Manual de fórmulas técnicas 2

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Published on March 13, 2014

Author: Nuevededos

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PARTE 11 APLICACIONES AVANZADAS

Cálculo de las componentes. Si se conocen lal, a, /3, y a'101 ax = lal'cos a ; ay = lal-cos fJ ; Bz = ralcos r Observación: Operaciones vectoriales como ladeterminación de magni- tudes, cosenos directores, sumas y productos, se llevan a cabo con las componentes de los vectores a lo largo de los ejes OX, OY y oz. az cos r = lal OY y a's a'8 a'7 Cosenos directores de un vector: cos a, cos /3, cos y a, /3, y son los ángulos entre el vector a y los ejes OX, Oz. (a, /3, y = 0° ... 180°). cos a = I~I; cos fJ = fr¡; con cos" a + cos2 fJ + cos2 y = (lal siempre ~ O) Magnitud de un vector: lal (o bien, a) 171 = Ikl171 - --- -=-~=::.:.:w;..- a; _1 k 1 ax : /c...c.---'-' ~----'~~--''''''''' :;¡tox 7 .-ItOY BZ a = as a'B B;+By+BZ _ - - O Bx i + a y j + Bz k '/ - '_i {;ax a = Componentes vectoriales lIy = !l2 - 11, BX = X2 - X 1a'z aa a'4 Componentes escalares Magnitud, dirección y componentes de vectores Vector: Representación de una cantidad fisica con magnitud y dirección Coordenadas del punto inicial A del vector a: Xl, Yl' z, Coordenadas del punto final B del vector a: X2' Y2' Z2 Vectores unitarios sobre los ejes OX, OY, oz.7,7, k IAnálisis vectorial at

a'24 m>O; F::"tt;; Fa;m';; F,,=m'a .) Elsímboloi1significaquelosvectores(-b) y b sonparalelosy desentido contrario. F = m·a -a .....e e=k·IBl (e ~ O) Sz= Bz+ bz- Cz+··· a'23 ex = K> 8.. ; ey = k· ay; ez = K> az Si k > 0, entonces e n a, por lo que a'20 Sx=8x+bx-cx+.·· ;sy=ay+by-ey+ ... a'21 Isl= Vs: + sr'+ s/ Producto de un escalar por un vector Escalar: Magnitud física sin dirección. El producto del escalar k con el vector ada el vector c. a'22 c = k· -; (k ~ O) Suma vectorial sde vectores libres a,5, -e, etc.: a'19 s = -; + b --;+ ... = sx'¡ + Sy.}+ sz·; 1;1112 s -------.,iftIí ...... I ...... I ... I I Valores importantes 151para 2 vectores a'17 a'18 Isl=a'16 Sx:;:;: ax - bx; sr:;:;: By - by; Sz = éiz - bz a'14 a'15 s = ~ -a'11 s=B+b=sx·¡+Sy·j+s,·k a' 12 s, = B, + b¿ Sy= ay+ by s, = a, + b, 1-;1= Vs/ + s/ + s/ Diferencia vectorial s de dos vectores libres a y "6 -->- &. P"C"...... 8.., , I , I , I , I , -, +b ~ ~~/ Adición y sustracción de vectores Suma vectorial s de dos vectores libres a y "6 •Análisis vectorial k < 0, entonces e rt a, por lo que Ejemplo: Fuerza ; masa x aceleración a'13

a'38 a'39 Línea de acción ;,/ If 2 "'" - E M = Radio vector x fuerza = r x F = - ( F r) ~ . M = r F· sen 'P (M i O; r, F ~ O) ~ ! ¡jj.1 Ejemplo: Momento M de una fuerza F respecto a un punto O: -1-:1·lbl - b, - forman una tríada derechaa, C a'33 c~ = ay bz - a.z by a'34 ey = a.z s, - ax bz a'35 ez = ax by - ay b, a'36 1-;1 = impor- a'3? tantes El producto vectorial de dos vectores libres a y ti da el vector c. Símbolo del producto vectorial: cruz "x" _~.oo ... 1800_" e b ;= -;xb= -(b'-;) ICJ= a b senrp = 1;11;1 sen 'P (e ~ O) . e j_ a y -; j_b ..0 a a'31 a'32 Fuerza x Desplazamiento = r.:a'29 W a'30 W O - ./ s /" riÍ]~(W ~ O; F, s ~ O)F s ces rp 2?00 impor- ~~~----~~~~+-----~r-~~=+-------tantes Ejemplo: Trabajo W de una fuerza F en el desplazamiento s a'28 «zr ./" - - - - - 1- b /"k = a· b = b·a = a·b· cos e :Ial. bl'COS~' k = Bx·bx+ ay·by+ az·bz (k;: O) .0 -1 Bx·bx+ ay.by+ Bz'bz . b cos'{J - rp = cos I':j.¡bj a Valores Srmbolo del producto escalar: punto ..... Productos de dos vectores libres El producto escalar de dos vectores libres a y Dda el escalar k. IA'3 a'25 a'26 Análisis vectorial

