Pendahuluan kalkulus kal1[1]

50 %
50 %
Information about Pendahuluan kalkulus kal1[1]
Education

Published on September 17, 2014

Author: hajirmochamad

Source: slideshare.net

Description

PENDAHULUAN KALKULUS

Pendahuluan Kalkulus 1. Himpunan 2. Sistem Bilangan 3. Sistem Koordinat 4. Persamaan Garis lurus

2 1.1 Sistem Bilangan Real Pada bagian ini, diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi f atau { }. Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan aÎS dan dibaca “a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan aÏS dan dibaca “a bukan elemen S”. Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. 1. Mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai: A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2. Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis: A = {x x bilangan bulat positif kurang dari10} Himpunan A disebut himpunan bagian himpunan B, ditulis A Ì B, jika setiap anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk dipahami bahwa f Ì A untuk sebarang himpunan A. Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting. Himpunan semua bilangan asli adalah N = {1, 2,3,...}. Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan dan operasi pergandaan, artinya x + y ÎN dan x.y ÎN untuk setiap x, y ÎN . Oleh karena itu, himpunan semua bilangan asli membentuk suatu sistem dan biasa disebut sistem bilangan asli. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan bilangan-bilangan bulat negatif membentuk Sistem Bilangan Bulat, ditulis dengan notasi Z, Z = {...,- 3,- 2,-1,0,1, 2,3,...} Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q, þ ý ü î í ì a : dan Q = a ÎZ bÎN b Dalam kehidupan nyata seringkali dijumpai bilangan-bilangan yang tidak rasional. Bilangan yang tidak rasional disebut bilangan irasional. Contoh-contoh bilangan irasional antara lain adalah 2 dan p. Bilangan 2 adalah panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-masing adalah 1 (lihat Gambar 1.1).

3 Gambar 1.1 Segi tiga siku-siku Sedangkan bilangan p merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya (Gambar 1.2). 2 l 1 l Gambar 1.2 Pembagian antara keliling dengan diameter lingkaran Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan Q membentuk himpunan semua bilangan real R. Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real seringkali 7 digunakan cara desimal. Sebagai contoh, bilangan-bilangan 66 5 , 4 , dan 3 3 masing-masing dapat dinyatakan dalam desimal sebagai (0,75), (1,666...), dan 0,1060606.... Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut: 1 , 2 i. berhenti ( dst. 8 3 5 , 4 ), atau 7 , 3 ii. berulang beraturan ( ,dst. 66 5 ). Apabila bentuk desimal suatu bilangan tidak termasuk salah satu tipe di atas, maka bilangan tersebut adalah irasional. Sebagai contoh, bilangan-bilangan: 2 = 1,414213... p = 3,14159... 1.2 Sifat-sifat Sistem Bilangan Real Pembaca diingatkan kembali kepada sifat-sifat yang berlaku di dalam R. Untuk sebarang bilangan real a,b,c,dan d berlaku sifat-sifat sebagai berikut: 1. Sifat komutatif (i). a + b = b + a (ii). a.b = b.a 2. Sifat asosiatif 1 1 2 d1 l1 l2 d2 = = p 2 1 d d

4 ( ) ( ) + + = + + = + + a b c a b c a b c a (b c) (a b)c a b c (i). = = (ii). . . . . . . 3. Sifat distibutif a.(b + c) = (a.b) + (a.c) 1 = . b ¹ a 4. (i). , 0 b a b ( a . d ) ( b . c ) c a (ii). , 0, 0 . ¹ ¹ + + = b d b d d b a . c c b . = b ¹ d ¹ (iii). , 0, 0 b . d d a 5. (i). a.(-b) = (-a).b = -(a.b) (ii). (-a).(-b) = a.b (iii). - (-a) = a 0 = a 6. (i). 0 , untuk setiap bilangan a ¹ 0 . (ii). a tak terdefinisikan. 0 a (iii). = 1 a , untuk setiap bilangan a ¹ 0 . 1.3 Garis Bilangan Secara geometris, sistem bilangan real R dapat digambarkan dengan garis lurus. Mula-mula diambil sebarang titik untuk dipasangkan dengan bilangan 0. Titik ini dinamakan titik asal (origin), ditulis dengan O. Pada kedua sisi dari O dibuat skala sama (segmen) dan disepakati arah positif disebelah kanan O sedangkan arah negatif disebelah kiri O. Selanjutnya, bilangan-bilangan bulat positif 1, 2, 3, … dapat dipasangkan dengan masing-masing titik di kanan O dan bilangan-bilangan -1,- 2,- 3,... dengan titik-titik di sebelah kiri O. Dengan membagi setiap segmen, maka dapat ditentukan lokasi untuk bilangan-bilangan 1 - dst. ( perhatikan Gambar 1.3) 2 , 2 , 2, 3 1 2 · · · · · · · -2 -1 0 1 2 3 Gambar 1.3 Garis bilangan

