Pai 1 - matemática auto instrutivo - professor

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Published on September 23, 2015

Author: Proftonay

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3. PRODUÇÃO EDITORIAL MÓDULOS - AUTORIA CRIATIVIDADE E ORIENTAÇÃO PEDAGÓGICA EM MATEMÁTICA - S/ C - LTDA CAPA ANA MARIA ROSSI E NELSON YAMAGA Composição. ilustração e artes: AM PRODUÇÕES GRÁFICAS LTDA. Av. Brigadeiro Luís Antônio, 1892 109 andar - conjunto 102 Telefones: 289-4130 e 289-4131 São Paulo ~ SP ' FICHA CATALOGRÁFICA (Preparada pelo Centro de Catalogação-na-Fonta, Câmara Brasileira do Livro, SP) D¡ Fierro Netto, Scipione, Matemática, processo auto-instrutivo, PAl-1: 13. série, 29 grau [por] Scipione Di Pierro Netto [e] Célia Contin Goes. São Paulo, Scipione Au- tores Ed. , 1976. p. ilust. Suplementado pelo manual do professor. Bibliografia. 1. Matemática (29 grau) l. Goes, Célia Comin. II. Titulo. || |. Título: PAI-1. CDD-510 Índice para catálogo sinemático: 1. Matemática 510 2.' Edição 1977 Todos os direitos reservados SCIPIONE AUTORES EDITORES LTDA ESCRITÓRIO VENDAS Rua Lamas Valentinas 555 R. João Passalâqua 189 05084 - S. Paulo (City Lapa) 01326 - S. Paulo (Bela Vista) Fone: 260 5878 Fone: 35 8712. Impresso no Brasil Printed in Brazil

4. SCIPIONE)DI PIERRO NETTO CELIA CONTIN GOES asérie Matemática 29GRAU Pf<o@@§§© AIEÉOmHmEIEMíEñVO

5. SCIPIONE DI PIERRO NETTO Doutor em Educação pela Faculdade de Educação da Universi- dade de São Paulo. Professor de Prática de Ensino de Matemática da Universidade de São Paulo e da Universidade Católica de São Paulo. I' Professor Titular de Matemática do Ex Colégio de Aplicação da Universidade dc São Paulo. F Professor Efetivo de Matemática do Magistério Oficial do Estado de São Paulo. CELIA CONTIN GOES Mestre em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatistica dc São Paulo. Professora Contratada do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. ~' Professora Titular de Matemática do Ex Colégio de Aplicação da Universidade de São Paulo. rt Professora Efetiva dc Matemática do Magistério Oficial do Estado de São Paulo.

6. .Apresemretçào Aqui está um manual onde o aluno deve trabalhar muito com Matemática. Pretende-se uma auto instrução através do trabalho continuo e gradual, a partir de exercicios sempre muito simples, porém numerosos. Pode-se perceber que a gradação pemIite que o principiante faça todos os exercicios, bastando apenas que trabalhe com seriedade e leia o texto. Otrabalho destinado ao aluno e que convencionarnos charnar-se FAÇA VOCÊ, deve permitir a interiorização do conhecimento assim como Os primeiros mecanismos de fixação do aprendizado; essa fixação é reforçada por séries de EXERCICIOS DE REVISÃO ao final de cada capitulo. Trata-se, como se vê, de um esquema que permite o progresso do aluno, mesmo quando o número de aulas semanais é reduzido tres ou quatro por exemplo, ~ pois a independência do aluno em relação ao professor pode tornar-se bem maior em textos desta natureza. Neste caso, o mestre é antes um orientador de uma oficina de trabalho do que o magister a ensinar pormenores. São 93 seqüências do tipo FAÇA VOCÊ e 62 seqüências de EXERCÍCIOS DE REVISÃO. Com este trabalho espera-se proporcionar oportunidades para que o aluno atinja o minimo de suficiência desejada a um curso de 29 grau. O FAÇA VOCÊ poderá ser feito no próprio livro quando o espaço deixado o permitir. Todavia um bom caderno é sempre melhor solução. Esperamos contribuir desta forma para que os cursos que contam com alunos de nível pouco satisfatório_ possam progredir o suficiente a partir de exercicios muito simples ~ algumas vezes até banais ~ e chegar ao indispensável para um curso de 29 grau. Os autores agradecem antecipadamente pelas sugestões ou críticas constru- tivas. Os Autores

7. Índice CAPITULO 1 - CONJUNTOS l I. CONJUNTOS DADOS POR UMA PROPRIEDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 2. UNIVERSO e SENTENÇAS NUM DADO UNIVERSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . 2 3. OS SUBCONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4, IGUALDADE DE CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5. CONJUNTOS NUMÉRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 6, OPERAÇÕES COM CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 CAPITULO 2 - PRODUTO CARTESIANO 21 8. PAR ORDENADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9. PRODUTO CARTESIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 10. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PAR ORDENADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 11. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PRODUTO CARTESIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CAPITULO 3 - RELAÇÕES 30 13. O CONCEITO DE RELAÇÃO R DE A EM B . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3o 14. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA RELAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 15. DOMINIO E CONJUNTO-IMAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . 35 CAPITULO 4 - APLICAÇÕES OU FUNÇÕES 40 17. O CONCEITO DE APLICAÇÃO OU FUNÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4o 18. A CORRESPONDÉNCIA BIUNIVOCA e FUNÇÕES INVERSAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ' 19. O CONCEITO DE FUNÇÃO INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2o. O CRESCIMENTO DAS FUNÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 CAPITULO 5 - FUNÇÃO LINEAR 57 22. O CONCEITO DE FUNÇÃO LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 23. O GRÁFICO DA FUNÇÃO LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 24. INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES DE UMA FUNÇÃO LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 25. ESTUDO DO ZERO E DO SINAL DA FUNÇÃO LINEAR . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 26. APÊNDICE e DISTÃNCIA ENTRE DOIS PONTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 CAPITULO 6 -- A FUNÇÃO OUADRÁTICA -~ 68 28. O CONCEITO DE FUNÇÃO OUADRÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 29. FORMA PRINCIPAL OU CANÔNICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3o. RAIZES DA FUNÇÃO QUADRÃTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 31. FORMA FATORADA DA FUNÇÃO y = ax* + bx + c . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 32. CONJUNTO IMAGEM E EXTREMOS DA FUNÇÃO y = ax¡ + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8. CAPITULO 7 - A FUNÇÃO EXPONENCIAL 79 34. DEFINIÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 35. GRÃFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8o 36. OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS DO TIPO am e bn; a, b, m, n e IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 37. APLICAÇÕES _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 CAPITULO 8 - ESTUDO DOS LOGARITMOS 88 39. O CONCEITO DE LOGARITMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4o. DEFINIÇÃO: LOGARITMO DE UM REAL POSITIVO NUMA CERTA BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 41. APLICAÇÕES DA DEFINIÇÃO . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9o 42. A FUNÇÃO LOGARITMICA A DOMINIO E CONJUNTO IMAGEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 43. GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARITMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 44. PROPRIEDADES OPERATÕRIAS DA FUNÇÃO LOGARITMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 45. APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 46. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -. 103 47. EQUAÇÕES LOGARITMICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 48. LOGARITMOS DECIMAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 108 49. CARACTERrSTICA E MANTISSA DO LOGARITMO DECIMAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5o. TEOREMAS DA CARACTERISTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 51. TEOREMA DA MANTISSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 52. OPERAÇÕES COM LOGARITMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 53. TÁBUAS DOS LOGARITMOS DECIMA-Is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118_ 54. APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 CAPITULO 9 - TRIGONOMETRIA 126 56. ARCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 126 57. OS CONCEITOS DE SENO E COSSENO DE UM ARCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 58. A FUNÇÃO SENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 59. A FUNÇÃO COSSENO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 60. PRIMEIRA RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 61. IDENTIDADES E EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 62. A FUNÇÃO TANGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 63. RESOLUÇÃO GERAL DE ALGUMAS EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS EM TGX . . . . . . . . . . . . . . . 156 64. A FUNÇÃO COTANGENTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 65. AS RELAÇÕES TRIGONOMETRICAS NOS TRIÃNGULOS RETÂNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 161 66. AS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ç . . . . . . . . . . 163 67. AS RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 68. RELAÇÕES TRIGONOMETRICAS DERIVADAS DAS FUNDAMENTAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 69. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 70. DUPLICAÇÃO DE ARCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 71. BISSEÇÃO DE ARCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 72. OUTRAS EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 73. TRANSFORMAÇÕES EM PRODUTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 74. RESOLUÇÃO DE TRIÃNGULOS RETÂNGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 75. RESOLUÇÃO DE TRIÃNGULOS QUAISQUER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9. EHIIÍIIIIII 1. CONJUNTOS DADOS POR UMA PROPRIEDADE 1.1. A= io, 1.234,51 B z io_ 2. 4_ 6, 8, 10, 12] C : im e. i, O, III l 3 3 4 940-? - ? “í” 5 CONJUNTOS Você tem a seguir alguns conjuntos dados pelos seus elementos: que podem ser escritos através de uma propriedade característica de seus elementos; assim os representamos: A= [xIxeIN e x<si BzixixêlN. xépare x<12l C = ixlx é vogal do alfabeto latino] D = Ixix = (-l)“ n e I1+l 1.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 1 IIE N] Escreva. através de uma propriedade, Os seguintes Conjuntos dados por seus elementos: a) A= [1,3.5. 7.91 A = .i . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . ... ... ... ... ... . b) 13 = i2. 4. 6, 8, 10, B ' . ... ... ... ... . ... . ... ... . . .'. ^.. I . ... ... ... ... ... .. . . c) c = i3. 4. 5, 6. 7. SJ C T . .I . ... ... . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. d) D = i1. 2, 4 816 ,2561 D z 1 - n ~ A x f rt_ ti) G (i h) H H ii I l J) J l = . ... ... = i3, 1o, 17. 24, 31, 38. = ..i. ... ?». ..'. ... ;›. .. ... . . ... ... ... .. = i2_ 12. 72.432. ; = . ... . . . “. ,.. .Ç. .:§ . . . . . .Í . ... ... . . ... . . ... .. Ê . ... ... ... ... .. = i1. 4. 9. 16. 25, 36, 49_ 64) : IsmÍÍ . ... ... . . ... . ... . . ... ... ... . = [-4. . -3. -2. -1. 0. 1, 2, 3. 41 =1;. '›c6_Z_c~*-i$x§41__

