Matemática 6ª série matta e sardella

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Information about Matemática 6ª série matta e sardella

Published on September 23, 2015

Author: Proftonay

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1. l ( , V - ' ‘l I . /lxlllfll Mliifll : i'i'i'i'ifi. /W ' i r ° I / J W, /.l{11«:4lil7/. l (U l: il? (l. l(l[i (ll 2‘t, Ll. .’. 'l: lli, é . . y, 5 l, .i. i>. ‘li". ;.. .. Wt llllill/ lillll . /id H{, ru. '_l‘l, l'. V.l{‘ til Vanda l ' ”'°‘*"‘ '_ viii’ ifiiirll, fl/ [(0 t‘. llll, l.[lI g (lll tlHi: iyt'tii: il‘i/ flit ll/1 / i‘ill7I I / ll liiilliril. T y . -rh'lur. n aliril l K ' “T c . @eacaa26rcaaza§az'a % aaéaz2zma. %a. %a k/

  • 2. Mtiltiplos Submultlplos m. d.c. m. m.c. Caro colega Temos a satisfacfio dc lhe apresentar cstc livro dc Matemética destinado a 6.3 série do Primeiro Grau. Ao elaboré-lo, tivcmos a preocupaqfio dc seguir dois critérios que julgamos dc fundamental importancia para o éxito de qualquer texto didético: 0 N50 trazer complicagoes ao aluno — Este critério nos levou a escrcver o tcxto numa linguagem simples e direta, por vezes mesmo coloquial, o que, em nosso entendcr, é fundamental para o entendimento dos assuntos. 0 Ser um auxiliar do professor — Com a intengao de atender a esta fina- lidade, a estrutura do livro foi organizada de modo a apresentar a parts teérica de maneira simples, clara e objetiva para, a seguir, explorar exausti- vamente essa teoria através de exercicios que vao introduzindo pau1atina- mente as dificuldades comuns aos nossos alunos. Isso permite uma real e firme fixacéo dos assuntos estudados. OBJETIVO DES'l'E LIVRO Este livro foi elaborado com a finalidade dc dar ao aluno, inicialmentc, o conhecimento dos conceitos dc mtiltiplo, subnuiltiplo, maior divisor comnm e menor mliltiplo comum, uma vez que ele ja estudou o conjunto dos numeros naturais. A seguir, fazemos com que o aluno entre em contato com os nlimeros fracionairios e os numerais decimais; e no sentido de prevenir eventuais dificuldades, fazemos uma revisao de potenciagfio e radiciagfio, preparando-o assim para coloca-lo a par do conjunto dos ntimeros racionais relativos. Dominando os conjuntos numéricos, o aluno esta em condicoes dc penetrar no campo das equacées, das ineqnacées e dos sistemas, assuntos estes de fundamental importancia para a seqiiéncia do estudo da Matematica. Finalmente, com o propésito dc capacitor 0 aluno a integrar-se na sociedade em que vive e de fomecer condiqées de melhor desempenho profissional aos alunos que trabalham, fazemos o estudo de razio, proporcfio e grandezas proporcionais, para que assim possam ser introduzidas as noeoes de porcen- tagem e juros simples, conhecimentos que serao uteis por toda a vida. Por fim, preparando o aluno para a 7.3 série, fazemos o estudo de algumas importantes figuras geométricas. De modo simplificado, assim pode ser visualizada a seqiiéncia proposta no livro: Numeros fracionarios Numerals decimals Revisao e ampliacao » de potenclacao e radiciacéo Conjunto dos numeros racionais Equacoes -D relatlvos Operaeées Sistemas Figuras geométricas: segmento. éngulo. triangulo. quadriléterm clrcunferéncla e circulo Razéo e proporcéo Grandezas proporcionais Porcentagem e juros simples III
  • 3. IV ESTRUTURA DESTE LIVRO No sentido dc alcangar o objetivo mencionado, todos os itens de cada unidade sao seguidos de um grande ntimero de exercicios, que o aluno devera fazer no préprio livro, sob a orientagfio do professor. A isso deno- minamos fase de aprendizagem. Para reforga-la é introduzida, apés um deterrninado ntimero de itens, uma série de exercicios com o nome dc Verifique o que aprendeu, que constitui a false de fixacio. Esta série deve ser aproveitada pelo professor como estratégia para atingir os objetivos especificos propostos. No final de cada unidade cxiste uma série de exercicios denominada Exercicios de desenvolvimento. Sua finalidade é desenvolver aquilo que o aluno jé aprendeu e fixou. Esta série podera ser feita em classe ou em casa, dependendo do critério do professor. Por outro lado, ela se presta como material de avaliagéo da aprcndizagcm ou como estratégia para atingir os objetivos especificos da unidade. De maneira esquematica, assim pode ser visualizada a seqliéncia dos diversos passos que formam a estrutura de cada unidade: Leltura de cada Item 9 resolucéo dos exerciclos propostos Resolucéo dos exerclclos do . série Vet-Iflquo oquouprondou Esperamos com isso prestar uma modesta ajuda aos professores que se dedicam ao importante trabalho do ensino da Matemética. Desejamos que este livro contribua especialmente para despcrtar no aluno o gosto e o interesse por esta matéria. Que ele ajude o aluno néo so a aprender Mate- matica, mas a aprender a gostar de estudar Matenuitica. E, para que este livro atinja realmente esses objetivos, queremos contar sempre com suas criticas e sugestées. ' Ftesolucio dos exerci- clos do série Exorciclos do deconvol- vlmento Estratégla e avallaeao Os Autores
  • 4. ANTONIO SARDELLA °ED| SON Dll MATT ll MATEMATICA .3, PRIMEIRO GRAU DE ACORDO COM 0 GUIA CUBRICULAR DO ESTADODE SAO: PAULO O PLANEJAMENTO DE CURSO. A8 SUGEBTOES UlDK‘| 'lCA8'E AS IIESFUSTAS DOS EXEBCICIOS NAO CONSTAM NO LIVRO DO ALUNO.
  • 5. Diagrumuczioz Fernando Pereira Monteiro e Nadia Garcia Basso Arte Final: Leda Maria Trota, Grilo, Renée Leite Lisboa. Denise Braz Alemao e Keiko Tamaki Okura Produgvio Grd/ ica: Valdir Oliveira Edictio de Arte: Eliazar Francisco Sales Edigao de fexfo: Joao Guizzo, Iosé Antonio dos Santos, Maria Izabel Simoes Gongalves e Wilma Silveira R. de Moura. CAPA: llustracfioz Paulo César Pereira Wanduir Durant Ary Normanha Direcfio de Arte: Ary Normanha 1981 Todos os direitos reservados pela Editora Atica S. A. R. Barrio de Iguape, 110 — Tel. : PBX 278-9322 (50 Ramais) C. Postal 8656 — End. Telegréfico “Bomlivro” — S. Paulo
  • 6. 1 Unidade — Multiplos e submultiplos de um ntimero — A divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 unidade‘ 2‘ L llVIaiofIdiv—isofr: oin1tlm . . . . [T [T . ... . . f . . . . T2 Unidade 3 — Menor rntiltiplo corrlum . . . . . . . . . . N20 Tlnidade ; _N1’imeros fracionarios- . . . . . . . . . . . I. . . . 9 2S Unidade 5 —— Numerals decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61 Unidade Potenciacao . . . . . . . . . . . . I . . . . . . . . . . . .W 79 tiiiiagie 3 —_l{i2t; <:’i2It; A2'1o‘l—Y. lz. —.l. . f . ... .7 . ' ff. . . . A 33 TJnidade~8 C—onjunto dos nufneros radionais felativos . . Ei. }}. £.. i§T; "iiil= §;; .}§. {.: .I. do , ;.i. §.}: .3 . i:; .:"; ;1 . . . .l. l.iff';7Tili3 {iIsE; J;To’i: ‘£>}. ;i; i;; ..; ; a. primeiro grau»: .. .. . .11; Unidade 11 — Inequacao do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . 162 Unidade 12 — Sistema dc equacées do primeiro grau . . . . . . I Unidade 13 — Razao e proporcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Unidade 14 Grandezas proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . .. 197 Unidade 15 — Porcle-ntagemxl . . . . . . . I. . I. —20—5 Unidade 16 ; : Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unidade‘-17A— Segmentoselanigulos . . . . . . . . . . . . . . . I 7221 Unidade 18 — Tria-ngulo e quadrilatero“-— Circtfnferéncia e - circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

    7. Caro Aluno Na 5.3 série vocé fez importantes descobertas no campo da Matemética. Essas descobertas sac importantes por dois moti- vos: primeiro, porque sao muito uteis para sua Vida; segundo, porque formam uma base para aquilo que vem depois. Por isso, vocé esta de parabéns por ter subido mais esse degrau nos seus estudos. Na 6.3 série vocé vai continuar fazendo descobertas tao importantes quanto as anteriores. Com base naquilo que ja aprendeu, ira avangar passo a passo na conquista de novos conhecimentos. O trabalho é fécil. Este livro vai ajuda-lo muito. Vocé ira aprender os assuntos de maneira gradativa, comegando com os mais simples até chegar aos mais complexos. E os exer- cicios foram organizados de tal modo que, através deles, vocé. fixaré firmemente os assuntos estudados. Com a orientacao do professor e a ajuda deste livro, vocé chegara sem dificuldades ao final de mais um ano de estudos. Bom trabalho! Os Autores