  • b'3 b'2 Para lograr un manejo más sencillo de y(x) -por ejemplo, para su integración- es conveniente descomponer y(x) en fracciones parciales: y(x) : ~¡;l::~~,+ (x~~,)' + + (x~~~')k1 + +~+ ~ + + ~ + ... + x-n, (x-n,)' (x -n,)" + xA~~.+ (x~~'.)' +••. + (xA:~:),. Si los coeficientes de O(x) son reales, aparecen raíces complejas por parejas (raíces complejas conjugadas). Para efectuar la descomposición se agrupan estas parejas en fracciones parciales reales. Si en bt, n2 = n, (compleja conjugada de n,,) y debido a su aparición por parejas k, = k2 : k, entonces las fracciones parciales de b'2 con las constantes Al1 ... A2k2 pueden aqru- parse en las siguientes fracciones parciales: Bllx + e'1 + Bf2x+Cn + + B1kX+C'k x' + ax + b (x'+ax + b)' (x' + ax + b)' Las constantes A" ... Aqkq, B" ... B,. YC" ... CIk se determinan igualando los coeficientes de igual potencia en x en ambos miembros de la ecuación, después de que en la parte derecha, descompuesta ésta en fracciones par- ciales, se toma el común denominador O(x). Ejemplo: (x): 2 x-l :2x-l:8"x+Cl1+~+~ y (Hl-2i)(Hl+2i) ( Hl)' Q(x) x2+2H5 nI (H1) ' 2x-l 811x (H 1)'+Cl1(H 1)1+Aq,( Hl){ "'+2H5) +Aq,( X'+2H5) QTXT Q(x) 2x-l: (Aq,+ 8,,)x) + (3A" + A" + 28" + C,,)x' + + (7A., + 2A., + 8" + 2C,,)x + 5Aq, + 5A" + C" Al igualar los coeficientes de las partes izquierda y derecha se obtiene: B" : -1/2; C,,: 1/4; Aq,: 1/2; Aq,: -3/4. Cuando se tienen rafees sencillas n¡ las constantes A", A2" ... ,AQ, de la ecuación b'2 pueden calcularse como sigue: b'4 A,,: P(n,)/Q'(n,); A21: P(n,)/Q'(n,); ... A, = P(nq)/Q'(nq) Función de fracciones racionales () p (x) _ a,+a,x+a,x'+.,.+amxm n>m IJ x : QfXT - b; + b, x + b, x' + ... + b, z" n y m enteros Los coeficientes "v, b. pueden ser reales o complejos. Si n, son las raíces de O(x), se obtiene la forma factorizada: P(x) P(x) y(x) : QxY: a(x-n,)".(x-n,)kI ... (x_n,)k, En esta expresión pueden presentarse raíces de multiplicidad k" k2.... " de O(x), las que pueden ser reales o complejas; a es un factor constante. Descomposición en fracciones parciales • Funciones racionales Función de fracciones racionales, Descomposición b'l
  • (continúa en C'2) = S,(W)·S2 (w) = S(w) = I ~ I S(*)siempre que a> O S,(w) + S2(W) F{s,(t) .. S2(t>} F{s( t)} F{s(at>} F{s,(t) + S2(t)} c's c'10 c'll c'12 +00 = JS2(r)'s,(t -T)'dr -00 ea +00 S, ( t) ,. S2(t) = Js, (r) , S2( t - r ) . crConvolución«r Reglas de operación c's Desplazamiento en tiempo F{ s( t - r)} = S(w). e- i~T; i = P +00 1 .00 Jls(t>l' ·dt = 2" JIS(w>!' ·dw -00 _00 Energra} espectral c's i =Y-1 +'" F-'{S(w)} = s(t) = -21 Is(w) ei~r . dw; lt-co c'4 i ='(-1 -¡&Ir e ' dt; +00 = S(w) = Is(t)F{S(t)}c'3 Definiciones Generalidades Con la transformada de Fourier F{s(t)} se lleva a cabo, con ayuda de la • Integral de Fourier, un desarrollo de la función tiempo s(t) en un espectro continuo (densidad espectral) S(w), en el cual la frecuencia corresponde a la densidad del espectro: s(t) debe tener las siguientes propiedades: a) ser divisible en un número finito de intervalos en los cuales s(t) sea continua y monótona. b) poseer valores definidos en las discontinuidades s(t + O) y s(t-O) de modo que pueda expresarse Transformadas de funciones Transformada de Fourier c't s(t) - 'h[s(t + O) + s(t) + O)] e'a e) ser tat que frS(I)1 dt converja. -'" La transformada inversa F-' {S(w)} conduce a la función tiempo.

    (continúaen C'3) AoRw;{w) (Función) s(w) rectángulo ( ) A sen (woot ) 21{ c'17 t =-010 01 t conwo=r S{w) It o s(t) sen (wT) S{w) = 4ATocos{2wT)--wr-c'16 sen' .!:'....!.. 2 -j 2 ATo --",-T"- 2 S(w) unciónrectáfl..1 AoR (t-T/2)- ulo con cambio TI) de signo - A o RTIJ ( t + T /2 ) s(t) c'15 c'14 S{w) = A (Densidadespectral constantesobre w) w 2 A r- sen (wT)/(wT) Funciónimpulsode Dirac A o ó ( t ) ~'A6rtJ ~fI Funciónrectángulo A o R T (t) !"" c:rrt) T t S(IlI) DensidadespectralS(,v) S{w) = ¡"'s(t)'e·iW'. dt -ex> Funcióntiempo s(1) 1 ex> s(t) =-2 f S(w).eiw'.dw It_oo c'13 (continuaciónde C'1) n seguidase indican las densidadesespectralescalculadaspara algunas • mportantesfuncionesdel tiempo. Transformadas de funciones Transformadas de Fourier
  • S(w): _._A_ J W T d lid t Impulso exponencial c'28 c'27 c'25 c'26 c'24 2" ,m,"",,:~) "o 0-, ~ S(",): _ t c'23 Impulsod~GaUSS S(I) -a'I' A e <t 1 c'22 c'2l S("'): A.sen T(",+",o) + w "'Wo + A. sen T(", - "'o) W - (Uo Rectángulomodulado 2Jl 2Jl ART·(t) cos ("'ot) "' o: T.:---:;¡ s(t) o a ({Tj 7'jjYr(IJ -TV V~T 1 - T Funcióntriángulo A DT ( t ) c'18 .. c'19 c'20 •DensidadespectralS(w) (continuaciónde C'2) Funcióntiempos(l) e'3Transformadas de Funciones Transformadas de Fourier
  • Regfa. de operación c'32 Linealidad L{f, ( t) + fz( t l} F,(p) + F.(p) c'33 L{C'f,(I)} c-F,(p) c'34 Teorema L{f( 1- a)} e -dp . F(p) de traslación Teorema de t c'35 convolución f,( 1) * 1>( 1) = !f,( I-T)· f.(T)· dT r = [f,(T)·!>(I-r)·dT c'36 f,(I)* 1>(1) ~ F, (p). F.(p) c'37 Cambio de L{~ f(~)} F(a'p)variable c'3S Diferenciación L {f'( I)} p·F(p) - fW) c'39 L { 1"( t ) } p'-F( p) - p. r:O·) - f'( O·) c'40 L{f"(I)} n-: pO'F(p)-L: fl')(O·)p"-H k=O c'41 Integración L { o/!( t)· dt} = .l.F(p) P F(p)----<>f( 1)f( I )o---- .....F(p) Representación abreviada:Representación abreviada: I 00·;00 e-ptdl L-'{F(p)}=!(t) =2~J:(p)ePt'dP o L {f (I)} = F(p) =Ji(t)o c'30 c'31 I Transformadas de funciones I e'4 Transformada de Laplace I Generalidades: Con la transformada de Laplace L (I(I)} se representa (o transforma) la función t(I), con ayuda de la integral 00 c'29 F(p) = J !(I).e-Ptdl o en una función imagen; t(l) debe ser nula para I < OYpara I 2: Odebe estar totalmente definida; e-PI es un factor de amortiguación que hace que la in- tegral converja para un gran número de funciones del tiempo. Se tiene que p = a + iw (a 2: O) es una variable compleja de operación. En este do- minio de la imagen pueden resolverse ecuaciones diferenciales y analizarse procesos no periódicos (por ejemplo, vibraciones). El comportamiento de la función tiempo se obtiene por medio de la transformada inversa (véase la tabla e'6). Definiciones

