Mecanica teorica

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Published on February 13, 2014

Author: sedenion1

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Mecánica teórica es una herramienta poderosa que puedes tener para empezar a comprender los conceptos avanzados sobre mecánica, desde Newton, Lagrange y Hamilton-Jacobi

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SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM TEORIA Y PROBLEMAS DE MECANICA TEORICA con una introducción a las Ecuaciones de Lagrange y a la Teoría Hamiltoniana POR MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D. Profesor de Matemáticas Re nsselaer Poly technic Institute TRADUCCION Y ADAPTACION Joss ALssRro Po¡rro¡r holexor Uniuersidod Nocionol d,e Cslombio o LIBROS MeGRAW-HILL MEXICO PANAMA MADRID BOGOTA SAO PAULO NUEVA YORK AUCKLAND DUSSELDORF JOHANNESBURG LONDRES MONTREAL PARIS SINGAPUR SAN FRANCISCO ST. LOUIS TOK I O NUEVA LELHI TORONTO

MECANICA TEóRICA Prohibida la reproducción tótal o parcial de esta obra, por cualquier med¡o, s¡n autorizac¡ón escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS Copyright @ ISZS, respecto a la edición en español por LIBROS McGRAW-HILL DE MEXICO, S. A. de C. V. Atlacomulco 499- sOi , Naucatpan de Juárez, Edo. de Móxico Miembro de la Cámara Nacional de la Ind. Ed¡tor¡al. Reg. núm.465 0-07-091877-5 Traducido de la primera edición en inglós de THEORICAL MECHAN¡CS copyrisht @ tsez, by McGRAW-HILL BOOK, Co., lNC" U.S.A. 7123¡,5d}87 2345678901 CC-76 Printed in Mexico lmpreso en México Esta obrs se terminó en abril de 1977 en Offset Rebosán, S. A., Zacahuitzco 40, México. D. F. Se tiraron 2 0(X) eiemplares

Prólogo En el siglo 17, Sir Isaac Newton, formuló sus famosas leyes de Ia mecánica. Estas leyes, de una maravillosa sencillez, sirvieron para describir y predecir los movimientos de Ios objetos visibles en el universo, incluyendo los de los planetas de nuestro sistema solar. A comienzos del siglo 20 se descubrió que varias de las conclusiones teóricas deducidas de las leyes de Newton, no estaban de acuerdo con algunas conclusiones deducidas tanto de Ia teoría del electromagnetismo como de los fenómenos atómicos, igualmente bien fundamentados en hechos experimentales. Estas discrepancias dieron lugar a la mecánica relatiuista de Einstein que revolucionó los conceptos de espacio y tiempo, y a la mecánica cuántico. Sin embargo, para objetos que se mueven con velocidades mucho menores que la de la luz y cuyas dimensiones son grandes comparadas con las de los átomos y moléculas, la mecánica newtoniana, también llamada clásica, sigue siendo completamente satisfactoria, y por esta razón mantiene su importancia fundamental en las ciencias y la ingeniería. EI propósito de este libro es presentar la mecánica newtoniana y sus aplicaciones. El Iibro está orientado de manera que puede usarse como suplemento a todos los textos de uso corriente, o como texto en un curso formal de mecánica. También será útil a los estudiantes que siguen cursos de física, ingeniería, matemáticas, astronomía, mecánica celeste, aerodinámica y en general cualquier campo que requiera en su formulación los principios básicos de la mecánica. Cada capítulo comienza con una presentación clara de las definiciones, principios y teoremas junto con ilustraciones y material descriptivo, seguido de grupos graduados de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teoría, haciendo énfasis en aquellos puntos sutiles sin dominar, los cuaIes el estudiante no se siente nunca seguro, y permiten la repetición de los principios básicos, que es tan importante para un aprendizaje efectivo. En los problemas resueltos se incluyen muchas demostraciones de teoremas y deducciones de resultados básicos. Un gran número de problemas propuestos, con sus respuestas, sirve como un repaso muy completo del material de cada capítulo. En los temas tratados se incluyen Ia dinámica y estática de una partícula, sistemas de partículas y cuerpos rígidos. Se introducen desde el comienzo y se usan a lo largo del texto los métodos vectoriales, que se prestan tan bien para la notación concisa y las interpretaciones físicas y geométricas. En el primer capítulo se hace una exposición sobre vectores que puede estudiarse al comienzo o bien utilizarse como referencia cada vez que sea necesario. Además están los capítulos sobre las ecuaciones de Lagrange y Ia teoría hamiltoniana, que dan lugar a formulaciones equivalentes de Ia mecánica newtoniana y que son de gran utilidad práctica y teórica. Se ha incluido mucho más material del que se puede ver por lo general en un curso corriente; y esto se ha hecho para dar al libro mayor flexibilidad, hacerlo más útil como obra de consulta, y estimular el interés en los temas. Aprovecho esta oportunidad para agradecer al personal de la Schaum Publishing Company su magnífica colaboración. M. R. Sprncnl

TABLA DE MATERIAS Capítulo Capítulo I 2 Página VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION Mecánica, cinemática, dinámica y estática. Fundamentos axiomáticos de la mecánica. Modelos matemáticos. Espacio, tiempo y materia. Escalares y vectores. Algebra vectorial. Leyes del álgebra vectorial. vectores unitarios. Vectores unitarios rectangulares. componentes de un vector. producto escalar o producto punto. Producto vectorial o producto cruz. productos triples. Derivación de vecto¡es. Integración de vectores. Velocidad. Aceleración. velocidad y aceleración relativas. Aceleración no¡mal y tangencial. Movimiento circula¡. Notación para derivadas con respecto al tiempo. Gradiente, dive¡gencia y rotacional. Integrales de línea. Independencia de la trayectoria. Vectores lib¡es, deslizantes v fiios. I LEYES DE NEWTON SOBRE MOVIMIENTO. TRABAJO, ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 33 MOVIMIENTO EN UN CAMPO UNIFORME. CAIDA DE 62 Leyes de Newton. Definición de fuerza y masa. unidades de fue¡za y masa. Sistemas inerciales de diferencia. Movimiento absoluto. Trabajo. potencia. Energía cinética. campo de fuerza conservativo. Energía potencial o potencial. conservación de la energía. Impulso. Momento de una fuerza y momentum angular. conservación del momentum. conservación del momentum angular. Fuerzas no conservativas. Estática o equilibrio de una partícula. Estabilidad del equilibrio. Capítulo 3 CUERPOS Y PROYECTILES campos uniformes de fuerza. Movimiento unifo¡memente acele¡ado. peso y aceleración debidos a la gravedad. Sistema gravitacional de unidades. suposición de que la Tiena es plana. cuerpos en caída libre. proyectiles. potencial y energía potencial en un campo uniforme de fuerza. Movimiento en un medio resistente. Sistemas aislados. Movimiento sometido a constricciones. Rnzamiento. Estática en un campo gravitacional uniforme. Capítulo 4 OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Y PENDULO SIMPLE oscilado¡ armónico simple. Amplitud, período y f¡ecuencia del movimiento armónico simple. Energía de un oscilador armónico simple. oscilador armónico amortiguado. Movimiento sobreamortiguado, críticamente amortiguado y bajoamortiguado. oscilaciones forzadas. Resonancia. Péndulo simple. oscilado¡ armónico en dos y tres dirnensiones. Capítulo o FUERZAS CENTRALES Y MOVIMIENTO PLANETARIO . Fue¡zas centrales. Algunas propiedades importantes de los campos de fuerza central. Ecuaciones del movimiento para una partícula en un campo cent¡al. Ecuaciones importantes deducidas de las ecuaciones del rnovimiento. Energía potencial de una partícula en un campo cent¡al. conservación de la energía. Determinación de la órbita debida a una fue¡za central. Dete¡minación de la fuerza central conocida la órbita. secciones cónicas, elipse, parábola e hipérbole. Algunas definiciones en astronomía. Leyes de Kepler del movimiento planetario. Ley de la gravitación universal de Newton. Atracciones de esferas y otros objetos. Movimiento en un campo de fuerza dependiente del inverso del cuadrado. 86 I16

TABLA DE MATERIAS Página Capítulo 6 Capitulo 7 SISTEMAS COORDENADOS EN MOVIMIENTOS 144 SISTEMAS DE PARTICULAS 165 Sistemas coordenados no inerciales. sistemas coordenados en r<-rtación. operadores de de¡ivadas. Velocidad en un sistema en movimiento. Aceleración en un sistema en movimiento. Acele¡aciones de Coriolis y centrípeta. Movimiento de una partícula respecto a la Tierra. Fuerzas de Coriolis y centrípetas. Sistemas coordenados en movimiento, en general. Péndulo de Foucault. Sistemas discretos y continuos. Densidad. Cuerpos elásticos y rígidos. Grados de libertad. Centro de masa. Centro de gravedad. Momentum (o cantidad de movimiento) de un sistema de partículas. Movimiento del centro de masa. Conservación del momentum. Momentum angular de un sistema de partículas. Momento extetno total que actúa sobre un sistema. Relación entre el momentum angular y el momento externo total. Clonservación del momentum angular. Energía cinética de un sistema de partículas. 1'rabajo. Energía poten-'al. Conservación de la energía. Movimiento relativo al cent¡o de masa. Impulso. Const¡icciones. Constricciones holonómicas y no holonómicas. Desplazamientos virtuales. Estática de un sistema de partículas. Principio de trabajo virtual. Equilibrio en campos conservativos. Estabilidad de equilibrio. Principio de D'Alem bert. Capítulo 8 APLICACIONES Y A SISTEMAS OSCILANTES, COHETES 194 COLISIONES Sistemas oscilantes de partículas. Problemas ielacionados con masa variables, cohetes. Colisiones de partículas. Sistemas continuos de partículas. Ouerdas en vibración. Problemas con valotes de contr¡rno. Series de Fourier. Funciones pa¡es e impares. Convergetlcia de las series de Fourier. Capítulo I MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 224 Cuerpos rígidos. Traslaciones y rotaciones. Teorema de Euler Eje instantáneo de rotación. Movimiento general de un cuerpo rígido. Teorema de Chasle. Movimiento de un cuerpo rígido en el plano. Momento de inercia. Radio de giro. Teorpmas sobre momentos de inercia. Momentos de inercia especiales Pares. Energía cinética y momentum angular con r€specto a un eje fijo. Movimiento de un cuerpo rígido con respecto a un eje fijo. Trabajo y Dotencla. In:pulso, conservación del momentum angular. El péndulo compuesto. Movirniento general de un cuerpo rígido en el plano. centro instantáneo. centrodes espacial y del cuerpo. Estática de un cuerpo rígido. Principio de trabajo virtual y principio de D'Alembert. Principio de energía potencial, mínima. Estabilidad. capítulo 10 263 MOVIMIENTO DE CUERPOS RIGIDOS EN EL ESPACIO Movimiento general de cuerpos rígidos en el espacio. Grados de libertad' Ro- tación pura de cuerpos rígidos. Velocidad y velocidad angular de un cuerpo rígido con un punto fijo. Momentum angular. lllomentos de inercia y productos de inercia. Matriz o tensor del momento de inercia. Energia cinética de rotación. Ejes principales de inercia. Momentum angular y energía cinética con respecto a los ejes principales. El elipsoide de inercia. Movimiento libre de fuerzas. Línea y plano invariable. Construcciones de Poisont. Polhode. Herpolhode' Cono espacial y cono del cuerpo. Cuerpos rígidos simétricos. Rotación de la Tierra. Angulos de Euler, Velocidad angular y energía cinética en función de los ángulos de Euler. Movimiento de spin de un trompo. Giróscopos.