    8. /i} l lfiUL'l'lPLOS E SUBlviULTlPLOS or | DE Ulvil. '_Ul_fiERO — ADIVISIBILIDADE NOCAO DE ML-ILTIPLO E SUBMULTIPLO ! Numa diviséio exata, (resto zero) ocorre que: Mliltip C) I l I‘ ' "I, T ‘ o dividendo e‘ mtiltiplo do divisor e do quociente; L12 .1 Ld '1 , , ‘ _ p _ _ ‘ ‘ , rsubmultiplos l o d. lVlS01’ e o quociente sao submtiltlplos do dividendo. zero i_q_ 7 — —’ | _ _ , T7 y/ _x. :.~2r3_s l~: >:r: .riclTAR; a) Considere a sentence 30 :6 = 5. Agora complete: 1)30éo / " H i 7 2)6éo i’‘7___ _, _ 3) 5é o »/4’/ « ’« 4) A operacio indicada é a /74 "XL 7'3” exata. 5) 30recebeonomeFl9 de6ede5. 6) 6 e 5550 0s .1) ~ « 7 : I de30. bl Complete 0 quadro: V l Dlvisfio Dividendo Divisor Quociente Mtiltiplo l Submtiltiplo _L2=4 ? / ‘I I " l 9 - y gal i l l i II ; II [to ‘N loo . l. .. ~ {J l ' ; 2 , l . . - 1 J £ _ cl. ., 3 -. .; ,_-; '___J Numa divlsao exata é comum dizer que o dividendo é divislvel pelo divisor. . v, :27 Entiio: 12 :4 = 3 significa que 12 é divislvel por 4. Complete: 1) 18 :2 =9 significa que18é <~ 4' por 53 1 2) 16 :8 = 2 significa que 16 é /7»! -I A’. por A 3) 40 :5 = 8 significa que é divislvel por 4); ; : = __ significa que 24 é divislvel por 3. 5): ‘; = "'3 significa que 36 é divislvel por 4. 6) 5 = ;significa que 15é I-/ («?7~1<' ~"f «' I por 9*
  • 9. COMO OBTER O CONJUNTO DOS MULTIPLOS Para obter o conjunto dos miiltiplos de um mimero basta efetuar as multiplicaeoes do mimero dado com a suces- szio dos mimeros naturais. Vamos tomar como exemplo o conjunto dos mtiltiplos de 3: ts) lndicacaio: M(3) = {O. 3, 6, 9, 12, 15,. ..) wwwwwm ><><><><><>< . UIJ>~l»JlJ IN Mtiltiplos de 3 Obtenha o conjunto dos mfiltiplos dos seguintes numeros naturals: 1) 2 m2) = {0,.2,~’/ , 6, J’, } 5)15 M(l5)= 10; /5; -70» 45; 60----} 2)5M(S)= {0}-5r’0"5=3Q. .. } e)12 M(l2)= to, /z, .e#,3é,4J’. ---i 3)7 M(7) = {0,<7,/4,2/, .ar, ... } 7) 11 M(ll) = to, // , . z.z, aJ, /«-‘>--- i 4) 9 M(9) = {_0,_9yLr,2'+', 34, } 8) 10 M(10) = £0,/0, 20,30,-40,. . .1 Vocé deve ter notado que: 9 O conjunto dos mtiltiplos de um mimero dlferente de zero é infinito. Todo ntimero é mtiltiplo de si mesmo. Zero é mtiltiplo de qualquer numero. Todo ntimeroé mfiltiplo de 1: M(1) = {0, 1, 2, 3,. . . } = 1N. Zero 6 multiple de si mesmo, e é 0 {mice M(0) = {O}. COMO OBTER O CONJUNTO DOS SUBMU LTIPLOS lDlVlSORES) Para obter o conjunto dos submtiltiplos de um nfimero basta verificar quais sao os nlimeros naturals que silo dlvisores do nfimero dado numa divisao exata. Lembre-se: 0 zero nao pode ser divisor. Vejamos como se obtém o conjunto dos submtiltiplos ou divlsores de 18: 18 : 1 18 : 2 18 : 3 * 18 : 6 Indicac§o: D(l8)= {l,2,3,6,9,l8} * ‘ ' 1 1 _: '. 1 A: 18” 3 1o,11,12,13,14,1s,16{1g 18 _ 18 nio dlo divlsao exata Divisores de 18
  • 10. Obtenha os conjuntos dos divisores: 1)D(8)= {')-», -9.1» } 7)D(28)= {', .‘, . 'zI’, ~'} 2) D(l5) = 8) D(7) = i’__} 3) D(16) = 1’. : ~, , ‘ { 9) D(24) = {.4 ,1 1 4) D(30) = 1'. .: » 1 . ‘v 1 10)D(1) = {_} 5) D(20) = 1, - . ~- .1 1 11) D(O) = { -— } 6)D(4) = {2 - } Note que: 0 conjunto dos divisores de um mimero natural diferente de zero é finito. O mimero l 15 divisor de qualquer numero. Todo mimero diferente de zero 6 divisor de si mesmo. Qualquer mimero diferente de zero é divisor de zero: 0 conjunto dos divisores de zero é infinito, ou seja, D(O) = {l,2,3,. ..} = ]N*. 0 zero nio é divisor de nenhum mimero natural. [_E_RlF| OUE o QUE APRENQEU a) 10) D(12) flD(6) = D(6) 11) D(6) U D112) = M(4) Determine os conjuntos indicados e, a seguir, coloque V nas sentences verdadeiras e F nas falsas: M(4) = {Q ~ /13. } D15) = {/ 4' 5 K: } DH2) = {C3 -5), ’- at / A } 1)6EM(4) 1‘) 5)4¢o112) 1‘ ) 9) M(4)DD(6) 2)8€M(4) i)‘ ) 5)0€M(4) 1’ ) 3) 64EM(4) 1) ) 7)0ED(12) 1‘ ) 4) 4¢D(6) (5 ) 8) D16) C D112) 1' ) 12) M14) C| N Determine os elementos dos seguintes conjuntos: 1) {multiples de4 menores que 20} = {C1 -: . L. , ‘U } 2) {mflltiplos de 6 maiores que 10 e menores que 40} = {3 1 F~ 5 ' w 3) {multiples de 5 maiores que 5 e menores que 30} = { 4) {divisores de 12 maiores que 4} = 5) {divisores de 8 maiores que 1 e menores que 8} = 17%} 6) {divisores de 10 menores que 5} = {/1;} 7) {multiplos de 8 menores que 30} = {W} U. 3 . —. - } 8) {divisores de 15maiores que 18} = L} 9) {m1'1ltip| os de 5 compreendidos entre 12 e 24} = 10) {mL'1ltip| os de 9 compreendidos entre we 40} = {7 '- -V ‘W 5» } Jé sabemos que, numa divisfio exata, 0 dividendo é divisivel pelo divisor. Veja: 36 :9 = 4, logo, 36 é divisive] por 9. DIVISIBILIDADE

    11. Muitas vezes 0 processo normal da divisao é demorado, e, assim, para sabermos se um numero natural 1.‘ divi- s1‘vel por outro, utilizarnos certas regras praticas comumente charnadas de critérios de divisibilidade. Divisibilidade por 2: regra do divisor 2 Quando se divide um numero natural por 2, o resto da divisio é sempre um elemento do conjunto {0, 1}. Para que o resto seja zero (divisio exata), é preciso que o numero seja divisfvel por 2. i Um numero natural 13 divisivel por 2 quando no seu numeral 0 algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8. Em EL outras palavras, quando é par. Exemplos: 136 6 divisfvel por 2; 729 nao é divis1’vel por 2. 1 1 Coloque S ao lado dos numeros divisfveis por 2 e N ao lado dos nio-divisiveis por 2: 1) 248 4) 141 )1 7)1026 10)35628 «I 2)592§T 3320; 8)3050 #_ 11)18915_,1+ 3) 383 N 6) 984 3 9) 14727 . , 12)47129 A) Divisibilidade por 3: regra do divisor 3 Quando se divide um numero natural por 3, o resto da divisao é um elemento do conjunto {0, 1, 2}. Para que o resto seja zero 6 preciso que o numero seja divisfvel por 3. 7 ' *) Um numero natural é divisivel por 3 quando a soma dos valores absolutos (VA) dos algarismos de seu numeral 6 multiple de 3: M(3) = i0, 3, 6,9,. .1}. , ., , -1 Veja: 34 782 6 divisfvel por 3 porque 3 + 4 + 7 + 8 + 2 = 24 (6 multiplo de 3); 5 615 nfio é divis1’vel por 3 porque 5 + 6 + 1 + 5 = l7(n§o é multiplo de 3). Coloque S ao lado dos numeros divisiveis por 3 e N ao lado dos n50-divisfveis por 3: 1)33o 6)951 .3’ 1l)8725 ,1» 2) 153 (S: 7) 834_gL_ 12) 12528 5 3) 254 /1 8) 723 13) 125643 13 4) 375 5 9)1o7s; '_ 14)1o2o3s1 Q 5) 408 J 1o)3542/. _ 15)3125713 .1) Divisibilidade por 4: regra do divisor 4 Quando se divide um numero natural por 4, 0 resto da divisao é um elemento do conjunto i0, 1, 2, 3}. Para que o resto seja zero é preciso que o numero seja divisfvel por 4. { Um numero natural 6 divisivel por 4 quando os dois ultimos algarismos da direita de seu numeral representam um ) numero multiplo de 4: M(4) = ‘[0, 4, 8, 12, 16, 20,. . . }. J F ‘j ‘ 7 T . - a Veja: 9 [I 2 l é divisive] por 4 1 2 13 J‘ naoé d1v1s1ve1por4 1‘ F ’ 1 miiltiplo de 4 nao é multiplo de 4

    12. Coloque S ao lado dos numeros divisiveis por 4 e N ao lado dos n5o—divisiveis por 4: 1)728_; ;_ @3836; 11)314917_/ L 2)932 S 7)9880_g_ 12)528119i_ 3)501;_ 8) 145o4_»; ?_ 13)1250348_5_ 4)1450o». _>‘_ $125912; 14)2320649_/1__ 92926; 10)238740%” 15)1000004_5_ Divisibilidade por 5: regra do divisor 5 O resto da divisio de um numero natural por 5 é um elemento do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Para que 0 resto seja zero é preciso que o numero seja divisive] por 5. Um numero natural 6 divisivel por 5 quando o algarismo das unidades de seu numeral for 0 cu 5. Entioz 2 570 :5 divisive] por 5; 4 897 n50 é divisivel por 5. 1 1 Coloque S ao lado dos numeros divisiveis por 5 e N ao lado dos nio-divisiveis por 5: 1) 85 ~47 5) 1501 9) 5 924 l3)316 740 5 2) 110 ‘v’ 6) 620 10) 12 314 14) 1 250 714 / V 3) 1342 7) 807_7~__ 11) 15 845 5 15) 3 821975 L 4) 2470 A 8)6915 13124002; Divisibilidade por 6: regra do divisor 6 0 resto da divisio de um numero natural por 6 é um elemento do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Para que o resto seja zero 6 preciso que 0 numero seja divisive] por 6. T Um numero natural é divisivel por 6 quando é, sirnultaneamente, divisivel por 2 e 3. Exemplo: 504 6 divisivel por 2 (é par); 504 1% divisive] por 3 (5 + 0 + 4 = 9). Logo: 504 é divisive] por 6. Coloque S ao lado dos numeros divisiveis por 6 e N ao lado dos n50-divisiveis por 6: 1) 804 5) 6 718 1 9) 27104 13)52o11o 5 2) 206 '8» 6) 9 036 ll 10) 72 018 14) 1 238 421 “V 3) 903 ’~ 7) 12503.; 11) 125315 ‘~ 15) 1000002 5 4) 5 202 8) 16 728 12) 318 748 Divisibilidade por 9: regra do divisor 9 O resto da divisio de um numero natural por 9 é um elemento do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8}. O resto sera zero quando o numero for divisivel por 9. Um numero natural 6 divisive] por 9 quando a soma dos valores absolutos (VA) dos algarismos de seu numeral é multiplo de 9: M(9) = {0, 9,18, 27, 36,. . . }. Veja: 7 245 é divisivel por 9 porque 7 + 2 + 4 + 5 = 18 (é multiplo de 9).

