advertisement

Polynomials III

50 %
50 %
advertisement
Information about Polynomials III
Education

Published on March 6, 2009

Author: azourna

Source: slideshare.net

Description

Παραγοντοποίηση πολυωνύμων (διωνύμων και τριωνύμων)
advertisement

Παραγοντοποίηση πολυωνύμων Ζουρνά Άννας

Η παραγοντοποίηση είναι η μετατροπή μιας παράστασης σε γινόμενο (ποιώ = φτιάχνω) Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι όταν σε μία άσκηση αναφέρεται η λέξη παραγοντοποίηση πρέπει να γίνει πλήρης παραγοντοποίηση.

Η παραγοντοποίηση είναι η μετατροπή μιας παράστασης σε γινόμενο

(ποιώ = φτιάχνω)

Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι όταν σε μία άσκηση αναφέρεται η λέξη παραγοντοποίηση πρέπει να γίνει πλήρης παραγοντοποίηση.

Παραγοντοποίηση πολυωνύμου Πάντοτε πριν από όλες τις περίπλοκες πιθανές εκδοχές παραγοντοποίησης πρέπει να σκεφτούμε απλά… 1 ον Ελέγχουμε αν μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα , εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα .

Πάντοτε πριν από όλες τις περίπλοκες πιθανές εκδοχές παραγοντοποίησης πρέπει να σκεφτούμε απλά…

1 ον Ελέγχουμε αν μπορούμε να

βγάλουμε κοινό παράγοντα , εφαρμόζοντας

την επιμεριστική ιδιότητα .

Κοινός παράγοντας α. από τους αριθμούς «βγαίνει» ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης αυτών β. από τις μεταβλητές «βγαίνουν» όσες υπάρχουν σε όλους τους όρους στη μικρότερη δύναμη που αυτές εμφανίζονται.

α. από τους αριθμούς «βγαίνει» ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης αυτών

β. από τις μεταβλητές «βγαίνουν» όσες υπάρχουν σε όλους τους όρους στη μικρότερη δύναμη που αυτές εμφανίζονται.

Παράδειγμα Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο: 8 x 4 y ω 3 – 56 x 3 y 2 ω 5 + 24 x 6 y 3 ω 2

Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο:

8 x 4 y ω 3 – 56 x 3 y 2 ω 5 + 24 x 6 y 3 ω 2

Παράδειγμα Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο: 8 x 4 y ω 3 – 56 x 3 y 2 ω 5 + 24 x 6 y 3 ω 2 ΜΚΔ(8,56,24) = 8

Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο:

8 x 4 y ω 3 – 56 x 3 y 2 ω 5 + 24 x 6 y 3 ω 2

ΜΚΔ(8,56,24) = 8

Παράδειγμα Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο: 8 x 4 y ω 3 – 56 x 3 y 2 ω 5 + 24 x 6 y 3 ω 2 ΜΚΔ(8,56,24) = 8 Το x εμφανίζεται σε όλους τους όρους και η μικρότερη δύναμη είναι η x 3 . T ο y εμφανίζεται σε όλους τους όρους και η μικρότερη δύναμη είναι η y 1 . T ο ω εμφανίζεται σε όλους τους όρους και η μικρότερη δύναμη είναι η ω 2 . 8 x 4 y ω 3 – 56 x 3 y 2 ω 5 + 24 x 6 y 3 ω 2 = 8 x 3 y ω 2 ( x ω – 7 y ω 3 + 3 x 3 y 2 ) 8 x 3 y ω 2

Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο:

8 x 4 y ω 3 – 56 x 3 y 2 ω 5 + 24 x 6 y 3 ω 2

ΜΚΔ(8,56,24) = 8

Το x εμφανίζεται σε όλους τους όρους και η μικρότερη δύναμη είναι η x 3 .

T ο y εμφανίζεται σε όλους τους όρους και η μικρότερη δύναμη είναι η y 1 .