TABLA DE MATERIAS Página CapítuIo 1 I EcuAcroNES DE LAGRANGE Métodos generales de la mecánica. coo¡denadas generalizadas. Notación. Ecuaciones de t¡asformación. Clasificación de los sistemas mecánicos. Sistemas escleronómicos y reoiómicos. Sistemas holonómicos y no-holonómicos. Sistemas conservativos y no-.conservativos. Energía cinética. Velocidades generalizadas. Fue¡zas generalizadas. Ecuaciones de Lagrange. Momenta generalizados. Ecuaciones de Lagrange para sistemas no-holonómicos. Ecua- 282 ciones de Lagrange con fuerzas impulsivas. capírulo 12 TEORIA HAMILTONIANA . Métodos hamiltonianos. La hamiltoniana. Ecuaciones de miltoniana pacio de fa Hamilton. La hacíclicas o ignorables. Esvariaciones. principio de 3I1 Hamilton. Condiciones para que una trasfo¡mació Ecuaciones de HamiltonJacobi. soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. caso en que la hamiltoniana es independiente del tiempo. Integrales de fase. Va¡iables angulares y de acción. APENDICE A UNIDADES Y DIMENSIONES 339 APENDICE B DATOS ASTRONOMICOS 342 APENDICE C SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ESPECIALES 344 APENDICE D INDICE DE SIMBOLOS Y NOTACIONES ESPECIALES 356 INDICE 36r

Copítulo I Vectores, velocidod y oceleroción MECANICA, CINEMATICA, DINAMICA Y ESTATICA La mecánica es una rama de la física que trata del movimiento o cambio de posición de los cuelpos. Algunas veces se subdivide en: 1. cinemática, la cual trata del estudio de la geomet¡ía del movimiento. 2. Dinámica, la cual trata de las causas físicas del movimiento. 3. Estótica, la cual trata de las condiciones con las cuales no hay movimiento aparente. FUNDAMENTOS AXIOMATICOS DE LA MECANICA Un desarrollo axiomático de la mecánica, como para cualquier ciencia, debe contener los siguientes elementos básicos: 1. Términos o conceptos no definidos. Es clara su necesidad ya que en último término cualquier definición debe basarse en algo que no está definido. 2. Afirmacíones no comprobadas. Hay enunciados fundamentales corrientemente expresados en forma matemática, de los cuales se espera que lleven a descripciones válidas de un fenómeno en estudio. En general, estos enunciados, llamados axiimas o postulados, se basan en observaciones experimentales o abstracciones de ellas. En tal caso son llama- dos leyes. 3' Términos o conceptos definidos. En estas definiciones se emplean Ios términos o conceptos no definidos. 4. Afirmaciones demostradas, Son llamadas teoremas y se demuestran a partir de definiciones y axiomas. Un ejemplo de la "forma de pensamiento axiomático" está dado por la geometría euclidiana en la que punto y recta son conceptos no definidos. MODELOS MATEMATICOS Una descripción matemática de un fenómeno físico se simplifica generalmente remplazando los objetos físicos reales por modelos matemáticos apropiados. por ejemplo, en Ia áescripción de la rotación de la Tierra alrededor del Sol podemos, para nuestros propósitos, tratar la Tierra y el Sol como puntos. ESPACIO, TIEMPO Y MATERIA Por la experiencia tenemos alguna idea del significado de cada uno de estos términos o conceptos. No obstante, tendremos ciertas dificultades para formular definiciones completamente satisfactorias, por lo cual tomaremos estos conceptos como no definidos. 1' Espacio- Este concepto está estrechamente relacionado con los de punto, posición, direc- ción y desplazamiento. Las medidas en el espacio involucran los ctnceptós de longítud o distancia, con los cuales nos familiarizaremos. Las unidades de longitud son el pie, el

VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 2. tcAP. 1 metro, la milla, etc. En este libro supondremos que el espacio es euclidiano, es decir el espacio de la geometría de Euclides. Tiempo. Este concepto se deriva de nuestra experiencia cuando consideramos dos euenüos que tienen lugar uno antes, o después, del otro, o simultáneamente. La medida del tiempo se realiza mediante el uso del reloj. Las unidades de tiempo son el segundo, la hora. el año. etc. 3. Materia. Los objetos físicos se cornponen de "pequeñas cuentas de materia" tales como los átomos y las molóculas. Basados en lo anterior llegamos al concepto de objeto material llamado partícula que ocupa un punto en el espacio y que se puede mover cuando el tiempo trascurre. Una medida de Ia "cantidad de materia" asociada con la partícula se Ilama su rnoso. Las unidades de masa son gramos, kilogramos, etc. A menos que se diga lo contrario consideramos que Ia masa de una partícula no cambia con el tiempo. La longitud, la masa y el tiempo frecuentemente se llaman dimensiones, a partir de las cuales se pueden obtener otras cantidades físicas. Véase el apéndice A sobre unidades y dimensiones. ESCALARES Y VECTORES Varias cantidades físicas, tales como longitud, masa y tiempo requieren para su especificación un solo número real (además de las unidades cie medida que se usan generalmente), tales cantidades son llamadas escalqres y el número real se llama la magnitud de la cantidad. Un escalar se representa analíticamente por una letra tal como t, m, etc. Otras cantidades físicas, tales como el desplazamiento, requieren para su especificación tanto de dirección como de magnitud. Tales cantidades se llaman uectores. Un vector se representa analíticamente por una letra en negrilla, como A en la figura 1-1. Geométricamente se representa por una flecha PQ donde P se llama eI origen y Q el extremo. La magnitud o longitud del vector se denota por lAl o A. A a A -A f ig. l-l Fig.l-2 Fig.l-3 ALGEBRA VECTORIAL Las operaciones de suma, sustracción y multiplicación comunes en el álgebra de los números reales pueden, con una definición apropiada, extenderse al álgebra de vectores. Las siguientes definiciones son fundamentales. 1. Dos vectores A y B son iguales si tienen Ia misma magnitud y dirección prescindiendo de sus puntos de origen. Así, A : B se ilustra en la figura 1-2' 2. Un vector cuya direcci ón e s opue sta a la del vector A pero con la mi sma Iongitud se denota por - A como en la figura 1-3. 3. La suma o resultante de los vectores A y B de la figura 1-4(o) es un vector C el cual se forma colocando el origen de B en el extremo de A y uniendo el origen de A con el extremo de B Ifigura 1-4(ó)]. Escribimos C : A + B. Esta definición es equivalente a la ley del paralelogramo para la suma de vectores como se indica en Ia figura 1-4(c).

cAP. VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 1l "r_ C=A*B /, C=A*E -- (b) Fis.l-1 1-5 La extensión a sumas de más de dos vectores es inmediata. Por ejemplo, la figura indica cómo obtener la suma o resultante E de los vectores A, B, c y D. J" íi:-B+c+D Fig.l-5 4. 5. La díferencia de los vectores A y B, representada por A - B es un vector C, el cual sumado a B da A. fuualmente, A B puede definirse como A + (-B). si A : B, entonces A - B se define como el uector cero o uector nulo representado por O, que tiene una magnitud cero pero que su dirección no está definida. Elproducto deunvectorAporunescalarpesunvectorpAoApconmagnitud lpl veces la magnitud de A y una dirección igual u opuesta a la de A según que p sea positivo o negativo. Si p : 0, pA : O, el vector nulo. LEYES DEL ALGEBRA VECTORIAL Si A"ByC sonvectores,y pyq escalaresentonces 1. A+B=B*A 2. A+(B+C) = (A+B) +C 3' p(q[) = (pq)A = q(pL) 4. (p + q)e : pfi * eA 5. p(A + B) = pA * pB Leyconmutativaparalasuma Leyasociativaparalasuma Ley asociativa para la multiplicación Ley distributiva Ley distributiva Obsérvese que en estas leyes sólo está definida la multiplicación de un vector por uno o más escalares. En las páginas siguientes definiremos los productos de vectores. VECTORES UNITARIOS Los vectores que tienen longitud igual a la unidad son llamados uectores unitarios. Si A es un vector con longitud A > 0, entonces A/A : a es un vector unitario que tiene la misma dirección de A y A : Aa. VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES Los vectores unitarios rectangulares i, j y k son vectores unitarios perpendiculares entre sí, que tienen la dirección positiva de los ejes r, y y z respectivamente de un sistema coorCenado rectangular (figura 1-6). Usamos un sistema coordenado rectangular dextrógiro, a