10. 1.3. Também é possível o caminho inverso, ou seja, dado um conjunto por uma propriedade, escreve-lo pelos seus elementos ou em extensão: Veja: a)A= [xIx=2p+3,pElNep<5l b)B= Íx| xEZe-2<x<4l A= [3, s, 7, 9, 11, 13] B :1-2, -1,o, 1,2,31 1.4. FAÇA voce: TAREFA 2 Escreva os seguintes conjuntos. através de seus elementos: a)A= íx| xeN e X<7] DF= lx| x=2-3" e nENl A: : . F: .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .' . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . ma: g)G= Íx| xEN] B: G: .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ac: h)H: Íx| %E1Nl C: H= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. d›D= [x| x1-9=o e xeiNl n 1 = [xl(x+1)2-(x-1)2=4x e xez] D= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 1: . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . ... ... ... e)E= *[yxlx2-9=O e xEZl j) .1 : lxlxele -3<x<5l E: J: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. s.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2. UNIVERSO ~ SENTENÇAS NUM DADO UNIVERSO 2.1. Considere o conjunto U que será o universo ou o conjunto universal das sentenças que proporemosa seguir: U = [O, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8] e as sentenças s. , sz, s, e S4, onde x E U: s¡: 2x - 12 : O 2x - 15 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 x2 - l = (x+1)(x-1) mmm hum Pergunta-se: a) Todo elemento de U satisfaz s¡? b) Existe algum elemento de U que satisfaz sf? c) Existe um e um só elemento de U que satisfaz 5,? ou simbolicamente: a) Vx E U= › 2x - 12 = O? (vsignzfca todo ou qualquer que seja) b) 3 x E U I 2x - 12 = O? (Élsrgnüica existe) c) : Ilx E U | 2x - 12 = 0? (Hlsrgmfica existe um único) Ve' o quantificador universal Ee o quantificador existencial Veja: s. : 2x - 12 = 0 c: 2x = 12 <= › x : 6 e 6 E U portanto, existe um único elemento de U, que satisfaz s¡. OUZ ÉJ| xeU›2x-12=0

11. Pergunta-se: a) Todo elemento de U satisfaz a1? b) Existe algum elemento de U que satisfaz a3? c) Existe um e um só elemento de U que satisfaz sz? ou simbolicamente: (complete você). a) X e = > 2X - 15 = 0? b) . .EI . ... . l 2X - 15 = 0? c) . ... . . .I. ..2,. ›.c. ..-. ..i. §.. :..9.? . . ... . . . Veja: sz: 2x - 15 = 0 <= › 2x = e= x = e 7,5 í U portanto, não existe nenhum elemento de U que satisfaça sz. OU! Pergunta-se: a)VxEU= ›x° -5x+ 6:0? b)3xEU1x2-5x+ó= O? c)3|xGU| x2-5x+6=0? Veja. sa: x°-5x+6=0<= x=_,2. ou x= __â ____ neízeu portanto: 3xE__H____| x'-5x+6=0 Pe rgunta-se : a)VxGU= ›x2- 1 = (x+l)(x-l)? b)3xEUI x2- l = (x+I)(x-1)? c)3|xEUI x2- l = (x+l)(x-l)? Veja: S43 x1-1=(x+1)(x-l)= ›x°-l= x'-___Í <= ›0=O! ! Teremos que verificar um a um, se os elementos de U satisfazem s. : g o2-1=(0+1)(0-1) <= › -1 = =› 1 = (..4.. +1›(. ..i. .-1) = › 1- (verdadeiro) (verdadeiro) (. .f. .°. z'. :=. L.. °.~. §.&é. -:. °.l (vcràadcárol X X X X X X X X X Il Il 00 x1 ON UI A b) IJ -- O Il

12. Observação As sentenças sz, sz e 53 chamam-se equações em U, pois são igualdades e: sz: V= iól sz: v= [2,31 A sentença s. , chama-se identidade em U, pois é igualdade e: s: : v= (o,1,2,3,4,5,ó.7,s1=› 2.2. FAÇA VOCE: TAREFA 3 1. Complete as sentenças com o quantificador conveniente: a) A , _ [2, 5_ 7, zz_ zzzz 3. Idem, para: xEA_ _xéprimo u= m . .XGA . ... ... . . .AÓPBI si: x+1=/2 s : x2 - 1 : O b)A: [1_2,3.4,5,6] gxzzho X : É -------- -- x É “m” d? " 54; x2 ~ 5x + a e (x- 2104-3) __ x ________ __ x c menor que . 31V - É U 3 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , , . . . . . . c) A ñ[_1' O' l_ 2' 3' 4, 5' 6» 7; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ________ _z x e A x z'. zzzzzzzzz que 7_ bl 3 N e U | . ... ... . . . X É A -' é 'n°110' qu* 15m 91313 É U I d) 39 x e U I . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. _ 4. Idem. para: v : a* sz: .x2 - 5x + 6 z 0 1 1 b; X2 - -z-X - í “ O x2 53: 7 2 x S4Z 3 + x 2 3 Obsmaçãm a› v x e U à . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Quando sc aplica VA'. sempre decorre o “implica que"= > m3 x e U 1 _d l_ d _l “z . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. QM o IL "max empre mm O m W c) 31x E U | .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . 1 Dad” «n21 x e U n . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . U = IN sz: x + 6 2 ll 5. Idem. para: sz: x + -l- = l z ~ 2 u: m, 1.114,5; 533x813” sz: x<l0 s4'x2+7x+l= (+l)2 . - - - - ' 1 sz: x + 8 : 2.x . sa: a+x= u.comaElR Complete as sentenças seguintes, com sz. sz, 53 ou 54. f¡ O < < 4 dc modo a torna-las verdadeiras: M' x UVXÉU” . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ' 'HV-VEÍ” . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . wãxeul . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. wílxew . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. c›EIIxeU| .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . «Glxeul . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. «níâxeul . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. l «nzlxeul . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. __ 4

13. s. Seja U = i0, 1, 2, 3, 4, s, 6, 7, s, 9, 10] Assinale com V ou F, cada uma das seguintes sentenças, conforme sejam verdadeiras ou falsas: a)VxEU= >x<10 (il) mãxêUlxépnmo (v) c)3lxEU| xépar (p) d) Elxeu I xémúltiplo de 1o (p) wzxêUlxéímpar (F) OHXGUIXzEU (v) ZJÉIXGUIXZEU (F) MHIXEU I x=2“ paraalgumnElbNF) 2.3. V: denomina-se: significa: É¡ 'z denomina-se: significa: É : denomina-se: significa: HI : denomina-se: significa: = › : denomina-se: quanttficador universal qualquer que seja quanttficador existencial existe negação do quantificador existencial não existe quantificador existencial particular existe um única implicação simples implica que du 1a im lica ão ou e uivalêizcúz ló ica Ç 8 se e somente se ou é equivalente a Dado como universo U, o conjunto 2, dos números inteiros, ou: U = z = -3, -2, -1, o, 1, 2, 3, significa: c= ›l denomina-se: significa: e a sentença: 5,: 2x + 10 < 20 Veja: 2X + 10 < 20 <= > 2X < . ... .. <= > X < portanto, para 5,: V : i . ... ... . .4, -3, -2, -l, o, l, 2, 3, 4] ou V= '[XIXÉZ e x<5Í Diremos simbolicamente: EIxeUI2x+10<20 Seja agora a sentença S2, ou: S21 2x + 10 = 15 Veja: 2x + 10 = 15 «= › 2x = <= › x = . ... .. portanto. para S2: V = z Diremos simbolicamente: 34 xEU|2x+l0=l5 i)VxEU= ›x+lGU j)VxEU= ›xE1N ioãxeulzxeu l)3xEU| x-6=-6- m)3IxEUl-ã-EN mÉxEUIxElN mzxeulxmseu 2x Vamos escrever sentenças matemáticas em linguagem simbólica, usando os simbolos: (F) (V) (V) (V) (F) (ví) (il)