T ο ω εμφανίζεται σε όλους τους όρους και η μικρότερη δύναμη είναι η ω 2 .

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) Αν η παράστασή μου έχει δύο όρους τότε: 1 . Ελέγχουμε αν μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα , εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα . 2. Μετά βλέπουμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε κάποια από τις γνωστές ταυτότητες μετασχηματισμών: Διαφορά τετραγώνων α 2 – β 2 = (α – β)  (α + β) Διαφορά κύβων α 3 – β 3 = (α – β)  (α 2 + α  β + β 2 ) Άθροισμα κύβων α 3 + β 3 = (α + β)  (α 2 – α  β+ β 2 ) 3. Προσθαφαίρεση όρου για να οδηγηθούμε σε διαφορά τετραγώνων. Προσοχή!

Αν η παράστασή μου έχει δύο όρους τότε:

1 . Ελέγχουμε αν μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα , εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα .

2. Μετά βλέπουμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε κάποια από τις γνωστές ταυτότητες μετασχηματισμών:

Διαφορά τετραγώνων α 2 – β 2 = (α – β)  (α + β)

Διαφορά κύβων α 3 – β 3 = (α – β)  (α 2 + α  β + β 2 )

Άθροισμα κύβων α 3 + β 3 = (α + β)  (α 2 – α  β+ β 2 )

3. Προσθαφαίρεση όρου για να οδηγηθούμε σε διαφορά τετραγώνων.

8u 3 + v 3 = 8u 3 + v 3 = ( 2u – v )( 4u 2 +uv + v 2 ) Άθροισμα κύβων των 2u και v

 

 

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) 3. Ο τελευταίος τρόπος είναι απαραίτητος για να παραγοντοποιηθούν διώνυμα αλλά και για να εμπεδώσουμε τη συμπλήρωση τετραγώνου. SUPER SOS στη Β΄ και Γ΄Λυκείου Παράδειγμα: x 4 + 4y 4 = Εδώ έχουμε το άθροισμα των τετραγώνων των x 2 , 2 y 2 και για να γίνει τέλειο τετράγωνο λείπει το διπλάσιο γινόμενό τους που είναι το 2 x 2 2 y 2 = 4 x 2 y 2 . Αυτόν τον όρο προσθέτουμε και αφαιρούμε στη παράστασή μας..

3. Ο τελευταίος τρόπος είναι απαραίτητος για να παραγοντοποιηθούν διώνυμα αλλά και για να εμπεδώσουμε τη συμπλήρωση τετραγώνου.

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) 3. Ο τελευταίος τρόπος είναι απαραίτητος για να παραγοντοποιηθούν διώνυμα αλλά και για να εμπεδώσουμε τη συμπλήρωση τετραγώνου. Παράδειγμα: x 4 + 4y 4 = x 4 + 4 x 2 y 2 + 4y 4 – 4 x 2 y 2 = Τέλειο τετράγωνο

3. Ο τελευταίος τρόπος είναι απαραίτητος για να παραγοντοποιηθούν διώνυμα αλλά και για να εμπεδώσουμε τη συμπλήρωση τετραγώνου.

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) 3. Ο τελευταίος τρόπος είναι απαραίτητος για να παραγοντοποιηθούν διώνυμα αλλά και για να εμπεδώσουμε τη συμπλήρωση τετραγώνου. Παράδειγμα: x 4 + 4y 4 = x 4 + 4 x 2 y 2 + 4y 4 – 4 x 2 y 2 = = ( x 2 + 2 y 2 ) 2 – 4 x 2 y 2 = Και τώρα διαφορά τετραγώνων…

3. Ο τελευταίος τρόπος είναι απαραίτητος για να παραγοντοποιηθούν διώνυμα αλλά και για να εμπεδώσουμε τη συμπλήρωση τετραγώνου.