IcAP. VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION 1 no ser que se especifique uno diferente. Un sistema tal deriva su nombre del hecho de que un tornillo de rosca derecha que rota 90" de O¡ a Oy avanzará en la dirección positiva de z' En general, de tres vectores, A, B y C, cuyos orígenes coincidan y no sean coplanarios, se dice que forman un sisúerno dextrógiro si un tornillo de rosca derecha que recorra un ángulo menor que 180" de A a B avanza en la dirección de C (figura 1-7). Fig. 1-6 (At,44 As) Fig.l-8 Fig.1.7 COMPONENTES DE UN VECTOR Cualquier vector A en 3 dimensiones puede ser representado con su punto inicial en el origen O de un sistema coordenado rectangular (figura 1-8). Sean (Ar, Az, A¡) las coordenadas rectangulares del extremo del vector A con su origen en O. Los vectores Ari, A2i y A¡k se Ilaman componentes rectangulares uectoriales o simplemente componentes de A en Ias direcciones x, y y z, respectivamente. Ar, A, y At se llaman componentes rectan' gulares o simplemente componentes de A en las direcciones x, J Y z, respectivarnente' La suma o resultante de Ari, Ari y Atk es el vector A y por tanto podemos escribir A: Ari+árj+A3k La magnitud de A .4:lAl :1/fiT$TT" es (r) (2) En particular, el uector de posición o radio uector r de O al punto (x, y, z) se escribe r = ri *ai*zk y tiene magnitud r- lrl = (3) 12*y2*22. PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotadopor A'B (léase A punto B) se define como el producto de las magnitudes de A y B y el coseno del ángulo comprendido. En símbolos, A'B : AB cos?, Obsérvese que A . B es un escalar y no un vector. O l0 f ¡, (4)

cAP. ll VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION Las siguientes leyes son válidas: 1. 2. 3. 4. 5. A.B B.A Ley conmutativa para el prodücto escalar A'(B + C) = e. B + A. C Ley distributiva p(A.B) = (pA).B = A.(pB) = (A.B)p, donde p es un escalar. __ i.i = j.j = k.k = 1, i.j = j.k = k.i = 0 Si A=ári+Azi+Ask y B=Bi*Bzi*Brk, entonces A.B = AtBt*AzBzIAsBz A.A=Az=A?+AZ+A3 B.B=Br=B?+83+Bz 6. Si A'B:0 y AyB nosonvectoresnulos,entonces AyB sonperpendiculares. PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ El producto vectorial o producto cruz de Ay B es un vector C : A X B (léase Ac¡uz B)' Lamagnitudde A X B sedefinecomoelproductodelasmagnitudesde AyB yelseno del ángulo comprendido. La dirección del vector C : A X B es perpendiculai al plano de A y B y tal que A, B y c forman un sistema dextrógiro. En símbolos AxB = ABsendu, 0<e='' donde u es un vectorunitario que indica la dirección de leloa B, entonces send : 0y definimos A X B : O. (5) A X B. Si A : B o si Aespara- Las siguientes leyes son válidas: A x B = -B X A (La ley conmutativa para el producto cruz no se cumple) Ax (B+C) = AxB + AxCLey distributiva p(AxB) = (pA)xB = Ax(pB) = (AxB)p, dondep es un escalar. 1. 2. 3. 4. ixi=ixj=kxk=0, 5. Si A=Ari+Azj+hk ixj -k, jXk=i, kxi= j y B:Bi*Bzj*Btk, entonces ijk AxB = At Az As Bt Bz Bs 6. lA X Bl : 7. si A x B: á¡ea del paralelogramo con lados A y B. o y AyB nosonvectoresnulos,entonces AyB sonparalelos. PRODUCTOS TRIPLES El triple producto escalar se define como At Az As A.(B x C) = Bt Bz Bs Ct Cz Cs donde A : Ari * A"j + Aak, B - Ai + Brj * Brk, C : Cri + Crj + Crk representa el volumen de un paralelepípedo que tiene como lados A, B C, o volumen con signo negativo según si A, B, C formen o no un sistema dextrógiro. Tenemos entonces A. (nx c) : B. (c x A) : c. (Ax B). El triple producto uectorial se define como A x (B x c) = (A.c)B - (a.B)c Puestoque (AxB)xc = (a.c)B-(B.c)a,esclaroque Ax(Bxc) (z) + (axB)xc.

[cAP. I VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION DERIVACION DE VECTORES Si a cada valor tomado por una variable escalar u le corresponde un vector A(u), o abreviadamente A, entonces el vector A(u) se llama una función (vectorial) de u. La derivada de A(u) se define como A(u+.rz) - A(z) dA m = ^'lg a" con la condición de que este límite exista' Si A(u) : At (u)i * (8) Az@li * A¡ (u)k' entonces dA ilAt. iIAz. iIAt a : #i * ffii +;|u (e) En forma similar podemos definir derivadas de orden superior. Por ejemplo, la segunda derivada de A(u), si existe, se da por d2At. dzAz. d2As, d2a W = dur'+ ¿rzl * dur* Ejemplo. Si [ = (Lfi-32)i* Scos¿ j-Bsenuk, dA ñ = ( (10) entonces zr-3)i-Ssenui-Bcoszk, &A # = 4i-Scoszj*3sen¿k Las reglas de diferenciación comúnmente usadas en el cálculo pueden extenderse a los vector€s, aunque el o¡den de los factores en los productos es importante. Por ejemplo, si d (u) es una función escalar en tanto que A(u) y B(u) son funciones vectoriales, entonces = 'aj-+#n du qiu d,u au ftto'rt = ^.+ + 44.n fue"u: o"H+ffixn ft<+ot (11 ) (12) Q3) INTEGRACION DE VECTORES Sea A(u) : Ar(u)i * Azfu)j -f Aa(u)k una función vectorial de u. Definimos la inüegral indefínida de A(u) como f?ff ) n1u¡au : tJ A{u)du * jJ Si existe una función vectorial B(u) tal que A(u Az(u)du * uJ Az(u)du (14) = fr{r@D, (15) donde c es un vector constante arbitrario independiente de u. La integral def inida entre los límites tL : o¿ y u : É está en tal caso dada, como en el cálculo elemental, por nB J, ng¡au rqs lB = )" fiwtüta" La integral definida puede también definirse como el límite de una suma de manera análoga a como se hace en el cálculo elemental. VELOCIDAI) Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria C (figura 1-9). El vector de posición del punto P en el tiempo t es r : r(ú) mientras que el vector de posición