14. 2.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 4 Considere U = Z e escreva simbolicamente a sentença correspondente ao conjunto verdade de cada sentença: a) s¡: x+l=2x-3 vt-*Ulx-Ma-vc = -H4=v xzu v = Win51.) . ... ... ... ... ... ... ... .. . . portanto: . ... ... . . Eli. x e U b) S2: (x+l)(x-2) = x2- x - 2 xL-x-Z, = xlhx-Z, V = . ... ... ... ... ... .. portanto: c) S32 x2+ 2x+ l <0 x"+ zx. +1-_o4-= -ox'-. x, v = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . portanto: Z. $xEUÍx+Lx+i<o = -i 3. OS SUBCONJUNTOS 3.1. d)s4:2x2-7x+3=0 x. x-_soahtL V = .. ç..3.. ) . ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . portanto: .. ...1.1.. E.. .1I. ../ ... Z.. .x. Í.. .z. .Íl. .oc. ... =t. ...5.. ;.. Q . ... ... ... . . . e)s5:x+l>2x xri>lxpq7c-Lx >~i=4x<i V = .. La. -.. :.. ,.. :.Í'. l,.5.5.7.: ..Z, .,. :.. ., ..Q. .) portanto: . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. f) sg: x=3x+l x=5x+t4-»-zx : tea x= -'/ ¡, V = .. .Í. .:. ..'/ L.. .l'. .. ... ... ... ... ... .. portanto: . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . g) s7: (x+l)2-2x= x2+l x-"rlx- +L-Z. x = V = . ... ... . . . portanto: xb+ lñíkfx: xLvl Consideremos como universo o conjunto N dos números naturais, ou: U=1N= [0,1A,2,3,4, . ... ... . . .1 e os conjuntos determinados pelas sentenças: s¡: o conjunto A dos números naturais pares A = [O, 2, 4, 6, . ... ... . . .l s2: o conjunto B dos números naturais ímpares B= [l,3, 5, 7, . ... ... . u] . 53: o conjunto C das metades dos números naturais c = [o, l, . ... ... . . .i s. : o conjunto D dos números do tipo x = 2a + 3, com a e IN. D = [3, 5, . ..“t . ... mai. .., .. .Lim 15, . ... ... . . .J S5: o conjunto E dos números do tipo x = 2a + l, com a E Z. Veja em E teremos: a = -2=› x = -3 a = a = -1=› x = a = a = 0=› X = l= =›x 2-+-›x

15. portanto: onde : A e' subconjunto de U V x E A = › x E U ou A esta' contido em U B e' subconjunto de U #x E B = x E U ou B esta' contido em U C' não e' subconjunto de U 3x E C I x É U ou C não esta' contido em U D é subconjunto de U ou D está contido em U E não e' . subconjunto de U ou E não esta' contido em U Como: A está contido em U é equivalente a U contém A. A é subconjunto de U se. e somente se. todo elemento de A, é elemento de U. ou: também se representa: e pode-se então definir: ACU c: (VX-EA: xEU) UDA <= =~ tvxeA= xeU)

16. U u 3.2. FAÇA você: TAREFA 5 d) ix e UI-3 < x < 1] U u Dado U = Z, determine os subconjuntos de U, definidos pelas sentenças: a) Mixelllxéizuaiaweu °P°st°1 E= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. istoé: xbxàw' . ... n: '''' ngx: .. .. N r)1== [xeUIx=2p+1,per~I] portanto: F= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ^= t . ... ... . g)c= [xeU| x2<o] b)B: [xeU¡x2_9=0] G= .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. :: QÉIÊÍÃO 4:* . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . h) ix EU| X2 _ l à O] B: .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . c)C= [xeUIx>0] 1)I= [xEUl(X+2)2-X2=4(X+1)] Você obteve subconjuntos de U, determinados por uma propriedade. Observações: l? ) O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto U, por definição. isto é: , qualquer que seja o conjunto U. (veja os exercícios e e g do item 3.2) 2?) Todo conjunto é um subconjunto de si próprio. isto é: , qualquer que seja o conjunto U. (veja o exercício i do item 3.2) 3.3. CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO DADO. Dado A = [a, b, c, d] a) Escreva os subconjuntos de A, que contenham um só elemento: A1 : tah Az= iblâ A3=Í . ... e A4=f . ... b) Escreva os subconjuntos de A, que contenham dois elementos: As = ta. bi; A5 = [a, cl; A7 = ta, .. .. . .l; As = (b, .. .. . .h A9 = i . ... di; A10 : l: . . . . . .v . ... c) Escreva os subconjuntos de A, que contenham três elementos: A11 : f . ... .. › . ... .. u . ... .. lã A12 = [as . ... .. s dll A13 = [as Cs . ... .. lã A14 = tb» . ... .. › . ... .. l d) Escreva os subconjuntos de A, que contenham quatro elementos: Ars = l . ... .. a 2 q l e) Escreva os subconjuntos de A, que não contenham elementos.

17. Os 16 subconjuntos obtidos formam um conjunto de conjuntos que se chama conjunto das partes de A e indica-se: P(A) = [[21], [bl, .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. . ., [a, b, c, d], [ I] Você pode ver que se A tem 4 elementos, ou seja, se n(A) = 4, o número de elementos de P(A) é 2*. De um modo geral: 3.4. FAÇA você: TAREFA e Determine, em cada caso. n[P(A)] e escreva P(A), onde d) A = u_ 3, 5, 7] P(A) indica o conjunto das partes de A. ¡¡[p(A)] = "Li"- u¡ ________ u , , A = m P(A) = Í. (ll. ,.L. t.k, ..L, à.i. .,. L5.t, ..i. m.k, ..l. l,. à.l, .l. .t,5.. j n[p(A)] = = = .. .t. ,.a. .,.5. .1,. ;›. ,.. ›.. . ..t. .s. ,.. s . ... ... .. . . m” el* 12), ¡ g fl_ 2] L e) A = [-2, -1, 0,1, 2] . .tum = .. ... ... .. = . .H . ... .. nim] = m) = . ... ... ... ... ... ... ... ... ..1 rw = .. ima . tr. .Li, ..i. :..1.í. ,.. t.a. .5., ..t, .1.&, -~. t.2.. §.. ,.. ... . ..t : A.Po.1.. ... si. ;A. ,.1.. k,. ..i. =.. L.. LJ. ,.. i.o. .,.4.1.. l . ..iÍç. ,.2,1.71.1.. t,as, ... s.. ,.. z.. ,;. t., .o. .s. ... ... ... ... . . ... t.. -..2.. .,. a., ..t. ,i. .., ..La. z.. ,.n. tv. .t. .t. ¡.t. ez. ¡.. t,xl . ..í. ..'. ..êr. ,.. l.. ,.. Z.. L., .. : l,. -.. L._. .-. .l, .'. c›. ¡.4.'. z)). 4. IGUALDADE DE CONJUNTOS Consideremos os conjuntos A e B onde: A= [O, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9] e B= fxlxe N e x<l0] É fácil ver que: VXEA = › xEB; logo ACBM_ ° *E VXEB = › XE logo BCA Podemos, então, definir: simbolicamente:

18. Observe: l. [a, b] = [b, a] 3.[1,2,5]_____[5,2, l] 2. [a, a] = [a] 4. [a, b, c, c] [a, b, c] Portanto: a) Um mesmo elemento não se repete num mesmo conjunto. b) A ordem dos elementos num conjunto não é importante. 5. CONJUNTOS NUMERICOS Você já conhece os conjuntos numéricos fundamentais: a) JN = [O, l, 2, 3, . ... ... . . .J dos números naturais IN* = [l, 2, 3, 4, . ... ... . . .j dos números naturais diferentes de zero. b) Z = [ . ... ... . . ., -3, -2, -l, O, l, 2, 3, . ... ... . . .j dos números inteiros Z*= [xeZ| x#0] c) Q = [xl x = -É- com p E Z, q E Z* e p, q primos entre si) dos números racionais Q*= [x6 Qlx ; E 0] Observe que: pois: a) todo número natural é um número inteiro. b) todo número inteiro é um número racional, isto é: todo número inteiro pode ser escrito em forma de fração. Veja: 3 4 O 3-T, -4---13 O= -l- De um modo geral: Va E Z', pode-se escrever: 5.1. PROPRIEDADE DOS NÚMEROS RACIONAIS. Entre dois números racionais, sempre existe um outro número racional. b hipótesezíí<ío tese: [BCE Q tal que a< c< b Prova: Consideremos a desigualdade a < b e adicionemos aos seus dois membros um mesmo valor; a desigualdade se conservará: a<b a<b a+a<b+a a+b<b+b 2a<b+a a+b< . ... ... . . . b+a a+b a< 2 2 < . . . . - . . . .. 10

19. então, podemos escrever: a+b 2 <b a< a + b , , . . . _ a + b 2 e um numero racional, isto e. 2 logo, 3cEQ| a<c<b, quaisquerquesejam a, beQ e a<b. onde : CEQ É fácil ver como conseqüência, que: Entre dois núnum uma: : quaiaqua, aum* : T ' Í 5.2. os NÚMEROS IRRACIONAIS Num primeiro estudo, vamos mostrar que existem números que não se escrevem sob a formal-com p E Z. q E Z* e p, q primos entre si, isto é, mdc (p, q) = l. q 0 número x/ í, por exemplo, é um deles. Suponhamos que x/ í possa ser escrito em forma de fração, isto é: V2 : T:- para algum p emZ e algumqem Z*, tal que mdc(p, q)=1 Provemos que isto é um absurdo: 2 t/ z = %=› : :É . =, pz= gqzg = › p¡ seria um número par = › p seriaE, pois se um quadrado perfeito é par, sua raiz também é par. Então p seria da forma: p = 2m, para algum m em Z. substituindo-se em p¡ = 2q2, temos: (zm); = <= > = 2q2 <= > q¡ = 2m1 = = › q¡ seria par= › q seria Mas se p e q são pares = › p e q não são primos entre si, o que é absurdo, pois mdc (p, q) = 1. Logo x/ í não é um número racional, ou seja, V 2 é um número irracional. São irracionais os números: V 2, V 3 , V 5 , V 7, etc. , isto é, raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos, são exemplos de números irracionais. Todo número irracional, escrito sob a forma decimal, apresenta infinitas casas decimais, e que não são periódicas. 5.3. OS IRRACIONAIS E A. RETA NUMERADA Você já sabe como localizar os números racionais numa reta numerada. Vamos localizar um número irracional, no caso, V 2, na reta numerada: r 11