    c'46 I/(t) = f,(t)*t.(t)-Y(p) = F,(p) , F.(p) La respuesta y(I), para una red dada, depende de ',(1); y(l) puede calcu- larse según el esquema después de obtener Y( p). La transformada inversa en el dominio de I puede obtenerse en forma cerrada si F2(p) está dada como una función racional de p y la transformada F,(p) puede obtenerse de la tabla en e'6. Dominio de p F,(p~~ Y(p) ~ Dominio de I ~ c'45 c'44 c'43 c'42 • Empleo de latransformada de Laplacepara la resolución de ecuaciones diferenciales Esquema de operación :-- - -OomiñiOde t ---- --: Operación de :- - - - -Do~i~tOde -p- - --; r-----=E,...C-.d-'i7,.-p-a-ra-Y-'("'t)-+--" cálculo 'r------------,¡ condiciones iniciales II---------H I '----'-'-'-'-''---''':___:_::'''':'_:''__j Véase reglas de '-----,------' I derivación r---;:::==--':-:,..,..,."--,,.,.,--__, : Resunadode la , r.:-:"~~i~n_de~a~_ecs:difs. _H-: ---T-ra-n-sf-o-rm-a-d-a--+l 1 inversa según e'6 El problema de resolver las ecuaciones diferenciales se reduce al de ha- llar una transformada inversa; esta operación se simplifica expresando Y(p) en fracciones parciales (véase B'1), o en funciones cuyas transformadas inversas al dominio del tiempo puedan encontrarse ya tabuladas (véase la tabla en e'6). Ejemplo: 2y' + y = f( t ) ; f( t) es la función de excitación 1 y( O') = 2, es la condición inicial '~I~:¡~}2p·Y(p)-2y(O+)+Y(p) = F(p) ~ c'43 (t)a-----e Y( ) = F(p)+2y(O') = 1/p+2y(O') y p 1 + 2p 1 + 2p Según sea f (t) <>------. F (p) se obtienen diferentes soluciones para y (1). (Supongamos que '(1) sea la función escalón, Según e'50 es en- tonces F(p) = 1/p). seúnB'1}Y()= 1 +2y(O')=.! __ 2_+2y(O') g t p{1+2p) 1+2p p 1+2p 1+2p ¿ 1 - Y, 1 -1-, ->-z y según C6, y ( t) = 1 - 2 2 e + 2' 2'2 e = 1 + e Aplicación del teorema de convolución de la transformada de Laplace a redes lineales Una función de excitación ',(1) se transforma a través de una red en una respuesta y(I). La red se caracteriza por la función de transferencia F2 (p); F2(p) tiene la transformada inversa '2(1). C'sTransformada de Laplace Transformadas de funciones
  • c'74/ c'75 c'73 c'54 c'55 c'56 c'57 c'58 c'59 c'60 c'61 c'62 c'63 c'64 c'65 c'66 c'67 c'68 c'69 c'70 c'71 c'72 C'48 c'49 c'50 c'51 c'52 c'53 • Transformadas de funciones C'6Transformada de Laplace Tabla de correspondencia = Jf(t) úo+ioo F(p) -pI f( z ) = ~1_. JF(p)' p t ·e . dt ; e . dp 271'1 o Go-ioo con p = i w = i 271' L, i = y:T Función imag Función del tiempo Función imagen Función del tiempo Flpl f(ll FlP¡ tu¡ 1 6 (t) 'º' Dirac rl 1 sen( kt) + (p' + k2)2 2ke: e: 11p 1 para t> 0l~~ t cos(kt) °para t<O ~~ +2 e' IIp' (p2 + k2)2 ces(kt) -t - .!:_ t· sen ( k t ) 11po tn-1 2 (" - 1 ) ! 1 para b * a: 1I(p - a) e x p í a t) (p-a)(p-b) ebt _ eat b - a 1/(p- a)2 t exp( at) 1 1 -.1 . sen (kt) (p+a)2+k' kea exp(at)-1 1 p(p - a) 1 '(P y;:-:T__ 1__ 1 rrexp(-t/T) 11 + T· p pE 2 - Jl a p' - a' senh(at) yp -1/ (2f¡t· tJ/,) p cosh(at) p1(P 3/( 4YJi' t'/I) pi _ a' In p + b 1 ( -.1 -bl)p+a Te -e _k_ sen (kt)p2 + k' tan '(alp) lit sen (at) p c o sj x r ) para a > O: -.'pi + k' e -.'{P _a__ 4T 1 1 2ty;¡Te (p'+k')2 2k' sen (kt)- para a ?lO: 1 1 -.fP a - n' t ces(kt) -e e r f c 2 YTp P 1 1 { Función (p' + k')2 2i(sen(kt) YP' + k' Jo(kt) de Bessel c'47
  • d'4 Ejemplo: y'" (x) + m(x)'y' (x) + n (x)y2(X) + p(x)y = q(x). d'5 Orden: es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ED. En el ejemplo anterior, el orden de la ED es 3. d'6 Grado: es el exponente de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación al expresar ésta en forma polinomial, o sea, al racionalizarla. d'7 ED lineal (EDL): es una ED en la que las funciones desconocidas y sus derivadas aparecen sólo elevadas a la primera potencia; las ED linea- les son siempre de primer grado. d'B ED homogénea: en ésta la función forzante o de perturbación q(x) es igual a O; es decir, q(x) = O. d'9 ED no homogénea: en ésta, q(x) '*' O. df O Solución: es una función, y = y(x), que junio con sus derivadas satis- face idénticamente la ED. La integración de una ecuación diferencial es el proceso de encontrar soluciones. Integral general de una ED es el conjunto total de sus soluciones. La inte- gral general de una ED de orden n contiene n constantes arbitrarias: e" e2, ... , en.Tales constantes adquieren valores definidos cuando se es- pecifican las condiciones iniciales y(xo) = Yo; dt y'(xo) = y'o ... yln-,) (xo) = y1n-'). La integral particular de una ecuación diferencial es una solución espe- cífica de la ecuación. Ecuaciones diferenciales ordinarias d'3 Forma: F (x, ytx), y'Lx), ... ylnJ(x)) = O. En esta expresión y (x) es la función buscada; y' ... y1n)son la primera y su- cesivas derivadas hasta de orden n, con x como variable independiente. x = [Iu, V, IV)a2x = x2·v·", ~. ~ all·av au av Las EDP no se exponen aquí en forma separada, ya que los métodos de las EDO pueden aplicarse a ellas. d'2 Ecuaciones diferenciales parciales (EDP), en las que las funciones busca- das dependen de diversas variables independientes; por ej.: y = [tx¡y" + 2.x2y = sen x •Ecuaciones diferenciales ordinarias (EOO), en las que las funciones bus- cadas dependen sólo de una variable independiente; por ejemplo.; Una ED es una ecuación que contiene lunciones, derivadas (o diferenciales) de estas funciones y además variables independientes. Hay que distinguir entre: Concepto de ecuación diferencial (EO) Ecuaciones diferenciales Conceptos generales dt
  • La Yoen se obtiene para q(x) *'O. En 0'3, 0'6 y 0'7 se indican procedimientos para encontrar estas soluciones; en O'g y 0'12 se dan algunas soluciones para la Ypart de ED lineales de primero y segundo órdenes. Solución particular de la ED no homogénea: Ypen- (En O'g ... 0'12 se dan las soluciones de algunas ecuaciones di- ferenciales lineales de primero y segundo órdenes). Yhom = C¡y¡(x) + C2Y2(x) + ... + Cny.(x) Solución de la ED homogénea: Yhom. La Yhom se obtiene resolviendo la ED no homogénea en la que se hace q(x) - O. Toda ED lineal homogénea de orden n posee n soluciones independientes Y.l' Y2' ..., Yn con n constantes arbitra- rias independientes e" ..., en. Solución general de la EOL no homogénea d'14 d'13 Ecuaciones diferenciales lineales (EDL) d'12 Forma: En esta ecuación, y = y(x) es la función buscada; y' ... yn son la primera y sucesivas derivadas hasta la de orden n de y( x); p, (x) ... Pn(x), son funciones de x. 1. Transformando y ordenando la ecuación de manera que pueda identificarse Icon un cierto tipo de ecuación para la cual existan soluciones (Véase 0'6. 0'8 •...• 0'12). 2. Empleo de una sustitución especial (Véase 0'8) Efectuando tal sustitución, la ED con frecuencia puede reducirse a una de menor orden o grado para la que exista una solución conocida (Véase O'g, ...,0'12). 3. Empleo del método de los operadores, en especial de la transformada de Laplace (Véase C' 4 ... C' 6). Métodos para resolver una ED Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales
  • Resolviendo el sistema se obtiene: Cj(x) = 2x2; Cí(x) = -2x2·lnlxl Integrando Cj(x) y Cí(x) Cl(x) = íx3; C2(x) = - %X3 [Inlxl - iJ la solución buscada es entonces' y = lx3 -Inlrl - 1x3 (Inlxl - .!).1 = ~9x3. pa..r 3 3 3 Solución general: 2 y = Yhom + Ypa..r= CI·lnlxl + C2 + g-x3, Comprobación: y' = Cl + lx2 y" = _ CI + i x x 3 X2 3 y" + L _ CI + ix +.9. + 1x = 2x x x2 3 X2 3 YhomSegún d'111 = Ic¡e-f}d·.dx +C2 = C¡·lnlxl+C2 = C¡' y¡(x) + C2· Y2(x) en donde y¡(x) = In Ixl y Y2(X) = 1 Sustitución: Ypa..r = C¡(x)·y¡ + C2(X)'Y2 Sistema de ecuaciones { Cí(x)·lnlxl + Cí(x)· 1 = O simultáneas indicado en d'16 Cj(X).} + Cí(x)· 0= 2x d'27 d'26 d'25 d'24 d'23 d'22 d'20 d'21 q(X)·y¡ln-2) + Cí(X)'Y2In-2) + + C~(x)'Yn(n-2) = O q(x)·y¡ln-1) + Cí(X)'Y2In-¡) + + C~(x)·Y.rn-¡J = q(x) d'17 Determínense las C¡'(x) para ¡-l. 2, ... n del sistema anterior de ecua- ciones simultáneas. d'18 Intégrense las C¡'(x) para i - " 2, ... n a fin de obtener las C¡(x) de la sustitución hecha para y. Ejemplo: Encontrar la Ypart de la ED: d'19 y" + _!_ y' 2x. x d'16 q(x)·y¡ + Cí(x)'Y2 + + C~(x)'Yn = O q(x)·y¡ + Cí(X)'Y2 + + C~(x)'y~ = O Solución particular Obtención con el método de la variación de parámetros Si se conoce la y_ de una EDl de orden n (véase 0'2. 0'6). la siguiente • sustitución conduce siempre a una solución particular: d'15 Ypart = C¡(x)·y¡ + C2(X)'Y2 + ... + Cn(x)'Yn' Método para la determinación de C,(x), C2(X) •...•Cn(x): Fórmese el sistema de ecuaciones simultáneas: Ecuaciones diferenciales lineales 0'3Ecuaciones diferenciales

