Polinômia, expr alg e prod nat

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Published on March 10, 2014

Author: marceloauler

Source: slideshare.net

POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS 30

MÓDULO III – POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS O Módulo III é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a relembrar itens como: - “Colocar em evidência”; - “Produtos Notáveis”; - “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números. I. POLINÔMIOS 1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios. MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis. Exemplos: a) m5 b) 2 p c) xy2 d) my Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis. Exemplo:  22 mx2mx2 = Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios. Obs. 1: O monômio ay4 é um polinômio de um termo só. Obs. 2: y4x2 + é um polinômio de 2 termos: x2 e y4 . Obs. 3: 4abx2 +− é um polinômio de 3 termos: x2 , ab− e 4. 2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 2.1. Adição Algébrica de Polinômios Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes. Exemplo: 31 Coeficiente Numérico Parte Literal

a) Obter o perímetro do triângulo abaixo: Como perímetro é a soma dos lados, teremos: ( ) ( ) ( )=+−+++ 3x4x3x1x 22 termos semelhantes =+−+++ 3x4x3x1x 22 termos semelhantes  =++−++ 31x4xx3x 22  4x3x4 2 +− o resultado é um polinômio. b) ( ) ( ) ( ) =+++−−− xy2xyx34xy4x 22 xy2xyx34xy4x 22 +−−−−− =+−−−−− xy2xyx34xy4x 22 =−−+−−−    24xyxyxy4x3x 22 6xy4x2 2 −−− EXERCÍCIOS 32 2 x1+x 343 2 +− xx Primeiro eliminaremos os parênteses tomando cuidado quando houver sinal negativo fora dos parênteses.

1) Reduza os termos semelhantes: a) =−−− 2222 46104 aaaa b) =+−− 532 aaa 2) Escreva os polinômios na forma fatorada: a) =+− 234 654 xxx b) =+− 3322 1248 baabba c) =+ 43223 315 xbaxba d) =+++ acabcb 55 e) =+++++ cnbnancmbmam f) =++ 22 2 yxyx g) =++ 962 aa h) =+− 36122 mm i) =− 22 164 yx j) =−122 nm k) ( ) ( ) ( )=+−−+−−++ yxyxyxyxxyyxyx 2222222222 65235 l) =      −+−+      −+−      ++− cbabaccab 6 1 6 1 8 1 2 1 3 1 4 5 m) ( ) ( ) ( )=−−−++−+−− 3,05,11,38,17,04,12,35,2 222 xxxxxx 2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes. Exemplo: a) ( ) ( )xxy2x 2 −⋅+ xy2xy2xxxx 22 ⋅−⋅+⋅−⋅= yx2yx2xx 223 −+−= e fica assim. 33

b) ( ) ( )b2a3ba2 −⋅+ b2ba3bb2a2a3a2 ⋅−⋅+⋅−⋅= bb2ab3ba22aa32 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= 22 2346 bababa ssemelhantetermos −+−=    22 b2aba6 −−= c) ( ) ( ) =+−⋅− 2p3p1p2 2 =−++−− =−+−+− ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅ 2p3p4pp6p2 2p3pp4p6p2 p31p12p2p3p2pp2 223 223 22   2p7p7p2 23 −+− d) ( ) ( )=−⋅− yy3xy4xxy 22 =+⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅ =⋅+⋅−⋅−⋅ 222222 2222 yx4yyxx34xyyyxx3 yyx4yx3yx4yxyyx3xy 34 Conserve a base e some os expoentes.

2224223 yx4yx12xyyx3 +−− não há termos semelhantes Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta. 2.3. Divisão Algébrica de Polinômio Divisão de um polinômio por um monômio A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio. Exemplo: a) ( ) =÷+− 3234 x5x15x20x10 3 2 3 3 3 4 3 234 x5 x15 x5 x20 x5 x10 x5 x15x20x10 +−= +− = x 3 4x2 x 1 314x2 x314x2 x3x4x2 x 5 15 x 5 20 x 5 10 1 1 101 323334 +−= ⋅+⋅−= +⋅−= +−= ⋅+⋅−⋅= − − −−− ou 3 2 3 3 3 4 3 234 x5 x15 x5 x02 x5 x10 x5 x15x20x10 +−= +− x 3 4x2 xx x3 14 x xx2 x x3 x x4 x x2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 4 +−= ⋅ ⋅ +⋅− ⋅ = +−= / / / / / / b) ( ) =÷− 224334 yx7yx7yx28 22 43 22 34 22 4334 yx7 yx7 yx7 yx82 yx7 yx7yx28 −= − = 35 Como é mínimo múltiplo da fração, podemos separar em duas frações.