Παραγοντοποίηση Διωνύμου (δύο όροι) 3. Ο τελευταίος τρόπος είναι απαραίτητος για να παραγοντοποιηθούν διώνυμα αλλά και για να εμπεδώσουμε τη συμπλήρωση τετραγώνου. Παράδειγμα: x 4 + 4y 4 = x 4 + 4 x 2 y 2 + 4y 4 – 4 x 2 y 2 = = ( x 2 + 2 y 2 ) 2 – 4 x 2 y 2 = = ( x 2 + 2 y 2 – 2 xy ) ( x 2 + 2 y 2 + 2 xy )

3. Ο τελευταίος τρόπος είναι απαραίτητος για να παραγοντοποιηθούν διώνυμα αλλά και για να εμπεδώσουμε τη συμπλήρωση τετραγώνου.

Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα: 7x + 14 = 25xy – 15x ω = 63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z = 39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 = 7

Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα:

7x + 14 =

25xy – 15x ω =

63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z =

39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 =

Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα: 7x + 14 = 7( x+2) 25xy – 15x ω = 63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z = 39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 = 5 x

Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα:

7x + 14 = 7( x+2)

25xy – 15x ω =

63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z =

39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 =

Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα: 7x + 14 = 7( x+2) 25xy – 15x ω = 5x(5y – 3 ω ) 63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z = 39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 = 7x

Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα:

7x + 14 = 7( x+2)

25xy – 15x ω = 5x(5y – 3 ω )

63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z =

39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 =

Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα: 7x + 14 = 7( x+2) 25xy – 15x ω = 5x(5y – 3 ω ) 63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z = 7x(9x ω + 7z 3 – 6 ω z) 39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 = 13 αγ

Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα:

7x + 14 = 7( x+2)

25xy – 15x ω = 5x(5y – 3 ω )

63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z = 7x(9x ω + 7z 3 – 6 ω z)

39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 =

Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα: 7x + 14 = 7( x+2) 25xy – 15x ω = 5x(5y – 3 ω ) 63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z = 7x(9x ω + 7z 3 – 6 ω z) 39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 = 13αγ (3β 2 – 13δ 3 )

Να παραγοντοποιηθούν τα παρακάτω πολυώνυμα:

7x + 14 = 7( x+2)

25xy – 15x ω = 5x(5y – 3 ω )

63x 2 ω + 49xz 3 – 42x ω z = 7x(9x ω + 7z 3 – 6 ω z)

39 αβ 2 γ – 169αγδ 3 = 13αγ (3β 2 – 13δ 3 )

Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθεί το παρακάτω διώνυμο: 4 x 4 + 1 = Συμπλήρωση τετραγώνου Προσθέτουμε και αφαιρούμε το 4 x 2

Να παραγοντοποιηθεί το παρακάτω διώνυμο:

4 x 4 + 1 =

Παράδειγμα Να παραγοντοποιηθεί το παρακάτω διώνυμο: 4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 – 4 x 2 = Τέλειο τετράγωνο

Να παραγοντοποιηθεί το παρακάτω διώνυμο:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 – 4 x 2 =

Παράδειγμα = (2 x 2 + 1) 2 – 4 x 2 = Διαφορά τετραγώνων Να παραγοντοποιηθεί το παρακάτω διώνυμο: 4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 – 4 x 2 =

= (2 x 2 + 1) 2 – 4 x 2 =

Παράδειγμα = (2 x 2 + 1) 2 – 4 x 2 = Να παραγοντοποιηθεί το παρακάτω διώνυμο: 4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 – 4 x 2 = = (2 x 2 + 1– 2 x ) (2 x 2 + 1+ 2 x )= = (2 x 2 – 2 x + 1) (2 x 2 + 2 x + 1) Και μία τακτοποίηση

= (2 x 2 + 1) 2 – 4 x 2 =

8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

3(2x + 3) 8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

7(2x – 1) 3(2x + 3) 8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

-10(x – 5) 7(2x – 1) 3(2x + 3) 8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