    rr por lo que el = 2' - 1.d'37 entoncesd'36 d'35 el ~ O; el adquiere un valor definido, si por ejemplo < y(xo) = 1 para xo= ~ 1 = ..!...(Cl + sen I!.) - cesI!. rr/2 2 2' d'34 Comprobación: y' el + x cos x - sen x + - Xl X2 sen x sen xy' + 1. x isenx - cos x 1 Y = Yhom + Yparl = ¡(el + sen x) - cos x.d'33 Ypart Según d'100, la solución particular se calcula con la expresión: S J1. dx -f1. dx sen .r-e x ·dx. e x S(senx'elnIXI) dx·e Inlxl = S(senx - x)dx.i- d'32 d'31 d'30 con el ZO. y' + ~ = sen x y = Yhom + Ypon Según d',OO, p(x) = i q(x) = sen x. Según d'99, la solución homogénea es: -f..! dx -Inl.tl el Yhom = e¡,e x = el·e = X d'29 Ejemplo: d'28 Forma: y' + p(x)y = q(x). La forma corresponde a la dada en 0'2, d"2 para n = t: la derivada de Imayor orden que aparece es y'. En 0'2 y 0'9 se dan soluciones para y, Yhom, Yosrt- Ecuación diferencial lineal de primer orden Ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales Ecuación diferencial lineal de segundo orden d'38 Forma: y" + P1(x¡'y'+pAx),y = q(x) La forma corresponde a la dada en 0'2, d"2 para n = 2; la mayor deri- vada que aparece es y". En O", y d"2 se dan las soluciones para y, Yhom Yparl·

