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Optimizar lata refresco

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Information about Optimizar lata refresco
Education

Published on March 10, 2014

Author: mateszaframagon

Source: slideshare.net

Description

Problema de optimización en la se buscan las dimensiones óptimas de una lata de refresco de 333 ml
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La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco ¿Qué medidas tiene que tener la lata de¿Qué medidas tiene que tener la lata de un tercio de litro para que su fabricaciónun tercio de litro para que su fabricación sea lo más barata posible?sea lo más barata posible?

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco El coste de fabricación va implícito en laEl coste de fabricación va implícito en la cantidad de material que utilicemos paracantidad de material que utilicemos para fabricar la lata, y el material utilizado, lofabricar la lata, y el material utilizado, lo da la superficie de la lata.da la superficie de la lata.

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco El coste de fabricación va implícito en laEl coste de fabricación va implícito en la cantidad de material que utilicemos paracantidad de material que utilicemos para fabricar la lata, y el material utilizado, lofabricar la lata, y el material utilizado, lo da la superficie de la lata.da la superficie de la lata. Por tanto, hay que determinar las dimensiones de un cilindro de un tercio de litro de volumen con área total mínima.

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Queremos hacer mínimo el área de un cilindro: AT=AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r2

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Un tercio de litro = 333 cm3 Queremos hacer mínimo el área de un cilindro: AT=AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r2 Con el dato del volumen buscamos la relación entre las incógnitas r y h que aparecen en el área V =⋅r2 ⋅h=333  h= 333 ⋅r2

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco AT =AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r 2 AT =2⋅⋅r⋅ 333 ⋅r 2 2⋅⋅r 2

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco AT =AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r 2 AT =2⋅⋅r⋅ 333 ⋅r 2 2⋅⋅r 2 AT = 666 r 2⋅⋅r 2

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco AT =AL2· AB=2⋅⋅r⋅h2⋅⋅r 2 AT =2⋅⋅r⋅ 333 ⋅r 2 2⋅⋅r 2 AT = 666 r 2⋅⋅r 2 Luego, la función a minimizar es : f r= 666 r 2⋅⋅r 2

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r Igualamos a cero la derivada para buscar los puntos críticos f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r=0

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r Igualamos a cero la derivada para buscar los puntos críticos f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r=0  4⋅⋅r= 666 r 2  r 3 = 666 4

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r Igualamos a cero la derivada para buscar los puntos críticos f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r=0  4⋅⋅r= 666 r 2  r 3 = 666 4 r= 3 666 4 ≃3,75 cm

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r r= 3 666 4 ≃3,75 cm Comprobamos que ese r es mínimo relativo de la función

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r r= 3 666 4 ≃3,75 cm Comprobamos que ese r es mínimo relativo de la función f ' ' r= 666⋅2 r 3 4⋅

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r r= 3 666 4 ≃3,75 cm Comprobamos que ese r es mínimo relativo de la función f ' ' r= 666⋅2 r 3 4⋅ f ' ' 3,75= 666⋅2 3,75 3 4⋅ 0

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 f ' r= −666 r 2 4⋅⋅r r= 3 666 4 ≃3,75 cm Comprobamos que ese r es mínimo relativo de la función f ' ' r= 666⋅2 r 3 4⋅ f ' ' 3,75= 666⋅2 3,75 3 4⋅ 0 r= 3 666 4 ≃3,75 cm Es mínimo relativo de la funciónEs mínimo relativo de la función área totalárea total

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 r= 3 666 4 ≃3,75 cm Además no hay otros posibles extremos absolutos pues el dominio en el contexto del problema de la función sería el intervalo (0,+∞) Es mínimo relativo de la funciónEs mínimo relativo de la función área totalárea total Por tanto, ese es el mínimo de la funciónPor tanto, ese es el mínimo de la función

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Minimizar f r= 666 r 2⋅⋅r 2 r= 3 666 4 ≃3,75 cm Además no hay otros posibles extremos absolutos pues el dominio en el contexto del problema de la función sería el intervalo (0,+∞) Es mínimo relativo de la funciónEs mínimo relativo de la función área totalárea total Por tanto, ese es el mínimo de la funciónPor tanto, ese es el mínimo de la función Altura asociada: h= 333 ⋅r2 = 333 ⋅3,752 ≈7,5 cm

La mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refrescoLa mejor lata de refresco Por tanto, las medidas óptimas paraPor tanto, las medidas óptimas para fabricar una lata de refrescos de unfabricar una lata de refrescos de un tercio de litro son 3,75 cm de radio y 7,5tercio de litro son 3,75 cm de radio y 7,5 cm de altura.cm de altura.

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