2x(4x – 3) -10(x – 5) 7(2x – 1) 3(2x + 3) 8x 2 – 6x -10x + 50 14x - 7 6x + 9

x 2 - 36 x 2 - 100 x 2 - 81

x 2 - 36 (x - 10)(x + 10) x 2 - 100 x 2 - 81

(x - 6)(x + 6) x 2 - 36 (x - 10)(x + 10) x 2 - 100 x 2 - 81

(x - 6)(x + 6) x 2 - 36 (x - 10)(x + 10) x 2 - 100 (x - 9)(x + 9) x 2 - 81

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου (τρεις όροι) 1 . Ελέγχουμε αν μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα , εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα . 2. Μετά βλέπουμε αν το τριώνυμό μας ικανοποιεί κάποια από τις γνωστές ταυτότητες πράξεων: Τετράγωνο αθροίσματος α 2 + 2αβ + β 2 = (α + β) 2 Τετράγωνο διαφοράς α 2 – 2αβ + β 2 = (α – β) 2 3. Ειδικά για τριώνυμα μιας μεταβλητής χρησιμοποιούμε κάποιον από τους παρακάτω τρόπους:

1 . Ελέγχουμε αν μπορούμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα , εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα .

2. Μετά βλέπουμε αν το τριώνυμό μας ικανοποιεί κάποια από τις γνωστές ταυτότητες πράξεων:

Τετράγωνο αθροίσματος α 2 + 2αβ + β 2 = (α + β) 2

Τετράγωνο διαφοράς α 2 – 2αβ + β 2 = (α – β) 2

3. Ειδικά για τριώνυμα μιας μεταβλητής χρησιμοποιούμε κάποιον από τους παρακάτω τρόπους:

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου α x 2 + β x + γ α. Ο πιο ασφαλής τρόπος είναι με τη βοήθεια της Διακρίνουσας β. Διάσπαση μεσαίου όρου και παραγοντοποίηση πρώτα ανά δύο όρους και μετά βγάζουμε κοινό παράγοντα κάποια εκ των δημιουργηθέντων παρενθέσεων . Αυτόν τον τρόπο τον ακολουθούμε μόνον αν είμαστε σίγουροι για την ταχύτητα των υπολογισμών μας και είμαστε άνετοι στις πράξεις γ. αν το τριώνυμο είναι της μορφής x 2 + β x + γ μπορούμε να εργαστούμε ως εξής: Βρίσκουμε δύο αριθμούς που να έχουν γινόμενο γ και άθροισμα β. Με τη βοήθεια αυτών των αριθμών παραγοντοποιούμε το τριώνυμο.

α. Ο πιο ασφαλής τρόπος είναι με τη βοήθεια της Διακρίνουσας

β. Διάσπαση μεσαίου όρου και παραγοντοποίηση πρώτα ανά δύο όρους και μετά βγάζουμε κοινό παράγοντα κάποια εκ των δημιουργηθέντων παρενθέσεων .

Αυτόν τον τρόπο τον ακολουθούμε μόνον αν είμαστε σίγουροι για την ταχύτητα των υπολογισμών μας και είμαστε άνετοι στις πράξεις

γ. αν το τριώνυμο είναι της μορφής x 2 + β x + γ μπορούμε να εργαστούμε ως εξής: Βρίσκουμε δύο αριθμούς που να έχουν γινόμενο γ και άθροισμα β. Με τη βοήθεια αυτών των αριθμών παραγοντοποιούμε το τριώνυμο.