22 212 24232324 xyyx4 yx1yx4 yx1yx4 −= ⋅⋅−= ⋅⋅−⋅⋅= −−−− ou 22 43 22 34 22 4334 yx7 yx7 yx7 yx82 yx7 yx7yx28 −= − 22 22 22 222 22 122 xyyx4 xy1yx4 yx.1 yyxx1 yx yyxx4 −= =−= /⋅/ ⋅/⋅⋅/⋅ − /⋅/ ⋅/⋅/⋅ = // // // //2 Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta. EXERCÍCIOS 3) Calcule: a) =+− )4)(3(5 xxx b) =−+ ))(2(3 babaab c) =+−− )1)(1)(1( 2 aaa d) ( ) ( ) = − 2 24 7 2135 a aa e) ( ) = − − xy xyyx )( 33 f) ( ) ( ) = − −− 2 357 6 722442 y yyy g) ( ) ( ) = −+ abc abccabbca 5 502510 222 h) =       +− ab abbaba 2 7 4 5 2 2 1 2222 i) = + 2 3a2 j) a 1a5 2 + 4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida: a) ( )( ) =−−+ 222 2axxaax b) ( )( ) ( ) =+−−+− yxayxayx 2 c) ( )( ) ( )( ) =−−−−−−+ cbcbabacba d) ( )( )( ) ( )( ) =++−−−+ 22 2323 yxyxyxyxyx e) ( ) ( )( ) ( )[ ]=+−+−+ 22 22 xaaxxaxa f) ( )=−−− 132.3 2 xxx g) ( ) =++ xyyxyx 3.5 22 h) =      − 2 1 4 1 . 5 2 xx i) =      + 2 3 4 3 .4 a a II. PRODUTOS NOTÁVEIS No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados: 1) ( ) ( ) 22 yxyxyx −=−⋅+ 2) ( ) 222 yxy2xyx +±=± 3) ( ) 32233 yxy3yx3xyx ±+±=± 36

Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais decorá-los, observemos: a) ( ) ( ) =+⋅− yxyx =−/−/+ 22 yxyyxx 22 yx − b) ( ) =+ 2 yx ( ) ( ) =+++=+⋅+ 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx ++ c) ( ) =− 2 yx ( ) ( ) =+−−=−⋅− 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx +− d) ( ) =+ 3 yx ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅+=+⋅+ 222 2 yxyxyxyxyx =+++++= 322223 22 yxyyxxyyxx 3223 33 yxyyxx +++ Como utilizaremos os produtos notáveis? Exemplos para simplificações: a) ( ) ( ) ( ) ( )yx 3 yxyx yx3 yx y3x3 notávelproduto22 − = −⋅+ +  → − + b) ( ) 16x8x44.x.2x4x 2222 ++=++=+ Obs.: ( )2 4x + jamais será igual a 16x2 + , basta lembrarmos que: ( ) ( ) ( ) 16x8x16x.44.xx4x4x4x 222 ++=+++=+⋅+=+ c) ( )3 2a − jamais será 8a 3 − , pois: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−⋅−=−⋅−=− 4a4a2a2a2a2a 223   8a12a6a8a8a2a4a4a 23223 −+−=−+−+− EXERCÍCIOS 5) Desenvolva os produtos notáveis: a) ( )2 ba + b) ( )2 32 +a c) ( )2 43 yx + d) ( )2 ba − e) ( )2 32 −a f) ( )2 43 yx − g) ( ) )( baba −+ h) ( )( )3232 −+ aa i) ( )( )yxyx 3434 −+ j) 2 2 1       −y k) ( )2 2hd − l) ( )( )3535 −+ m) ( )( )1212 +− 37

Observemos que b é o fator comum, portanto, deve ser colocado em evidência com o menor expoente. 6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2 . III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas. 1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência Exemplos: a) 2 bab − Então ( )babbab 2 −=− Ao efetuarmos o produto ( )abb −⋅ , voltaremos para a expressão inicial 2 bab − . b) by4ay2 + Assim: ( )b2ay2by4ay2 +=+ c) xb8bx16bx4 223 −− ( )b4x8x2bx2xb8bx16bx4 2223 −−=−− 38 2y é o fator comum; 2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4; Portanto 2y deve ser colocado em evidência. Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus menores expoentes) 2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8. Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência. a b ab bab ==÷ b b b bb 2 2 ==÷ a y2 ay2 y2ay2 ==÷ b2 y2 by4 y2by4 ==÷ 2 3 3 x2 bx2 bx4 bx2bx4 ==÷ x8 bx2 bx16 bx2bx16 2 2 −= − =÷− b4 bx2 xb8 bx2xb8 2 2 −= − =÷−