    d'50 Ypart = A'sen(wox-y), d'51 en donde A= Ao y(b2-wo2)2 + 4a2wo2 d'52 y también y cot : 1 b2-wo 2a Wo Ypartd'49 e-ax.s:(WX) .feax·cos(wx)·q(x)·dx - - e-ax.c~s(WX) -feax·sen(wx)·q(x)·dx *) *) Observación: Para el caso especial en que q(x) = Ao sen (wox), se obtiene: d' 47 Caso periódico: k2 = a2 - b2 < O 0'48 Yhom = e-ax[C¡'sen(wx) + C2,cos (wx)] con w = ybLa2 Yparl C¡'e-ax+ C2·x·e-ax -e-ax fx·eax·q(x)·dx + x·e-ax feax. q(x)'dx *) Yhom d'44 d'45 d'46 Caso aperiódico límite: e(-a-k)x f *) - -2-k--' e(a+kJx·q(x)·dx Ypartd'43 C¡'e(-a+k)x + C2.e(-a-k)x e(-a+k).r f---' e(a-k)x. q(x)'dx - 2k Yhom Caso aperiódico: k2 = a2 - b2 > Od'41 d'42 d'40 y = Yhom + Ypa,' Y· + 2ay' + b2.y = q(x). a y b con constantes, q(x) es la función de perturbación. Solución general: Según 0'2 y d'15 Debido a la gran importancia que tiene este tipo de ED en los problemas de • vibraciones, se presentan a continuación varios casos especiales de ella. d'39 Forma: Ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes 0'5Ecuaciones diferenciales lineales Ecuaciones diferenciales

    *) e,. e2..... enson constantes arbitrarias. ypa" = gl(X) + g2(X) + ... + gk(x), Para encontrar soluciones particulares se utilizan expresiones que depen- den de la forma de q(x). En 0"7 se dan algunas de estas expresiones. Una vez determinada la expresión correspondiente para Ypart. se obtienen Ypart. y'part. etc .• y se sustituyen en la ED por resolver. Igualando coeficien- tes similares. pueden determinarse las incógnitas ex y p. (Véase el ejemplo en 0'7). Caso c): Aparecen raices complejas conjugadas: '1 = a + iP; '2 = a - ip = 'l. Yhom = Ct,er¡'x + C2'errx *) = e""'(A'cOS PX + B'sen px) A = el + e2; B = i(el-ez) Solución particular de la EO no homogénea de orden n con coeficientes constantes Caso a): Todas las 'lo '2, ..., 'nson reales y diferentes entre si: Yhom = el'e'¡''! + C2,e'2'X + ... + Cn,e,'"',r *) Caso b): Aparecen raices múltiples y sencillas: '1 '2 = ... = 'm; 'm+l' 'm+2' .. 'n' Yhom = efe'!'X + e2'x·e'!'X + CJX2·er¡ .... + ... + + Cm,xm-l.e'¡'..r + Cm+t"e'rn+1 + o •• + Cn,e'lI'x *J Forma: I Ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes Ecuaciones diferenciales ID'Ecuaciones diferenciales lineales 6 d'61 d'60 d'59 d'58 d'57 d'54 d'55 d'53 Solución de la EDl homogénea de orden n con coelicientes constantes. q(x) - O). Sustitución: y = e"; y' = "e"; ... y1n) = ,n'e" Sustituyendo estas expresiones en la ED homogénea dada en d'53, se ob- tiene la ecuación algebraica d'56 an,n + an-l,.,,-I+ ... + al' + ao = O. De esta ecuación pueden obtenerse las raices r" '2, ... , 'n' Dependiendo del tipo de las mismas, se obtienen diferentes soluciones para la Yoom:

    y" - y =c¡'ex+c2·e-x+t· 4, cos 2x-C¡'ex - C2 ' e-x + tcos 2x = cos 2x + «-cosh mx + fJ'senh mx + + d'84 d'83 d'82 d'81 d'80 d'79 d'77 d'78 A· cosh mx B· senhmx A· cosh mx + B'senh mx A·cos mx B·senmx A -cos mx + B'sen mx d'74 A'e-U'cos mx + B'e-U'senmx d'75 Ejemplo: y" - y ECOS 2x; según0'6, d'SS: d'76 y = e"; y' = r·e"'; y " =r2'e" Sustituyendoen la EDhomogéneacorrespondiente(d'7S) r2-1=O; r2=1; r¡=l; r2=-1 Yhom = C¡'e'¡'x + C2·!l'l·x = Cfe' + C2,e-x, Laexpresiónpor sustituires de la forma: Yp." a' cos 2x + fJ'sen2x Y'P." = -2u·sen2x + 2fJ'cos 2x Y·P." = -4u'cos 2x - 4fJ,sen2x;. Sustituyendolasexpresionesdadasend'79yd'81enlaED,d'75,se obtiene: -5u' cos 2x - 5f3' sen2x = cos 2x, Al igualarcoeficientessimilaresresulta: 1 1 fJ = O; u = -'5 por lo que Yp." = -scos 2x Solucióngeneral: 1 y = Yhom + Yp.,' = C¡·ex + C2,e-x -'5 cos 2x Comprobación: y'=c¡.ex-C2·e-x+tsen2x' 2 y"=c¡.ex+c2'e-x+t· 4, cos 2x u'cos mx + fJ' senmx + + u Uo + u¡x + ap2 + + u,.,xm Uo + U¡ + ap2 + + u,.,xm U'e-U Ixm Ao + A¡x + Ap2 + ... + A,.,xm A'e-U Ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes A Expresiónporsustituirparala Ypa,' =Formade q(x) a'e-U cos mx + f3eAx S9nmx + A, e=-cos mx B'e-U'senmx d'62 d'63 d'64 d'65 d'66 d'67 d'68 d'69 d'70 d'71 d'72 d'73