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου α x 2 + β x + γ α. Αναλυτικά ο πρώτος τρόπος Το τριώνυμο α x 2 + β x + γ παραγοντοποιείται με τη βοήθεια της Διακρίνουσας ως εξής: α x 2 + β x + γ = α( x – x 1 ) ( x – x 2 ) όπου: και Δ = β 2 – 4αγ Προσοχή στο α. Πάνω από το 80% των μαθητών το ξεχνάει…

α. Αναλυτικά ο πρώτος τρόπος

Το τριώνυμο α x 2 + β x + γ παραγοντοποιείται με τη βοήθεια της Διακρίνουσας ως εξής:

α x 2 + β x + γ = α( x – x 1 ) ( x – x 2 ) όπου:

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου α x 2 + β x + γ β. Για να αναλύσουμε τη διάσπαση του μεσαίου όρου… Στο τριώνυμο 3 x 2 + 7 x + 4 παρατηρούμε ότι το 7 x γράφεται 3 x + 4x Ας το αντικαταστήσουμε να δούμε τι κερδίζουμε: 3 x 2 + 7 x + 4 = 3 x 2 + 3 x + 4 x + 4 = 3x(x+1)+4(x+1)= = (x+1)(3x+4) Τελειώσαμε;

β. Για να αναλύσουμε τη διάσπαση του μεσαίου όρου…

Στο τριώνυμο 3 x 2 + 7 x + 4

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου α x 2 + β x + γ Ας κάνουμε ακόμη ένα παράδειγμα για να εξοικειωθείτε περισσότερο με τη διάσπαση του μεσαίου όρου… Στο τριώνυμο 7 x 2 + 17 x + 6 παρατηρούμε ότι το 17 x γράφεται 14 x + 3 x Ας το αντικαταστήσουμε να δούμε τι κερδίζουμε : 7 x 2 + 17 x + 6 = 7 x 2 + 14 x + 3 x + 6 = 7 x(x+ 2 )+ 3 (x+ 2 )= = (x+ 2 )( 7 x+ 3 ) 7  2 3  2=6

Ας κάνουμε ακόμη ένα παράδειγμα για να εξοικειωθείτε περισσότερο με τη διάσπαση του μεσαίου όρου…

Στο τριώνυμο 7 x 2 + 17 x + 6

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου x 2 + β x + γ γ. Όταν ο συντελεστής του x 2 είναι η μονάδα τότε τα πράγματα απλουστεύονται κατά πολύ… Στο τριώνυμο x 2 + 5 x + 6 1. Παίρνουμε τον σταθερό όρο και τον αναλύουμε σε γινόμενο δύο παραγόντων 6 2. Υπολογίζουμε το άθροισμά τους. Πρέπει να ισούται με το β. 3. Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο: x 2 + 5 x + 6 = ( x +2)( x+3) Όχι αναγκαστικά πρώτων παραγόντων Πάντα στο μυαλό μας κάνουμε γρήγορη επαλήθευση 6  1 2  3 6+1 = 7  2+3 = 5 

γ. Όταν ο συντελεστής του x 2 είναι η μονάδα τότε τα πράγματα απλουστεύονται κατά πολύ…

Στο τριώνυμο x 2 + 5 x + 6

Παράδειγμα Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο: 2x 4 – 8 x 3 + 8x 2 ΜΚΔ(2,8)=2 Το x εμφανίζεται σε όλους τους όρους και η μικρότερη δύναμη είναι η x 2 . 2x 4 – 8 x 3 + 8x 2 = 2x 2 (x 2 – 4 x + 4) Τελειώσαμε;

Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο: 2x 4 – 8 x 3 + 8x 2

ΜΚΔ(2,8)=2

Το x εμφανίζεται σε όλους τους όρους και η μικρότερη δύναμη είναι η x 2 .

2x 4 – 8 x 3 + 8x 2 = 2x 2 (x 2 – 4 x + 4)

Παράδειγμα 2x 4 – 8 x 3 + 8x 2 = 2x 2 (x 2 – 4 x + 4) = Η παρένθεση είναι τέλειο τετράγωνο, άρα σύμφωνα με την ταυτότητα…

2x 4 – 8 x 3 + 8x 2 = 2x 2 (x 2 – 4 x + 4) =

Παράδειγμα 2x 4 – 8 x 3 + 8x 2 = 2x 2 (x 2 – 4 x + 4) = = 2x 2 (x – 2 ) 2 Πάντοτε η παραγοντοποίηση πρέπει να είναι ολοκληρωμένη.