    13. Coloque S 210 lado dos nfimeros divisiveis por 9 e N ao lado dos nfio-divisiveis por 9: 1) 239 5) 972 9) 8001 _ 2) 514 6) 3 006 10) 1008 3) 207 7) 4 348 11) 9 342 4) 638 8) 5 312 1(2) 15 471 Divisibilidade por 10: regra do divisor 10 13) 128915 14): 120347 15) 1000206 0 resto da divisio de um mimero natural por 10 é um elemento do conjunto {0, 1, 2, 3,4,5, 6, 7, 8, 9}. Para que o resto seja zero é necessério que o nfimero seja divisfvel por 10. Um mimero natural é djvisfvel por 10 quando o algarismo das unidades de seu numeral é zero. Observe: 3 720 6 djvisfvel por 10; 7 528 n50 é divisfvel por 10. T T Coloque S ao lado dos nfimeros divisiveis por 10 e N 30 lado dos n5o—divis1’veis por 10: 1) 130 4) I237 7) 20 920 2) 356 3 5) 4 700 8) 123 472 __ 3) 850 3 6) 12316 T 9) 328590 _ / ;-'3‘. '''»'' 771‘ a) Complete adequadamente: 1) Se8X 5 = 40,ent§o40é’ ___de 8e 5. 2) Se 10 X 6 = 60, ent5o 6 e 10 s5o__(________ de 60. 3)Se2X3X5=30,ent§o30é de2,3e5. 4) Se3X 7X10 = 210,ent5o_, e 550 su bmfiltiplos ou divisores dc. » b) Considere o conjunto A = {L 5, 12, 15, 20, 25, 27, 30, 36}. Agora indique: 1) 0 conjunto dos nomeros mflltiplos de 2 contido em A: { } 2) O conjunto dos nameros divisiveis por 3 contido em A: {_ 3) O conjunto dos divisores de 30 contido em A: { } 4) 0 conjunto dos multiplos de 5 contido em A: { } c) Considere o quadro: r, .3,5_ , _82, 920 31.1. 140, 289, 6050. E6- , . 13.2 416 .482, 36 279 153 .305] _ .41 .48 243 .44, .901 19.0 24 I17 1922 1025- .405 3844 A25. 36 , ,60 1.979 L08. 1230 . 306 209,, , :2, I908. .5628, JL4, _5,31, 34,9, 510, , _ _252, (2352, . 32E A80 102, _ 202 304, _55_ ‘ii £50, 5035 .21 JAIL 2000,- 1. 1.0. - 10_5_ . ,900 _13_ _129. 3831 156- _. 1 38_ 160.0. 5320 2, £52. .41. 29.10.. 10 10) 1230450 § 11)5921705 -__ 12) 1000260 _ Agora marque com X: 1,8 coluna: 2.3 coluna: 3.3 coluna: 4.3 coluna: 5.3 coluna: 6.3 coluna: 7.3 coluna: os maltiplos de 2; 0s mL'1|tip| os de 3; os multiplos de 4; os multiplos de 5; 0s multiplos de 6; cs mfiltiplos de 9; os mdltiplos de 10.

    14. EX1-: R_c1'c1os DE oEse11vo_Lv1Mg_Nro a) Coloque V nas sentencas verdadeiras e F nas falsas: 1) 0 zero é multiplo de qualquer numero. ( ‘ll 6) O conjunto dos divisores de 1 é vazio. (F) 2) O conjunto dos divisores de 14 é finito. ( /1) 7) Todo numero par é multiplo de 2. ( 5) 3) 1 é multiplo de qualquer numero. ('1) 8) Todo numero fmpar é multiplo de 3. (’; ) 4) O conjunto dos multiplos de zero é unitério. ( ’ ) 9) O conjunto dos divisores de zero é infinito. ( “) 5) O menor multiplo de qualquer numero é 1. ( ii’) 10) Todo numero é multiple de 1. ( ") b) Escreva no o menor algarismo que, acrescido ao numeral, represente um‘numero com as caracter1'sticas indica- das: 11 231 divis1'vel por 2e 3 51 3 271 77 divisfvel por 5e 9 21 4 532 divis1'vel por 2 e 5 6) 500 243 divis1'vel por 2, 3 e 9 31 2101 divis1'vel por 3 e 5 71 4 370 7 divis1'vel por6 e 9 41 4 131 divis1'vel p0r2e9 8) 5 555 77 divis1'vel por 10 c) Sabendo que todo ano bissexto é multiplo de 4 e considerando o conjunto A = {1345, 1485, 1500, 1640, 1910, 1928, 1978, 1979}, indique osubconjunto dos anos bissextos: {/599, 4’1“*v , "'55) d) Coloque B nas datas que representam um ano bissexto e N nas que representam um ano nio-bissexto: 1) Descobrimento da América: 1 492 ( B) 12) Confederacio do Equador: 1 824 ( 7) 2) Tratado de Tordesilhas: 1494 ( A/ ) 13) Fim do Primeiro Reinado: 1831 ( 3) Descobrimento do Brasil: 1 500 ( ‘/3) 14) Golpe da maioridade: 1 840 ( 7) 4) Primeira exploracfio espanhola: 1 501 ( N) 15) Lei Aurea: 1 888 ( 7) 5) Segunda exploracio espanhola: 1 503 ( N) 16) Proclamacio da Republicaz 1 889 ( 1' ) 6) Fundacéo de 850 Paulo: 1 554 ( A ) 17) E| ei<_:5o de Juscelino K. de Oliveira: 1 956 ( ) 7) Primeira 1nvas5o holandesa: 1 624 ( '3 ) 18) ln1'cio do governo revolucionério: 1 964 ( 0') 8) Segunda invasfio holandesa: 1 630 ( V) 19) Posse de Artur da Costa e Silva: 1 967 ( ) 9) Fim do dom1'nio espanhol: 1640 ( 3) 20) Posse de Em1’lioG. Médici: 1 969 ( 7) 10) Morte de Tiradentes: 1 792 ( '3 ) 21) Posse de Ernesto Geiselz 1 974 ( 0") 11) Proclamacéio da lndependéncia: 1 822 (' ) 22) Posse de. Jo5o Batista Figueiredo: 1 979 ( 7,) e) Coloque 8 a0 lado dos numeros divisfveis por 5 e N ao lado dos n50-divisiveis por 5: O 32' 11 125 5 41445 71 725 Q 101 1010 J 7 A ' C‘ 21 230 ‘-5 51 503 r‘ 8) 885 111 3495 ' 31 105 _’); __ 51 600 9 91 999 L 121 4444 ' 11

    15. »-/ /2 MAIOR DIVISOR CONUM NOCAO DE NUMERO PRIMO E NUMERO COMPOSTO Observe o quadro: _ 6 8 9 10 ll 12 13 14 15 16 17 18 19_ 20) 1 1 l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 2 3 2 5 2 7 2 3 2 11 2 13 2 3 2 17 2 19 2 Divisor“ 4 3 4 9 5 3 7 5 4 . 3 4 6 8 10 4 14 15‘ 8 6 5 6 16 9 1 10) 12 18 , 20) Note que: Existem numeros naturais que s6 admitem dois divisores: sfio chamados de numeros primos. No quadro aci- ma, sio primos os numeros: 2, 3, 5, 7.1l, l3.17,19. Existem numeros naturais que admitem mais de dois divisores: sfio chamados de numeros compostos. No qua- dro, sio compostos os numeros: 4, 6, 8, 9, 10, 12,14, 15,16, 18, 20. Observe ainda que: 0 numero 1 so admite um divisor: ele préprio. Logo, nfio é numero primo nem composto. 0 menor numero primo é o 2. 0 (mice numero primo par é o 2. O conjunto dos numeros primosé infinito: P = {2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .1. Complete: 1) D(14) = {a 1. Omenor divisor primo de 14 e. _. 2) D(l2) = (1 ~ , '. , ‘ 1 ). Omaior divisor primo de 12é_ 3) D(20) = ( , . - , , — ). O maior divisor primo de 20 é_. 4) D(l0) = 1 . . . ). O menor divisor primo de 10 é_~__. RECONHECIMENTO PRATICO DE UM NUMERO PRIMO Para saber se um determinado numero é primo basta dividi-lo pelos numeros primos: 2, 3, 5, 7, ll, 13. . . . até que o quociente seja menor ou igual ao divisor. N50 ocorrendo divisio exata, o numero em questfio é primo. Vamos verificar, por exemplo, se 0 numero 83 é primo. As regras de divisibilidade mostram que 83 nao é divis1'vel por 2,3 8 5. Efetuemos a divisio por 7: 83 I 7 13 LL11” quociente maior que o divisor 11 > 7 6 Efetuemos entio a divisiio por 11: 83 ll 1" _ "1 6 1 7 ‘ quociente menor que o divisor 7 < 11 Conclusioz o numero 83 e’ primo. 12
  • 16. EXE RE! "-‘£03 a) Escreva ao lado de cada ndmero se ele é primo ou composto: 1)40 V, T 5) 93 9)443 / * -- 2) 37 6) 29 4» 1o)s59 ; — 3) 61 7) 257‘ 11) 921 ~ 5;: -V, 4) 89 8) 279 . » V 12)1113 » b) Assinale com V as sentences verdadeiras e com F as falsas: 1) Todos os numeros I'mpares 550 primos. (.1 ) 2) Entre os mimeros pares hé mais de um ntimero primo. ( - ) 3) Um namero primo s6 admite dois divisores. ( ') 4) Os conjuntos dos ndmeros primos e dos nfimeros compostos 550 disjuntos. ( ) 5) Todos os ndmeros naturais ou 550 primos ou 550 compostos. ( ) FATORACKO DE UM NUMERO NATURAL: ‘A DECOMPOSICAO EM FArT7OiRES7 Fatorar um mimero é transformar o seu numeral num produto indicado. Exemplo:18 = 2><9 18 = 3X6 prgcltfio indicado produto indicado Esta operagio recebe o nome de fatoragfio. Para 0 estudo que Vamos fazer agora, s6 interessa a fatoragfio completa, ou seja, a fatoragio em que os fatores sio nfimeros primos ou poténcias de mimeros primos. Veja: Decompor o mimero 18 em fatores primos: 1.0 processo 2.0 processo . - 2, 2 Divisio sucessiva pelos divisores primos até que se encontre quociente 1. 18 . X X 9 .3 18 7 2 , ,, _ , fatores Disposigio prética L ’; 0 9 737 primos 1'8 2 2 0 3 F? 9 3 18=2X9=2><3><3=2X3 0 )1 3 3 1 fatores primos _/ />~. .M-. T‘S 1» x'a‘—: ‘EB / AL_G| J."SVLXEH-1IE? :i(‘! ‘ Decomponha em fatores prjmos os seguintes nomeros naturais: 1) 14 , 2) 32 3) 20 a « 14=. "— 32= 13
  • 17. 4) 75 5) 90 " 6) 120 1? : ( 76: _. I ~, ,. .'? ,., 90: 1 ‘ . _ . _ . ..__ 120:” , ,_ . w““: ' . . 7) 156 , 8) 1130 155 = .——. ——-————1.—-P; -" . ’ / *7 19° ' ~ 1 oBTENcKo BE E)§ D—E7UM7NC)ME)? O. paoeeggo P’RA*'E1_c"r$ *7 Vocé jé aprendeu a escrever 0 conjunto dos divisores de um mimero natural. Entretanto, agora podemos utilizar um dispositivo prético para a obtengio desse conjunto. Vejamos: Vamos achar todos os divisores de 70. Observe com atenqfio as diversas passagens: 1.° passo 2.0 passo . 5.0 passo 1 70 2 7o 35 5 35 7 7 7 7 1 1 D(70) = {l, 2,5, 7,10,14, 35, 70} Outro exemplo: achar todos os divisores de 20. l. ° passo 2.0 passo 20 2 10 2 5 5 1 D(20) = 11,2,4,5, 10,20} 14

