Modelos dinámicos

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Published on May 9, 2014

Author: KevinMosquera93

Source: slideshare.net

Primer Taller Modelos Dinámicos Presentado por: Fredy Alejandro Guevara Kevin Mauricio Mosquera Presentado a: Ing. José Vicente Vázquez Institución Universitaria Colegio Mayor del Cauca Facultad de ingenierías sexto semestre Popayán, septiembre 2013

1. Introducción La teoría de juegos es una rama de la economía que estudia las decisiones en las que para que un individuo tenga éxito tiene que tener en cuenta las decisiones tomadas por el resto de los agentes que intervienen en la situación. La teoría de juegos como estudio matemático no se ha utilizado exclusivamente en la economía, sino en la gestión, estrategia, psicología o incluso en biología. En teoría de juegos no tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer, tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer teniendo en cuenta lo que pensamos que harán los demás, ellos actuarán pensando según crean que van a ser nuestras actuaciones. La teoría de juegos ha sido utilizada en muchas decisiones empresariales, económicas, políticas o incluso para ganar jugando al póker. La teoría de juegos es nuestro Concepto de esta semana Para representar gráficamente en teoría de juegos se suelen utilizar matrices (también conocidas como forma normal) y árboles de decisión como herramientas para comprender mejor los razonamientos que llevan a un punto u otro. Además los juegos se pueden resolver usando las matemáticas, aunque suelen ser bastante sofisticadas como para entrar en profundidad.

2. Objetivos a. Utilizar los conocimientos adquiridos en programación lineal para darle solución a los problemas de teoría de juegos b. Profundizar en el aprendizaje para la resolución de los diferentes problemas planteados en la teoría de juegos. c. Aprender diferentes aplicaciones de lo aprendido en clase

1. A. Emplear el método grafico para encontrar la estrategia optima del jugador 2. Para dejar la matriz positiva, lo que vamos hacer el sumarle 3 a todos los valores. Obtenemos la nueva matriz: 2 9 4 8 7 1 6 7 8 0 Ahora con esto podemos obtener nuestras ecuaciones, como queremos encontrar la mejor estrategia para el jugador 2 debemos encontrar W. W1 = -7Y1 + 9 W2 = -4y1 + 8 W3 = 6Y1 + 1 W4 = -1Y1 + 7 W5 = 8Y1 + 0 Cuando reemplazamos en cada una de estas por 0 obtenemos lo siguiente: W1 = 9 W2 = 8 W3 = 1 W4 = 7 W5 = 0 Cuando reemplazamos en cada una de estas por 1 obtenemos lo siguiente: W1 = 2 W2 = 4 W3 = 7 W4 = 6 W5 = 8 FOTO GRAFICA

Ahora aplicamos el criterio Min (Max) Como podemos observar en la gráfica el punto solución es la intercepción entre w2 y w3, procedemos a comprobarlo: W2 = W3 - 4Y1 + 8 = 6Y1 + 1 -10Y1 = -7 Y1 = 0.7777 Y1 + Y2 = 1 0.7777 – 1 = Y2 Y2 = 0.22223 c)Emplear el algoritmo simplex para encontrar las estrategias optimas y el valor del juego.  Método Simplex -1 6 1 5 4 -2 3 4 5 -3 Para eliminar los números negativos sumamos el más negativo (+3) 2 9 4 8 7 1 6 7 8 0

Realizamos el método simplex don las restricciones activas (W3, W5) Min: W+0Y1+0Y2 Rest: W + -4Y1 >= 8S1 W + 6Y1>= 1Sa W = 8 Restando el número que sumamos a la matriz: W = 8-3 W = 5 Valor del juego es: 5 Y1=0 Y2 = 1 (0 ;1)  Mejor estrategia para el jugador 2

d) Emplear Win Q.S.B (Fichero D.A) para comprobar los resultados efectuados a mano anexar todos los resultados obtenidos con el programa.

2. A. PROBLEMA 8 La Universidad del Estado jugará ante el IvyCollege por el campeonato de tenis. El equipo de la Universidad tiene dos jugadores, A y B, y el IvyCollege tres, X, Y, y Z. Se conoce lo siguiente acerca de las capacidades relativas de los jugadores: X siempre le gana a B. Y siempre le gana a A. A siempre le gana a Z. En cualquier otro encuentro, todo jugador tiene una probabilidad ½ de ganar. Antes del juego, el entrenador de la Universidad debe determinar quién jugará el primer individual y quién el segundo. El entrenador de IvyCollege, después de haber seleccionado los jugadores para los dos individuales, también debe determinar quién jugará el primero y quién el segundo. Suponga que cada entrenador desea maximizar el número esperado de encuentros individuales que gane su equipo. Utilice la teoría de los juegos para determinar las estrategias óptimas para cada entrenador y el valor del encuentro para cada equipo. SOLUCIÓN Las estrategias posibles para cada entrenador son las que se detallan en la tabla siguiente, donde AB para la Universidad significa que el primer partido lo juega A y el segundo B y Análogamente para todas las demás. Se trata de un juego de suma constante ya que para cada par de estrategias la suma de los números esperados de ganar es 2. Para la Universidad el número esperado de partidos ganados se detalla en la tabla. IVY COLLEGE XY XZ YX YZ ZX ZY UNIVERSID AD AB 1 1 0 1/2 1 3/2 BA 0 1 1 3/2 1 1/2

