Matemáticas Financieras. Vencimiento común y medio

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Published on February 18, 2014

Author: jagondia

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En este PPT vamos a estudiar los conceptos de Vencimiento Común y Vencimiento Medio, tanto desde un punto de vista teórico como práctico.
Podéis visualizar esta presentación explicada en vídeo en mi blog: www.jagonzalez.blogsgo.com

VENCIMIENTO COMUN Y VENCIMIENTO MEDIO Profesor: Juan Antonio González Díaz Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide www.jagonzalez.blogsgo.com

Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio Tratamos de sustituir “n” capitales financieros (C1, t1), (C2, t2), ...... (Cn, tn) por un único capital financiero (C,t) de tal manera que este último sea equivalente a todos los “n” capitales financieros iniciales. Al nuevo Capital obtenido, C, se le denomina “Capital Único Equivalente”, y al momento de vencimiento “p” se le llama “Vencimiento Común”. Situación Inicial A C1 C2 C3 Cn t1 t2 t3 tn C Situación Alternativa B www.jagonzalez.blogsgo.com t VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio Sólo puedo cambiar una situación inicial, con varios capitales, por una situación alternativa, un solo capital, cuando ambas opciones sean equivalentes Es decir, sólo puedo sustituir la Situación A por la Situación B si son equivalentes La Situación A será equivalente a la Situación B si, valoradas en el mismo momento, son iguales. Es decir, A (0) = B (0) . Situación Inicial A 0 C1 C2 . C3 t1 t2 t3 Situación Alternativa B . Cn-1 tn-1 . Cn tn C t www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio Para llevar ambas situaciones al momento 0, debemos utilizar una ley de descuento simple. Hemos visto dos leyes distintas, la Ley Financiera de Descuento Comercial y la Ley Financiera de Descuento Racional, ¿cómo sabremos cuál utilizar? Si el enunciado nos facilita una tasa de descuento, usaremos la LFDC: C0 =Cn (1- n d) Entonces la equivalencia sería la siguiente: C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ] Pudiendo ser la incógnita el vencimiento común (t), la cuantía del capital único (C) o el vencimiento o cuantía de cualquiera de los capitales individuales. Si el enunciado nos facilita un tipo de interés, usaremos la LFDR: Entonces la equivalencia sería la siguiente: C0  Cn 1 n i Cn C1 C2 C    1  t1  i 1  t2  i 1  tn  i 1 t i Pudiendo ser también la incógnita el vencimiento común (t), la cuantía del capital único (C) o el vencimiento o cuantía de cualquiera de los capitales individuales. www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio Si el Capital Único Equivalente (C) fuera la suma del resto de los capitales, C = C1 + C2 + ... + Cn Entonces, al vencimiento “t” lo denominamos Vencimiento Medio, y se expresaría como sigue: C  t  C1  t1  C 2  t 2    C n  t n Como podemos comprobar con el siguiente desarrollo: C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ] C1 – C1 t1 d + C2 – C2 t2 d + ...+ Cn – Cn tn d = C - C t d Reordenando, C1 + C2 + ...+ Cn – C1 t1 d – C2 t2 d - ... – Cn tn d = C - C t d C – d (C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn) = C - C t d C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio Despejando el valor de t, t  C1  t1  C 2  t 2   C n  t n C Que supone que el vencimiento del capital único se corresponde con la media aritmética ponderada de los vencimientos de los capitales individuales. De ahí el nombre de VENCIMIENTO MEDIO Una característica importante es que en el caso de vencimiento medio, éste no se ve modificado por el tipo de interés o tipo de descuento de la operación, por lo que se trata de un dato irrelevante a efectos de calcular el vencimiento medio www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

PROBLEMA 1: Considere tres capitales de cuantías C1, C2 y C3 con vencimientos respectivos de t1, t2 y t3 trimestres. Se desean sustituir estos capitales por una única entrega de cuantía C y vencimiento t meses. a) Determine el vencimiento t, considerando que se opera a un tipo de descuento mensual d12 b) Determine la cuantía del segundo capital, C2, considerando que se opera a un tipo de interés anual i c) Si suponemos que C1 + C2 + C3 = C, obtenga el vencimiento t3 del tercer capital www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

SOLUCION AL PROBLEMA 1: . a) C1 . C3 C2 t1 Situación Inicial A 0 Sólo puedo cambiar una situación inicial, con varios capitales, por una situación alternativa,. un solo capital, cuando . ambas opciones sean equivalentes t2 Es decir, sólo puedo sustituir la Situación A por la Situación B si son equivalentes t3 trimestres Situación Alternativa B La Situación A será equivalente a la Situación B si, valoradas en el mismo momento, son iguales. Es decir, A (0) = B (0) C t meses C1    t1  3  d12 1 t  1   C2    t 2 1 C1    t1  3  d12 1 www.jagonzalez.blogsgo.com  3  d12   C3    t 3 1   C2    t 2 1  3  d12  3  d12    C3    t 3 1 C   1 t  3  d12  d12   C d12 VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