2x 4 – 8 x 3 + 8x 2 = 2x 2 (x 2 – 4 x + 4) =

Διάσπαση μεσαίου όρου x x x x x 2 2 10 16 2 8 16 + + = + + + x x x 2 2 8 16 = + + + ( ) ( ) x x x 2 8 2 = + + + ( ) ( ) x x 8 2 = + + ( )( )

3 5 x x + + = 3 8 5 3 5 2 2 x x x + + = + = 3 1 5 1 x x x = + + + ( ) ( ) 3 5 1 x x = + + ( )( )

t t 2 4 21 - - t t 3 7 - t t 7 3 = - + ( )( ) t 2 21 = + - = t t t 3 7 3 = + - + ( ) ( ) =

6 7 x x + - = 2 21 2 21 2 2 x x x - - = - = 2 3 7 3 x x x = + - + ( ) ( ) 2 7 3 x x = - + ( )( )

Τριώνυμα ειδικού τύπου x 2 + β x + γ 1x 2 + β x + γ = (x + ?)(x + ?) 1x 2 - β x + γ = (x - ?)(x - ?) Βρείτε τους παράγοντες του γ που το άθροισμά τους είναι ίσο με το β Βρείτε τους παράγοντες του γ που η διαφορά τους είναι ίση με το β 1x 2 - β x - γ = (x + ?)(x - ?) 1x 2 + β x - γ = (x - ?)(x + ?) Πως τα ξεχωρίζω;

1x 2 + β x + γ = (x + ?)(x + ?)

1x 2 - β x + γ = (x - ?)(x - ?)

Βρείτε τους παράγοντες του γ

που το άθροισμά τους είναι ίσο με το β

Βρείτε τους παράγοντες του γ

που η διαφορά τους είναι ίση με το β

1x 2 - β x - γ = (x + ?)(x - ?)

1x 2 + β x - γ = (x - ?)(x + ?)

x 2 + 2x – 15 = 15 x 2 + 2x – 15 = ( x – 5 )( x – 3) 15  1 3  5 15 -1 = 14  5- 3 = 2 

x 2 - 20x + 36 = 36 x 2 - 20x + 36 = ( x – 2 )( x – 18 ) 36  1 4  9 36 + 1 = 37  4 + 9 = 13  6  6 6 + 6 = 1 2  18  2 18 + 2 = 20 

x 2 - 12x + 35 = 35 x 2 – 1 2x + 3 5 = ( x – 5 )( x – 7) 35  1 5  7 35 + 1 = 36  5+7 = 12 

x 2 - 8x + 15 15x 3 – 5x 2 27x 2 – 18x x 2 + 7x + 6

x 2 - 8x + 15 15x 3 – 5x 2 9x(3x – 2) 27x 2 – 18x x 2 + 7x + 6

x 2 - 8x + 15 5x 2 (3x – 1) 15x 3 – 5x 2 9x(3x – 2) 27x 2 – 18x x 2 + 7x + 6

x 2 - 8x + 15 5x 2 (3x – 1) 15x 3 – 5x 2 9x(3x – 2) 27x 2 – 18x (x + 1)(x + 6) x 2 + 7x + 6

(x - 3)(x - 5) x 2 - 8x + 15 5x 2 (3x – 1) 15x 3 – 5x 2 9x(3x – 2) 27x 2 – 18x (x + 1)(x + 6) x 2 + 7x + 6

x 2 - 3x -18 x 2 - 6x + 9 x 2 - 15x + 50 x 2 + 13x + 30

x 2 - 3x -18 (x - 3)(x - 3) x 2 - 6x + 9 x 2 - 15x + 50 x 2 + 13x + 30

(x - 6)(x + 3) x 2 - 3x -18 (x - 3)(x - 3) x 2 - 6x + 9 x 2 - 15x + 50 x 2 + 13x + 30