    18. Utilizando o dispositivo prético, determine 0 conjunto dos divisores de: 1) 12 2) 18 3) 24 D112) :1 } D118) =1 1 D124) =1 _» —_ -; 4) 30 5) so 5) 45 D(30) = {_________H*} D(50) = {____a__} D(45) = {;____, __. _} a) Escreva o conjunto dos numeros primos menores que 30: 1,’. 1 . _, __. Agora complete: 1) O cardinal desse conjunto é 2) O maior numero primo desse conjunto é 3) O maior numero primo inferior a 20 e’ b) Decomponha em fatores primos: 1) 60 = ___: _j_ 3) 100 = 5) 39 = _._' 2) 80 = _'___? :_ 4) 256 = 6) 105 = - c) Assinale com P os numeros primos e com C 0s compostos: 1) 1091 . ) 3) 3371 v) 5) 2631 s) 2) 1761 ) 4) 247 1 1) 6) 9851 ) MAIOR DIVISOR coMuM Observe o quadro que segue: 1 Divisores de 36 1,2,é, V4,6,‘9, 12, 18,36 1 1|D(36)= {l,2,3,4,6,9, 12, 18,36} j 1)1visoresflde61) 1,2,3,-4,5,6, 10, 12, 15,20, 30, 60‘ )D(60)= {l,2,3,4,5,6, 10, 12, l5,20,30,60} Divfsorés comuns 1‘, "2;§,7t, “é, ‘ 162 1 I A operacio intersecezio fomece o conjunto de di- visores comuns: , Maior "(V111/iisbr Eorfium 3-12‘ " " I D(36)flD(60) = {l,2,3,4,6, [2 )' Note que dentre os divisores comuns de 36 e 60 o maior é o 12, o qua] recebe o nome de maior divisor comum (m. d.c. ) de 36 e 60. 15
  • 19. Indicaeioz m. d.c. (36, 60) = 12 A operagio que permite descobrir o m. d.c. chama-se maximaefio. Ao par de numeros (36, 60) amaxirnagio faz corresponder o numero 12, que recebe o nome de major divisor comum: (36, maximaqio Agora observe este quadro: Determine o conjunto dos divisores dos n1’1meros naturais, o conjunto intersecefio e o m. d.c. : D(6) = {l,2,3,6} D(1S) = {1,3,s,15} 1)(4s) = {1,3,5,9,15,45} D(6) nD(15)nD(45) = {1,-:3 } m. d.c: (6, 15,45) = 3 1) D16) = L.2,3,g. _} 3) D13) = {', _J_} 1j(2o)= gz45m za 1 D(12)= {,;31,5;z } D(6)F)D(20) = {(, _z_} D(3)n1)(12) = &J_} m. d.c. (6, 20) = _zj__ m_d. c_(3, 12) 2 3 3) D(l8) = } 4) 1)(15) = 1/r__g'__i, _1_L} D(24) = i } D(25) = ‘ 9r5’_‘g, _5_} 1)(18)nD(24)= {/ 2 g g } D(40)= 1, Z 4, 5 {Q 29 4Q } m. d.c. (18,24) = éj__ D(15)r)D(25)flD(40) = LL} m. d.c. (15, 25,40) = 5 PROCESSOS PRATICOS PARA A OBTENCAO DO M. D.C. 1.0 processo: decomposicio dos numeros em fatores primos m. d.c. (18,60) = 7 : ""r§16Fes' c_o1n11ns—) __. _,r . _ _ _ _ . .__J 18 2 60 2 18=2x3x3=’2>23* 2 3 3 60 = 2X 2X 3X 5 = :2’>€3 X 5 m. d.c. = fatorescomunscomos 1 5 5 m. d.c. (l8,60) = '2 x'3 = "‘°"°’°“°"P°°"“”~ . ' 1 Usando o processo da decomposieio, obtenha o m. d.c. dos seguintes nfimeros: l)40=. .z"g(§ 2)18=gxg"‘ 3)4o= ;“"5§ 60 24 = z’g 3 so = ,z2<§"’ m. d.c. (40, 60) —q‘x 5 : 3;) m. d.c. (18, 24) =3 5 3': g m. d.c. (4o, so) = .3x§=1Q 4) 24 =33; 3 5) 36 = ;‘°>_< ,5‘ 6) 18 = ,3 5 3‘ 42 = zx 3x 1! 120 = z’x gxs 12 = g,"’>_« 5 54 =22; af 180 -4‘; 3_"’x 5 » - 30 = .z X3/’5 m. d.c. (24, 42,54) = .zg 3:Q m. d.c. (36, 120, 180) 3Lxfi:1,2, m. d.c. (18, 12,30) 1&3; 16

    20. 2.0 processo; divisées sucessivas m. d.c. (36,'60) = ‘P J . ———- 1 fr—~——§ 3 jr- ---- —— quocientes ____ -- m. d.c. m. d.c. = (ultimo divisor Havendo tres mimeros, fazem-se divisées sucessivas de um deles com o m. d.c. dos outros dois. Veja: m. d.c. (6. 15,21) = ? -1 7 ‘; ____ m. d.c. (6,1S) 21 f'3“, L_—— m. d.c. (6, 15, 21) Usando o processo das divisbes sucessivas, determine 0 m. d.c. dos nfimeros: l)m. d.c. (l5, 13) = 5’ 2) m. d.c. (16,36) = L 3)m. d.c. (16,60) = 4 L 4 36 16 1+ 1/ 0 4) m. d.c. (l2, 20,36) = _"*_ 5)m. d.c. (24, 18,12) = _(v_ 6) m. d.c. (75,90, 150) = _’5_ <4 4 3 2, 4 5 10 36 14 24 18 6 12 b 90 75 75 150 15 0 5 0 0 /5 0 0 Quando o m. d.c. de dois ou mais nfimeros naturais for igual a 1, costuma-se denominar esses mimeros de primos entre si. Veja: m. d.c. (30, 24,35) = ? l 4 S 1 30 24 6 6 0 m. d.c. (30, 24, 35) = 1, entfioz 30, 24 e 35 sio mimeros primos entre si. Mostre, por meio de qualquer processo estudado, que os seguintes nlimeros naturais sfio primos entre si: l)l2e13 2)l2e35 3)l8e55 mafia (7.5, 13]: 4 :55:5x 4 m. d&(42,3é. ‘.—/ 77751/-C»(’7’» -55j= / 17

    21. 4)7,14e15 5)7,20e27 5)4,6e21 _, ., ,,, ,,_, j I , ,-, , ~ 1 . .’ , ‘ 1 4,4 (' 1 1 ’ 1 1: : /V/2 : 7"/ , "“, VERIFIOUE 0 QUE / F’F<1E_1lDEL7J a) Escreva o conjunto dos ndmeros prfimos entre 20 e 40: 1 es”; "?- -7', » " :2) Agora responda: 1) O cardinal desse conjunto éig. 2) O maior numero primo desse conjunto évr’; 3) O menor nL'1mero primo desse conjunto éwi a b) Considere o quadro abaixo que represema um més de 31 dias. E, 2 2 , ._, . M4110 DOM ‘SEG , TER _ oun ; ou1 . SE11, ‘SAB . . , ,2 . ‘L’. "82. ,3> ‘ , ,,1,,1,, *=; ,1,f2,, ,213 , 14 J3; , 1,7 , .10 320,, 21 :22, (23, (24. 1 5_(2,6_ 21 _f1)_;2_9,, J_ 31” Agora resolvac 1) Assinale com X os dias que 550 mdltiplos de 3. 2) Faca um c('rculo ao redor dos dias que sa'o divisores de 28. 3) Sombreie os quadrinhos dos nflmeros primos maiores que 10. 4) 0 dia da semana em que cai a data correspondente ao maior nL'1mero primo é o 3'7 5) 0 dia da semana em que cai a data correspondente ao m. d.c. (12,301 é a A/ ‘ ~ . 6) 0 dia da semana em que cai a data correspondente ao m. d.c. (28, 16) é o -1 ' ‘ c) Complete as sentencas adequadamente: 11 m. d.c. (24, 401 = 5 21 m. d.c. (20,241 = _;_______#_ 31 m. d.c. (12,751 = _fi _ ____ #_ 4) m. d.c. (14, 182) = _"_ 51 m. d.c. (18, 24,60) = __2,_ 6) m. d.c. (36, 120,180) = _'~ 7) m. d.c. (12, 18, 30) 2 “ 8) m. d.c. (12, 16, 24) = ?,, d) Assinale com P os numeros primos entre si e com N os que n5o forem primos entre si: 119,1s,27 (N1 315,7,9 (101 517,21,49 (‘(1 7189,24 (*1 215,14,1s (91 4)12,81,16 11*’) 6)24,30,35 ( 1 91 823,40 (’1 18