A continuación se indica de forma más detallada la construcción de las estrategias posibles para cada entrenador. Para ello debemos tener en cuenta: -X siempre gana a B -Y siempre gana a A -A siempre gana a Z -En el resto de los casos, cualquier jugador tiene probabilidad ½ de ganar IVY COLLEGE XY XZ YX YZ ZX ZY UNIVERSID AD AB ½+½ ½+½ 0+0 0+½ 1+0 1+½ BA 0+0 0+1 ½+½ ½+1 ½+½ ½+0 Es claro que para el entrenador del IvyCollege cualquier estrategia en la que interviene el jugador Z está dominada por la XY o la YX. Por tanto, simplificando se tiene: XY YX AB 1 0 BA 0 1 Para hallar las estrategias óptimas a seguir, se asignan probabilidades: Probabilidad y (1-y) X 1 0 (1-x) 0 1

Buscamos la estrategia óptima para la Universidad mediante la resolución de la ecuación: x = 1-x Obteniendo un valor óptimo de x=1/2, siendo (1/2,1/2) la estrategia mixta óptima y V= (1-(1/2)) = ½ como valor del juego. B. PROBLEMA 5 Una empresa electrónica japonesa y una americana del mismo ramo están pensando en diseñar un superconductor. Si ambas compañías trabajan en el superconductor, tendrán que compartir el mercado y cada compañía perderá 10 000 millones de dólares. Si sólo una compañía trabaja en el superconductor, dicha empresa tendrá una ganancia de 100 000 millones de dólares. Desde luego, si ninguna compañía trabaja en el superconductor, las ganancias de cada una son 0 dólares. a) Formule esta situación como juego de dos personas con suma no constante. ¿Tiene el juego algún punto de equilibrio con estrategias simples? ¿Y con mixtas? b) Suponga ahora que el gobierno japonés ofrece a la empresa japonesa un subsidio en dólares de 15 000 millones para crear el superconductor. Plantee la matriz de recompensas para este juego. ¿Tiene este juego algún punto de equilibrio con estrategias simples?¿ Y con mixtas? c) Con frecuencia, los hombres de negocios dicen que una actitud proteccionista en los negocios puede aumentar las exportaciones, pero los economistas en general han dicho que una actitud proteccionista hacia un negocio reducirá las exportaciones. ¿Qué punto de vista respalda este problema? SOLUCIÓN a) Formule esta situación como juego de dos personas con suma no constante. ¿Tiene el juego algún punto de equilibrio con estrategias simples? En la situación dada las estrategias posibles a seguir tanto por la empresa japonesa como la americana son trabajar o no en el superconductor (lo que indirectamente, implica compartir o no el mercado con la otra empresa). Por tanto podemos expresar esta situación mediante la siguientetabla (dada en miles de dólares): Empresa Americana Trabaja en el superconductor No trabaja en el superconductor Empresa Japonesa Trabaja en el superconductor (-10, -10) (100, 0) No trabaja en el superconductor (0, 100) (0, 0)

En nuestro caso concreto hay dospuntos de equilibrio que vienen dados por los pares (100, 0) y (0, 100), porque si cada jugador cambia su estrategia, su recompensa disminuye de 100 a 0 o de 0 a -10. Realizamos lo mismo para el equipo de IvyCollege. Resolvemos la ecuación: y = 1-y para obtener un valor óptimo y=1/2 y por lo tanto una estrategia óptima de (1/2,1/2)y como valor del juego, V= (1-(1/2)) = 1/2. b) Suponga ahora que el gobierno japonés ofrece a la empresa japonesa un subsidio de 15.000 millones de dólares para crear el superconductor. Plantee la matriz de recompensas para este juego. ¿Tiene este juego algún punto de equilibrio con estrategias simple? La matriz de recompensas ahora será Empresa Americana Trabaja en el superconductor No trabaja en el superconductor Empresa Japonesa Trabaja en el superconductor (5, -10) (115, 0) No trabaja en el superconductor (0, 100) (0, 0) En este caso el único punto de equilibrio usando estrategias simples es el par (115, 0), porque si cada jugador cambia unilateralmente su estrategia, su recompensa disminuye de 115 a 0 para la empresa japonesa y de 0 a –10 para la empresa americana. Hay una única solución que es la estrategia mixta (x1,y1)= (1,0) de la que se deduce que: x* =(1,0) e y* =(0,1): Por tanto: 115 1 0 00 1155 01,)A(v y 0 1 0 0100 010 01,)B(v Por tanto solo hay un punto de equilibrio que es el par (115,0).

c) Con frecuencia, los hombres de negocios dicen que una actitud proteccionista en los negocios puede aumentar las exportaciones, pero los economistas en general han dicho que una actitud proteccionista hacia un negocio reducirá las exportaciones. ¿Qué punto de vista respalda este problema? Si se entiende por actitud proteccionista en los negocios de un país el dar subvenciones a sus empresas, este problema respalda el punto de vista de los hombres de negocios. No obstante, a largo plazo esta actitud no se puede mantener ya que si los demás países protestan las subvenciones deben retirarse y las empresas que se han acostumbrado a las subvencione pueden no estar preparadas para la libre competencia y, por tanto, no poder exportar por que los otros lo hacen a menores precios. Este enfoque respalda el punto de vista de los economistas.

BIBLIOGRAFIA 1. [8] Shapley, L. S. (1953) A value for n-person games. En: Contributions to the Theory of Games, vol 2, H. W. Kuhn y A. W. Tucker, eds. 2. [20] Von Neumann, J. & Morgenstern, O. (1944) Theory of Games and Economic Behavior. Princeton, NJ: Princeton University Press. 3. Investigacion de operaciones de Wayne Wiston. 4Edicion

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