(x - 6)(x + 3) x 2 - 3x -18 (x - 3)(x - 3) x 2 - 6x + 9 x 2 - 15x + 50 (x + 10)(x + 3) x 2 + 13x + 30

(x - 6)(x + 3) x 2 - 3x -18 (x - 3)(x - 3) x 2 - 6x + 9 (x - 10)(x - 5) x 2 - 15x + 50 (x + 10)(x + 3) x 2 + 13x + 30

x 2 - 5x - 6 x 2 - 5x + 6 x 2 - 25 x 2 - 5x

x 2 - 5x - 6 (x - 3)(x - 2) x 2 - 5x + 6 x 2 - 25 x 2 - 5x

(x - 6)(x + 1) x 2 - 5x - 6 (x - 3)(x - 2) x 2 - 5x + 6 x 2 - 25 x 2 - 5x

(x - 6)(x + 1) x 2 - 5x - 6 (x - 3)(x - 2) x 2 - 5x + 6 x 2 - 25 x(x - 5) x 2 - 5x

(x - 6)(x + 1) x 2 - 5x - 6 (x - 3)(x - 2) x 2 - 5x + 6 (x - 5)(x + 5) x 2 - 25 x(x - 5) x 2 - 5x

α . 2x 2 + 7x + 6 = β . 3y 2 + 11y + 10 = γ . 3x 2  8x + 4 = δ. 2α 2  3α  14 = ε. 3 x 2  x  4 = στ. 2β 2  7β +3 = ζ . 6x 2  17x +5 = η . 10y 2  19y + 7 = θ . 8 β 2  10 β +3 = ι. 6α 2 + 5α  1 = ια. 4γ 2 + 9γ +5 = ιβ. 3α 2  5α  8 = ιγ . 4x 2  x  5 = ιδ . 2 α 2  α  3 = ιε . 2y 2  7y + 6 = ιστ . 2x 2 + 11x  21 = ιζ . 2x 2 + 3x  20 = ιη . 2y 2  y  10 = ιθ. 2γ 2  7γ  15 = κ. 2α 2 + 13α + 15 = κα. x 2  x  90 = Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα στο φύλλο εργασίας σας