    22. e) Considere os ntimeros naturais a e b. Sabendo que a = 22 X 3 X‘ 72 X 132 e b = 22 X 32, determine 0 m. d.c. (a, b): yd r; Q 4 . m. d.c. (a, b) = __. } X " ‘~ f) Sabendo que a = 2’ x 3’ X 5 e b = 2x 3’ x 7, determine om. d.c. (a, b): /7144? 1/‘, 2' I‘ '1 5 ‘ ‘*2 g) Sendoa = 23 x 32 x 5’ e b = 2’ x 5’ x 7, enta'oom. d.c. (a, b) é: 7?‘ r/ « ’ A -7 1 6‘ 2 W h) Usando o processo prético, obtenha todos os divisores dos nflmeros: 11 15 2148 D(15) =13; 5 0 7-5 1 D(48) = {___. _#_1—z_J_1"~"(1‘( “ $1” 2'91 3164 4125 D(64) =1’ -3 - 0' ”«. *3 1 1” ~ 1 D(25) = L; ‘»~"~“} 5135 6140 01351 = 1’. 5. 1 01401 = 12.. v w 1‘ -' 1 (m<Enc1’_c, _1Qs DE oEs£(11yo1.m~'1'19 a) Achar o m. d.c. dos n1.'1meros que seguem, usando o processo da decomposiefio em fatores primos e o das divis6es sucessivas: 1) 35 e 50 2) 80 e 155 3) 30. 45 e 100 1' ‘ 1) ‘ -7 1 b) Problemas: 1) Num colégio ha: 36 alunos com idade superior a 16 anos; 60 alunos cuja idade varia entre 12 e 15 anos; 84 alunos com idade inferior a 11 anos. Certa vez, o diretor pediu a eles que formassem grupos por categoria de idade, com as seguintes caracteristicas: todos os grupos deveriam ter 0 mesmo / n('1me‘ro de alunos e o maior nflmero poss1'vel de alunos em cada grupo. Quantos alunos havia em cada grupo? 2) Trés |1'quidos diferentes, A, B e C, devem ser distribu1'dos em barris iguais. Ha 108 litros do liquido A, 96 litros do B e 72 litros do C. Para que o nL'1mero de barris seja o menor possiyel, (1213) deve ser a capacidade de cada barril? . - , . , . , . , u 1 /7 / / Quantos barris serao necessarios para conter cada um dos l| C|LI1d0$.7 ’~ 7 J: x1 , 8.‘ n. 3 .1 6.7 ax, C 1' 3) Considere dois livros, um com 128 péginas e outro com 144, reunidas em fasc1'cu| os com o mesmo nfimero de pa- ginas. Saben/ do que P ntimero de péginas de cadafasc1'cu| o é o maior possivel, determine quantos fasc1'cu| os tem cada livro. 5 I 2 4) "Temos trés vigas de madeira cujos comprimentos s50: 154 cm, 330 cm e 374 cm. Oueremosdividi-las em partes iguais de modo que cada parte tenha o maior comprimegto p<Zss('ve1.NQua| deve ser 0 comprimento de cada parte? . ,«o. Quantas partes se obtém de cada viga? * '2'" "227 1' ' “ ’ 19

    23. MENOR MULTIPLO COMUM NOCI-0 DE MENOR MULTIPLO COMUM Observe o quadro: M(2) = {0, 2,4,6,8, 10, l2,. ..} M(3) = {0,3,6,9, l2,. ..} A operagio intersecgio fomece o conjunto de multiplos comuns: M(2) n M(3) = {o, [§: §,12,. ..} Mfiltiplos de 2 0, 2,4, 6, 8, 10,12, . .. Mfiltilos de 3 0,3, 6, 9, 12, . . . Multiples comuns 0,6, 12,. . . Menor mfiltiplo comum diferente de zero Note que: 9 E impossfvel saber qual é o maior mfiltiplo comum, pois o conjunto é infmito. 0 0 zero 6 sem re 0 menor dos mfilti los comuns. P P Entre os mfiltiplos comuns de 2 e 3, o menor diferente de zero 6 o 6, que recebe o nome de menor mfiltiplo comum (m. m.c. ) de 2 e 3. lndicaeio: m. m.c. (2, 3) = 6 A operaeio que permite descobrir o m. m.c. chama-se minimagfio. A0 par de mimeros (2, 3) a minimaefio faz corres- ponder o nfimero 6, o qual se denomina menor mfiltiplo comum. minimaeio (2, 3) Agora observe esie quadro: Menor mfiltiplo comum diferente de zero M(2) = {0,2,4,6,8,10,12, . ..} M(4) = {0,4,8,12,16, . ..} M(8) = {0,8,l6, . ..} M(2) nM(4) nM(8) = {o, 16, . ..} m. rn. c.(2,4,8) = 8 Determine o conjunto dos mfiltiplos dos seguintes nfimeros naturais, o conjunto intersecgio e o m. m.c. : 1)M(6) = { 0. 6. 72, 79,241.30 . .,} 2)M(10) = { 0,40. .20, .50, 40 } M(4) = { 0, 4. z, /.2,/ e,.20,z4., .} M(5) = { } M(6)flM(4) = { 0, 42,14, } M(10)flM(5) = { 0, /0,20,. .. } m. m.c. (6,4) = L2 m. m.c. (l0,5) = ’/0 3) M(6) = {0, 5, 1.2, /3 24,30 . a§. .} M(9) = {0,9. /5, .29’ J6, } M(6)nM(9) = { 0, H, ag } m. m.c. (6,9) = /X 4) M(3) = {0,a,6,4, 1.2, /5, /1.: /.: é,. ..} M(4) = {0,4. 8. /2, /6.20.21/. ..} M(3)r1M(4)= {0, /2,424/, } m. m.c. (3, 4) = /-3

    24. PROCESSOS PRATICOS PARA A OBTENCAO D0 M_. lVl. C. 1.0 processo: decomposigfio isolada m. m.c. (18, 60) = ? 18 2 60 2 1s=2><3><3 =2><3* , ,_-, 9 3 30 2 60 : 2X 2x 3 X 5 : '2, X 3 X 5 ‘ m. m.c. — fatcires comunsl 3 3 15 3 12 12 1 1 e nao-comuns, 1 1 5 5 I'I1.1TI. C. ': 2 X 3 X 5 : com 05 maiores! I 1_-. ._, 2 2 2__°1‘P2"E¥‘_‘f°_5-__J Usando o processo da decomposigio isolada, obtenha o m. m.c. dos seguintes nfimeros: 2/ _, 1)9 = 5/V5: .2 2/ 2)9 = oU*: _,2"_—— _____K’< 3) 12 : _. .. . _ A 1 _-_ 12:.2x. ,§: ’>’: :2><3 15: 13:; J, :2, , , ' . m. m.c. (9, 12) = 3 X ,3 : 523 m. m.c. (9, 16) = :’’ 2 —' 7~v~ m. m.c. (l2,18) = ' 4)12=»2.<-2-<2 «Z33 5)30 6) 15 = 6‘ _ ,7, 15:5X0 45=4<, *.: 5=. ,,. 3: ‘_m— -3 _ m. m.c. (l2, 15) m. m.c. (30,45) = 6 = *. ._~+_-__ m. m.c. (l5,8,6) = ____ V .5 -»{''. "‘‘’)’/ .T> 1‘ 7)24=JL&&ZA s)9= )<3="'_T 36 : ,>< , < x : K 2” 12 : 2,-<g_/ < 3: ,2 2; 2 13:= z§32<3:353'& 13: Zg5x;3:,3,x3': 3 -L -C m. m.c. (24, 36,18) = ZL5__= _?Z_ m. m.c. (9, 12,18) = 2.0 processo: decomposigio simultanea m. m.c. (l5, 18) = ? m. m.c. (6, 10, 15) = ‘? 15 - 6 — l0 — 15 ' 3 “ 5 ’ 5 - 1 — 5 - 5 ” 1 ‘ 1 ’ I _ Obtenha o m. m.c. pelo processo da decomposigzio simulténea: l) m. m.c. (18,40) = _5é0 2) m. m.c. (30, 45) = 4Q 21

    25. 3) m. m.c. (24, 36) = '5! 4) m. m.c. (30, 24) = —‘ :1 H 30 " 24 5) m. m.c. (24, 16,12) = 6) m. m.c. (24,36, 18) = 24 — 36 — 13 1 7) m. m.c. (l2, 15, 20,9) = ,2 8) m. m.c. (16, 24,9, 10) = 7 16-24-9-10 VERIFIOUE O QUE APRENDEU a) Considere o quadro abaixo, que representa um mes de 30 dias. 1213,11‘ Hi3 > )iD70M>SEG 1:11 _0UA OUI sex vsnn , ‘ 1 >2’, 3 415 6 21 s 91 )10111213141516‘ 1171819120121 22 23, 124 625 2611271 129 13011‘ Agora resolva: 1) Descubra no quadro os mflltiplos dos dias assinalados e escreva abaixo os conjuntos formados por esses m1'1|tip| os. Mlé) = {. Z_, »~', /2%, A’, // Q, 4:", /W’ '— B; 7% I, -"’, (_, — '1 , .1, . ,, 4 xvi} M(_.7_) = { : 11* .2 Q 4'5) 2) Os mfiltiplos comuns desses dias 550: C» e - . M1321 r)1/113) = {; '~ 41*} 3) 0 menor m1'1|tipIo comum é 1 . 22