5 Dengan cara demikian, maka setiap bilangan real menentukan tepat satu titik pada garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis lurus menentukan tepat satu bilangan real. Oleh sebab itu, garis lurus sering disebut pula Garis Bilangan Real. 1.4 Pertidaksamaan Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut perubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah real. Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, £, ³). Contoh a. 2x - 7 £ x +1 c. x2 + y2 £ 9 - x 2 x 1 b. 1 3 > + d. x2 - x -12 < 0 Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan. Contoh Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2x - 5 < 5x + 7 . Penyelesaian: - < + 2 x 5 5 x 7 Û - - + < + - + 2 x 5 5 x 5 5 x 7 5 x 5 Û - < 3 x 12 Û - - > - 3 .( 1 3) 12.( 1 3) Û > - 4 x x Jadi, penyelesaian pertidaksamaan di atas adalah {xÎ R x > -4}. 1.5 Nilai Mutlak (Absolute Value) Nilai mutlak suatu bilangan adalah panjang/jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Jadi, nilai mutlak 5 adalah 5, nilai mutlak -7 adalah 7, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.

6 Definisi . Nilai mutlak xÎR , ditulis dengan notasi x , didefinisikan sebagai: x = x2 . Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai: ì ïî ïí ³ x x , 0 - < = x x , 0 x Sebagai contoh, - 8 = -(-8) = 8 , 5 5 = , 3 = 3, dst. Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak 2 2 diterangkan sebagai berikut. A.Sifat –sifat Nilai Mutlak Jika x, yÎ R maka: a. x.y = x . y x x b. = , asal y ¹ 0 y y c. x + y £ x + y (Ketaksamaan segitiga) d. x - y ³ x - y Secara geometris, nilai mutlak x - a dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika x - 3 = 7 maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 (lihat Gambar 1.4). 7 unit 7 unit · · · · · · · · · · · · · · · · · · -4 3 10 Gambar 1.4 Garis bilangan untuk nilai mutlak untuk x - 3 = 7 Jadi, penyelesaian x - 3 = 7 adalah {- 4,10}. B. Sifat –sifat Nilai Mutlak Jika a ³ 0 , maka: x = a Û x = a atau x = -a . Sebagai contoh, x = 4 berarti x = 4 atau x = -4

7 = Û = = - 3 5 3 5 atau 3 5 5 3 x x x 5 Û x = x = - atau 3 Secara sama, - = - = - = - 2 x 3 7 berarti 2 x 3 7 atau 2 x 3 7 Û = = - 2 x 10 atau 2 x 4 Û x = x = - 5 atau 2 C. Sifat –Sifat Nilai Mutlak Jika a ³ 0 , maka: (a). x £ a Û -a £ x £ a . (b). x ³ a Û x £ -a atau x ³ a . Contoh Selesaikan 2x - 3 ³ 7 . Penyelesaian: ( ) ( ) - ³ Û - £ - - ³ 2 x 3 7 2 x 3 7 atau 2 x 3 7 Û £ - ³ 2 x 4 atau 2 x 10 Û x £ - x ³ 2 atau 5 Jadi, penyelesaian adalah {xÎ R x £ -2 atau x ³ 5}. 1. 6 Selang (Interval) Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan a < b . Berturut-turut didefinisikan: = { £ £ } = { < < } { } { } { } { } a {x x a} a {x x a} [ , ] ( , ) a b x a x b a b x a x b = £ < = < £ [ , ) ( , ] a b x a x b a b x a x b ¥ = ³ ¥ = > [ , ) ( , ) a x x a a x x a -¥ = £ -¥ = < ( , ] ( , ) 1.7 Sistem Koordinat Cartesius Diperhatikan 2 garis lurus, satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertical). Selanjutnya, garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik disebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif.

8 Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV (lihat Gambar 1.2.1). Kwadran I x > 0, y > 0 Kwadran II x < 0, y > 0 Kwadran III x < 0, y < 0 Kwadran IV x > 0, y < 0 Gambar 1.4 Sistem Koordinat Kartesian Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan (x, y) . Titik P(x, y) mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah y dan x . Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P. · A(-1,4) ···· ···· · P(5,2) · · · · · · · · · · · · · · · · B(3,-1) Gambar 1.4 Sistem Koordinat Kartesian dengan beberapa posisi titik Hal-hal yang berhubungan dengan dasar – dasar kalkulus 1. Persamaan Jarak Jika a dan b adalah sisi datar dan sisi tegak maka besarnya c dapat dihitung :

9 a2 + b2 = c2 c b a Andaikan P dan Q adalah titik titik koordinat (x1 , y1) dan (x2 , y2), sedangkan R berada pada koordinat (x2 , y1). Dengan menerapkan teorema Pythagoras, dapat menentukan Rumus Jarak seperti berikut 2 2 1 2 2 1 d(P,Q) = (x - x ) + ( y - y ) 1. Persamaan Garis Lurus a. Slope garis - y y y D = ( ) 2 1 x x 2 1 x slope m - = D Slope merupakan ukuran kecuraman garis - garis horizontal memiliki slope nol - garis yang arahnya naik memiliki slope positif - garis yang arahnya turun memiliki slope negative