α . 2x 2 + 7x + 6 = β . 3y 2 + 11y + 10 = γ . 3x 2  8x + 4 =

δ. 2α 2  3α  14 = ε. 3 x 2  x  4 = στ. 2β 2  7β +3 =

ζ . 6x 2  17x +5 = η . 10y 2  19y + 7 = θ . 8 β 2  10 β +3 =

ι. 6α 2 + 5α  1 = ια. 4γ 2 + 9γ +5 = ιβ. 3α 2  5α  8 =

ιγ . 4x 2  x  5 = ιδ . 2 α 2  α  3 = ιε . 2y 2  7y + 6 =

ιστ . 2x 2 + 11x  21 = ιζ . 2x 2 + 3x  20 = ιη . 2y 2  y  10 =

ιθ. 2γ 2  7γ  15 = κ. 2α 2 + 13α + 15 = κα. x 2  x  90 =

Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα στο φύλλο εργασίας σας α . 2x 2 + 7x + 6 = ( 2x+3)(x+2) β . 3y 2 + 11y + 10 = (3y+5)(y+2) γ . 3x 2  8x + 4 = ( 3x  2)(x  2) δ. 2α 2  3α  14 = (2 α  7)(α + 2) ε. 3 x 2  x  4 = ( 3x  4 )(x +3 ) στ. 2β 2  7β +3 = (2β  1 )(x  3 ) ζ . 6x 2  17x +5 = (2 x  5 )( 3 x  1 ) η .10y 2  19y + 7 = (2 x  1 )( 5 x  7 ) θ . 8 β 2  10 β +3 = (4β  3 )( 2β  1 ) ι. 6α 2 + 5α  1 = ( 6α  1)(α + 1) ια. 4γ 2 + 9γ + 5 = (4γ + 5 )( γ + 1 ) ιβ. 3α 2  5α  8 = ( 3α  8)(α + 1) ιγ . 4x 2  x  5 = (4 x  5 )(x + 1 ) ιδ . 2 α 2  α  3 = (2 α  3)(α + 1) Τα άλλα μόνοι σας, μην έχουμε πάντα λυσάρι…

α . 2x 2 + 7x + 6 = ( 2x+3)(x+2) β . 3y 2 + 11y + 10 = (3y+5)(y+2)

γ . 3x 2  8x + 4 = ( 3x  2)(x  2) δ. 2α 2  3α  14 = (2 α  7)(α + 2)

ε. 3 x 2  x  4 = ( 3x  4 )(x +3 ) στ. 2β 2  7β +3 = (2β  1 )(x  3 )

ζ . 6x 2  17x +5 = (2 x  5 )( 3 x  1 ) η .10y 2  19y + 7 = (2 x  1 )( 5 x  7 )

θ . 8 β 2  10 β +3 = (4β  3 )( 2β  1 ) ι. 6α 2 + 5α  1 = ( 6α  1)(α + 1)

ια. 4γ 2 + 9γ + 5 = (4γ + 5 )( γ + 1 ) ιβ. 3α 2  5α  8 = ( 3α  8)(α + 1)

ιγ . 4x 2  x  5 = (4 x  5 )(x + 1 ) ιδ . 2 α 2  α  3 = (2 α  3)(α + 1)

Τα άλλα μόνοι σας, μην έχουμε πάντα λυσάρι…

Add a comment

Related presentations

Related pages

Polynomials-III - YouTube

Amateur video taken by one student-volunteer during Professor Prieto-Valdes Lecture. Polynomials-III.
Read more

Algebra I Help: Polynomial Long Division Part III - YouTube

Algebra I Help: Dividing Polynomials with Missing Terms Part III - Duration: 9:32. GreeneMath.com 2,567 views. 9:32
Read more

Polynomials Chapter 2: CBSE Class 9 Maths NCERT Solutions

Question 1 Which of the following expressions are polynomials in one variable and which are not? State reasons for your answer. (i) (ii) (iii) (iv) (v ...
Read more

Roots & Zeros of Polynomials III - Teachers.Henrico Webserver

Roots & Zeros of Polynomials III Using the Rational Root Theorem to Predict the Rational Roots of a Polynomial Created by K. Chiodo, HCPS Find the Roots of ...
Read more

Free Online Polynomials Iii Practice and Preparation Tests

Online Polynomials Iii Practice and Preparation Tests cover Polynomials (Set - II), Polynomials (Set - III), Class X Polynomials-III, Polynomials - III ...
Read more

SparkNotes: Algebra II: Polynomials - SparkNotes: Today's ...

From a general summary to chapter summaries to explanations of famous quotes, the SparkNotes Algebra II: Polynomials Study Guide has everything you need to ...
Read more

On the Umemura polynomials for the Painlevé III equation ...

Read "On the Umemura polynomials for the Painlevé III equation" on DeepDyve - Instant access to the journals you need!
Read more

On Sieved Orthogonal Polynomials. III: Orthogonality on ...

ON SIEVED ORTHOGONAL POLYNOMIALS 91 where k is a prescribed integer greater than 1. The Jn's generalize the Chebyshev polynomials of the second kind {Un(x)}.
Read more

Distribution of postcritically finite polynomials iii ...

In the first part of the present paper, we continue our study of distribution of postcritically finite parameters in the moduli space of polynomials: we ...
Read more