Polinomios Especiales

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Published on February 23, 2014

Author: fernando1808garcia

Source: slideshare.net

NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA 3. TÉRMINO ALGEBRAICO Y POLINOMIOS ESPECIALES.

INDICE POLINOMIOS -Casos, grados y clases de un polinomio. -Polinomios especiales • • • • Aplicaciones Definición Casos de polinomios Valor numérico • Cambio de variable • Grados de un polinomio • Relativo • Absoluto • Polinomios especiales • Propiedades • Ejercicios

APLICACIONES Los polinomios son una parte importante del Álgebra. Están presentes en todos los contextos científicos y tecnológicos: desde los ordenadores y la informática hasta la carrera espacial. La fórmula que expresa el movimiento de un cuerpo en caída libre viene dada por el siguiente polinomio: P(t ) t: tiempo g: gravedad 1 2 gt 2

DEFINICIÓN • Un polinomio es una expresión algebraica racional entera, es decir, los exponentes de sus variables son números enteros positivos. • Además, un polinomio es la suma o diferencia de monomios.

POLINOMIO Suma o diferencia de monomios • P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10 • Q(x;y) = 5xy3 +10x • R(x;y;z) = 2y4z+ 2x3 – xy2 + 8xz + z

CASOS DE POLINOMIOS 4 3y 1) 2x + 2) -4a2b – b2c BINOMIOS c 3) 6x2 - 3x + 8 4) -x2yz + 3y - 5 c TRINOMIOS

VALOR NUMÉRICO • El valor numérico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir las variables por números.

VALOR NUMÉRICO •

CAMBIO DE VARIABLE • El cambio de variable al igual que el valor numérico, es el resultante de reemplazar una variable en el polinomio.

CAMBIO DE VARIABLE •

GRADOS DE UN POLINOMIO

GRADO RELATIVO CON RESPECTO A UNA VARIABLE (mayor exponente de la variable) 3 5 6 P( x; y; z ) 81 x y z 4 20 x yz 8 GR(x)=4 GR(y)=5 GR(z)=8

GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (mayor grado absoluto de los términos) 7y3 8x GA = 10 – 4y4 3x GA = 8 GA = 10 + 2 6xy GA = 3

EJERCICIO 1 Si se sabe que el grado relativo a x es 5,calcula: a)El valor de m b)El grado absoluto del polinomio Q( x; y ) Respuestas: a) m = 3 b) GA = 9 4 5x y 2 3x m 2 y 4 4x m 1 y 2

EJERCICIO 2 Si se sabe que el grado absoluto del polinomio es 9 halla: n2 + 1 Q( x; y ) 4 5x y Respuesta: 10 2 3 3x y 4 4x 2n 1 y 2

EJERCICIO 3 Si se sabe que el grado del polinomio es 31 halla: GR(x) + GR(y) P( x; y ) x a 5 Respuesta: 41 y a 1 2a 3x y 5 a 5x y a 2

POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIOS ESPECIALES ordenado completo polinomio homogéneo idénticos Idénticamente nulo

1.- POLINOMIO ORDENADO Un polinomio está ordenado cuando los exponentes de la variable “referida” están aumentando o disminuyendo. Ejemplo: 9 5 P( x; y ) 6 x y 3x y 4 3 8 5x y Ordenado en forma descendente respecto a “x” Ordenado en forma ascendente respecto a “y”

EJEMPLO: POLINOMIO ORDENADO 4y 2 4y3 + 3 + 2y5y5 – 3x1y8 P(x;y)=x 2x 2x – 3xy8 x Polinomio ordenado respecto a “x” en forma descendente Polinomio ordenado respecto a “y” en forma ascendente

2.- POLINOMIO COMPLETO La variable “referida” presenta todos los exponentes consecutivos desde 1 hasta un mayor determinado e incluso el término independiente. Ejemplo: P( x; y ) 9 x 3 4 8 7 y 4x y 2 5 x y Completo respecto a “x” con T.I.(x)= -7y 5 xy 2

EJEMPLO: POLINOMIO COMPLETO 4y + 4y + y 2 5 3x 3 +xy 5x0 P(x;y)=x3x23x5y––3x3 +xy4 –4 – x Polinomio completo con respecto a “x” 5

3.- POLINOMIO HOMOGÉNEO Es aquel polinomio en el que todos sus términos son del mismo grado absoluto. Ejemplo: 2 2 4 P( x; y; z ) 7 x y z 3 3 2 3x y z 1 7 5x y Es un polinomio cuyo grado de homogeneidad es 8.

EJEMPLO: POLINOMIO HOMOGÉNEO P(x; y)=6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2 GA = 8 GA = 8 Polinomio homogéneo de grado 8 GA = 8

4.- POLINOMIOS IDÉNTICOS Dos polinomios son idénticos si verifican: - Los dos polinomios tienen el mismo grado. - Los coeficientes de los términos semejantes son iguales. 9 5 P( x; y ) ax y bx y 3 8 Q( x; y) 6 x y 5 4 3x y 3 8 cx y 4 9 5x y Se debe cumplir: a = 5; b = 3; c = 6

EJEMPLO: POLINOMIOS IDÉNTICOS 3 ax 2 bx P(x) = + +c 2 +5x3 – 8 Q(x) = 2x Si P y Q son idénticos, Entonces: a = 5; b = 2; c = -8 P Q

5.- POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio cuyos coeficientes de cada uno de sus términos son ceros. P( x; y ) Ax 3 4 Bx y 2 2 Cx y 8 Dy Se debe cumplir: A= 0; B = 0; C = 0; D = 0 5 0

EJEMPLO: POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO P(x) = 3 ax + 2 bx -c Se cumple: a = b = c = 0 P(x) 0

RESUMEN Fuente: texto escolar matemática 3-hipervinculos, (2013), Perú: Santillana

PROPIEDADES

1º- SIENDO P(X) UN POLINOMIO COMPLETO SE CUMPLE: de términos de P(x) = Grado de P(x) + 1 P( x) 5 x 4 3x 2 Se observa: - Número de términos = 5 - Grado de P(x) = 4 8 4x x 3

2º- EN TODO POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO P(X) LA DIFERENCIA DE GRADOS RELATIVOS DE DOS TÉRMINOS CONSECUTIVOS VALE 1. P( x) 5x 4 3x 3 GR =3 8x 2 GR =2 4 x 12

EJERCICIOS

EJERCICIO 1 Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma creciente, calcula el valor de 2abc. Indica el grado del polinomio. R( x) x b 2 Respuestas: a)2abc = 160 b)GA = 2 5x b a 7 2x 2a c

EJERCICIO 2 Si se sabe que el polinomio es completo y ordenado en forma decreciente, calcula el valor de a - b - c. P( x) x 3b c x a 2b Respuesta: a-b-c= -1 x a b c x c

EJERCICIO 3 Si se sabe que el polinomio: P ( x ) 2d x 3 4x 2 6x 3 2ax 2 9 3bx c 12 x es idénticamente nulo, calcula el valor de -7(a+b+c+d) Respuesta: 84

EJERCICIO 4 Si se sabe que el polinomio es homogéneo, calcula el valor de a – b. R( x; y ) 2x 2b 1 Respuesta: -1 b 6x y 7 2x 2a 2 y

EJERCICIO 5 Si se sabe que el polinomio es homogéneo de grado 7, calcula el valor de 2a – b. P( x; y ) 2x a 1 y 2b a Respuesta: 2a – b = 5 6x a b y 2a 1

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