  • cAP. 1l VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION delpunto Qeneltiempo ü + Aú es r * Ar : r(t+ Aü). Entonces la llamada uelocidad instantánea) de la partícula en p es z v: a = lin# d,r = li* ü*f-CI e7) y es un vector tangente a C en P. ítot Si r = r(i¡ = n(t)i+a(t)j+z(t)k= ri*yj-rzk, podemos escribir dr v = m = dt. du . dz üi+ffii+ffiu (r8) La magnitud de la velocidad se llama rapidez y ,.,=1.,t * Fig. 1.9 se da por =l#l=w=# (1e) donde s es la longitud del arco a lo largo de C medida desde el origen hasta p. ACELERACION Si v : dt/dt es la velocidad de la partícula, definimos la aceleración (también llamada aceleración instantónea) de la partícula en el punto p como dv _ ,._a = al = llli v(ú + aú) - v(ú) aii-- En términos de r : ¡i * yj I zk la aceleración es _ _ a : d,zr = dtfi, , dra . M y su magnitud (20) dzz, (211 dtzr+ d;Fi+¿Uk es (L = ral = l(#)'.(#)'.(#)' (22) VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVAS Si dos partículas Pt y Pz se mueven con velocidades v, y v, y aceleraciones ar y a2, respectivamente, los vecto¡es VP2/P|= Vz-Vr se y (23) Ap2/p, =82-8r llaman, respectivamente, uelocidad relatiua y aceleración relatiua de P, con respecto a pr. ACELERACION NORMAL Y TANGENCIAL Supongamos que la partícula P con vector de posición r : r(ü) se mueve a lo largo de la curva C (figura 1-10). Podemos considerar un sistema de coo¡denadas rectangulares que se mueve con la partícula y definido por el uector unitario tangente T, el uector normal unitario principal N y el binormal unitario B a la curva C donde Fig. r-r0
  • IcAP. r VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 'rT n^_ 4! r ^-¿ls,.I=Rdr-, B=TxN Q4) donde s es Ia longitud del arco desde algún punto inicial a P, y R el radio de curuatura de C en P. El inverso del radio de curvatura se llama curuatura y se da pot x : UR. Podemos mostrar [véase el problema 1.35] que la aceleración a lo largo de C se da por a: ffir*fiN El primero y segundo términos de la derecha son llama centrípeta o normal, respectivamente. w) dos aceleración tangencial y aceleración MOVIMIENTO CIRCULAR Supongamos que la partícula P se mueve sobre un círculo C de radio R. Si s es la longitud del arco medido a lo largo de C desde A hasta P y d es el U corresponriiente ángulo subentendido en el centro O, entonces s : R0. La magnitud de la velocidad tangencial y aceleración tangencial se dan, respectivamente, por Rdo R^, u = b: Kü= = H' Q6l v da ü: ¡lzs d.zA ;t:ffi=Rffi=Ra o A Fig.1-11 Q7) d2.0/dt2 la uelocidad angular y aceleración angular, Llamamos a ,^, dT/dt y d. respectivamente. La aceleración normal como vimos en (25) se da por u2/R : ,2R. NOTACION PARA DERIVADAS CON RESPECTO AL TIEMPO Encontraremos que algunas veces es conveniente usar puntos colocados sobre un símbolo para denotar derivadas con respecto al tiempo ú, un punto para la primera derivada, dos punio. p"r" la segunda, etc., por ejemplo, i : dr/dt, f -- d2r/dt', I : ¿v/¿t, etc. GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL Si a cada punto (x, y, z) de un sistema de coo¡denadas rectangulares hacemos corresponder un vector A, decimos que A : A(¡, y, z') es una función uectorial de x, y, z. También llamamos a A(x, y, z) ln catnpo uectorial. Similarmente, llamamos la función (escalar) óG, y, z) un campo escalar. Es conveniente considerar un operador diferencial vectorial llamado nabla dado por v:,**ift+u-fi e8) Flmpleando esto definimos las siguientes importantes cantidades r. G¡rd,iente v+ = (t*.th*u*)r = rH*ift+ua$ Este es un vector llamado gradiente de d Y que se escribe grad z. Diversencía v.a = (r# * fh* u*)' |At 0A: (.4,i Qs) Ó. +A,i +Ask) : aü- w E d.als Este es un escalar llamado diuergencia de A y que se escribe div A' (30)
  • cAP. VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 1l vxA = (r*¿* th* n*) "(A,i+á,j+Ask) 3. Rotaeional ijk aad Aa AU Az At Az As / lAs áA¿, óa oz/' tl (3r) .(#-#)'.(#-#). - Este es un vector llamado rotacional de A y que se escribe rot .{. Dos identidades importantes son A rot grad 6 div rot = = V.(Vxa) VX(VÓ) _ 0 (32) O (3q) INTEGRALES DE LINEA Sea r(¿) : ¡(¿)i * y(¿)i * z(ü)k, donde r(ú) es el vectorde posición d,e (x, y, z), que define la curva C que une los puntos Pt y Pz correspondientes a t : tt y t : ü2, respectivamente. Sea A : A(¡, y, z) : Ari + Azi * A3k una función vectorial de posición (campo vectorial). La integial de la componente tangencial de A a lo largo de C áe P, hasta p2, escrita como ?Pzff f_e.a, = |.+ra,*Azitu*Asdz l- A.d¡ = .rc Pr c J' sl (a) es un ejemplo de :una integral de línea. Si C es una curva cerrada (la cual supondremos que es una curva simplemente cerrada, es decir, una curva que no se intersecta consigo misma en ninguna partef la integral e menudo se denota por fP J e.dr = I Ld,x I Azds * Atitz (35) En general, una integral de línea tiene un valor que depende de la curva. Para métodos evaluación véanse los problemas 1.89 y 1.40. de INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA La integral de línea (34) será independiente de la trayectoria que une a Pt y pz si y sólo si A: v@ o,loqueesequivalente, v x A: 0. En lal caso su valor se a-" po, f Pt l^ A'il¡ = ¿tpr ?P¡ -l^ ¿+ Jh = +(P¿) - O(Pr) : e(nz,uz,zz) - ó(nt,ut,zt) (J6) considerando que las coordenadas de pr V pz son (r, , !t, 2t) y kz, !2, zz), respectivamente, mientras ó (¡, y, z) tenga derivadas parciales continuas. La integral (J5) en este caso es cero. VECTORES LIBRES, DESLIZANTES Y FIJOS Hasta ahora hemos tratado con vectores que están especificados solamente por su magnitud y dirección. Tales vectores se llaman uectores libres. Dos vecto¡es libres son iguales cuando tienen la misma magnitud y dirección Ifigura l_12(o)].
  • [cAP. I VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 10 (c) Vecto¡ fijo (b) Vectores deslizantes iguales (o) Vectores libres iguales Fis. l-12 Algunas veces es importante tener en cuenta la línea de acción de un vector, caso en el cual dos vectores son iguales si y sólo si tienen la misma magnitud, dirección y línea de acción. Tales vector€s se llaman uectores deslizantes Ifigura 1-12(b)]. Algunas veces es importante especificar eL punto de acción de un vector. Tal vector [figura 1-12(c)] se llama uector fijo. En este caso dos vectores son iguales si y sólo si son idénticos. En la mayoría de los casos trataremos con vectores libres. En los casos en que tratemos con vectores deslizantes o con vectores fijos seremos muy explícitos en el contexto. Proble mas resueltos ALGEBRA VECTORIAL 1.1. Demostrar que la adición 1-13). de vectores es conmutativa, esto es, A OP+PQ-Oe o OR+BQ-OQ o y Entonces * A (figura : (A A*B = B+A. Demostrar que Ia adición de vectores es asociativa, esto es, A (figura B A*B=C B*A=C Fig.l-13 1.2. * B': Fig. l-14 * (B + C) + B) + C 1-14). y PQ*QR = P3 = (B*C) OP+PQ=OQ=(A+B) Puesto que OP+PB = OB = I), i.e. A+(B+C) - D OQ+QB = OR = D, i.e. (A+B)*C = D tenemos A+(B*C) = (A+B)+C. Los resultados de los problemas 1.1 y 1.2 muest¡an que el resultado de una suma de vectores es independiente del orden en que se tomen.
  • CAP. 1] 1.3. VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION Dados los vectores A By c l1 Ifigura l-15(a) ] encontrar gráficamente: B+2Q, (b)3C-i(z[-B). (o) A- (o) (c) 1.4. Demostrar que la magnitud á A:Ari+Ari+ásk (Véase la figura 1-16.) es á = Po¡ el teo¡ema de Pitágoras, ¡oe¡z = (oQ'l'+ (TPY donde OP denota la magnitud del vector OP, etc. Similarmente (@rz Entonces 1.5. = (O-n)2 (dFl, = + (fr-e)z. (Tn¡z a (@¡z a 1{p¡z o Az = A?+ lf;+ 12", i.e. A = M Determinar el vector dados su origen P(xr, yr, zr) y su extremo Q(xz, yz, z) y encontrar su magnitud (figura t-12). El vector de posición de P es rr = zrl * ¡ ,o - z1k. El vector de posición de Q es 12 = ü21*y2i*22k. r1*PQ = ¡, o PQ = rz-rl = Magnitud de PQ (a2i * y¿ * - (c1i * ylj * z1k) (r2- x)i * (az- y)l t (22- zllk PQ (rzObsérvese que esta es z2k) Fig. l-16 nt)2 * (yz- yrlz * (22- zllz la distancia entre los puntos P y e. Fig.l-U
  • 1.6. IcAP. I VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 12 Determinar: (a) gráfica, y (b) analíticamente la suma o resultante de los siguientes desplazamientos: A, 1_ 10 18) pies al noroeste; B,2O pies 30" al norte del este; C, 35 pies hacia el sur (figura . Gróficamente. En el ext¡emo de A colocamos el origen de B. En el extrrmo de B colocamos el origen de C. La resultante D se forma uniendo el origen de A con elextremodeC,estoes, D: A+ B+ C. Se mide la resultante la cual tiene una magnitud 4,1 unidades : 20,5 pies de y una dirección de 60' al sur del este. Analíticamente. De la figura 1-18, si i y j son vectores unitarios las direcciones E y N tend¡emos en Undad:5pres A = -10cos45o i + 10sen45o j B = 20 cos3Oo i + 20sen30o j C = -35j La resultante es, s Fig. l-lE entonces, D = A+B+C Así la magnitud de D = (-10cos45o+20cos30o)i*(10sen46o * 20 sen 30o - 35)i = e6{, + 106)i + (5/2 + 10 - 35)j = r0,%i - 17,stj +-OTpSit : er VIIóF tan-t 17,93/10,25 20,65 : tan-t pies y la dirección 1,749 es : 60"45' al su¡ del este Obsérvese que los resultados gráfico y analítico concue¡dan bastante bien, el resultado analítico es de hecho más exacto. PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO 1.7. Demostrar que la proyección de A sobre B es igual a A . b, donde b es un vector unitario en la dirección de B. A través del origen de A hacemos pasar planos perpendiculares a B en G y H, respectivamente, como se muestra en la figura proyeccióndeAsobre B 1.8. Demostrarque Sea H 1-19; entonces : ñ : trF : Acos0 : A . b A. (B+ C) : A. B+ A. B Fig. l-19 C. a un vector unitario en la dirección de A (figura 1-20), entonces, proyección de (B * C) (B*C).a sobre [ : * proyección de B sobre A proyección de C sob¡e A = B'¡*C'a Multiplicando por A, (B*C).Aa = B.Aa*C.Aa (B+C).A Entonces por la ley conmutativa para el producto escalar a'(B+c) = a'B+a'c y la ley distributiva es válida. tlr E F Fig.1-20 GA
  • cAP. ll VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 13 1.9. Calcular cada uno de los siguientes productos. (o) i.i : lil lil cos0o = (1)(t)(1) = 1 (ó) i. k = lil lkl cos g0o = (1)(t)(0) = 0 (c) k. j = lkl ljl cos e0" = (1)(l)(0) = 0 (d) j.(2i-Bj+k),= 2j.i-gj.j+ j.k = 0-B+0 = _B (e) (2i-j).(3i+k) = 2i.(si+k) i.(si+k) = 6i.i + 2i.k _ Bi.i _ j.k = 6*0-0-0 = 6 r.1o. Si A A'i + A"i + Ark y B B,i + Bri + B3k, demosrrar A.B ArB, + ArB, + ArBr. A. B = (Ai+ A2j + Ask). (Bri + B2j + Bsk) = Ari.(8ri+B2j+8sk) * Azi.(Bi+B2i+Bsk) + Ask. (B¡+B2i+Bsk) = AtBi.i+ A¡pzi. j + árBBi.k+ AzBi.i+ A2B2i.i + AzBti.k que + AsBrk . i + AsBzk. i + 43.B3k. k puestoque l.ll. si A = AtBt+ A2B2+ ABB¡ i' i : i' j : k . k : I y todos los ot¡os productos = Arl+A2i+Aak, demostra¡ que .A = /Á.A A. A : (áXA) cos 0o = 42. Entonces ¿, = t[.-e,. También, A.A = (Ai+A2i+Ask).(ári+ A2i+Ask) = be (Ar)(ár) + (Az)(A2) + (ás)(¿B) : A_ Entonces 4 = /I-'e = ,ET 4+ll para el problema l.l0, escalares soncero. = /A1T4+ = A1+ err+ e?" tomemos B es ^{. 1.12. Determinar el ángulo agudo entre las la magnitud de A. Algunas veces A diago_ = Bi+Zi, OB = 4i*6i, OC = .A I nales de un cuadrilátero que tiene los vértices en (0, 0, 0), (3, 2, 0), (4,6, 0), (1, g, 0) (figura r-2r). Tenemos OA po¡ tanto A"". se escri- (4,6,0) i*Bj CA = OA_OC = 2i_j Entonces OB. CA = lOBl lCAl cos a esto es. (4i + 6i) . (2i por tanto cosr - j) = /@T@ y'iDrTlIlF = 2/(r/62{1, = O,tZlO y e = "o. e 82069,. PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ f.13. Demostrar AX B: -BX A. AXB = C BXA__I) Fig. r-22 Ax B: C tienenmagnitudABsencydireccióntalque AByC Ifigura 1-22(a)]. formanunsistemadextrógiro
  • [cAP. r VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION l4 BX A: D tienemagnitudBAsen0ydircccióntalque BAyD formanunsistemadextrógiro lfigura r-22(b)1. EntoncesDtienelamismamagnituddeCperodirecciónopuesta,estoes,C:-DoAXB: -BX A" La ley conmutativa no es válida para el producto vectorial' 1.14. Demostrar que AX(B+C) = AXB+AXC para el caso en el cual A es perpendi- culara ByaC. Si Aesperpendicular a B,A X B es un vector perpendicular al plano de A y B y con una magnitud AB sen 90" : AB o magnitud de AB. Esto es equivalente a multiplicar el vector B por A y rotar el vecto¡ resultante un ángu- lo de 90' a la posición mostrada en la figura r-23. Simila¡mente, A X C es un vectorque se obtiene multiplicando C por A y rotando el vector resultante un ángulo de 90" a la posición mostrada. De la misma manera, A X (B * C) es el vector obtenido al multiplicar B * C por A y rota¡ el vecto¡ rtsultante un ángulo de 90" a la posición mostrada. Puesto que A X (B + C) es la diagonal del paralelogramo que tiene como lados A x B y A x C tenemosque Fig. l-23 Ax(B*C) = AxB+AxC. 1.15. Demostrar que Ax(B+C):AxB+AxC A BV C no son coplanarios (figura 1-24). Descomponemos B en dos vectores componentes, uno perpendicular a A y otro paralelo a en el caso general en que A, y los denotamos por B1 y Bt t, respectivamente. Entonces B:B¡ * B¡¡. Si d es el ángulo ent¡e A y B, entonces I : B sen d. Así, la magnitud de A x Bt es AB sen 0, la misma magnitud de A x B. También, la dirección de A X Ba es la misma direc' ciónde A X B. Poresto, A X Ba: A X B. Fig. l-24 Similarmente, si C se descompone en dos vectoresC¡¡ VC',paraleloyperpendicularrespectivamenteaA,entoncesAXCl:AXC. También, puesto queB + C = 81 + B¡ + CI + C¡¡ = (81 +Cr) + (B¡¡ *C¡¡) por consiguiente B AX(Ba+Cr) = Ax(B+C) Ahora bien, B, v c1 son vectores perpendiculares a A y según el problerna 1.14' Ax(Ba+Cr) = AxBr+AxCl AX(B+C) - AxB+AxC Entonces y la ley distributiva será válida. Multiplicando por -1, y empleando los resultados del problema 1.13' il"g"-o.a (B* C) X A: BX A+ C X A. Obsérvesequeelordendelosfactoresesimportanteenel prúucto vectorial. Las leyes usuales del álgebra se aplican sólo si es mantenido el orden apropiado.
  • cAP. VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 1l f.16. Si A= A1.i*Azi+Ask AX B y B=Bri*Bzj+Bsk,demostrarqueAXB = ijk At Az Bt Bz = (A¡+ Azi+Ask) x (Bri+B2i+B3k) = Arix (Bli+B2i+Bsk) + Aúx (Bi+ Bú+Bak) + Ask x (BLi+ B2i+Bsk) - ALBú xi +ár8zixi + ÁrBsixk + A2Brj xi+ AzB2ixi + á2B3jxk + AsBrk x i + A3B2k x i + A3B3k x k iik - (AzBs- AsBz)i + (A¡Bt_ ArBs)i + (Apz_ A2B1k = Ar A2 As BL 82 B3 r.r7. siA:3i-j*2ky AxB 1.f8. 15 = B:2i+ 3j-k,hallarAxB. iik 3-1 2 2 3 -1 ,l _J l3 -rl l-1 = il = -5i+ 7i+ 32 2-L +k 3-1 23 1lk Demostrar que el área de un paralelogramo con lados Ay B es lA X Bl. Area del paralelogramo = I ñ lBl P = lAlsen c lBl = laxBl es I I Obsérvese que el área del triángulo con lados A y B B ilAx Bl. Fig.l-25 1.19. Determinar el área del triángulo con vértices en p(z,g,5), e(4,2,-!), R(g,6,4. PQ = (4-2)i+ (z-s)j+(-l-ó)k =:2i- j-6k PR = (3-z)i+ (6-a)i+(4-b)k = i*Bj-k Area del triánguro = +lpexpBl = ültz¡-i-6k)x(i+sj-k)l = +l i j kl 2 -r -ull = +llei-4i+?kl 1 3 -1 = +/i1eFl=¡FTIt)t I = +{426 PRODUCTOS TRIPLES . (B X C) es igual en va_ lor absoluto al volumen del paralelepípedo L.2O. Demostrar que A con lados A, B v C. Sea n una no¡mal unitaria al paralelogramo I que B tiene la dirección de B X C, y sea h la altu¡a del extre_ mo de A sobre el paralelogramo f. Fig. l-26 volumen del paralelepípedo : (altura h)(área del paralelogramo /) = (A. n)flB x cl) si A,Byc - e'{lBxCln} = a.(BxC) noformanunsistema dettrógiro, A. n < 0 yelvolumen: lA. (Bx c)1. As Bs