SOLUCION AL PROBLEMA 1: . b) C1 t1 Situación Inicial A 0 C2 t2 Situación Alternativa B Sólo puedo cambiar una situación inicial, con varios capitales, por una situación alternativa, un solo capital, cuando . . ambas opciones sean equivalentes . C3 t3 trimestres C t meses Es decir, sólo puedo sustituir la Situación A por la Situación B si son equivalentes La Situación A será equivalente a la Situación B si, valoradas en el mismo momento, son iguales. Es decir, A (0) = B (0) C3 C1 C2 C    t1 t2 t3 t 1 i 1 i 1 i 1 i 12 4 4 4 C2   C3 C1 C     t1 t 1 t i 1 i 1 3 i  12 4 4  www.jagonzalez.blogsgo.com     1  t 2  i     4     VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

SOLUCION AL PROBLEMA 1: c) Situación Inicial A 0 . C1 C2 t1 t2 Situación Alternativa B . C3 . Si t3 trimestres C . C1 + C2 + C3 = C Estamos ante Vencimiento Medio C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t t meses t3  www.jagonzalez.blogsgo.com C  t  C1  t1  C 2  t 2 3 C3 VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

PROBLEMA 2: Debo pagar un capital de cuantía 23.000 euros dentro de 15 meses. Deseo sustituir ese pago por tres capitales. Dos de 8.000 euros con vencimientos dentro de 4 meses y 10 meses respectivamente. Calcule. a) La cuantía del tercer capital, si vence dentro de 18 meses, utilizando un tipo de descuento trimestral simple del 2% b) La cuantía del tercer capital, si vence dentro de 18 meses, utilizando un tipo de interés anual simple del 6% c) Calcular el vencimiento del tercer capital si su importe asciende a 7.500 euros. Para un tipo de descuento bimensual del 1% d) Calcular el vencimiento del tercer capital si su importe asciende a 7.000 euros. ¿Qué tipo de interés se ha utilizado? www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

SOLUCION AL PROBLEMA 2: a) Sólo puedo cambiar una situación inicial, con varios capitales, por una situación alternativa, un solo capital, cuando . . ambas opciones sean equivalentes 23,000 Situación Inicial A 15 meses . 8.000 Situación Alternativa B 8.000 4 10 0 . C3 18 meses Es decir, sólo puedo sustituir la Situación A por la Situación B si son equivalentes La Situación A será equivalente a la Situación B si, valoradas en el mismo momento, son iguales. Es decir, A (0) = B (0) 23.000 [ 1- 15/3 0,02 ] = 8.000 [1 – 4/3 0,02)] + 8.000 [1 – 10/3 0,02)] + C3 [1 – 18/3 0,02)] 20.700,00 = 7.786,67 + 7.466,67 + C3 [0,88] C3 = 6.189,39 Euros www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

SOLUCION AL PROBLEMA 2: b) Sólo puedo cambiar una situación inicial, con varios capitales, por una situación alternativa, un solo capital, cuando . . ambas opciones sean equivalentes 23,000 Situación Inicial A 15 meses . 8.000 Situación Alternativa B 8.000 4 10 0 . C3 18 meses Es decir, sólo puedo sustituir la Situación A por la Situación B si son equivalentes La Situación A será equivalente a la Situación B si, valoradas en el mismo momento, son iguales. Es decir, A (0) = B (0) 23.000 / ( 1+ 15/12 0,06 ) = 8.000 / (1 + 4/12 0,06) + 8.000 / (1 + 10/12 0,06) + C3 / (1 + 18/12 0,06)] 21.395,35 = 7.843,14 + 7.619,05 + C3 / 1,09 C3 = 6.467,15 Euros www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

SOLUCION AL PROBLEMA 2: c) Sólo puedo cambiar una situación inicial, con varios capitales, por una situación alternativa,. un solo capital, cuando . ambas opciones sean equivalentes 23,000 Situación Inicial A 15 meses . 8.000 Situación Alternativa B 8.000 4 10 0 . 7.500 t3 meses Es decir, sólo puedo sustituir la Situación A por la Situación B si son equivalentes La Situación A será equivalente a la Situación B si, valoradas en el mismo momento, son iguales. Es decir, A (0) = B (0) 23.000 (1- 15/2 0,01) = 8.000 (1 – 4/2 0,01) + 8.000 (1 – 10/2 0,01) + 7.500 (1 – t3/2 0,01) 21.275 = 7.840 + 7.600 + 7.500 (1 - t3/2 0,01) t3 = 44,4 meses (44 meses y 12 días) www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

SOLUCION AL PROBLEMA 2: . d) . 23,000 Situación Inicial A 15 meses . 8.000 Situación Alternativa B 8.000 4 . 7.000 10 0 23.000 * 15 = 8.000 * 4 + 8.000 * 10 + 7.000 * t3 t3 meses Si C1 + C2 + C3 = C Es decir, 8.000 + 8.000 + 7.000 = 23.000 Estamos ante Vencimiento Medio C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t t3 = 33,28 meses (33 meses y 9 días) www.jagonzalez.blogsgo.com VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO

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