    26. b) Complete as sentencas adequadamente: 1) m. m.c. (18,30) = 252 5) m. m.c. (8. 9) = _Z. Z__j 9) m. m.c. (3, 15) = 2,5 2) m. m.c. (80,120) = _zs_0_ 6) m. m.c. 14, 5,20) = _z0_ 10) m. m.c. 115,25) = _Z5___ 3) m. m.c. (12,36,18) = _36_ 7) m. m.c. (6, 9, 8) = _%__ 11) m. m.c. (5,6,10,15) = _.iO_ 4) m. m.c. (4,9) = fig’ 8) m. m.c. (21,18,15) = @212 12) m. m.c. (4, 20, 30, 45) = /30 c) Considere os numeros naturais a e b. Sabendo que a = 22 X 3 e b = 2 X 32 X 7, determine 0 m. m.c. (a, b) e 0 m. d.c. (a, b): 2 -27 m. m.c. (a, b) = , x '1 ; 7, m. d.c. (a, b) = )< = d) Sendo a = 32 X 5 X 7 e b = 2 X 5, determine 0 m. m.c. (a, b) e o m. d.c. (a, b): -D m. m.c. (a, b) = Z . x .3 5 5 g< '1 : é ZQ m. d.c. (a, b) = 5 e) Achar o m. d.c. e o m. m.c. dos nflmeros 16, 8e 4: m. d.c. (16, 8, 4) = 4) m. m.c. (15, 8,4) = /5 Agora complete: 1) O nflmero / Q’ é m1'1ltip| o dos nflmerosiei. 2) Quando um dos ndmeros for maltiplo dos outros, entio ele seré o m'm15e o menor dos submflltiplos ser 0 m_ C . f) Achar o m. d.c. e o m. m.c. dos mimeros 12 e 5: m. d.c. (12, 5) = _L__ m. m.c. (12, 5) = @0 Agora complete: 1) Como o m. d.c. (12, 5) é igual a _L, ent'a'o os n1’1meros12 e 5 s5o . 2) Quando dois numeros sio primos entre si. 0 m. m.c. de ambos é igual ao mgfléé deles. EXERCICIOS DE DESENVOLVIMENTO a) Considere os seguintes meses do ano de 1979: FEVEREIRO 1979 4 5 6 7 8 910 11121314151617 1819 20 2122 23 24 25262728 JUNHO . 1979 JULHO 1979 noun sec 1:11 on oul sat on 67891011123456789891011121314 131415161718191011121314151615161718.19 20 21 20 2122 23 24 25 26171819 20 2122 23 22 23 24 25 26 27 28 27 28 29 30 31 24 25 26 27 28 29 30 29 30 31 JANEIRO 99M SEG TEN OUA DUI SEX SA! .j, I I 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 DOM SE6 TEN OUA 0I. ll SEX S I 23

    27. Agora complete: b) c) 1) 0 m. m.c. dos dias assinalados em vermelho no més de maio é $1 0.20. 2) Entre os dias assinalados em vermelho no mes de maio, 0 (mice que corresponde a um nfimero primo é /3 . 3) Dos dias assinalados em vermelho no més de julho, 0 (mice que corresponde a um ndmero divisive) por 3 e 5 é 45 e a nflmeros divisfveis por 2 s'a'o 5 5 3 3. 4) O m. d.c. dos domingos de janeiro é C’ e o m. m.c. é 5’/4. _i_ 5) Dentre os domingos de fevereiro, 0 unico que corresponde a um mimero mfiltiplo de 3 é e o finico primo é_/ {. 6) O m. m.c. do terceiro domingo de janeiro e do terceiro domingo de julho é Mg . 7) O conjunto dos divisores do nflmero que corresponde ao dia assinalado em vermelho e que né'o é domingo, no més de junho, é: D(fl) = {4 g 1 ‘gig }. 8) 0 quociente aproximado entre os numeros que correspondem ao ultimo domingo do més de junho e ao primeiro domingo do més de janeiro éi. 9) O conjunto dos dias de fevereiro que correspondem a nflmeros primos é: { Z 3 5 '1 M £5 1 2 46) all 0 cardinal desse conjunto é Q . 10) 0 (mice mes que possui como domingo um dia correspondente a um nfimero que na'o é primo nem composto é Problemasz 1) Na primeira pégina de um livro $50 escritas as ietras A, B e C. A Ietra A é repetida de 12 em 12 péginas; a Ietra B de 15 em 15, e a Ietra C, de 40 em 40. Sabendo que o livro possui 328 péginas, descubra o numero das péginas em que as trés Ietras aparecem juntas. (4) 7,2,4 4 2.4 4/} 2) De um aeroporto, a cada 20 minutos parte um avifio para o sul do pa1's; a cada 40, para o norte; e a cada 100, para a regiio central. Sabendo que, na partida das 8 horas, houve um embarque simultaneo, pergunta-se: até as 18 horas, em que horarios os embarques tornar5o a coincidir? // {Z ,2.) mm ) 1», #1 4/0 77'LML 3 1'67 fig/ ,‘ 3) Num hospital, um enfermeiro fica de p| ant5o a noite de 5 em 5 dias. Tendo ficado de plantfio numa noite de ' sébado para domingo, pergunta-se: depois de quantos dias o seu plantio iré cair novamente numa noite de sa'bado para domingo? (mm c (.5, W = 35daA/ ‘ 4) Sabendoque: A = 2’><3><5><72; B = 2’><3’>< 7 e c = 23 x3>< 7,determine: 2. m. d.c. (A, B, c) = m. m.c. (A, a, c) = 5 J’ 2’: ¢ Testes: 1) Sabendo que a = 23 X 3’ e b = 3’, entaoo m. d.c. (a, b) é: a. ( )23 b. 003’ c. ( )23x3* «1.( )2x3 2) Sendo a e b os ntiimeros do teste anterior, entfio o m. m.c. (a, b) é: a. ( )2’ b. ( )3‘ c. (x)2’x3' d. ( )2x3 3) O quociente entre o m. m.c. (6, 8, 12) e 0 m. d.c. (8, 160) é: a. (><)3 b. ()8 c. ()16 d. ()24 4) O m. d.c. de dois numeros primos entre si é: a. ( ) o maior deles b. ( ) omenor deles c. ( ) o produto deles d. (X) 1 5) O m. m.c. de dois nflmeros primos entre si é: a. ( )omaiorde| es b. ( )omenorde| es c. ()1) oprodutodeles d. (
  • 28. NUMEROS FRACIONARIOS SURGE UMA NOVA CATEGORIA DE NUMEROS: OS NUMERO8 FRACIONARIOS Adquirimos a nogio de mimero fracionério dividindo uma coisa, considerada como um todo, em partes iguais e tomando apenas uma ou algumas dessas partes. O todo é chamado de unidade e cada uma das partes em que foi dividido é representada por um numeral chamado fragio. A fraqio é constitufda de dois termos: o numerador e o denominador. Numerador: indica quantas partes iguais sio tomadas. Denominador: indica em quantas partes iguais a unidade, ou seja, o todo foi dividido. Observe: II 5". V. ) , — — — — — Cada unidade foi dividida em cinco partes iguais (denominador). Logo : Nfimero fracionfirio é um par ordenado de dois mimeros naturais a e b , sendo b at 0 _a E N b E N‘ COMO SE LE UM NUMERO FRACIONARIO o 1.0 caso: O denominador é: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. be-se 0 numerador seguido da palavra meio, tergo, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo ou nono, confonne o denominador seja 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9, respectivamente. 25 .
  • 29. Veja: 177 _ 1 2 , 4 -§: u)n meio K: um sexto ? : dols tergos 3: quatro nonos %: trés quartos —l—- te o i~ ét' —3- d ' _- - - . _1—4 art 3 . um re 7 . um s mo 7 . ors setrmos 8 . cmco oitavos 4 . um qu o l , 3 . 7 I . l i: um ortavo —5: trés qumtos 3: sete nonos ? : um qumto -9-: um nono Faea a leitura de: 2 4 . 7 , 1) -4-: a/ Q/ ’ Q“/ {)7 11’ 2) E": 3) / -2: " _ . W 6 4) %: fig, %; :,Z, ,1,, 5) %- 6) 3: , _ 2 , 6 5 7) g: 1,. 9 8) 7: 9)g: ; , ) 2.0 caso: O denominador 6 10, 100, l 000, etc. Le-se o numerador seguido da palavra décimo, centésimo, milésimo. décimo milésimo, centésimo milésimo ou mi1ionésimo, conforme o denominador seja 10, 100, 1 000, 10000, 100 000 cu 1 000 000, respectivamente. Observe: —1-‘ u1)n décimo 3-: trés décimos l‘0 ' , 10 ' L: um oentésimo 5 ' cinco milésimos 100 ' 1 000 ' 1 030 : um milésimo 733$ : dezoito décimos milésimos 10000 : urn décimo milésimo 1 100 000 : um centésimo milésimo l _ . . . l—""000 000 . um mrlronésrmo Complete: 4 , , 6 1)l—0 lé-se: 5,: , , , 2) l—06 )e.5e; £1 ['1 _ ’ ( V 7 ’ 18 3) E lé-se: , ' 7 r 4) mm 16-36: V. ) _, V,l , , / , , , 2 X 41 ' 5) “T le-se: 2 > —/ : _ » ‘_/ _ 6) 1-26 I6-se: 7,/ _ ,7 W V, 62 _ '_ , 102 7) 10000 ‘W ’ . I « « 8) mam 16'” ~ ’ 45 _ , _ 31 ’ 9) 15-83.’ ,1, 1w «, 10)l‘()—06lé-S6.’ / ,/0 ’. // H b, 26
  • 30. O 3.0 caso: 0 denominador n50 é 2, 3, 4, 5,6, 7, 8 ou 9 nem potencia de dez (10, 100, 1000, etc. ). Le-se o numerador seguido do denominador e da palavra avo ou avos. Veja: V": .''’‘W‘. 1_+: do 4.t i_ u. t l—2 . um o‘ze avo 1—3. qua ro treze avos 30 . um In a avo L _ . _ l , _J 13;; 5 1. t . at, 1'1 . r s or}| ze avos 20 . se e vmte avos 40 . eze quarenta avos | _ _ _ _ _ _ . .l Complete 1) E16-se: fig gmvzig 2121 2) 1-7516-se; M2 Zmmgé am; 3) 51-016-se: am Q! -flfigfi gm 4) 5-1e. se: ymzié “mg 2 M2 2221 5) 13()—131°‘5°= Aigmnu7zérzi2.74afl/ &$ 6) %1e'‘°‘ Ag Wzliemnmmb 7) %15'S°= AzZZzfd2Z2Z1z2/wt 8) -9% W mm mm M 200 2 . V 9) 3()—71e. se: g#@ IA¢fi@91 10) 17.6319-se: &‘¢, ,u[ Q E; -mg Z221 UMA DENOMINACAO ESPECIAL DAS FRACOES As fra<;6es que apresentam como denominador uma potencia de dez (10, 100, 1 000,etc. ) recebem o nome de frngées decimals. As demais sfio conhecidas por fraeées ordinfirias. Assim : 2 E é um numeral chamado fragio decimal; % é um numeral chamado fraeio ordinéria. Classifique, em fraqio ordinal-in ou fragrfio decimal, os numerais: 2 - . , _4__ , . , . 1) 3. I 2) 7. gnaw: Qzdazzgz 3) L. . . 4) _9_. - , 1o‘. ______4Z/66//7/‘ldé 20' , 41 - . , . 5)17)T)'_@ca.9 Wazcmmé 6) 1000' 42422242 13 , 1 ' 7) 9—0: éggig flzééflzzgz 8) W: éz/ E12 gzaéflgf ll 5 9>ra5m= ,&Qm‘ % '°)9_%a‘ ‘ " 27