    [cAP. l VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION B = 8ri*Bzj*B¡k, c = Cri*Czi*C¡kdemostrar At Az As Bt Bz Bs A.(B x C) = Ct Cz Cs 1.21. (o) sia=Ari*Azj*Ask, (b) Dar un significado geométrico de A (a) A.(BxC) = - (b) ' (B X C) : 0. i k It Bz 8s e'lBr lc, c2 cs (Ari + Azj+ Á3k). At(BzCs- BsC) Segúnelproblemal.20,si - [(B2Ca Bsozll + (B3Cl - + (Bp2- B]psli + A¡(B}C.- BtCi + As(Bpz- B2Ct',¡ B}Cr)kl Ar A2 A8 Br 82 Bs cr c2 c8 - A. (BX C):0 entonces AByC soncoplanarios,estoes,estánenel ByC soncoplanariosentonces' A' (B x C) - 0. mismoplano, e inversamente si A, 1.22. Determinar el volumen del paralelepípedo con lados A=3i-i, B-i+zk, C=i*6i+4k. Segúnlosproblemasl.20yl.Zlelvolumendelparalelepípedo = lA'(BxC)l = = i*i, B = 2i-3i+k, c i¡k (o) Axn = l1 1 0l= t-j-6k. 2-3 I 1.23. Si A = 0l = 20. c, (b) 2ll 4l Ax (Bxc). iik Entonces (AxB)xC = | I -1 -6 = 281*3j+4k. 0 4 -3 rik rik (b) l-201 Ai-Sk,hallar (o) (axB) x = l3 -r I ll0 Ir 6 I Bxc=12 -8 I = 6i*6i+8k. Entonces Ax(BxC) =l 1 1 0 | - 8i-8i+k. 6n8 0 4-9 Se sigue que, en general, (AxB)XC * AX(BxC). DERIVADAS E INTEGRALES DE VECTORES r.24. si r = (t4+2tli-3e-2t!*2sen5úk, hauar rq#,(b) l#l , @#, @',|#len . d.r ta) ¡L. 't 't fi = ;¿Us+zti+fr|-s"-ztli+;i@sen6ú)k En ú = (b) 0, il¡ltlt = De (o), lit¡lihtl 271' 6i + (stz+2)i + u"-zti* 10cos6ük 10k. = rej4(e)-tTliott = /1¡0 = zt/s6 en ü=0. .t. d /,t, .. k);i¡t = ftl=o) = fr{(8t2+2)i+ ur-zt¡* 10cos6úk} = 6úi-72e-2ti -50sen6ük En ú=0, *rlúr, = -12i. (d) De (c), lilzrld'tzl - ll en t=0. ú=0.