d) ( )3225322 my2ymymym2 −=− Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum sempre com o menor expoente. EXERCÍCIO 7) Simplifique as expressões: a) ( ) = + + ba ba 2 b) ( ) ( ) = ++ ⋅++ xcba xcba c) ( ) = + + ba ba 55 33 d) = + + 1515 55 b aab e) = ++ + 22 2 baba ba f) = + − 1 1 2 a a g) = ++ − 96 9 2 2 xx x h) = − − 2 2 26 39 bab aba IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas. Exemplos: t m2 , y t4 , x 2 2 As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns exemplos: 1. Adição e Subtração Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores. Exemplos: a) y4 1 x2 3 + 39 2ymym2 2222 =÷ 3 22 53 2253 my ym ym ymym ==÷ m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4. xy → todas as variáveis que aparecem nos denominadores comporão o m.m.c. com seus maiores expoentes. y63y2 y2 x2 xy4 x2xy4 =⋅ ==÷ x1x x y4 xy4 y4xy4 =⋅ ==÷

=+ y4 1 x2 3 xy4 xy6 + b) 22 2 x8 y xy3 2 y x −+ M.m.c. entre 2222 yx24x8exy3,y = =−+ 22 2 x8 y xy3 2 y x 22 324 yx24 y3x16yx24 −+ VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ? 40 24222 2 22 22 yx24xyx24 yx24 y yx24 yyx24 =• ==÷ x162x8 x8 xy3 yx24 xy3yx24 2 22 222 =• ==÷ 32 2 2 22 222 y3yy3 y3 x8 yx24 x8yx24 =• ==÷ 24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8; são as variáveis com seus maiores expoentes.

Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.? m.d.c. ⇒ mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em todos os termos) para colocar em evidência. Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6. b) 10, 15, 20 ⇒ m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20. m.m.c. ⇒ mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações. Qual é o mmc de 2,4 e 6 ? Observe: múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2) múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4) múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6) O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc). No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra prática de a decomposição simultânea em fatores primos.. Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.m.c. é 12. b) 10, 15, 20 ⇒ m.m.c. é 60. Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que escrevê-los na forma fatorada. c) x39 x xx3 3 2 − − − Fatorando os denominadores: ( ) ( )x33x39 x3xxx3 2 −=− −=− M.m.c. dos denominadores fatorados ( )x3x − e ( )x33 − será: ( )x3x3 − Assim ( ) ( ) = − − − = − − − x33 x x3x 3 x39 x xx3 3 2 ( )x3x3 x9 2 − − Mas ainda podemos melhorar o resultado: 41 605.3.2.2 5 3 2 2 1,1,1 5,5,5 5,15,5 10,15,5 20,15,10 = 123.2.2 3 2 2 1,1,1 3,1,1 3,2,1 6,4,2 = Denominadores fatorados m.m.c. produto de todos os termos que aparecem nos denominadores ( ) ( ) ( ) ( ) 2 xxxquetemose x x33 x3x3 x33x3x3 =• = − − =−÷− ( ) ( ) ( ) ( ) 933quetemose 3 x3x x3x3 x3xx3x3 =• = − − =−÷−

( ) ( )( ) ( ) x3 x3 x3x3 x3x3 x3x3 x9 notávelproduto 2 + = − +−  → − − d) ya 1 ya ya ya a 22 + + − − + − Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada: ( )( ) notávelprodutoyayaya 22 →+−=− Assim teremos: ( )( ) = + + + + − = + + +− − + − ya 1 ya 1 ya a ya 1 yaya ya ya a ( ) ( )( ) ( )( )yaya y2a2aya yaya yayayaa 2 −+ −++ = −+ −+−++ 2. Multiplicação e divisão de frações algébricas A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas, ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador. Exemplos: a) xy3 4 xy3 y4 y 1 3 y2 x 2 22 ==⋅⋅ b) yx 12 yx 12 yx 3 x 4 3 yx x 4 32122 = ⋅ =⋅= + 42 m.m.c dos denominadores será