10 untuk gambar dibawah dapat dinyatakan dengan - y y 2 1 2 1 - y y '1 '1 '2 '2 x x x x - = - b. Slope-Titik. Garis lurus yang melalui dua titik koordinat, yang diperoleh suatu persamaan : y – y1 = m(x2 – x1) c. Slope-perpotongan. Bila garis luru memotong sumbu y dengan koordinat (0,b) seperti pada gambar, maka dapat dinyatakan y = mx + b

11 d. Garis vertical dan horizontal. Bila garis lurus yang melalui sumbu x dinyatakan dengan x = k; yang melalui sumbu y dinyatakan dengan y = l. y (k,0) x = k y = l x (0,l) O e. Garis Paralel. Dua garis dikatakan parallel jika garis-garis tersebut memiliki dlope (m) yang sama. Contohnya garis y = 2x + 2 dan y = 2x + 5 memiliki slope ( m) =2.

12 f. Garis tegak lurus. Two garis yang tidak vertikal dikatakan tegal lurus jika dan hanya jika slope garis yang satu berbanding terbalik negatife dengan slope garis yang lain. Dengan teorema Pythagoras, segitiga P1OP2 pada gambar dibawah dapat dinyatakan : [d(P1,O)]2 + [d(P2,O)]2 = [d(P1,P2)]2 2 (x 2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 ) = (x - x ) 2 + ( y - y ) 1 1 2 2 1 2 1 2 2x1x2 + 2y1y2 = 0 , menjadi 2 2 y 1 = - 1 x y x g. Grafik Persamaan. Grafik persamaan dalam x dan y terdiri dari beberapa titik dalam bidang dengan koordinat (x,y). Cara menggambar grafik : 1. Tentukan beberapa titik koordinat dari persamaan yang digambar. 2. Plot titik tersebut disuatu bidang koordinat 3. Hubungkan titik-titik tersebut. Contoh : grafik persamaan y = x2 – 3

13 Kesimetrian dari grafik 1. Simetri terhadap sumbu y jika x menjadi –x (contoh: y = x2 - 3) 2. simteri terhadap sumbu x jika y menjadi –y (contoh : x = y2+1) 3. simetri terhadap titik asal (O) jika x menjadi –x dan y menjadi –y (contoh : y = x3 ) h. Grafik persamaan kuadrat dan pangkat tiga. Grafik persamaan kuadrat memiliki kurva yang berbentuk parabola. Persaman kuadrat dinyatakan sebagai 1. y = ax2 + bx + c; bila a > 0, parabola terbuka keatas dan a< 0, parabola terbuka kebawah 2 x = ay2 + by + c; bila a > 0, parabola terbuka kekanan dan a < 0, parabola terbuka kekiri.

Add a comment

Related presentations

Related pages

Pendahuluan kalkulus kal1[1], SlideSearchEngine.com

Pendahuluan Kalkulus 1. Himpunan 2. Sistem Bilangan 3. Sistem Koordinat 4. Persamaan Garis lurus 2 1.1 Sistem Bilangan Real Pada bagian ini, diingatkan ...
Read more

Soal Kalkulus Semester 1 PDF - Ebookinga

Soal Kalkulus Semester 1 downloads at Ebookinga.com - Download free pdf files,ebooks and documents - 1001 soal & Pembahasan UTS Kalkulus I
Read more

Identifikasi Kebutuhan Komponen Instalasi Listrik

1. 4buahsaklartunggal ... Pendahuluan Kalkulus_kal1. Turunan_kal1. Integral Tertentu Kal1. Integral Tertentu Kal1. Bangunan Hemat Energi. sintak rmaryo ...
Read more

LP DM tipe 2 - pt.scribd.com

LAPORAN PENDAHULUAN ASUHAN KEPERAWATAN PADA PASIEN DIABETES MELLITUS TIPE 2. ... 1 Non Insulin Dependen ... Cover Kalkulus I. Aplikasi Turunan_kal1.
Read more

Integral Tertentu Kal1 - Documents - dokumen.tips

Integral Tertentu 1. Pengertian Integral Tertentu 2. Sifat-sifat integral tertentu 3. ... Download Integral Tertentu Kal1. Transcript. Integral Tertentu 1.
Read more

Penggunaan Integral Tertentu - Documents - DOKUMEN.TIPS

PENGGUNAAN INTEGRAL 4.1. ... Integral Tertentu Kal1 ... MEDIA PRESENTASI PEMBELAJARAN Kompetensi Pendahuluan Luas daerah Volume benda putar 9 ...
Read more

My 4shared by gandhi_arsawiguna - 4shared

Check out files at my 4shared folder My 4shared ... Members may view, add, edit and delete items in this folder.
Read more

Pengembangan Model Pembelajaran Kalkulus II Berdasarkan ...

0 pengembangan model pembelajaran kalkulus ii berdasarkan teori apos apos (aksi, proses, objek dan skema) mpk-apos hanifah program doktor (s3) pasca ...
Read more