    31. ‘_/ ERlFlQUE 0 guy: APREPJDEVJ - Considere a parte hachurada das figuras. Dé o numeral que a representa e, em seguida, o nome e a leitura desse numeral: 1) 2) 3) DICE v 1 numeral: numeral: V numeral: ~ nome: V. « ' ' nome: . ‘I’ 1/ 2 <1 nome:4j‘_-_, ‘_. -.-, }:. ,<1~», _2’¢, v,4_'_; g_ leitura: /35} (‘7.‘, leitura: /7/, :.7'_' . ‘ | eitura: _/g_/ ,_r; i__r_zL{g; ¢}; ~ 7 *'— ‘ "*‘——': 4) 5) 6) numeral: numeral: fj numeral: '39 nome: nome: 24;. . «/4 I nome: fgggjg 3,/ W 1,37‘. leitura: («'/ .«l'Z. f ‘<f*_j’/ -2", ; ; // t <5?/ .'Z‘7.I leitura: Q / /»‘:1.: , o leiturazgggi‘ g _73g, _W g; .»zz¢2VM: ,x2r 1 7) 8) 9) -1 5 3? numeral: N? numeral: 9 numeral: 1'3 _ __A nome: v ~n nome: ’ _. _.. ._. .‘. AA. L_L_. .._.4l. . . , . ' . , . ' 1 1- -, nome: {gga. z”g~,9> ~ ¢ / 1 I ' « 1 leitura: leitura: leitura * 1 2 4 I : l? lE; ‘§l§l'‘! V0l. ’fn A SUA (? RlATl/ IDADE Desenhe uma figura, hachurando a parte representada pelo numeral: 1 2 4 3 1 -— 2 — — 4 — ) 2 ) 3 3) 10 ) 4 —~—~ ———»_. ~ V — ——~r. ,. . - _ 7. ‘,7 WWW 7 _ . . . .-, ,,f 28
  • 32. UMA CLASSIFICACAO Observe as fraeées: Nesta fragio o numerador (3) 6 me- Nesta fragao o numerador (6)émalor Nesta fraeio o numerador (8) é um nor do que o denominador (4). Ela recebe o nome de fraeio pr-épria. do que o denominador (5). Ela recebe o nome de fraeio imptépria. miiltiplo do denominador (4), isto minador. Ela recebe o nome de fra- eio aparente. UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE naanaaaaaa naau naan ; _w__/ y__, __/ 2 5 A fraefio propria é um numeral que representa uma parte do objeto to- mado como unidade: A fraeio imprbpria é um numeral que representa uma quantidade maior que a unidade: 6 A frafio aparente é um numeral de um numero natural: 8 _ . 4 2, pois 3 4<l ? >1 Classifique as fraeées em prbpria, imprépria ou aparente: 1) §: an/ ,M‘m. ,' 4,; 2)%= /mafia 3) §: mmzg M. “% ”%gma__. _ ®%am@a____ 7)% ammé 8) %: ?a, m,4 9)% / « mg/ U mgn) 1A%; mmz Complete conforme o modelo: 1&1 2)% <4 3)‘5‘— >4 4)? =1, s)f—0<4 6)$<4 7)? = 8)‘, —:5 9),9—0<1 1o)%<4 11)% >4 12)-52-<4 13%; ) 14)%4¢ 1s)-: — )4 16)l6—l<¢ é, o numeradoré divis1'vel pelo deno- .
  • 33. SURGE UMA NOVA CLASSE DE NUMERAIS: OS NUMERAIS MISTOS Numa fragio, o trago indica a divisio do numerador pelo denominador. Assim 4- _ 1: L: . 2-4 2 2 2 3 2 10 5.10 6- . = L: . 1_0_= . = 1-6.1 6 5 1.5 2 10.2 5 Entioz Sio diferentes numerais do mesmo numero, ou seja, ~do numero quatro. Pois bem, quando se tem uma fragao impropria, pode-se transforma-la num outro numeral: 0 numeral misto. Veja: E = 8 . 5 8 l5:) ll 1 = 11. 1 1 5 ' 3 1 f 5 5 5 fraqio numeral parte parte imprépria misto inteira fraciomiria COMO SE LE UM NUMERAL MISTO I. .e-ae, _pr’, imeirarne;1te, a parte inteira do numeral acompaahnda da palavra inteir-o(s) e, em seguida, Kata parte fracionarla. - 1% le-se: um inteiro e trés quintos. Complete : l)1%1¢-se= wmmZZzA&za’au£¢coz. '2) 2%15'S°‘d9V1 1/nit"/ n91 L um: 30
  • 34. 3) 2315* IL/ /U ' 4,, g ’q»‘1/{(-7!/ /’: lh/ Q1 044772751 1’ Y Ll ’% 4) 3 7 5'55 ‘ . M‘: 1 122/; Jan. mg: 3, 1 5) 1 9 e'se w r “/4 f / .’(: ‘* 72'(’, *;‘/ f"l. 11 , , .1 6)410 65‘: 177,1. ’ ; ’ ’ ’ 4 1 1 K/ /fcvf/ “.191. 1 __ 7)3§lé-se ( ‘ , , , y ( 1 1,; 5 . 8) 2T2 1e‘ 1 I _. 4 L1: /1 I 5"/ ’,'<7("’ Q, /:‘7j5», C0'L‘9;7» 6 , . 9)1f,15'Se3 1.1 . ::»: » .5 14¢: 7321.5: 42123;: 9 , , 10) 51% 19'”: r » u/ .:z aw x 1%, ‘: . cz, ';}f. ;¢x>7/91. Transfonne em numeral misto: 1: ; 21:1,; 2: _9_____r<~_; 12 V 11 « 8 _ 442 3 14 5)7= ' 6)? ‘ 3 7)§* 5 8)7= : 13 4 “ 16 I “ 11 4 5- 14 1.5. 9) E = _~; 10) E = 5.: 11) ? = Q 12) W = 4.1 35_— 4_1:; ~ Q: 3:42’- 13) 10 — _ 14) 8 1, 15) 4 15) 4 1, 82 ~ 18 ; *1 _ 21 5 L 121 -4‘/ _ 17) 1—5 = 1s) 5—= :: 19) T= 4, 20) — ” Veja, no exemplo que segue, como podemos transformar um numeral misto em fragfio imprépria: 1—05‘ 400 1)1L= ' j’ 2)13_= ax/ Jgi gi 4 ' 7 " 1 _ ; ~ 3 _ ; ::«~, .: W 3) 23- 5,’ A 4) 2§- L1‘ 5 1 «T " ‘,5 L , 5 W/ LL32 5)3E= 1 Q13: I. 3 _; »;“«_LL: _* _-Ci 2 _ 3.>< : 35 7)21O- , _ ‘_w 8)93— 5 5 2 * __-ii 1 4;a_x/0.+A2_‘70.4 9)12§= -" 5 V 10) 1013 = 70 «/10 1_ {in "g: 7 g, »:5+’i -#5’ 1l)30?- _j/ 02, 12) 5?: 5 31
  • 35. VERIFIOUE O QUE APRENDEU a) Complete: _, 3 1) N3 f| 'a¢30§, o 3 chama-se e o 5 chama-se 21% le-se: ab: /¢ «J55/mm, _ ‘I 77 3) Sete onze avos é a Ieitura da fra<; 'a'o ' - 4) 2% Ie-se: [12¢z1;1z»m§w«9; z AM72 flzié an/19 _ 1 5) Uma fracio, cujo numerador é 9 e o denominador é 15, escreve-se: /5 6) 5% é um numeral 7) 142, 13 :4 e 3% s50 numerais do mesmo 73¢! //WZMA9“ . 8) Numa fraci-1'0 prbpria, o numerador é do que o denominador. 9) Numa frac5o imprbpria, o numerador é do que o denominador. 10) Numa fracfio aparente, o numerador é Z / I do denominador. b) Complete, conforme o modelo: 2: fracio ordinéria prbpria 8 7 1)11—3: 42%; -«Z2 Egg: 2'' Z Egglzzz 2)l7-: " 92%, } 2'23’: ’ ’ 3)%’%/2»<2,C4~&a/66077141// ’ 2 "%’i ' 2' ’ 5)£‘E. _. /' / 6,19“ . . 1 I . - 1oo dzwmax, 22% 29 ' 292422/rmxucz, 1o _ 100 7’T66'#_2@@ z[.4cw@; ;4/2:2/Q 8)W: ;fl%dd 9’3—3=@ zmammzaamm. /2 “$2 ’ c) Transforme em numeral misto: 4): —;= 42215‘ s)11%%= -‘ffig s1%= 4-7-3 d) Transforme em fracfio imprbpria: 1)5‘; —(')= £501 2)2%= 1?? 3)31'—3= # 4)‘l11—9= %7 5)1:—‘: —= fl 6)42—3;= % 32

