5 – 3ω z 7 +2 x 2 y 6

Διώνυμο λέγεται ένα πολυώνυμο με δύο όρους.

Τριώνυμο λέγεται ένα πολυώνυμο με τρεις όρους.

Παρατηρήσεις Τα περισσότερα πολυώνυμα που θα συναντήσετε στο Λύκειο είναι πολυώνυμα με μία μόνο μεταβλητή . Αυτά συμβολίζονται με p ν (x) [ή και p(x) , q(x) και π (x) ] όπου: ν είναι ο βαθμός του πολυωνύμου και x είναι η μεταβλητή που εμφανίζεται.

Τα περισσότερα πολυώνυμα που θα συναντήσετε στο Λύκειο είναι πολυώνυμα με μία μόνο μεταβλητή .

Αυτά συμβολίζονται με p ν (x) [ή και p(x) , q(x) και π (x) ] όπου:

ν είναι ο βαθμός του πολυωνύμου και

x είναι η μεταβλητή που εμφανίζεται.

Διάταξη Στα πολυώνυμα μπορούμε να διατάξουμε τους όρους κατά τις φθίνουσες ή κατά τις αύξουσες δυνάμεις των μεταβλητών. Παράδειγμα: Το πολυώνυμο 5x 4 – 3x 2 +x – 2 είναι διατεταγμένο κατά φθίνουσα δύναμη του x , ενώ το 5 + 2x 4 y– 3y 2 + 7y 3 είναι διατεταγμένο κατά αύξουσα δύναμη του y.

Στα πολυώνυμα μπορούμε να διατάξουμε τους όρους κατά τις φθίνουσες ή κατά τις αύξουσες δυνάμεις των μεταβλητών.

Παράδειγμα:

Το πολυώνυμο 5x 4 – 3x 2 +x – 2 είναι διατεταγμένο κατά φθίνουσα δύναμη του x , ενώ το 5 + 2x 4 y– 3y 2 + 7y 3 είναι διατεταγμένο κατά αύξουσα δύναμη του y.

Πάμε στις πράξεις των πολυωνύμων . . .

Add a comment

Related presentations

Related pages

Polynomial - Wikipedia, the free encyclopedia

A composition of two polynomials is a polynomial, which is obtained by substituting a variable of the first polynomial by the second polynomial. [4]
Read more

Polynomials - Math is Fun - Maths Resources

(Yes, even "5" is a polynomial, one term is allowed, and it can even be just a constant!) And these are not polynomials. 3xy-2 is not, because the exponent ...
Read more

Schur polynomial - Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, Schur polynomials, named after Issai Schur, are certain symmetric polynomials in n variables, indexed by partitions, that generalize the ...
Read more

Polynomials: Definitions / Evaluation - Purplemath

Polynomials are also sometimes named for their degree: a second-degree polynomial, such as 4x 2, x 2 – 9, or ax 2 + bx + c, is ...
Read more

Polynomial -- from Wolfram MathWorld

REFERENCES: Barbeau, E. J. Polynomials. New York: Springer-Verlag, 1989. Becker, T. and Weispfenning, V. Gröbner Bases: A Computational Approach to ...
Read more

Solving Polynomials - Math is Fun - Maths Resources

Read how to solve Linear Polynomials (Degree 1) using simple algebra. Read how to solve Quadratic Polynomials (Degree 2) with a little work, It can be hard ...
Read more

Arithmetic with polynomials | Algebra II | Khan Academy

Arithmetic with polynomials. Learn how to add, subtract, multiply, and even divide polynomials. Community Questions All content in “Arithmetic with ...
Read more

How to multiply a monomial by a polynomial (example ...

If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources for Khan Academy.
Read more

What is polynomial? - Definition from WhatIs.com

Some polynomials have two, three, or more variables. ... - This WhatIs.com glossary contains terms related to Internet applications, ...
Read more

Polynomials - Algebra help- Detailed Examples, Practice ...

This unit is a brief introduction to the world of Polynomials. We will add, subtract, multiply, and even start factoring a polynomial.
Read more