20. Basta construir um quadrado de lado unitário e sua diagonal d terá medida igual a v 2, pois: d1=l2+l2<= ›d2=2 <= ›d= v2 -1 0 1V; 2 3 4 5 Assim como o número v 2 , todos os outros números irracionais podem ser representados na reta numerada. Do que se conclui! !! Embora sobre a reta r existam infinitos racionais, estes não a completam pois, sobre r também se situam os números irracionais. O conjunto que contém todos os números racionais e todos os números irracionais denomina-se conjunto dos números reais e indica-se por 1R. simbolicamente: onde Q representa o conjunto dos números racionais e I o conjunto dos números irracionais. Você deve “aceitar" nesse nível de estudo que: 0 conjunto dos números reais completa todos os pontos da reta numerada. 5.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 7 Coloque V ou F, conforme cada sentença seja verdadeira ou falsa: a) Vqeüàqem tnvqeomiez LUVnElN = ~nEQ h) ÉÍXEOÍXEIN () v) (-› <› c)VzEZ= >zElN () DINCJR () (J d)vneN= ›neR (. ) DIRCZ <› (› e)3xElR| xEZ (v) k)1R*3z* <› <) DVxEZ= >xE1R (› DJNCIR* (› <› 5.5. SUBCONJUNTOS DOS REAIS Vamos identificar alguns subconjuntos lineares dos números reais. São assim chamados porque sempre podem ser representados por subconjuntos da reta. 5.5.1. INTERVALOS FECHADOS: [a, b] com a, b E JR e a < b [a, b]= [xE lR| a<x< b] 12

21. . , ._, .,. ... ,.. ..m. . . .. . ... ... ., I . . _ . um . hum-Junin. Fba. . ma: _Tr m. . J, J . xÍ. , . ..? Í . rwr-. Hàmmãt- . A. . _s km1.. .i.1v.7ua. ..3.rhnmT. . tl-. Tr, , , . ..u . .. .y u , J . a, Í. , in», m a_ , . .. . L _lá . r. n, ... u_ 4 _ ú. 4 s r n_ ; tn x , n A, É. .. , A . . _1_ _se . A . .. t. . , .. Tm. L. . . |. m., r . .nJ. .. , . .r . .91 , _. iu, r, s. .., . . . E «W , , . u, . .m , ., I . um 1.; n. , x m. . . _ i4_ c, r em u F. Í . . , ,n ru . .. u. . H . x 1,. , L, .. .n É . .W wi_ : r/lll rn_ . Âlàweniri . _ 1 . . . . t» _, .. ..I m. . m4,. ? , _ , ,steam e _l _à . . _. . . ..W *Jun _ . .. - M. . , um, . sua”. J o . ,. . t , ... . B4 . . . v: n n x . . E r . . . . N. , »o a . L3_ . . e . . à 4 _ ms . . . e a r . __

22. 9 i . em_ . ., _. .,_ . .. ... , . .r . .. i_ . e. . l . 4 . U . . n_ em _. a . . _M_ r . Í . u 1. . . u D. . _no à um m. .. Í . w. _ i . Is $7.13_ _íÍjâiítiúlftfl “âsãiíifgíürpfjiüíiãx . . Fm . , lflw. , . i J u! ? . .-fp B_ , . 11 ¡. _ , , f. , . i à , l su? .sit. . . . . Hr¡ . sru. ..L. __. uL_j. u., .:JJruU. .. t l üwhk. . riununxdziaaknrwlfrwí aWv. ,r. .r. .T. H». ..qhr. ir d. . . r- sánrJliiaw. !Wax , .. . . i i -l›-r , r . . 4.. .¡ I› : ul . a. : E. .. . .r . r L L . r ~I'›, › i. Fi . Irani. x . u. r i . .. rh . .. ra r. . J . .. . ..r . ri. u. .. J _ill t. ..? .. , lLnuw. L

23. 5.6. FAÇA VOCE: TAREFA 8 1. Represente na reta numerada cada um dos seguintes subconjuntos lineares: a) [-3. 21 = f . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. l e) 1-3. m» = i . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. l o [s, 9l = í . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. l i 2. Identifique os intervalos que estão representados nas retas numeradas: 15

24. 6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 6.1. UNIÃO OU REUNIÃO Seja U um conjunto universo e, consideremos dois subconjuntos A e B de U: Chama-se reunião de A e B a um conjunto C cujos elementos pertençam a pelo menos um dos dois conjuntos, isto e', os elementos pertençam a A ou a B. Indica-se C por A U B Podemos escrever: AUB: ~[xIxEEA ou xEB] IÚI Vejamos os exemplos: l. A=[l,2. 3,4. 5.6?, B= [-2,-l. O, 1,2] A U B = [-3. -1.0_ l. 3. 3. 4, 5, 6] 2.A= íxeRI-1<x<5]: B= [xeR¡-3<x<4] AuB= ? Façamos a representação de A e B na reta numerada: AUB= ÍXE1R| .. ... ... .. < . ... ... . . .< . ... ... . . .l

25. 6.2. FAÇA vocE: TAREFA 9 D “l U 1 = k) l-I, 3] u 11, 7[ = . ... . . . Determine A U B em cada caso: l) [S, 7] U ]_1, s] = "" u a›A= [1,3,5,7,9]; B= [o;1,2,3,4,s] _ '. , A u a = . ... . ... . ... ... ... ... ... ... .. m) m' Sl U “' 3] “ n) [3, 7] u [-2. s] = . ... .. . ta. .. .. . . b)A= [xe | x<1o]; B= /[1,2,3,4] AUB= o 6 lN n N @l o) A= [1,2,3,4]; ç a= tõ A u B = . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . p) A = [-1,0, 1, 2, 3] _ AuAafl xt k 0 x ê . ... . ... ... ... ... ... ... ... .. . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . z Q p' q) A UE = e) U = . ... ... . . . r) A U A = n JN u o = zomunau¡ . ... . . . ”^CB= ' ^UB= 5 h)zum= n_i_l? ç_ t)AZ>B= AUB: o a) u m = _jtàn_ u) A u U - 6.3. INTERSECÇÃO Sejam A e B subconjuntos de um mesmo universo U. Chama-se intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto C cujos elementos são comuns a A e B, isto é, pertencem a A e a B. Indica-se C por A n B Podemos escrever: AñB= [x| xEA e xEBj Vejamos os exemplos: 1-A= i1,2. 14,51; B= í-2,0.2.4l AnB= (2,4] 2.A= [xeR¡3<x<5]; B= [xenz*|1<x<4] AnB= ? Façamos a representação de A e B na reta numerada: 17

26. A n B = ix e JR¡ < < 6.4. FAÇA VOCE: TAREFA 10 i) I n JR = J) NO l Determine A O B em cada caso: k› «no I = a) ^ RE' 2- Í* 5- 557]. ; B = H' 'l' 1' 3' 5] 1) [2, 6] 01-1, 4] = Ji. ) . ... .. . . A = . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ' - m) 1-1. 71 i1 [2, 31 = .. .. . ... .. b›A= [xeN| x<1o]; B= [o,2,4,6] )]_31[m[_4 2]: A n a = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. " ' ' "J ''' '- c» 1-1. s] n io. v1 = c)A= ixeNIx>5]; a= [o,1.2,3] phhílyzjsü B= z A m B = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. A f] B = q) A 'l É = 45.. . r› A o A = s› A o U = t) AcB= › An B = u) A 3 s= › A n B = B 6.5. OPERAÇÃO SUBTRAÇÃO Sejam A e B dois subconjuntos de um mesmo universo U. Chama-se diferença entre A e B ao conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. Indica-se C por A - B U Podemos escrever: 18

27. Quando ocorrer B C A o conjunto A - B denomina-se complementar de B em relação ao conjunto A, e indica-se: A-B= CAB Também indica-se: U-A= CUA= à e define-se: Ã= [x| x§ÊA] Vejamos os exemplos: 1.A= [1, 2, 3,4, 5, 5]; A-B= [3,4,5,6] 2. A = [-1, 4]; B = [3, s[ B= [0, 1, 2, 7] Façamos a representação de A e B na reta numerada: A: -1 3 4 5 g E ¡ ê B : l 1 i 1 E A - B = ix e BI < x < 6.6. FAÇA VOCE: TAREFA 11 Determine A - B em cada caso: a) A = i-1. o, 1, 2. 3,41; B = i1, 3, s. 7. 91 b)A= [xeIN| x<7]; 13:( A- = io 5 c. 1] . . . . . . . . . .¡. ... ... ¡.. ... ..¡. ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. c) A = [o, 2, 4, e, s_ 1o]; B = [1, 3,5, 7, 9] A - B = . ... ... ... . . . d)A= il,2,3,4,5]; B= [xElN| x<l0] h) A= [o, 1,2, 3,4, 5,5, 7]; B = (xeAIxépa: ] CAB = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 1) A = [-2, -1_ o, 1, 2, 3, 4]; B = [-1, 1, 3] CAB = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . . j) A = [2, 51; B = 12. s] CAB = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . k) CRO = . ... ... ... .. . . 1) CRI = . ... ... ... . . . m) U= [xeNIx<2o]; A = [o, 2, 4, 6, s, 1o. 12, 14, 16, 18, 20] A = n›t_J= [xezI-4<x<s]; A= (-1.o,1,2] A = .. Í.. .'. .Ê. ... :.. .3.›. ,.. $., ..': !., ..§. ..à . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. o) U = [o, 2, 4, s, s, 1o, 12, 14]; A = [o,4,s,12] à = j_ L , (o lo (H j; . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .

28. 7. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SEQUÊNCIA 1 . Sabendo-se que . Enumere os elementos de U e de seus subconjuntos A e B, sabendo~se que: à = [2.5,9,13,1s,2o] AUB = [1, 5, 6, 9, 13, 14] B = (2, 6, 18, 2o] e Determine os elementos de A e B, sabendo-se que: à = [r, g, h, i] AuB= [a, b,c, d,e, r] A u B = [d, e] Ã= [5,6.s,9], Am3=[2,4] e AU B = (1, 2, 4, 7, 9] determine A, B e U. . Sendo à = [6, 7, s. 9, 1o], B = [1, 2, 3, 9, 1o] e A n B = [4, 5], determine A u B. . Sendo A = [-1, 4], B = ]o, 7[ e c: [1,6] determine: a) (A n B) - C b) (B ñ C) U A . Sendo A = [-2,2[, B = [1,5[ e C= [1,3] determine: a) Cam ñ C) b) (A-C)U (BNC) 20 3. 4. 10. Ã= [2,3,5] e ANB e A-B. Sendo U = [1, 2, 3, 4, 5, 6]; B = [1, 3, 5, 6], determine Determine, gráfica e simbolicamente os conjuntos: a) l-a, 2] n lo. 4] n» [1, m» u 1-3. 4] c) CBA; onde A = [-2, 2[ e B = [-2, 5] d) Ã; onde U = [2, 7] e A = [3, 7] . Mostre com diagramas que, B C à = A C B. Sendo A = 1-1, 3], B = 11, 5], c = [o, 9] e 1) = [s, 7[ determine (B - A) u (D n c). sEoüENciA 2. 1. Dados o universo U e o conjunto A C U, abaixo, determine, para cada caso, uma propriedade característica do UA. a) U = IN e A = [xlx é número primo] b)U=1N e A= [xIx= 5K, KEIN] c) U = [xlx é ponto do plano] e A : [x | x é ponto de uma reta dada do plano]

29. capítulo PRODUTO CARTESIANO 8. PAR ORDENADO 8.1. Com os algarismos do conjunto [l, 2, 3), podemos formar os seguintes números de dois algarismos: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 ou seja, podemos considerar os seguintes pares ordenados: (1, 11, (1. 2x11, 3x12, . .Lt (2, (2, (3, . .LL 13, (3, 8.2. FAÇA você: TAREFA 12 a) Com o conjunto dos possíveis resultados na jogada de um b) Com o conjunto dos possiveis resultados do jogo de uma dado, moeda: i1. 2. e] [cara, coroa) podemos considerar os seguintes pares ordenados que repre- podemos considerar os pares ordenados que representam os sentam os possíveis resultados para a jogada de dois dador: possiveis resultados na jogada de duas moedas: u. 1›. 11. 2x 12. n, <2. 2›. .<. .A, s). .,. L.2.. ,+t>. ,.. .t. A,e). .,. .<. &., .<, .?. ... .. 13. 1›. Ki. ,7.), .$. §., .à2., ..&. Í2,r! .?. ,.. Ç.. à,. ã.? .., .k. f›. ,.s. ).. ... <s. °.. <.= z&» &sat-sal- <4.1›. L.^. i,3.). .,. <:t, .à. > ( 01,52., ... e) (s, n. >. .,. .(. (6. 1). .(. .<e. ,..2,. ).. ,.§. e (Caran .99.›r.9.~. .,›. <_ç. <.t. r.9.. .› ç9.r. <.>.9.. _,›, <. ,n, .ci. r.c7.s-. t.› . sQeíQ-. .L 8.3. A observação dos exemplos permite caracterizar um par ordenado da seguinte forma: l) se a aê b, então (a, b) # (b, a) ou seja, (a, b) = (b, a) <= > 0. = ll)(a, b)= (c, d)= › a = c e b = oL 9. PRODUTO CARTESIANO 9.1. Dados os conjuntos A = ll, 2, 3, 4) e B = i3, 5, 7] podemos escrever o conjunto A X B, A X B = U1, 3), (1, 5). (1, 7), (2, 3), (3, 5), (3, 7). (3. 3), (3. 5). (3. 7). (4- 3)» (4, 5), (4. 7)) cujos elementos são os pares ordenados formados tirando o 19 elemento do conjunto A e o 29 elemento do conjunto B. 21

30. 9.2. FAÇA VOCE: TAREFA 13 a)A= [a, b,c] f)C= <[a, b,c, d]' Is = [ar . _ 1 D =1p] A ›< n = ice. . _.9,_›, (.12.. . . ao, 9.31 c >< o = t_. (.r. ›., p.). .,. .<. ..é›. ,. . ..? .,. .ás. ,.]a2.t. .(.9l. ..]a? ..) . ... ... .. b›B= [a] ' g)A= ío, 3, 6] A= [a,1›, c] B= (1,2,3i B x A = 1.se, .e, )., .á&, .la). ,.. §93.92.31. A x B = 1.. $.9., .s. ).. $.9,52,. §9,. à2,. $à. .à3., ..Éà, .à? ... c) A = u_ 2., n 3 B= i1,3,s¡ 1t›A= f2,4,6,8i A x a = it.1.. t1., .(. ›.. .31.. .(t. .§). ,.$.3.. .i1,s.3.2>. ..$3,5)] a = [a, b1 A X 5 = as): ( 5gb) (ql a); (qab)4 d) C = (1, 2, 4]_ . ... t . . . . . . . . . . . . . . . .p . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. D = ,L 3, s_ 7, a» c x o = 1t.3.. .t2.. .t.1,32_si_,22,. ç.1..13.. .s. s,à). ,.§3.s) n A = í1, 21 t. an. ,.t. .2.. ,3.›. .,si, .n, .19,32., .i.9,. :.›. ,s.1,n1 a = ;õ A x a = .. .só . ... ... ... .. . . e) A = [a, b, c] B = fp. q) x 1) A = Õ A x a = t. .te,31.. .(. ..,4.1., .sena). ..(et, .st>,1.ç.2ts. e..4>l a = 13, s. A x B = 9.3. Observando: 19) a) e b) você pode concluir que: AXB, ... .%. ... B><A 29) c) e d) você pode concluir que: ACC e BCD à AXB_____Ç___CXD 39) i) e j) você pode concluir que: A= Õ ou B= çz5 = › AXB= NÓ 9.4. Podemos agora definir: Isto é, 10. REPRESENTAÇÃO GRAFICA DO PAR ORDENADO. 10.1. Sabemos que qualquer número real pode ser representado sobre uma reta numerada (eixo). Nosso objetivo agora é a representação de um par (x, y) de números reais. Usaremos, então, dois eixos perpendiculares com origem comum; um para representar o primeiro elemento do par, que chamaremos abscissa, outro para representar o segundo elemento do par, que chamaremos ordenada. (sistema cartesiano ortogonal). 22

31. 10.2. Convenção: 1) sobre o eixo horizontal serão representadas as abscissas. 2) sobre o eixo vertical serão representadas as __o_¡_d_g__n_g_çi_g, _9_. 10.3. Representemos graficamente o par (2, -3). 19) Maream-se os pontos que representam 2 e -3 nos respectivos eixos (x e y); 29) Por esses pontos constroem-se as paralelas aos eixos; 39) O ponto de intersecção dessas paralelas, P, é a representação gráfica do par (2, -3). 10.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 14 l) Represente graficamente, os pares ordenados. a) (1, 21, (3, 51, (2, à, (à, 1› c› (1. -2›, (3, -s›, (2, à). (à. -1› V 'Õ . . 2, *1- l q _ 775 '. ' > x ' l É l , 1 -1 l 1,1 i-l. 2). i-3, 5›, 1-2. p, i- 5. 1› a1 (-1,-2›, (-3. -5›, (4,7), (--3-, -1› 23

32. 2) Chamando cada região do plano determinada por um par de 3) Represente graficamente, os pares ordenados semi-eixos não opostos de quadrantes, e observando os (O 3) (o _n (3 O) (4, O), (O, O) exercícios a, b, c, d, você pode estabelecer uma regra de sinal 29 quad. 19 quadrante 39 quad. 49 quadra nte (x, y) E 19 quadrante <= > x > 0 e y O 4) Observando o exercício 3) você pode concluir que: 05' y) e 29 quadrante : à x O e y O (x, Y) E eixo horizontal = › y = 0 (x, y) E 39 quadrante <= › x _g_ 0 e y ___ O (x y) e eixo vemcal ç: X = O (x. y) E 49 quadrante <= › x ___, _*__ 0 e y 0 10.5. Se P é representado pelo par ordenado de números reais, (x, y), escreve-se: É x: abscissa do ponto P y: ordenada do ponto P x e y: coordenadas de P e denomina-se: Os eixos são chamados: eixo das abscissas e eixo das ordenadas 11. REPRESENTAÇÃO GRAFICA DO PRODUTO CARTESIANO 11.1. Seja A= [1,2,3] e B= [-1,2] então, A x B = [(1, 4), (1, 2), (2, -1), (2, 2), (3, -1), (3, 2)] Representando graficamente todos os elementos de A X B, temos o gráfico de A X B. --ur---yv---a e--e- nen-n_- lsto sempre pode ser feito, desde que A C 1R e B C IR. 24