    Di (") c::: S» (") ::D- CDO ~:::::I ~CD 0:(1) :le.Q. _. !l_ oCD ... ~ Q.CD g:::::l (")_.S» -CD (1) y noestácontenida explícitamente x noestácontenida explícitamente Suposición d'88 d'89 d'90 d'91 d'92 d'93 d'94 d'95 d'86 y(n)= ¡(y, y', ., y(n-lJ) (VéaseejemploA) o,.... Sustitución Observac ión ::ti ay' = p = ~ Reducc ióndel e dx ordenn g y' =p' =~.p aln-1 o:dy ~ y' - P Reduccióndel ... el. Y " = ~ ordenn m !!. dx al n-1 2. O d '87 I--(--...,.(--(k-----)+Las- ..,...,.......·......,.-das-d.,.-orde-:-+--y ""(k-+"'l)~=~p----l---=:":':"'_:_---Ien ~ y nJ= ¡,x, Y +1), ... y(n-l) ","'V" e n - - 1 hastala deordenk, d Reduccióndel _. CD Y(k+2)= p' = 22. ordenn al n-k o- ~(VéaseejemploB) noestánpresentes d x ~ "C I-E-~-m-p-w-A-:-------J---_:_---~~-e-m-Pl-O-B-:--~~-J--------1 ~~ rv" - y'2 = O; d y'" + 2y" - 4x = O. § ~ Sustitución:y' = p,' y" = p 22.dv dn 111 _100Sustitución:y" = p; v" = =dx=p' d d d m;::;:y.p.!Y!.-p2= O· !Y!. = ~ e e dy 'p Y p' + 2p - 4x = O, segúnd'100 n Inlpl = Inlyl + In C p = C¡,e-2x+ 2x - 1= -º-'Y' = y" ~ g:Inlpl = In Cry = ~ = y' dx O el. ~ aCDp = Cvy = y' y' = S(Cl·e-2x + 2x - 1) dx + C2 CD < y' - Cvy = O ~ 111 J e ::s ~. y = Cl·e- Cd,= Cl.e-c" y' = - i'e-2x + X2 - X + C2 = ~ 3-1-- Comprobación:y' = -Cl . e-Cx . C iD er= Cl·C2·e-Cx Y = S(-%·e-2x+x2-x+C:z)dX+C3 1l y'y"-y'l=Cl·e-cx,Cl·Cl·e-CX- 1 x3 Xl iil - Cl2 . Cl. e-Cx-2 = o y = ¡Cl'e-2x + Cl'x + 3' - "2 + C3 y(n)= ¡(x, y', ... y(n-l)) d'85 mForma de la ED

    e<O.... Eliminando p se obtiene la solución de la representación paramétrica Yhom, véase d'99 Obtención de la sol. parto por variación de las cons- tantes; véase 0'2 y 0'3 x = f~+c y = [(p) y = e-fp(X)dX{C+fq(x).efp(X)dX'dX] en donde yp = fq(x)-eJp(X)dx.dx.e-!P(X)dX y'= p o, ED implí- cita de or- y = f(y') :? den 1, Sin termo en x y = Yhom + Ypart ED lineal y = C(x)-e-fp(x)dx c. no p fe; homogénea y' + p(x)-y = q(x) Y;= C'(x)'e- p(x)dx o de orden 1 -C(x) 'p(x)- .e-Jp(x)dx y = Yhom Revisar si la ED es transformable en f ({.l y = Ce-fp(x).dx = Yhom fdX - f du + C X - [(u) - u =u = u + x·du dx zx y' c. ED lineal ffi homogénea y' + p(x)-y = O de orden 1 ED similar Después de integrar es necesario resustituir f dx = Jf3[(U~u+ a + C ax + f3y + y = u du dx = a + f3y' y' =1. (du _ a) f3 dx De varia- o, bies no di- y'= [fax + f3y + y) ~ rectamente separables m °mi(') s,e::::1m CD(')IR__ c.O ;::::::s ¡¡CD ~tn ¡¡j' C. ii"~ ~CD CD~ -g, :::::s 3(')CD __ "'m0- "'CD ~tn _::::1_-- Las variables x así como y pueden separarse por el signo igual Observación fg(y)-dy = f[(x)'dx + C Solución Expresión por sustituir De ~ variables y'= 91' = fH)_ al separables dx g(y) Tipo Forma
  • Tipo Forma Expresión Solución Observación g'mpor sustituir i(') ~ ED impH- x = f(p) Eliminando p se 9. ecita de or- x = f(y') y' = p y = fpf'(p)·dp + C obtiene la sol. de O mo den 1, sin la repr. paramétrica ::::1 '" termo en y ID (') '" _.Q. ED de d Alaml dx = ...KJELx + __fJpl_ a.O~ bert, impHcita y = xsty') + f(y') y' = P dp P - g(p) p - g(p) :;::::sc.> de orden 1 ~(I)con C¡ y': Repr. para métrica g:tn ~ y' y= x,Cl + f(CI) (Integral de x y y. Integral (') ED de y = x-y' + f(y') =p general: familia de rectas) sing. (envolvente) iii'Q.i Clairaut f(y') = f(p) x = -f'(p) por elim. de p m:;;y = -p-f'(p) + f(p) "'(1) a..., _1_ z' + p(x)·z = -q(x) ID (1) l-n -g. :::s ~ EDde y' +p(x)y+q(x)yn = o z = y¡~n Z = e-J(l-n)p(.) dx [C-(l-n)J q(x)- Reducción a una ED 3 (')Bernoulli y = zr=;¡ 'eJ (l.n)p(.).d'dX] de orden 1 en z: ID sr~ de orden 1 con n * O; n*l 1 n sol. según 0'9, d'lDD "'y grado n y' =-_oz"'1=ñ"·z' _j_ 1 0- l-n y = Z 1-" =)Iz "'(1) ~tn::::1 y(x) - U(X)+YI(X) z' [p(x) + 2q(x)·y¡(x)J·z q(x) ED no ---homogénea en eED de y(x) es una 1 z: sol. segúnC, Ricalti de y'tp(x)yt q(x)}'2=rtx) sol. parto ytx) = y¡(x) t e+l!p(.)+2q(,).Y¡(')IOX 0'9. Al menos-~ orden 1 conocida 1 una sol. pan. _.....y grado 2 1 debe ser Ozix} = Ii(x) . [C+Jq(x)·e-flp(·)+2q(.)y¡(.)Jdx dx] conocida