    cAP. VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 1l = O'..ff*#.U,donde 1.26. Demostrar que *g.B) üu' ciales de u. r. ftW,ul Método t7 A y B son funciones diferen- = Jf.W ,. A.AB + AA.B + AA.AB = *-. t"'ff * #'" . #'^") = *ffi + ffi* = Ari+A2i+Ask, B = Bri+B2j+Bsk. Entonces ) á(A.B) = h@pt+ A2Bz+A3Bs) / dBr , dBr, dBs /dAt _ dAr_ dr4._ ^ ^ = (o,T; a A,á+ ¡,d)+ ( drB, * Ét,+ ü8, ) Método2. SeanA .1 - dB da.R = A'du + du - 1.26. Si ó(¡, y,z): rtyz y A:3¡2yi * yzri - xzk, hallar*ttnl da ctz (r, - - l). 2, enelpunto gA = (rzgz)(3*gi* yz2i- rzk) = SraA2zi + r2y2zsi - rlyz* da *@A) = fi(du2zi* r2zsi- ssyz2k - g'¡ay2i + 3r2a2z2i - 2rlyzk a2e = !¡@du2i + 3xzu2z2i - 2rtvzkl - 6raai + 6x2az2i - 2rszk W u@ll Si ¡: 1, y : -2, z : -1, de donde -l?l - l2j+ Zk. ¡2 1.27. Calcular ¿/| .e(z)d.u si A(z)= (Bur-Li+(2u-B)j+(6u2-4u)k. u=l La integral dada es igual 72 | u:r{(S", - ./ a * (6yz - 4ulk du lz = (yt - ui * (uz - Sulj 4 (2us - Zu2k lu=, = {(8-2)i + (4-6)j + (16-S)k} - {(1-l)i + (1-3)i + (2-2)k} = 6i+8k 1)i + (2u- 3)i VELOCIDAD Y ACELERACION 1.28, Una partícula se mueve a lo largo de una curva cuyas ecuaciones paramétricas son x:3e-2', !:4sen3ü, z: S cosBü dondeúeseltiempo. (o) Hallar su velocidad y aceleración en cualquier tiempo. (b) Hallar las magnitudes de la velocidad y aceleración en ü : 0. (o) El vector de posición r de la partícula es r = ri1.yjtzk = 3¿-2ti*4sen3úi.*6cos3úk Entonces la velocidad esdr/d.t = -6e-2ti* 12 cos3ú j - 16 sen3ú k y la aceleración es a = dvld.t = d2t/¡I¿2 = L2e-zti - 86 sen Sú i - 46 cos Bú k

    18 [cAP. I VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION (ó) Enú=0, y=ilrldt= -6i+12j y a=ilz¡ldt2 =12i-45k. la magnitud de la velocidad en f : 0 es VIT)ZTliry = la magnitud de la aceleración en ú Entonces 6y'5 = g{Ñ : 0 es L.29. Una partícula que se mueve tiene una aceleración dada por a = 2e-'i* Scosúj-3sen¿k Si la partícula está localizada en (1, -3,21 en el tiempo t : 0 y se mueve con una rapidez dada por 4i - 3j + 2k, hallar: (o) la velocidad, (b) el desplazamiento de la partícula para cualquier tiempo ú > 0. dv a = &r = A = 2e-tiI ScosÚj-3senÚk W (o) f v = .t| e"',i*5cos¿j-3sentk)dú = -2e-ti * Ssen¿i + 3costk * c, que v : 4i - 3j + 2k en ¿ : 0, tenemos Puesto 4i-3j*2k: o cr :6i-3i-k -2i*3k*c1 v = -2e-ti*5sen¿j+8cosúk*6i-3j-k Entonces = (6-2e-t)i * (5 senú - 3)j + (3 cost - l)k Integrando, (ó) Remplazando v por dr/dt en (t) e integrando, (I) tenemos t(6-ze-t)i + (5senú-B)j + (3cosú-l)kld¿ = (6t*2e-t)i - (5 cosú + 3ú)j * (3 senú - ú)k * c2 Puestoquelapartículaestálocalizadaen (1, -3,2) en f:0, tenemos r: i - 3j+ 2k en t - 0' demodoque i-sj+2k o cz- -i+2i+2k = 2i-5j*cz (3sent-t+2k Q) Así, r = (6t+2e-t-l)i+(2-5cos¿-3ü)i* r = JI VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVAS 1.30. Si un avión vuela en dirección noroeste a I25 mi/h con un viento dirigido al oeste a 50 mi/h. ambos movimientos con respecto a la Tierra, hallar: (o) gráfica, y (ó) analíticamente qué tan rápido y en qué dirección estaría viajando el avión si no hubiera viento. (o ) Gróficamente. Sean W = velocidad del viento Vo = velocidad del avión con viento Vu = velocidad del avión Fig,.l-27 viento V.-![ = Vr+(-W). Entonces(figural-2?) Vo: Vu*Wo Vu = Va tiene 6,5 unidades de longitud : 163 mi,/h y dirección 33" al norte del oeste. sin (ó) Analíticamente. Sean iyj vemos que vectores It Yd unitarios en las direcciones E y N, rtspectivamente; de la figura -l25cos45oi + 125sen45oi v W = 50i

    cAP. VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 1l l9 = Vo-W - (-12ócos46o-60)i*12bsen46"i - -l8g,Agi+88,99i. Por tanto, la magnitud de V¡ es 4=J38l-5t-+ (E8-Jg-tt : rc4,2 mi,/h y Ia dirección tan-t 88,89,/138,99 : tan-t 0,638? :92.84' al norte del oeste. EntoncesVu 1.3f. es por rr : 2ti - t2i + (gt2 - 4ú)k y ü3j - 3tk. Hallar: (o) la velocidad relativa, y (b) la aceleración relativa de la segunda partícula con respecto a la primera en el tiempo t : 2. (a) Las velocidades de laspartículas en t : 2 son, nspectivamente, Dos partículas tienen vectores de posición dados 12 : (5t2 - Lzt + 4)i + vr = ir = 2i-Zti+$t-4)kl vz = 2i-4j+8k = ]z= (10ú-12)i+3¿z¡-3kl = 8i+12i-3k La velocidad relativa de la particula - y2 v1 = (8i+lzi(ü) It=2 8k) 2 con respecto " t" oi'.]r'"rr" , - (2i-4i+8k) = Las aceleraciones de las partículas en ú 6i * 16j - 11k : 2 son, respectivamenle, ar = ür - ii = -2i+ohl : -2j+6k tt'=' az = iz= i; = 10i+O¿il = 10i+12i I La aceleración relativa de la partícula 2 con respecto , ," ,"rr"t" , - a2 a' = (10i+t2i- (-2j+6k) = 10i*14i-6k ACELERACION NORMAL Y TANGENCIAL 1.32. Dada una curva C en el espacio con vector de posición r = 3cos2úi + 3sen2ú j + (8ú-4)k (a) Hallar un vector unitario T tangente a la curva. (b) Si r es el vector de posición de la partícula que al tiempo ü se mueve sobre la curva C, verificar que en este caso (o) Un vecto¡ tangente a la cu¡va C uT. es d,¡ld.t La magnitud de este vector v: = -6 sen2úi * 6coszúj + 8k es liHafl=ihldt= @=ro Entonces un vector tangente unitaúo a C es a -_ I/4!-. - ¡IEliIt ilt -6sen2úi * rdt/dtr m=ds=-**"2ti + t cos2ú j * f,k (b) 6cos2ú j* 8k Esto se deduce de (o) ya que y= itttitt = il,:T:: Lii{"1"*r,,'1 *n, = ,,r Obsérvese que en este caso la velocidad de la partícula a lo largo de la curva es constante. f.33. Si T es un vector tangente y unitario a una curva C en el espacio, demostrar dT/ds es normal a T. que

    VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION 20 T. T: l. PuestoqueTesunvectorunitario, lcAP. 1 Difercnciandocon¡espectoa sobtenemos 'r'r' r.4! + 4I .n = zr.fr = 0 c 'r.fl r - ds - ¿IB de - n lo cual establece que dT/ds es normal, esto es, perpendicular a T. Si N es un vector unita¡io en la dirección d,e ilT/ds tenemos dflds = rN y a N lo llamamos normol printipol r¡nitaria de ('. Al escalar x : ldTids I R : l,/x radio de curuatura. se le llama curLtatura 1.34. Hallar: (o) la curvatura, (b) el radio de curvatura, y (c) la normal principal taria N en un punto cualquiera de la curva en el espacio del problema (o) Según el problema 1.32, T = -i?sen 2úi * $ cos?t i + +k. Entonces (-615) cos 2ú i - (6/5) sen 2ú j dTldt f, dsldt ils 10 cos 2ú i - ft,sen2t i = -# Asi,racurvaturaes x: l#l = @" (ó) El ¡adio de cuwatura = R = (c) De (¿), (b) y el problema 1.33, Llrc = a uni- 1.32. * 2513 N = :# f.35. = y = R# = -cos2úi -sen2Ú j Demostrar que la aceleración a de una partícula que viaja a lo largo de una curva en el espacio con rapidez v se da por da. dt' a2n R ^' donde T es el vector tangente unitario a la curva en el espacio, unitaria y R es el radio de curvatura. Velocidad v: N su normal principal magnitud de v multiplicada por el vecto¡ tangente unitario T, o v:aT Diferenciando, a = + = fior¡ = #r*r# Pero Entonces dT ¿IT ils -- ds ü = d" Zl = "^d¿ = Kufl = d!_ /t,r* ^ = dtt-oRl oN -n = 9r*** rr e.E Esto muestra que la componente de la aceleración en la dirección tangente a la trayectoria es du/dt y 12/R en la di¡ección de la normal principal a la trayectoria. Esta última aceleración a metrudo se llama otele'ración cen tríot,ta t¡ ort'lerotíón normor. MOVIMIENTO CIRCULAR 1.36. Una partícula que se mueve tiene un vector de posición dado por r : cos <.,ú i * sen arú j donde @ es una constante. Demostrar que: (o) Ia velocidad v de la partícula es perpendicular a r, (b) la aceleración a está dirigida hacia el origen y tiene una magnitud proporcional a la distancia desde el origen, (c) r X v : un vector constante.