33. 2) Os seguintes gráficos representam o produto cartesiano 11.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 15 . . i T_ . e L. ;«, . C . ffLJ w __ . _ 7. 3 e - , t A B . l . l k [alt p R_ __ __ m x A B C A M w S O n x B X A S 0 n a . ü e m c -_.3 S m. -.2 u _ Au m r -1 D. 2 v. _ S . T O IJ . l 4 O e 7. . _ . m 1:4.. a 0 o v4 H e ; l y . m 4 0. 1_ . 14 4 C y . y › ñ K 3 . l.. 7. m nn3 3 . amv. m 2. . . _q _ 2a a . 2 31?, .IJ e C l _ _ 4 l 7. M S ÍLÍL r4Lr1L r4Lr1. Em __ . _ : __ : : e Nm A B A B A B m m a m o x) . l Observação: Se B é unitário, os pontos dc A X B estão em uma reta paralela ao eixo d) A = [IJ 1; = [_2,-1,0,1,2] Observação: Se A c' unitário, os pontos de A >< B estão em uma reta paralela ao eixo 25

34. 11.3. Considere o gráfico X Qualquer que seja o ponto P desta figura, temos y = 2 e x E [l, 4]. Enúo, a figura representa o conjunto Ux, y) I x E [l, 4] e y = 2] isto é, o produto cartesiano A X B onde: = [2] = [1,4] e B A 11.4. FAÇA VOCE: TAREFA 16 l) Os seguintes gráficos representam o produto cartesiano A X B. Determine os conjuntos A e B: 26

35. s s. o . m X n nm _m m A 74-4- . m. m »ihlkl . m. . m , _ _ B s l rio¡ V. V. m w A _ w A A¡ r w V. tnxkF|4É . O , _ d m AI . r a AI . .m u . .Mn 5 5 1 5 G. D. B O X P» À m M ir, m 4 o x) C . Í . l rn. . 35 . m 4 mm . .11. m . LJ . Bs 23 45 2. if. J 3m a y 17.. l _ ec 1.! . y O , . : __ z _ ; .an. .We : : __ . _ . m AB AB AB m¡ AB AB E wm w n. M , U Rm M M m b x; 3 O m. e . m x x n | O.m B, ax_ W_ x A ia m mm m , eo v . ü d m. .. Aula __ A _ 1_ w “m, m um t un m. . qm 0 Boa ¡IIII 3 . .. e _ w Í. o Am r e t ea. : m um m mà a . num w; .1.. ,a . mm M. M. .. ..m. + Jd. g8 _ a. elf, a , s em 1.. U 1.a” 0B 2.44 M, 41 ms [ÍL lraL . . flÍL RÍL IL] mw . _ __ . __ . m _. ._ __ _. : __ mm. AB AB W AB AB AB um. o w m o m, o . D. O c) A: ll,4[ B Observação: O gráñco de A >< B quando A c' unitário c B é um intervalo é 5+. . ízs3msn. C9.. ,'B! .e. Êf! e..44..9.299.#

36. x mm mm A mm . . n_ o i3 m. 3m . m . rw _p w À. , t. , miia m __ m . N : __ : __ : : m. AB AB AB 0 m. n w A¡ 5 E . Í p _ m _ s _ O _ . w 2 cs. _ , a . _ _ y a . s 1 mm mm m. A. . w A : __ : __ II . N E AB AB w ) s D m o sl I s' I 4. B . D C . w u E . m u t e _ Í. o 1 d 7x 7m m. _ a i. -a _ e mx 1 2 2 n a›A Al . .T A1* 1+ A! A A! d o Í¡ mm n. m.. O 0 pc 3 0 m a u m m a o m Cí. .J . J l ar. 1. 2] 2 2 m. M. .N. 2 »2 y y me y 2. m2. m m +. _+ . ..m UR Ri. . GI. . BR GR RR RR m e = : __ __ : __ __ __ : : __ t __ __ ow. AB AB AB AB AB AB AB M a D n. M , D . n. 28

37. W II i. ) IV É xJ › Í) 12. EXERCÍCIOS DE REVISÃO SEQÚÉNCIA 1 1) Seja U = [l, 2, '4, 5, 6, 7, 8]* e seus subconjuntos A = [2, 4, 6, s] e B = ' [4, 5, e, 7, 8]. Determine: a)A><B b)A><B ocuxumxa) @Ãxí 2) Seja u = [1, 2, 3. 4. 5], A = [i, 2, 3] e B = [3, 4]. Determine os conjuntos e compare os resultados (acom- panhe com gráficos): BCUXMAXB) b) Xxí c) ÃxB d) AXB 3) Sendo A = Í-l, S] c B = [l, 3], rêpresente graficamente: &ÚAXB b)BXA C)(AXB)-(BXA) SEQÚÊNCIA 2 l) Represente graficamente (A >< B) U(B >< A) sendo A = [~3, 4] e B = [-i, 2]. 2) Sendo A = [-], 4], B = [2, S] e C = ]-3, 3], represente graficamente: a) AxB b)B><C c) (A><B)0(B><C) d) (AXlD-(BXC) 3) Sendo A = [-i, 3] e a = 1o, 5], a) complete (A x a) n (a >< A) = [oc, y) e JR x iRI . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .l b) represente graficamente o conjunto do item a). c) o conjunto do item a) é o produto cartesiano de quais conjuntos? 4) Sendo A = ]-2, 3[, a = [-i, 2[, c = ]-i, 5] e o = [i, 4]. determinar graficamente: a) (Axmñtcxv) b) (A><B)- (CXD) 29

38. capítulo RELAÇÕES 13. O CONCEITO DE RELAÇÃO R DE A EM B 13.1. Considere os conjuntos A = [l, 2, 4, 6, ll] B = [2, 3, 7] e a sentença: p: "x é múltiplo de y", onde x E A e y E B. O par (4, 2) torna a sentença p verdadeira, pois 4 E A, 2 E B e 4 é múltiplo de 2. Este não é o único par ordenado que torna a sentença p verdadeira. Temos ainda: (6. (. ... §_, 3) e Então, a sentença p e os conjuntos A e B, determinaram um conjunto de pares ordenados: R = U2. 2). (4. 2›. .. c.<. ›._. a). ,.. <.. .<. ›., .$.2.. ). como, A x s = i<i,2), <1.3›. ..<. .%. .12., ..<. &., .a). ,.c. &.. .5). ,s. .s, .i. ).. ,sm). ,.Çs. ,3). ,.çu. ,.. r.2., ..(. c., .2.. ) . ... .. 5.9:. .à). ..53.3.2., .§. $.! .,. &.). ,.(. .1.A. ,§. )., .(. A.l. ,.12.i. ... . temos: R C A X B O conjunto R pode ser representado pelo diagrama: onde cada flecha determina um par ordenado de R. 30

39. c) A = (1. 2_ 3,41; B = [2, 3. 4, s] p: uy<xn Reüzgújz/ z) , LH,7J, (5,5), K“.5), WHÚÉ 13.2. FAÇA VOCÊ: TAREFA 17 Dados os conjuntos A e B e uma sentença p, escreva o conjunto R determinado e faça o diagrama que representa R. Considere, em cada um deles, x E A e y E B. a) A = [_2, o, 3, 4, 5]; B = [-1, o, 3, â] p: “y é a metade de x" R = í<. ..¡. .,. :.. t.. .›. <. ..>í. ,.. ã42.. ›1 Diagrama: d) A = [-1, o, 1, 2]; a = [o, 1,14] p: “y = Ixl" R-, ítytñjoloõ kí, $)§ b) A = [-2.-I.0. 1.21: B = [-1, o, 1, 2, 3] e) A = [1, 2_ 3, 4, 5]; B = [-2, 3] p: “y= x+l" p: “xépaf” R : §(. ;,«ya~s_o)/ <o, .), < 1,1), (en) a . _ “tem, (LjLUL-Lõ/ um) 13.3. DEFINIÇÃO: Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um conjunto R é uma relação de A em B se R é' um subconjunto do produto cartesiano A X B. ou seja: RérelaçãodeAemB : a RCAXB Os exemplos vistos em 13.1 e 13.2. mostram que uma sentença p pode determinar uma relação. Nesse caso, a sentença p e' a propriedade característica dos elementos de R. Assim considerando: A = [1, 2, 4, 6, 111; B = [2, 3, 7] p: “x é múltiplo de y", com x E A e y E B, podemos escrever: R = [(2, 2), (4, 2), (s, 2), (e, 3)] ou R = Hx, y) e A >< B| _x é múltiplo de y] 31