    Expresión Solución Observación mTipo Forma n mpor sustituir e Y así como y' Empezar el DI (")e, y = el + e2 x + f[Jf(x).dxJ.dx cálculo con la n eo no están y" = [ix) integral interna o' m.... presentes ::1 y(x) - el' e'¡' + e2· e'2' Yhom ID 52.c, y C2 son CII EDL - ~ + Jal2 -a constantes C. Ohomogénea y = e'? con '1,2 = arbitrarias ;; ::se, 2 - 4 o IDde orden y" + a¡y' + ao y = O y' = r-e= o bien A = el + Cz ... (1)o ID<XI 2 concoels. y" = r2'erx y(x) = e= (A' cos {3x + B· sen {3x) B = i (el-e2) ::1 f/)constantes n con " = a + i{3; '2 = a - i{3 = ;1 jij' o.y (x) = el'e'lX + e2·e"'" + Ypa" iD _.EDL no Yparl depende CII .....e, homogénea (si "*'2. véase d'110) o de q (x). Cálculo: C. (1) de orden y' + a¡y' + aoy = q(x) y = Yhom + Ypa" véase 0'6,07 ID ...o 2 con coels. y(x) = eax(A·cos{3x + B·sen{3x) + Ypa" y Observaciónd'110 CII (1)so IDconsts. (si '1 = a + i{3; '2 = a - i{3 = i'j) ce ::se Y(x) e¡ X'¡ + e2 'XI'2;'1 * '2 C, y C2 son ::1 (") C. mED de con = l-b, +JCb¡-1)2_b constantes Oy = x' '1,2 2 - 4 o arbitrarias Oe, Euler, lineal x2.y"'¡: b¡xy'+ boY = O y' = ,·x,-l a. (1)- o bien y(x) = xa[A·cos({3·lnlxl) +- homogénea, A = el + e2 f/)o y" = ,(,-1)x,-2 + B·sen({3·lnlxl)] IDde orden 2 B = i(el - ell ::1 para " = a + ifJ Y '2 =" - ifJ EDL Sol. por e~ homogénea y' = u y = f e¡'e- Jp¡(x)dx'dx + e2 = Yhom reducción ........de orden v" + p¡(x)'Y' = O o du primero a una - 2; sin y Y =- de orden 1- dx ....explicita
  • Despuésde transformarlaen: y,(x), comosol. y,(x)·w +[2yj(x) +p,(x)'y¡(x))w = O part., debe ser y = y .v[X) conocida.Reducir ¡ 1 _ luegoa una lin. y = y,(x)fC'-2-'e !PI(X)'d:'dx+c21homog.de orden 1. Y1 (x) ~ Paray,(x), véase0'9 a. EDL _¡ homogéneay" + p¡(x)'Y' + GIl de orden + P2(x)'y = O 2 e y" = f(y,y') Despuésde elimi- nar u se obtiene la soluciónf du . fU.dU x = ¡(u) + el' y= ¡(u) + e2 du Jdx = f(x,u); Y = u(x)'dx + e Sueleser irresoluble v(x) = ___L_ y¡(x) v'(x) = w _ d (___L_)- dx y¡(x) y' u • du ttv.u) du duY = dx = J'y,u = udy u dy = f(y, u) u = u(y) x = J_EL + e y=yW uM ~ EDde - orden 2, sin x Al final se sust. y'. ~ dx por u ~ ED y' u(y) ~ de orden 2, y" = f(y) v'> () du x = + J dy + e~ sin y - u y . ay -Y2J¡(y).dy + e, 1 .: D de orden" f(' r 01 2, sin y' y =tix, y) Y - u(x) c: ED de y' u ~ Si~r~e;~;m y" = ¡(y') y" = u' al sin y ¡(y') = [iu) ~ ho~~g~ea y"+ p (x)y'= q(x) > = txu y =J[eJplIX)dx. (e,+J q(X).eJpl(X)dx.dX)]dx+e2 Cá~~r;~~n~~s ¡;) de orden2,' u"< r. J (J f )]inyexpHcita y = Yh + Yp Yp = le pl(x)dx. q(x) Pl(x)dx·dx dx integrales a. EDL Internas h é y" du f du f:id~~~ge~e2~y"+ p¡(x)1(y')=0 y'= u; = dx ¡(u) = - p,(x)'dx + e, c.> illvexoHcitá ¡(y') - f(u) y f u'dx + e2 m gm ¡!ln o·e ::1mIDnUI _. g;o ID::::S ;CD ¡;:cn ¡¡¡'- iD- en:;: Q.CD ID.,. !l:CD ca::::s snQ. _. om ~tD g.cn ::1 Expresión I Ipor sustituir Solución ObservaciónFormaTipo
  • AvB (A "o" B) A" B (no A "y" B) A"B (A "y" B) A (no A) *) Diagramas de Venn para la representación de eventos El rectángulo representa la totalidad de los eventos A¡: Círculo mayor: evento A ,g, (A,) Círculo menor: evento B ,g, (A2i La superficie sombreada indica cada caso: PIA)·P(B) para eventos independientes P!A) Pliü = O. eventos mutuamente excluyentes. Caso especial para eventos mutuamente excluyentes: prAl + PIB) P(AnB)IP!B)*), probabilidad condicional de A (Probabi- lidad de A dada la probabilidad de B) Caso especial para eventos independientes, con P(B) o bien prAl * O: PIAIB) PIA) PIB/A) = P(B) PIA) + PIB) - PIAnB)*) O, el suceso A es imposible 1, la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos A, tiene el valor 1. frecuencia relativa • Número de eventos en que ocurre A Número de eventos posibles Probabilidad del evento (o suceso) A Axiomas de probabilidad e'10 e'll e'8 e'9 P(A/B)e'7 e'6 PIAuB)*)e'5 L 1'(,1./) ; P(A)e'3 e'4 e'2 rc«¡ Análisis estadístico Conceptos generales de probabilidad PIAnB) PlAnA) e'l
  • peA <x,) -peA <x,); F(X2) - F(x,) x, P( X, .. A < x,) ; f f( r ) . dx x, e'17 e'16 El área de la superficie sombreada de la función de densidad indica la pro- babilidad de que el valor de la variable aleatoria A se encuentre en el in- tervalo de x, a X2 (sin incluir a X2)· F(x) ; L Pi x F(x) ; f f(x) dx -cc la función de densidad de una variable aleatoria A está dada por Pi o por '(x); su relación con la función de distribución es: 9'14/15 o '(x) para valores continuos de una variable aleatoria «aPi o., Función de densidad Pi. o bien '(x). Pi para valores discretos de una variable aleatoria o •F( co ) O; F( x) crece de O a 1. F(x) para valores continuos de una variable aleatoria F(x) ----------- ) " 5 67 B 0,5 F(x) para valores discretos e una variable aleatoria rta ---------~- r-e- lím F(x) F(- 00 ) e'12 e'13 Variable aleatoria A la variable aleatoria A puede tomar diversos valores Xi; cada valor X ies un evento o suceso aleatorio. Se diferencia entre valores discretos y valores continuos de una variable aleatoria. Función de distribución F(x). la función de distribución F(x) indica la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria A sea menor que el valor correspondiente de la absci- sa x. la función F(x) es monótona creciente y Conceptos especiales de probabilidad Análisis estadístico