    36. e) Resolva: 1) Um tablete de chocolate foi dividido em nove partes iguais. Rogério recebeu trés dessas partes, Marco recebeu duas e Lfgia recebeu quatro. Quais as fracfies que representam os pedacos de chocolate que cada um recebeu? a) Rogério recebeu do chocolate. b) Marco recebeu 9'' do chocolate. )1, c) L1'gia recebeu do chocolate. . _.__ 2) Qual a fracfio que representa a parte do ano formada pelos meses: a) janeiro, fevereiro e marcoz 7?’ __L4.4j__j__ b) novem bro e dezembro: -1; A c) setembro, outubro, novembro e dezembro: 77;’ _T_j. 3) Qual a fra<; 'a'o que representa a parte da semana formada pelos dias: .4 a) domingo e segunda-feira: 1% + b) quinta-feira, sexta-feira e sébado: _ r/ . 1 c) quinta-feira: a-— A . _._j_D__j__2___ 4) Escreva trés numerais diferentes que representam o numero: a) sete: ,, J _ H X, " 2 wk 4»: . . ¢ b) doze: 0 I IV »3f'f 4-«.2; b_£‘; ;-C , _ ’» c) trés: 3_ 5__Z; Qua W ‘A d) quinze: /5 8+5, 3 ; ' 7' ¢ .440 e)dez: 40. 5,7,] J 7 ‘ "' ' ' *’ 5) 6 kg de acflcar foram distribufdos a trés pessoas A, B e C. A recebeu 3 kg de acficar, B recebeu 1 kg e C recebeu 2 kg. Que frac5o representa a quantidade recebida por cada pessoa? » A recebeu ? .Qj_ B recebeu 7 (1 /1 C recebeu L3 6) Um pacote contém 10 balas. Estas balas foram distribuidas entre L1'gia, Daniel e Leandro, que receberam res- pectivamente 3, 2 e 5 balas. Qual a fracio que representa a quantidade recebida por cada um? Lfgia: —~—— Daniel: 42:. Leandro: /0 10 33

    37. CLASSE DE EOU IVAL ENCIA Observe as figuras. Elas representam o mesmo objeto dividido em 3, 6 e 12 partes. Este pedaco do objeto pode ser representado pelos numerais: Tais fragoes sao deno- minadas fraefies equiva- lentes. Este pedago pode ser representada por: 1-- I9 sao fraeoes equivalentes. As fraeoes equivalentes sa'o, portanto, numerais do mesmo numero. O conjunto fomtado por todas as fragées equivalentes de um determinado numero recebe o nome de clam de equi- valéncia desse numero. ' Para maior facilidade, costuma-se usar o sinal = em lugar de ~ para as fraeoes equivalentes. Veja: LL 3 em, ,_, ,.2=1=1 3 6 12 ' 3 6 12 DADA UMA FRACAO, COMO OBTER OUTRAS EOUIVALENTES? Para obter fragoes equivalentes, aplica-se a regra fundamental: Multiplicando ou dividindo os dois terrnos de uma fraeio got ummesmo nmero‘n; § ! , ‘ 9%". -se °utr=1,fm£59. wivalente %. e.rm°éra- Fragfies equivalentes a % A Fracoes equivalentes a -3- X 4 X 4 X 3 x 3 X 2j 1 X 2:1 ‘R 2 6 ' ' ‘ 3 6 12 x 2 I x 2:1 X 3 x 3 — ————————x 4 _ x 4 Desta mesma maneira obtém-se uma classe de equivalencia.

    38. Veja: Classe de equivalencia de um meio: Classe de equivalencia de dois tergos: . 7-1134 ~-2-3123 Ind1cagao.2 —{ 2, 4, 6, 8,. ..} Ind1caeao.3 —{ 3, 6, 9,12,. ..} Encontre as fraeées equivalentes a: 1 2 L 1)§_: _1_——_—_A: —f— : 2)§= .—_——= —/—j: A = 3 1 . = 3)—4-zj-= -j—: -—j— : = 5 . ' 4 - 4 , = = Complete as seguintes classes de equivaléncia: A A } 2>%= { , A . } z _ 9 T _ _ —. 3>? ‘{ } 4>§"{ < »— } 5 _ 5 _ , V $7-{ } 6n-0 -{ M } COMO SABER DE DUAS FRACOES SAC EQUIVALENTES? A A A Observe: Conforme jé sabemos, % e % sio fragoes equivalentes. Entfioz —6 X 8 = 48’ L X :1 produtos "87 / ’ ~ iguais, ‘4X 12 = __4§_; Verifique se as fragbes sfio equivalentes ou nio. Se forem equivalentes, coloque no Cl 0 sinal = , caso contrério, colo- queosinal 95 : I>%E% 2>i- % 3>%D{% 4>%% 5>-3-3% 8% E-3 7>%1% BM-§EI§—§ %31% 1°>1% 2-3 ”H%% 12>f%ai§3 13> % % 14> 1% 3% 15> % $3’ 16> % %% mg-3% 1s)§—; —§— 19%} 2o)%D; —§ 35

    39. FRACOES REDUTlVElS E IRREDUTWEIS Considere a fracioz % De acordo com a regra fundamental, dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo numero natural, obte- mos fracées equivalentes. Veja: E 71; E1? ET? 1 = T Note que, ao efetuarmos a divisao, obtemos uma fracio W ' 48 24 12 . equivalente, cuj os termos sao numeros naturals menores. L : 2__1 L: 2_] L: 2_I L, 3!] Quando a divisao nzo 6 mais possfvel, obtemos uma fra- cio cujos termos sa'o numeros primos entre si. 4 (m. d.c. = 1) Este processo chama-se simplificacao. f — > 1 e 4 s50 primos entre si fracdes redutfveis irredutfvel Ache as fracfies equivalentes até obter a fracio irredutfvel: 31:4 2 2 32:0 = 2 12 0 3 30 45 5 3)fl= z0=.2 4)fl= J«5=/5:5 45 15 3 120 60 .20 4 140 70 35 7 45 /5 3 ‘ 70 35 5 500 .260 50 70 9)i‘3.= -ii: /L= ;=4_ 1o)fl= _ZL= i=L 400 .200 700 50 10 180 90 ‘/5 9 11) 6-4-:32 ——”6 = —L 12) §= :67 3 72 36 1.? 9 90 30 70 m>fl= :—4~ :2 —, +=+ 64 . .z £_ fl 120: 60 _ :30 _ e 15) 15 5 16) 140 70 ‘ 55 ‘ 7 Podemos obter diretamente a fracfio irredutfvel, dividindo o numerador e o denominador pelo m. d.c. dos dois. : 24 I 4 _g4_ = _1_ 96 24 m. d.c. (96, 24) = 24 96 4 L : 24:] 00

    40. Obtenha a fraca'o irredutfvel, dividindo os termos pelo m. d.c. : 112- 7 _2:1'. -_—_____2 E-; ____‘z' 4)6_4=. j_g )5o‘10 60 5 24 3 72 ‘7 5:*§= 9 ;4_= 4* 7)9_6=__3 1:3 )56 $7 .30 5 128 -4 180 10 45_1 24_ .2 14__ 9' g_ a 9) E? -7‘ 1°) 36‘ T 11> 13 "T 12) 70 " T 45_ 3 35_ 4* 96_ -3 13)-63- 4, 14)E— 15)m— 5 REDUCAO DE FRACOES A0 MENOR DENOMINADOR COMUM , % e % que possuam o mesmo denomina- who Vamos considerar o seguinte problema: obter as fracées equivalentes a dor. Procedimen to : ° Determina-se o m. m.c. dos denominadores. ° Divide-se o m. m.c. pelo denominador e multiplica-se o quociente obtido pelo numerador da fragao. Obtém-se, assim, o numerador da fracao equivalente, cujo denominador sera o m. m.c. Disposicfio prética: —'——V (5 29 E} A} 3 ’ 4 ° 6 (E L _9_ 1_°_ 12 ’ 12 ° 1 :21 Reduza as fracbes ao menor denominador comum: 1 2 9 -4 2 3 8' 9 93°? —r°—c“ 2)§°7"‘7r°7:77 mmc. (£. i = as mmc(: ,i>= 7% 2 3 3)2’3°%”T’“}eé* 4)%°4 ’7%° 13.». mmc(£, _3_’_, é)= 6 mmc(i! ~i)= 72/ do .21 5)%°2_7o ‘-17% 6 .1: 6)%’%°% "37’ fig “-32” mmc<5_, £>)= 10 m. mc(g,1,1_)= 30 7); ,iei 72 25 e 3.7, 8)1,; e; , 75 10 e 6 10 3 5 ~‘%70"m“ —-70‘ 2 3 5 7v—"30‘ 30‘ mmc(70 6’ 5 )= ‘JV0 m. mc. (-_3_,5_, £)5 ~50 37

    41. W’ I ‘*7? 7 —V&OMI’"/ r| ;ACAVO iDE’ NUMEfiOg | éRAC|6ilARIOS 1.0 caso: Nfimeros fracionérios, cujas fragées tem denominadores iguais. A fragio com o maior numerador representa o nfimero maior. A —r. .—1 1 9 Perceba qu_e a parte do objeto representada por % é maior do que a part: representad_a por % . 7 5 5 7 Entio. 9>9 ou 9<9 Compare, colocando no Cl os sfmbolos > ou < : 1>%% 2>%E1% 3>‘$-D% 5 , 7 5 3 2 5): ? ‘WU: 735% 9)%lio 1o)%B15—7 11)%16 11:5 12) 2.0 caso: Nfimeros fracionérios cujas f1-aq6es tém numeradores iguais. on A %l %4 aim : |~o °‘| ‘" . _.| ._. .. .|. _. ax]. .. ua xo -- o A fragfio com o menor denominador representa o mimero maior. 415‘. 1i2§3 _ _L , _ _, ! ,1 31 2 FTS T Perceba que a parte do objeto representada por % 6 major do que a parte representada por 3 3 A i_ Entio. 5>7 ou 7<5 38

    42. Coloque no D o sfmbolo > on <: 0%? 0%? 0157;? 4); ‘? .1 1 6 6 7 7 4 4 07? E7 017 ?6 8)? E §—5% ‘°>%°51%6 “>79; 2% ”>%% 0 3.0 case: Nfimeros fracionérios, cujas fragées tém numeradores e denominadores difetentes. , 2 3 Como comparar os numeros - e — ? 5 4 Procedimento: 0 Obter fraqéesequivalentes com omes- __[: """ "_’_‘_‘v": _‘. ___ ___ mo denominador. gr 2 -‘E g. 3 z : r 8 E 3 -E ~ 2 3 . ?. e 1-; ::—01<, §.3;, eno. ?<-I 0 Comparar as fragfies de acor

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