40. _ y r _ 1 . .a y m 9 › m mmh _ . fm u _ uuM II _ a s m , m n 3 51m 2 »M m o_ . ..na y _ u t. IJ_ L. Raa 2 J_ ( u _ L_ . mm 1, É L. u L mms , z. Í" . _ t" @um O Í" 1. 1. , _ . t , 1; à z" , à mam 1 i l u a n z. m , u . . rx . 1_ N 14. . mn 2, , ),“ . _ T oume 1 1 _11,/ X w. . 11,1_ Nr, H d l + ! Lx 1_ 3_ . L1 131_ l v, mr + + __ . . . l _ esa . ITI. ui_ . LJ _IJ . ..um + Mep . I. 5_ N. . L x( _ + 2 t_ S z m2 y . X X111_ X @Rm _. t, W. im __ WW __ , __ , Z __ d m» u 7. 3_2 4 m _ um , w e . .nNam IYÃW U ly H. s . m . u . m . n. m . m exmnt z z; m wpu mmmwmm õMdrm XD" x x/ _w x msm. . , 7.. 4,6 N . z za: R , cmdR R, R R, R, s n l _ . . u L . 201a er, e e m e ZÉ a e R , m É s nm n w n mmwn E3,_›2$¡D m . .mm o wfqlu y 5 y ; u . x) t, _ x! ) e H. . www m, at. r<x1 mméw 2 _r4 2. s o mm B _ (Í , JL ÍL_ ee 1.1 5. _ 4, . I.› 1.163 __ R . _ . . a_ __ __ __ __ = __ N s m. . w Hu 1x ( ( 1x 1x O “oz B; D. X MeR RR R RR RR R mmm _W 4,Xm A x) ) ) aee / d e . ... U . .n NU D IVD. A AU O 3 n I_ x74 é a F_ _ma . m R › C t. a n u u _ . v m . E w m m _ m . n m A hor m n m u D. _ M 200a 0 r . m u u 0 _ t O m u u u . Dr. u U . LJ ›O 0 U D. _ a 1.. J _ 7.36.3 d n u n u a IJ _ _(t C. . O S . s_ U n , L u 4 u E a a r. e B . r nt . o 1 11 __ _ m . m s . u D . ... .Den . D. c. E 3 . _ m m. ..) 3 m , , e h . LJ _ _ _ Ps O , _ A 21 ü 0 E 574V. 7.. _ _ . m 1 . LJ 2 . m rl/ wr , e , m m . .an 1_ 7 , n C if P m m 3 1B . LJ u] u . de r 6. l m I : ,MW t. t. .. A a 5 H4V. Xm. am 21.1 14 u _ F = ob n . m 0 0G y m u u N dh _l Ano 0 m . A BRIZ e m. . 1.6 Ly 4amsemnne mai. . , m 1,11m R rum a e . y m . . m S_ 2,1 .2 u r. S r4_LX mrke 37V. m | .›V. ,m 2uV. .WWÍV. rÍm. .JLXW G 4D. .. . .a __m m __A rn. .. mrJOLC mr. _Le ! tem . _+ . .é __ __ m O LMOWX r. d o; e m n. r Ym a BC m BÉ. ,. __ n : X . u . .M um BW BIV. Dim _A @A m. m sx; XMBAMYÉNNE mm B ; B Dm C 3dme . m . . . .. . . . . . . LJ n s 9 ua ›7 m1.) _ Em X m . rx lmLnX 6X . ..X u A A/ .Bmd m amü«. ,2m, x, mj; eu0A , A , nas T , xoo m . m a m , C m . .. MLM, m 5m sn l 5 y m N 1 C muÍwrmnmwomwzmwmm . .amam 4m : mw F_ iAsmB. s mui. . _ 3.o. . Lui. 3,". umswy 3,v, . qua. . = Cm. m.X m. mmmmm. .. m, "xm0,xm2.u_ m, u,üm2,ü R . .ARewA m CC . .a _ . .X n 2 n y| u P_ Em. . 4rqL_ rÍ . .JLn . .Mb m D. se 2, _2_ m , <m1__ m . .e_ Et . h y . 1 n D. S e l Ed _e _ __ . l _ _ "rdL. _ M 2._ _.1.: .. . _ E .1. md ü S Lmiwí 1.y11.y.1.y. .. .x . nada . ,_1_R__. 1a. .. R e. eu oA o e = r : : A = __ L : __ n __ r : c : __ m c i . . . . . . . . . . , . e . .owApR APR APR XPR MPR mAeRAeR CeR 4_ 1. um M mo w o m o u o w o 1 M Rm. o 13.4. FAÇA VOCE: TAREFA 18 pontos (assinalados), representam seu subconjunto R. 32

41. X 1% 47. 5.11 4. _ _ 2. _ , _ 1 l. «M11 . N31 5 y 11, L y O 3 . , 0 a. , 1. _ 1. 4 a, y_. , rqL _ (lt BF? , : ll . ..LJ x X 11 . k1k 0 . , . _ B< 2. B< , Muy ny _ 1y 2.B .1.ry. B 1MB 1.x 5.x n 7.x . A 4A 5A 0.5 2,5 3,5 1_1›v, . 0.0. LW 2. x. 1, x, 2, x, _I _lux . r rJLII. [IL [IL : __ : = __ __ AR AR AR d, M 0 m m, .N. 1 % Q/ y . LJ C y 3T! b w a, . u 7 1 x m 6, 1_. e y m s, o, d. . 4 . s y l 9 . ..A 3 r. .L . l B 2. : M x 1.1x; B] A (.17. V. E R m __ __ nn __ ?14,_T L, 4 . m. m any 2.a r+r ; Er , m . .B . .._za _ n¡ 1X u X U 1m/ t1 . A1 . E . m. 5 1 , _ C M. 4yA Oy A a a_ _ O e . . »E e "t. t/ ,_ v y o 3 › y. › l. . Tr r m s yV. . V. , À a m 2 , , ç r. a y X. . 7. X A WM Hthu I_Lr. (1 r . e .1 , E F R C _ __ L : __ 2. m AR A R 4 ) ) . A › qu, .t 1 Dn a . .D 14.3. Sejam: [l, 10] = [1.5]; A R = í(x. ymA><B1x= yl Neste caso, A X B é representado por um retângulo: onde os pontos (assinalados), representam alguns dos infinitos pares da relação R: (1, l), (2, 2). (3. (4. . . . .). , 5)- (12 . ..) e 33

42. Mas, para representar a relação R, temos que representar todos os seus pares, e obteremos: 14.4. FAÇA VOCÊ: TAREFA 20 Represente graficamente A >< B e assinale seu subconjunto R, em cada caso: a) A= [1,5]; B: [1_ 10] d) R: l(x, y›G[-1,+o<›)xIIlly=2x- Il e R= Í(x, y)EA><BIy=2x] c) R í lwylemyx lRly = X2] b)R= l(x, y)ER. ><R+ly= x2) v Y c) A= [1.5[; 13:12.41 t) = tx. y› >< . +°°. v=x e R= [(X, Y)EA><BIy: xj _Rí em 12 H 2) (a extremidade do segmento que não perterlkcc a R. deve sç3r representada por uma “bolinha vazia": g_í_o ¡ indica que A e R c B g7; R. ) Í 34

43. g) R: [lx. y›É(-oo.7]><lR| _v: -x] i) R= [(x, y)ER><RIx=2] li)R l(. '. yIER>lRl, V›x+lj j)R A i1x, ,v›eA><Bly = zlonde l-3. 2[ c B -. [o, sl 15. DOMl-NIO E CONJUNTO-IMAGEM 15.1. Considere a relação de JR em IR: R = m. sui, 3),1-1, 1x13. 2x12, 7)) Como (l, 5) E R, diz-se que 5 é a imagem de l pela relação R. ou, em simbolos: 5 = R(l) que se lê: “5 é igual a R de 1" ou “5 é a imagem de l por R", Assim: l l : R(7) porque (7, 3) E R = R(-l) porque (91 A 'dy' e i( 15.2. FAÇA VOCE: TAREFA 21 lãscrcva simbolicamente, qual C- a imagem do 2 nas seguintes relações: u) R, »e [11. 2x12, 3). 13, su: R¡(2l = c) R3 = ltx. y) e IN x lNly = Zxl = > Rat? ) = _ ~ l/ . 1 a Ri") ' ››››› d) R4 : [lx, y) e IR x JRIy = -Il= > RM) = b) R¡ = (1-i,5). <3, 2),12,-7), <2.7)l = › ou RM? ) = _ c) Rs = lu. yielN x JNly m/ Tl: atencao! (em uma relação, um mesmo elemento pode ter mais de 'umu imagem) 35