EXERCÍCIOS 8. Calcule: a) =−+ y a y a y a 23 b) = + + + + − − + − yx x yx x yx x 123 c) =−+ b a b a b a 2 3 3 2 d) =−+ x a x a x a 4 3 2 2 3 e) =− xx 4 32 2 f) = − + + 2 23 a a a g) = − + − − + 1 1 22 13 x x x x h) = − + + baba 11 i) = + − + + 1 22 2 b a aab ab j) 4 124 2 2 2 2 2 − − + − + + − x x xx x k) ba b ba b ba a + + − + − 22 2 2 l) ab ba a ba b ba 22 + + + − + m) = + + − − − − 2 2 4 12 2 2 2 xx x x x n) = − − − + + + − 1 4 1 1 1 1 2 y y y y y y o) = + +− x x x 3 3 2 p) =⋅ y x 5 3 2 q) = − ⋅ + y ba x ba r) = + ⋅ + 2 2 3 3 a a a a s) = − ⋅ − 5 2 3 5 a aa t) =⋅⋅ x y y a a x 32 22 8 3 u) = − − ⋅ − + nm ba ba nm )(2 v) = − ⋅ − nm nm 3 6 22 w) = − + ⋅ + + 4 63 1 2 2 x x x xx x) = + ⋅ − 1 212 a x x a y) = x a a 2 3 z) = − − x xa xy xa 22 9. Calcule: a) = − + x x x x 3 25 2 5 2 43

b) = ++ − a xx a x 9124 94 2 2 2 c) ( ) = − − ba a ab a 2 2 2 2 2 d) = − − 4 2 22 yx yx e) =      2 7 5 b a f) =     − −3 3 m a g) =        2 2 3 2 b a h) =        −1 3 2 4 5 y x i) =      −3 2 5 2 b a j) =      0 2 c ab k) =        2 2 4 3 c ba l) =      − − 2 ba a m) =      − −2 43 2 x x n) =      + − 2 ba ba RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1ª Questão: a) 2 a16 b) 30 19a − 2ª Questão: a) ( )65x-4xx 22 + d) c)a)(b(5 ++ g) 2 3)(a + j) 1)1).(mn-(mn + b) ( )22 b3a1-2ab4ab + e) c)bn)(a(m +++ h) 2 6)-(m k) 2222 3xy-y5xyx + c) ( )322 bx5axb3a + f) 2 y)(x + i) 4y)4y).(2x-(2x + l) ( ) 24 12c8b-3a + m) 1,1-0,9x-0,1x 2 3ª Questão: a) 60x-5x5x 23 + d) 3-5a 2 g) 10c-5b2a + j) a 1 a5 + b) 3223 3ab-b3a-b6a e) 22 yx- + h) ( ) 140 40b28a-35ab + c) 12a-a 24 + f) 12y4y7y- 35 ++ i) 2 3 a + 4ª Questão: 44

a) 242 2ax-x-a c) 22 c-ab-bca + e) 322 2x-xaax- + g) 3223 3xyy15xy3x ++ b) 3ay-2y3xy-x 22 + d) y5x-5xy- 22 f) 3x9x6x- 23 ++ h) 5 x - 10 x2 i) 6a3a 2 + 5ª Questão: a) 22 b2aba ++ d) 22 b2ab-a + g) 22 b-a j) 41+y-y 2 b) 912a4a2 ++ e) 912a-4a 2 + h) 9-4a 2 k) 22 4h4hd-d + c) 22 16y24xy9x ++ f) 22 16y24xy-9x + i) 22 9y-16x l) 2 m) 1 6ª Questão: 100 7ª Questão: a) ba + c) 5 3 e) ( )ba 1 + g) 3x 3-x + b) d d) 3 a f) ( )1a 1 + h) 2b 3a 8ª Questão: a) y 4a h) ( )22 b-a 2a o) ( )x3 9 + v) 2 nm + b) ( )yx x + i) ( )1ba b + p) 3y 10x w) ( )2-x 3x c) 6b a j) 4-x 4-2xx 2 2 + q) xy b-a 22 x) 2a-2 d) 12x 7a k) ( ) ( )b-a ba + r) 65aa 6a 2 2 ++ y) 3a x e) ( ) 2 4x 3x-8 l) b 2a s) 3 2a z) ( ) y xa + f) ( )2aa aa − −+ 652 m) ( )2-x 4 t) 2 3xy2 g) 2 1 n) ( ) ( )1y 2-2y + u) ( )n-m2 nm + 9ª Questão: a) 102 3 −x d) yx + 2 g) 4 6 b 4a k) 2 24 16 9 c ba b) )32( 32 + − xa x e) 2 2 49 25 b a h) 2 3 5 4 x y l) 22 2 2 baba a +− c) ( )2−ab a f) 3 3 27a m − i) 125b6 /8 a3 m) 2 2 4 16249 x xx +− j) 1 n) 22 22 2 2 baba baba ++ +− 45

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