    CAP. II VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION (o) v = dr = -" E rdü i * ur cosroú j, Entonces j]. [-"senoú i * o cosoú j] (cos r.rú)(-o sen oú) * (senoú)(r,r cos oú) = 0 r.v = = y ryv ,,. bl &t = dF sen 2l [cosr,rú i* sen¿rú son perpendiculares. d.v = d-, -c¡2cogr.rúi-¡¡3sen¿rúi = -rz [cosr.rti*senorüil = -rz, Entonces, la acele¡ación tiene dirección opuesta a la de r, es decir, está dingida hacia el origen. Su magnitud es proporcional a I rl que es la distancia desde el origen. (c) rXv = [cosoúilsenroú j] x [-"sen¡,¡úia ocosroú j] rjk cosúrú senúrú 0 | = -o se:r oü ú, COs r,r(cos2oú *sen2¡oü)k = ,k, un vector constante. ú,rú 0 Físicamente, el movimiento corresponde al de una partícula que se mueve sob¡e una ci¡cunferencia con velocidad angular o constante. La aceleración, dirigida hacia el centro del círculo, es la aceleraci ón c entrípeta. GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL f.37. Sió:"zrrt y A:xzi-y2j+2x2yk, encontrar (a)Vó, (b) V.A, (c) V X A, (d) div (O.l¡, 1"¡ rot (OA). (o) vó = (1,*3¡+*r). = da- d2 ftr+ffi*#n dr /' = $<**1, + f,@zuzsli + fi@zazs)k = 2ryzti * (ó) v.A = (*t* fu+ftu).@zi-azit2r2akl *f*l (c) VxA + ft<-u,l + fip,ry¡ r2ci * s'.zyzzk = z - 2u (dr, á.,d,-., = ¿, * A-t + ark)x (rzi-y2i-t2n2yk) ijk 0/0x Alay aldz = uz -A2 2o2U (ft<z"u - *,-*,), * (fraa - fie",ut)i + (*ea = 2r2i * (r_Arali - ftaa)u (d) div(CA) = V.(ÉA) = 9.(rsgzti-üzAszsi-l 2r+gz¿y¡ = *r*o*, = '¿r2U4 - + ft<-,'v",q + fr@*uz*l 3n2A2zs I 6r<,yz2z (e) rot (9A) = VX(gA) = YX(rayzti-r21¡ fi+Zr4y2zsk) iik aldr alda ,8a4 -*fe (4rayzs+3*Asz2)i r.38. (o) si a - (2rg a/02 2éyz¿ * (4nsy7s-8rsy2zlri - (2ry32t* 62k +d)i+ (r'+2v)!* (Buz2-2)k, demostrar que v xA = 0.

    [cAP. l VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION (ó) Hallar una función escalaró tal que A = Vé. ijk alar (o) VxA = | dlas =0 0/02 2ry*23 r2*2g 3nz2-2 (ó) Método l. Si A = Vo = #r+fri+ffx (2) (t) #=rru*"" entonces tendremos (3) #=r'*r, #=gr"'-z Integrando, encontramos (4) i'= u2Alnzs*Ft(A,z) (5) O = ü2A*U2 *'F2(r,zl (6) ó = rz3-2zlFs@,u) Comparándolas, tenemos Fr(y, z'l : y2 - 22, FzG, z : xzs - 22, F¡Q, y) : r2y * y2 y también ó : t2! I xzr I )'' - 22. Método 2. Si A = Vó, tenemos A'dr = (#' *fu .tfu)' @ri * dui * dzk = fra" + #oo * #0" = itq una diferencial exacta. Para este caso. = A'dr d6 '0" =T ;t'.:"""r!:ii':ít'"I"1'1""?no1 = Entonces ó : ¡rl' * .r¿3 d(rzA * !'" -- 2r. * xzs * A2 , - 2zl Obsérvese que una constante a¡bitraria puede sumarse a O. INTEGRALES DE LINEA E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA r.39. Si A: (3¡2 - 6yz)i't (2y lSxz)i -f (1 - 4xyz2)k, evaluar f e'drdesde (0,0,0) hasta (1, 1, 1) a lo largode las siguientes trayectorias C: (a)¡:t,J:t2,2:tt. rectas desde (0,0,0) hasta (0,0, 1) luego a (0, 1, 1) y luego a (1, l, la línea recta que une los puntos (0, 0, 0) y (1, 1, 1). (b) las líneas (c ) fr e.ar I | = .tC Jc = (a) Si ¡: t,y:t2, {(a',-Gazi + (2a-llrz)i * (l-4ruz2)k}'(d'ui* dyi ,tr, - 6yz) dr * (2a * 3rz) cly + (1 - Aryzzl ilz z: t3 lospuntos(0,0,0)y(1,1,1)correspondena t:0y I 1). dzk f J¿ ü: l, respec- tivamente. Entonces f J¿ o.a, = J Í'(B¿2-6(¿2)(¿s)'tdt+ t=o = | J ?l ,=o {2¿2+B(¿)(rs)}d(t2')+ {1-4(¿Xú2X¿3)2}d(te) ,tr,-6¿s)dt +(4¿s*6¿s)dt+(gt2-r2¿rr¡dt = 2 Otro método. Alolargodelacurva C,A= (3ú2-6t5)i+(2t2+3ú4)j+(1 -4¿e)k v r = fi*ai*zk= ti+ t2i * ü3k, dr = (i+ 2ti + 3¿2k) dú. Entonces f Jc (' ^.0" = Jo ,rrr-6¿sldt ' + (4ts¡6¿sld,t + (gtz-12¿rrlitt = g (ó) Alo larggde la línea rectadesde (0, 0, 0) hasta(0, 0, 1), ¡ : 0,,v : 0, d¡ : 0, dy : 0 dondez vaía de 0 a l. Entonces la integral sobre esta parte de la curva es

    cAP. tl VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION ?l {atol, - 6(0xz))0 + {2(o) + B(0Xa)}0 + J|z=O lr - 4(ol(0)(z2l} 23 rl dz = J I z=O A lo largo de la línea ¡ecta desde (0, 0, 1) hasta (0, l, l), , : 0, z : .t, dx varía de 0 a 1. Entonces la integral sob¡e esta parte de la trayectoria es 'l | Jc=o {alot, - o(y)(1)}0 * + 3(0)(1)} ita (2a : 0, d¿=1 dz :0 /'l * 0- a(0)(yxr)2}0 = ¿r' 2a da = a:o Alolargodelalínearectadesde (0,1,1) hasta (1,1,1), y : l, z: l, d,y:0, dz:0 varía desde 0 a 1. Entonces la integral sobre esta parte de la trayectoria es fr JIz=o f Jg o.o, = l*l-b d¡ : dy _ dz : dt,. ff f^A.dr = .t C x: t, !: t, z: l_(Srt-6yzdn I (Za*Brz)d,s + .tC ?L = J| ,tt, t:o 6¿z) d.t + (2t = Jf't=o et+L-4t4)dt : Obsé¡vese que en este caso el valor de 1.4O. Si donde¡ = -8. Alolargodelalíncarcctaqueunelospuntos(0,0,0)y(1, l,l)tenemos como 1 lt"r-6(1)(1)) dr * {2(rl+Bc(1)}0 + {r-a¡(1)(1)2}0 = |^L (Brz-6)d,r = -6 ' Jr=o'- Sumando, (c) dondey + g¿z) itt * (1 (L ¿. Entonces, -4ryz2)d.z - 4tel at 6/E la integral depende de la trayectoria en particular. f A: (2xy* z3)i+ (x, l2y)i-l(Bxz¿ - 2)kdemostrarque: (a)¿C le.¿" es independie.te de la trayectoria c que une los puntos (1, l, ll y (2, 1,2), y (b) - encontrar su valor. Segúnelproblemaf.3S, V x A: es independiente de la t¡ayecto¡ia ¡(2,r,2) "In, -r,l) Oo A.dr: y su valor do: d(x2y* xzt *y2 - 2e). Élntonceslaintegral es ?(2,r,2) A.dr = | " (1, = rzy A@ra*xzs*a2-22) -l,r) * a2t * a2 - r"1"'''" = t(1,-1,1) 18 PROBLEMAS VARIOS 1.41. Demostrarque si ayb nosoncolineales, entonces ra + yb: o implica x: y : o. supongamos ¡ l 0. Entonces ¡a * yb : o implica ¡s : -yb o a : - (y/x)b, esdecir, ayb deben ser paralelos a la misma línea (colineales), contrariamente a la hipótesis. Asi, r : 0; entonces yb - O, de donde y : 0. L.42. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisectan entre ABCD el paralelogramo dado con diagonales que se intersectan en P, como se muestra en la figura l-2g. Como BD*a = b, BD = b-a. Entonces Bp = ¡(b-a). Sea Puesto que AC = a + b, AP = y(a * b). Pero AB = AP*PB = AP-Bp, i.e. a x = y(a*b)-r(b-a) = (c*y)a* (u-r)b. Como a y b no son colineales, según el problema I y: I y y - ¡:0, i.e. x: y: { y p punto medio de ambas diagonales. 1.41, A estáenel Fig. l-2E sí.

    1.43. [cAP. VECTORES, VELOCIDAD Y ACELERACION 24 1 Demostrar que para cualquier vector A, (a) e = (a'i)i+(a'i)i+(a'k)k (b) A - A(cosoi*cosPj+cos7k) donde a, p, "y son los ángulos que A forma con i, j, k, respectivamente, y cos p, cos 7 se llaman los cosenos directores de A¡ (o) Tenemos A: Ari + A2i + .43k. Entonces A.i - (Ari+A2i+á3k)ri - Ar A.j - (Ari+Aú+Ask)'j - A2 A.li = (A¡+ A2: + A3k) 'k = As a = (a.i)i + (A.j)j + (A'k)k Así, A.i = lAl lil cosa = Acosc (b) A.j = lAlljlcosB = AcosP A.k = lAl lkl cosy = á cosy cos a, Entonces de (o), A = (A.i)i+ (A'i)i + (A'k)k = L-44. Demostrar que Vó A(cosa es un vector perpendicular a i* cosÉ j * cosvk) la superficie ó(x, y, z) : c, donde c es una constante. Sea r : ú * yj f zk el vectorde posición de cualquierpunto P(¡, y, z) sob¡e la superficie. Entonces dr : dxi * dyi + dzk estáen el plano tangente a la superficie en P. Pero dó. .a6, ,ao . a6=¡ia,*ñoo+ffd.2 =o . /aó,,0ó,-^^ (#,+tt+#")'(d'ri+dvirdzk) = es decir g ó . dr : 0 así que V d es perpendicula¡ a dr y por consiguiente a la superficie' 1.45. Encontrar un vector unitario normal a la superficie 2r2 * 4yz punto P(3, 0 522 : - 10 en el -I,2). Según el problema 1.44, un vector normal a la superficie es 9(212*4yz-6zz) = 4ri I4zi * (4a-L0z)k = Entonces un vector unita¡io normal a la superficie en P otro vecto¡ unitario nornal a la superficie en P es - es rzi+8i-24k en Lzi+8i-24k (3, ,/@+@FT@ 3i + 2j - -1,2) 3i+2j-6k 7 6k ' delongitud o descansa sobre l¡ pared u"rti""t OA (figura 1-29). El pie B de la escalera se hace mover con rapidez constante uo. (o) Demostrar que el punto medio de la escalera describe un arco de circunferencia de radio a/2con centro en O. (b) Encontrar la velocidad y rapidez del punto medio de la escalera en el instante ¿ en que B está a una distancia b < a de la pared. 1.46. La escalera AB (o) Sea rel vectordeposicióndelpunto medio MdeA8. OBA: d, tenemos OB = ocose i' OA = osenc j AB = OB-OA = ocosdl-d,senc j Si el ángulo Entonces r=OA*AM=OA++AB = .rsen C i + *@cos, i - osene j) - |o(cos, i * sen , i) . Como lrl : *4, setend¡áuncírculode ndíoa/2con centro en O. Fig. r-29