44. 15.3. Sejam A = [1, 2, 3, 4] e B = 2, -2, 3, 5] Consideremos a relação de A em B: R : 2)» (39 2)› (39 '2)› (4a Podemos separar o conjunto dos elementos de A que aparecem como primeiros elementos de pares ordenados de R. Temos: [l, 3, 4] C A E o conjunto dos elementos de B que aparecem como segundos elementos de pares ordenados de R. Temos: (2, -2, 3] C B Ao conjunto dos primeiros elementos chamaremos domínio da relação R e representaremos por D(R). Ao conjunto dos segundos elementos chamaremos conjunto imagem da relação R e representaremos por Im(R)› Assim, para a relação: R = [(1, 2), (3, 2), (3, _2), (4, 3)] temos: D(R) = [l, 3, 4] e lm(R) = [2, -2, 3] 15.4. FAçA voce: TAREFA 22 l. Determine o domínio e o conjunto imagem para cada relação: a) A= [1, 3. s. 2]; a= [1,2] e R = [11,1›,13._1), <s.2›] _ Dm = l. ..*. ..1.. §.. ... ?.. ..]; 1mm : . ... .. . .l J b) A = [1, 2_ 3, 4, s, e, 7_ 8] e R= l(x. y)EA><A| y=x+2l Dm = Lê. .é. i.. ?., ..1,. .ã. ..sa. .]; 1mm e ã. .:. .§. ,.. ~.. ..2.. x.. ] c) A = [-1, 1, 2, 4, 5]; a = [o, 1, 2] e R = [(x, y›eAx Blyàx] Dm = 1mm = a) A = [-2, -1, o, 1, 2, 3]; 13 = [-1. o, 2, 4, s] e R = [(x, y›eAxBIy = x2] Dm = L: .Ê.1.F. '.1.. F.. .., ]; 1mm › l. .9..1.. f.* . ... ... . . .l e) A: [-1, 31,0, 1, 2] e R = l(x. y)eA>< Aly = IxIÃ' Dm = l7.. *.. ..9.. ..* . .ê J e 1mm = . ... ... . . J Il. Determine o domínio e o conjunto imagem de cada relação: a) R= [(x_y›e N><Z| y=2x] Veja: R = (to. 9.. .). 11. 12. 1411111). 1.ã, ... t.›. ... ›. 1.*. !..8.. ..›, ... ] Observe que *v* x E IN, 3 y E ZI y = 2x, isto é. qualquer elemento de N tem imagem em Z. Portanto: D(R) = lN 36 f) lÍverdadequeVyGlÉlxEÍlN| y=2x7 _n05 ________ __ Como deve ser y E Z. para que exista x EIN com y = 2x? y deverá ser um número _Pcujgva __________ _ e _____ Portanto: 1mm) = l9,41,. .H. ,.ta. ,.9.¡. ... .-. ... ... ... ... ... ..J R= l(x. y›er~1>< 1Nly= àl Veja: R = í<. .q, .9.. .›. 1.. e., .1,. ›. <. .H. ,.. z.. ›. <. .c. .,. .a. .>. ----- ul Observe que.5 por exemplo, x = 5 não tcm imagem em N, porque y = -2- não é um número natural. Então 5 Ç D(R). Dm = . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. Im(R) = .l. a., ..l. ,.. a_. .3.. ,.. a.¡. ... ... ... .]. ..; ...1t4 . ... ... ... ... ... ... ... .. . . R= í(x, y›en~1><n~1Iy= x-s] Dm = .t. §.. ..c›. .,.1.: .x. .a, R= [(x. y)GllJ><]JlIy= x+2] D(R) = .L. q., ..t. .,. .2., .5.. .s. ,..5.. ,., .. ... .. l.. ... :.. .1N . ... ... ... ... ... ... .. Im<R)= i. L., ..: ›.. ,.s. .,.5., ..1.. .,. .1._ . . . . . .J . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. R = (u. ,wezx INIy = x2] D(R) ? Zé . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 1mm = .Í. .Q. ,.l. ... s.. ..9.. ,..1.e . ... ... ... .. i . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. R= [<x. ,v›emxn2I, v=x+2L~ D<R'›= ..1R. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

45. =x] b›A= [1,s[; B= ]2,4] e R= Í(x. y)EA><BIy = x2+1? : a/x-S] L *C 7/ h)R= [(x, )&G]R><1R| y=x2] D(R) = .. . . lm(R)= *à t; R- i) R = üx, *kem >< IRIY D(R) = Im(R) = j) R: í<x. )e xJRIy D(R) k) R : [u, ?Êrtínêlxq = ÂíÂÍíÊÍIÂíÍÂÍÊZÍíÍÊÇÍÍIÃÍÍÍÍÍÍÍÍÍÂIÍÍÍÍÍÍIÍÍÇÇÂÇÇIIÍÍÍÃÇIÍIÍÍÍÇÍÍÍÇIIÍÍÍZ D(R) Im(R) III. Represente graficamente A X B e seu subconjunto R. Em seguida determine o domínio e o conjunto imagem de cada relação R. Observe. pela figura, que: a) A: 11,51; B: [1, 10] e R: [(x. y)EAXB| y=2x] e 3 ZA ] 3 L, u] x V(x, y) E R = › ía Portanto, Gráfico: D(R) = Im(R) = B: 1-4, -1] i<x, y)eAxBIy= x-5] R c) A = [1, sJ; C x-_1=›y=2-1=2 ¡gêA= ›(1,2)$R a) A = [1, 4[; B = [1, 6] 1o 2-5 X e'R= [(x, y)eA><BIy= x+1] :5== >y 5 EA 1o g: (s, 4°) É R E B Observe, pela figura, que: X611. 5] Vix. y)ER= › c ye]2.1o] Portanto: = 11.5] D(R) t' Im(R): ]2, 1o] 37

46. e) B = [3, 81 Im(R) e) A= [-s. o1; e R= [<x. y)eAxBIx+y=3] D<R)= ..[. ... _ r) A= [1.4]; B= [1.a[ e R= [(x. y)EA><B| y=2x+1] Im(R) D(R) = IV. Dadas as relações de R em R, através de seus gráficos, determinar o domínio e o conjunto imagem de cada uma: x mm mm Dm DI 'R __ D(R) = Im(R): D(R) = D(R) lm(R)= Y a) 38

47. 15.5. Podemos definir formalmente domínio de uma relação R de A em B. D(R)= [xêAI3yeB com y= R(x)] 16. EXERCÍCIOS DE REVISÃO e o conjuhto imagem de uma relação R de A em B: mai) - ty : ea i-aíjxly! ” 'com y = nos); Decorre da definição: D(R) c A e Im(R) c B sEoüeNcIA 1 1) 2) 4)R= l(x, y>EA><B| y= “+41 onde Represente graficamente as seguintes relações, determi- nando o domínio e o conjunto imagem de cada uma: R= [(x, y)eAxe| y=x+1] onde A= [-2,-1,o, 1, 2] e B = [-1, o, 1, 2, 3] R= [(X, Y)EAXA| y=x-1] onde A= [1,2,3,4] R= í<x, y)em><RIy= x+2] 3 A= [-1,4] e B= ]2,5] R= [(x, y)EAXBIy= x+2]' onde A= [-2,4] e B= ]1,4] 6)R= [(x, y)E]R, ,XR| y=5-x] R= [(x, y)EA><BIy=2-x] onde A= ]-2,4] e B= ]1,4] 4)R= [(x, y›emxRIy 6)R= [(x, y)E]RX]Rly seoüemciA 2 Determine o domínio de cada relação: 1›R= í(x. y)eR›<RIy= 2] x-l 2)R= l(x, y)emxIRly= -x,2+(¡] 3)R= [<x, y)e1R›<mIy= -,-¡ X_+ ! I to x + ›- na 5)R= l(x. y)G1R><R| y=x/ '_fx-] II hà X N l ›- 'w-' 39

48. APLICAÇÕES capitulo OU FUNÇÕES 17. O CONCEITO DE APLICAÇÃO OU FUNÇÃO 17.1. Consideremos as seguintes relações, de A em B, e seus diagramas, onde: A= [l,2,3,4] e B= [3,5,6,7] A B En' 1 3)_ f) = ((1) 3), (2. 5), (3, 5). (4. 7)] A b) f) = (u, 3). (2, S). (3. 5), (1. s). (4. 6)) A B c) fa = [(1, 3). (2. ó). (3. 5)) . A _ _ Examinando o conjunto A, em cada caso, temos: a) em f, , cada elemento de A tem imagem em B e só uma. b) em fz, cada elemento de A tem imagem em B, mas o elemento l tem duas: 3 e 5. c) em f, , o elemento 4 não tem imagem em B. As relações de A em B que se comportam como fl, em relação ao conjunto A, são chamadas de funções de A em B. 40

49. 17.2. FAÇA VOCE: TAREFA 28 c) A = [1, 3, s, 7]; B = [2, 4,6, s, 1o] e r= [<1,2), <3,6), <7.2)] Faça o diagrama para cada relação e verifique se se trata de uma função de A em B. A a) A = [4, 2, 4, 6]; B = [o, 1, 2, 3, 4, s] e f = [m, o), (2, 3), (4. o), m, 4)) ff? ” função de A em B porque_ tem ; ma-arm cm Ó d) A= [-1,o, 1,2); a = [o,1,2,3] e ¡'= I(x, y)GA><B| y<x) z r ° função de_ A em B porque âr. <.*. .'e. .f. 'í. ms. ttâí. éi. fl É: b) A = [-1, o, 1, 2]; B = [-2, o. 2, 4] na; c' - C É e f: [mi y) GA X B” z 2X) t' funçao de A em B porque 09 c. ;meu os . i"a"a"': ;a. ta. .. . ... as. m . .. e)A= [1, 2,341); B= [3,4,5,6') e r= [<x, y)eA><BIy=5¡ A B *lí* V' r runçao de A em e porqueñ. f<têf. e.. .sfsrrs. r~fe r runção de A em B porque . mia “want . . 5.9.. flsecte. ãle_zés. _sm. .é. né«a . efsnzs. .~. fa. .ás. .ê- de! ! . kar 933 . ... ... ... ... ... . . ñ. . ... ... .. 17.3. Examinando o domínio das funções, você verifica que, sempre, IEE, porque todo elemento de A tem imagem em B. No diagrama, de cada elemento de A sai uma flecha, e uma única flecha, porque cada elemento de A tem uma única imagem em B. Podemos agora, definir formalmente uma função ou aplicação de A em B: Um conjunto f é uma aplicação ou função_ de A em B se for uma relação de A em B, tal que todo elemento' do conjunto A tem uma e somente uma bnagem no conjunto B; ou seja: fé função ou ! MC A X B (fé uma relação) aplicação de A em B e 2)VxEA,3|yEBIy= f(x) 41

50. 17.4. VERIFICAR SE UMA RELAÇÃO DADA É FUNÇÃO Seja: f= <[(x, y)E lNX ZIy=2x] Temos: D(f) = lN = › todo elemento de IN tem imagem em Z, isto é, qualquer número natural tem seu dobro em Z. Além disso, cada número natural admite um único dobr

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