    cAp. 1l vEcroREs, vELocIDAD Y ACELERACION (b) 25 La velocidad del punto medio M es d.¡ fr = frtlt"(cosci*sendi)) = to(-.enaói+cosoi¡¡ ¿ u) donde á = ilelilt. La velocidad del pie B de la escalera es ooi - ¿¿ = $1on) = *.@cosri) = -or"naái o clt' ctt' En el instante en el cual I (I) la velocidad i = -¡o (2) está a una distancia b de la pared tenemos, de (2), send Así, de osenc = @ ' " . o= -ao = -a¡ ñ "*"t de M en este instante es d.¡ ó . /. ü = tro. ,¡¿_6rtl y su rapidez "" otrs/z,Ñ. 1.47. Sean (r,0) las coordenadas polares que describen la posición de una partícula. Si r, es un vector unitario en la dirección del vector de posición r, ! Ct es un vector unitario perpendicular a r en la dirección en que se incrementa 0 (figura 1-30), demostrar que = cosdi*sendi, er = -s€D0i*coa?i (b) i = cos0 rt-sender, i = sen 0 tt+ cos? 0t (o) rr (o) Si r es el vector de posición de la partícula en cualquier tiempo t, entonces fu/dr es un vector tangente a la curva , : constante, es decir, un vector en la dirección de r (en que se incrementa r). Un vecto¡ unitario en esta di¡ección se da por 11 = +/l+l dr/ larl u) Como r = ¡i+ai = rcosti*rsenc¡ 2) como se ve en la figura l-30, tenemos dr ;; = cost r + send así que 11 r ¡, ldrl = laTl (3) = cosri*senrj Simila¡mente, d¡/OC es un vecto¡ tangente a la curva Fig.l-30 r: constante. Un vector unitario en esta dirección se da por 0r Ahora, de (2), dE ac (4) -rsenci+rcos,i, l#l =' así (4) queda o1 = -senri * cosci (ó) Estos resultados se obtienen al rtsolver las ecuaciones simultáneas (3) v (5) para i y j. (5)

    lcAP. I VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION 26 1.48. Demostrar que: (o) ir=b|t (b) ór= -ó¡. (a) De (3), en el problemi ,.nr, ,.n.-o. 0r7 ¿¿ dtt 0r1 ¿, . 11 =ü (b) De (5), en el problema = T,f .!"!:,r*cosajxá) = óc, 1.47, tenemos dar dt aar üt , tr = E = TE-TIü dc = I.49. loltil + (-cosai-s€na jXá) = -árt Demostrar que en coordenadas polares: (a) la velocidad se da por y (b) la aceleración v = ir, +ritot se da por a a) Tenemos r : rrr : (;- rbr, + 1rd +Ziá¡e, de modo que d iI¡ ilr v = ii = #1+rÉ = irr+ri, = según (b) el problerra 1.48(o). Según ,ñ'+160, la parte (o) y el problema 1.48, tenemos a= ¿1,. . ilv u ! =f:iiíír,:::i,!ji't'i^,-*,, Problemas propuestos ALGEBRA VECTORIAL 1.5O. Dados dos vectores cualesquiera 1.51. Dados los vectores A, By C, Ay B, ilustrar geométricamente la igualdad 4A { 3(B - A) : A + 38. obtener gráficamente los vectores (a) 2A 1.52. Si A y B son dos vectores cualesquiera pA * qB es un vector sob¡e el plano 1.53. 1.54. f ,55. 38 + *C, (b) C - *.A + tB. diferentes de cero que no tienen la misma dirección, demostrar que determinado por A y B. (o ) Determinar el vector que tiene como origen (2, los dos puntos en (a). Resp. (o) i * 3j - Untiángulotienevérticesenlospuntos mediana al ladoAB. Eesp. I V6- - - 1, 3) y ertrcmo (3, 2, 7k. (ó) V59 - 4). (b) Hallar la distancia entre A(2,L,-1),8(-1,3,2), C(L,-2, 1). Hallarlalongituddela Un hombre viaja 2p millas al noreste,.15 millas al este y 10 millas al sur. Usando una escala apropiada determinar: (a) gráficamente, y (ó) analíticamente la distancia y la dirección desde su posición de partida. Resp. 33,6 millas, 13,2" al norte del este

    cAP. VECTORES. VELOCIDAD Y ACELERACION 1l 1.56. 27 A:2t - i + Hallarun vectorunitarioen ladireccióndelaresultantedelosvectores C : 3i - 2j + 4k. Resp. i(6i - 2i + 7k)/{89 k, B: i + i +2k, PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR r.67. Calcular 1.58. Halla¡odemodoque 2i B)l si A:á-Sj+5kyB:3i+j-2k. l(A+B).(A- 3j 1.61. 24 + 5k y 3i * aj - 2k seanperpendiculares. 8esp. a: -4/3 1.59. Si A: fi +j+ k, B: i-Zj+ de B. Resp. ll/3 1.60. Resp. 2k y C:3i- 4j* Los vértices de un triángulo son los puntos A(2, 3, 1), que forma Ia mediana al lado AC con el lado 8C. 2k, hallarlaproyecciónde 8(- 1, 1, 2), C(1, - 2, A* C enladirección 3). Determinarel ángulo agudo Resp. cos-t lg-t/t+ : a2 + b2 - 2ab cos C. C: A- B. Luegousar C.C: (A- B).(A- Demostrar la ley de los cosenos para el triánguloABC, es decir, c2 [Sugerencia. Toma¡losladoscomo ABC donde B).1 1.62. Demostra¡ que las diagonales de un rombo son perpendiculares entrc sí. PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO VECTORIAL A:2r- j+k y B: i+2i- x (A- 2B)1. 1.63. Si 1.64. Hallarun vectorunitarioperpendicularalplanode losvectores Resp. +(2i + kr/E 1.65. Hallar el d¡ea del triángulo con vértices (2, 1.66. Hallar la distancia rrínima del punto (3, 2, Resp. 1.67. 3k, hallar l(2A+ B) 3i - 2i+ 4k y B: i + j - -3, 1), (1, - L,2), (-L,2,31. l) al plano determinado por (1, 1, 0), (3, Demostrar la ley - de los senos para el triángulo ABC, es¿".¡r, PRODUCTOS TRIPLES r.68. Si A = zi+j-3k, 3 = i-2i+k (c) Ax(BxC), (d) (AxB)xC. Demostrarque t"n A+ A B B sen ;---6-+C: sen - 2k. +6 Resp. 2 fsugerencia. Considera¡quelosladosson A,B,C donde de ambos lados con A y B respectivamente.l 1.69. A: Resp. 25/T - 1, 1), (- 1, 0, 2). C c' O yhacerelproductovectorial y C = -i+i-4k, hallar (o) A. (BxC), (ó) C' (AxB), (a) 20, (ó) 20, (c) 8i-19i-k, (ü 25i-16j-10k Resp. A. (B X C): (A X B). C, esdecir,quelosproductospuntoycruzpuedeninter- cambiarse. 1.7O. Hallarelvolumendeunparalelepípedocuyosladosestándadospor yC:3i-j-2k. Resp.3l 1.71. Hallarelvolumendeltetraedroconvérticesen 1.72. Probar que (o) A. (B x C) = B. (b) 1.73. (C X (2, 1, A) = 1), (1,-1,2), A:2i + (0, 3i - k, B: i- 2i+2k 1,-1), (1,-2, 1). Resp. UB C. (A X B), Ax(Bxc) = B(a'c)-c(A.B). (o) Sean t1, 12, rs los vectores de posición de los tres puntos P¡, Pz, Pa, respecttvamente. Demostiar que la ecuación (r - rr) . [(r - rz) X (r - r¡)] : 0, donde r : ¡i * yj * zk, representa una ecuación para el plano determinado por Pt, Pz ! P3. (ó) Hallar una ecuación para el plano que pasa por los puntos (-1,2, -3), (4, 1, 0). Resp. (bl 2x * y - 3z : I DERIVACION E INTEGRACION DE VECTORES 1.74. Sea A:3ti-1¿z +¿)j+(ts -2t2)k. Hallar (o) Resp. (¿) 3i - 3j - k, (b) -2j + 2k dA/dty (b) dr{/dt, en ú:1.
  • 28 VECTORES, VE LOCIDAD Y ACELERACIOT.- lcAP. I l'7ó. Si r: acosot * bsenot, donde ayb sonvectoresconstantescualesquieranocolinealesyo un escalar constante, demostrar que: (o) r x dt/dt : o(a X b), (ó) d2t/d.t2 -F o2r : 0. 1.76. Si A: úi- senrk y B:cos¡i

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