  • Ejemplo: El histograma de 10 mediciones, cada una de las cuales muestra una desviación estándar (J = ± 0.03 p'm (micrómetros), tiene en- tonces en conjunto una desviación estándar (Jg O/ = 1002 ; Gg = ~01[1O "'" ~0,095 p.m y además A tiene aproximadamente una distribución normal (véase e'48 y e'54), o sea: e'30 P( A ~ x) = ~ (x ~ p. ) e'27 la variable aleatoria A ¿ A¡ tiene e'28 el valor esperado (o media x) p. s ». (x ¿Xi) e'29 la variancia C;2 i«: en donde Pi y (x) son valores discretos y continuos, respectivamente, de la densidad de probabilidad. e'26 a = V (variancia) es la desviación estándar. Teorema del limite central (ley de la adición). Si A i son variables aleatorias independientes distribuidas cada una arbi- trariamente con media (Xi),o bien con un valor esperado ¡.ti y variancia (Ji2, entonces +00 = JX2 . f (x ) . dx - / ix/· p, - X 2 + .. +(Xn-X)2. pn i(X¡-X)2p¡e'23 e'24 e'25 Variable aleatoria A constante e'22 Variable aleatoria A discreta en donde p, y (x) son valores discretos y continuos, respectivamente, de la densidad de probabilidad. Variancia a 2 I ¿ x. v. +00 P. = Jx . f( x ) , dx Variable aleatoria A constanteVariable aleatoria A discreta iie'18 e'19 e'20 Conceptos especiales de probabilidad Media x y valor esperado Il E'3Análisis estadístico
  • m n·p Pil<l Hipótesis: f Tamar'lo grande O.l del muestreo y O.l" ?:. "'"" número pequeño 01 '.· ... :0 de fallas. Aplicación: Curvas para la evaluación de muestreos, véase E'11. . ....',_ ••••••• n .p = const. (Continúa en E'S) o 5 10 15 k n - 00 ; p - O P(k)= (n~ )1<. e-npl ¿ ("lp.)1< ·e-np In. p Ide k . I ,« k.' Poisson P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras. exactamente k de ellas resulten defectuosas. ::~~;·:0.2, /" ·to.s muestreo se 0.1 " !< . mantiene la -+-~"""--";--I colección o 5 'o 15 k P(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras, exactamente k de ellas resulten defectuosas. P(I<I n p(1-p)".p ID <ti. bino- mial »::::s i!:...s=e(') ~~-N--:-T-am--a-r'l-o-d-e---I g' la población " pN: partes defec- C4 tuosas en N o. Cálculo exacto " 1< pero laborioso aHipótesis: i Población g; sumamente grande. 0._' Durante el Qt a.. ,.,-20 o 5 'o 15 o.~ ~P~lo.ol, u· P=0.1 o.~' fP=O.l o' ' N= 100 . ,.: '. ... ,.,= lOP(k) es la probabilidad de que al tomar n muestras de un total de N, exactamente k resulten defectuosas. npN-"(l_p) N-l n p _. tn_.tn (1) tn~ m c. -'"tn~_. e o Tipo de Densidad de Función de Valor Variancia Forma de la fun- Observaciones. distri- probabilidad distribución esperado J.L (12 ción de densidad Ambito de bución acumulada Media X aplicación ID F(x) ~1f(x)'dx ex> ex> k: Número de fallas ~ Ecua- f( x) continua ~t~~~~dX_lx2f(r)'dx-,,/ n: Tamaño de muestración ID de defi- n 2 Xi: Valor discreto de W Pi discreta F(x)= ¿p, ¿x,·p, E», -p, - 2 varo aleat.níción - x1) r e x ;0;1 ;=, p: Probabilidad de falla
  • Tipo de Densidad de Función de Valor Variancia Forma de la fun- Observaciones. distri- probabilidad distribución esperado ¡J. 02 ción de densidad Ambito de »bución acumulada Media X aplicación ro x _[x-/(x) dx .[¿-¡(x) ·dX_J.J2 n :Tamaño del muestreo ::::sEcua- I( x) continua F(x) =_L'(X)'dX OW ción Xi: Valor discreto 0)...m ~ro de defi- --------- de una variable -W nición Pi discreta F(x) = L p, ix,·p, i X,2 .Pi _ X 2 aleatoria s: _.....¡ ¡'<x /:1 ¡:1 p: Probabilidad de falla r:::: en-iJX '~ Caso especial de (') _.I(x) = a· e la distribución o' enro 1 -iJX 1 1 de Poisson para :::s W expo- a > O -e - 7 1 (11 <Da X = O. Pregunta c.oro nencial :;¡ O 1 0,5x sobre la probabi- Q,,.. 0,5 (11 enAplicación en la teoría de la confiabilidad. Sustitución de a . X por ~. lidad sin falla. ...la tasa de tauas x multiplicada por el tiempo de prueba t (véase E'12). n-+oo;p-+O "C ° 0,5 1 2 x ""1 O)O frx) Caso especial de C' C.Í -(t-~)' la distribución 11) -Lc- ~)' 61 g;ro , =zr: -'-e27.dt r binomial. -... W I(x)= oV21l e Ji (J2 n -+ 00: o: enso .",GV2it 0,5 normal ., p = 0.5 = consto 11) ...'" Aplicación frecuente en la práctica, pues muchos valores medidos 0'2 Q, _..- muestran una distribución con forma de campana alrededor de un -7J ~ ovalor medio. -2 -1 ° , z x O I(x) = , F(x) = O para flx) La variable ro b-a para -ee c x c a ~ (b _ 8)2 t aleatoria X puede ~ a';;x.;;b -'-2- /-;:-; tomar valores mo o para = x-a para 2 sólo en eluniforme =,.. b-avalores de x exter- 8 ~ X .;; b 1: I intervalo a, b. ......- nos al intervalo Ahí todo valor es (J1~ igualmente Se emplea como modelo cuando sólo se conocen valores máximos o a Ji b x probable.y mínimos, y no se tiene información sobre la distribución intermedia.
  • S 10 16 10 la loa SO 60 70 eo 84 90 95 97 99 (Distribución acumulada) % menor que X; - x7 '{ x, (1) :o .!!l x. ~> .!!! (1) "O (; -¡¡; > Desarrollo: El total de los valores medidos de la variable aleatoria A se fija igual a 100%. Para cada uno de los valores x¡ se calcula la frecuencia por- centual. De estos i valores se escogen, por ejemplo, 4, 2 en los bordes, y 2 a la mitad del espectro; en el dibujo son x" x6' X7 Y Xg. Para cada uno de estos 4 valores se calcula qué % de los valores medidos son menores que los considerados en cada caso, y este valor porcentual se inscribe en la red (10% para x" 38% para x6' etc.). Por estos puntos se traza una recta que corta a las frecuencias acumuladas de 16% y 84%, A estas abscisas corresponde un valor 2 (J. El valor medio se encuentra en el 50%. Método gráfico Si se supone que los valores medidos x, de la variable aleatoria A están distribuidos normalmente, (J puede determinarse fácilmente con ayuda del papel para probabilidades. En este papel se escogen las divisiones de las escalas de manera que se obtenga una línea recta para una distribución normal. valores medidos de la variable aleatoria A probabilidad asociada a su ocurrencia. en donde x.: Pi: Ie'41 (J'= i (x, _xl', p, con x i x ; .p, i=1 ,=1 e'42 f x/ p, - x'1"1 Según la ecuación e'23 se tiene: Determinación de (J para valores discretos dados Método de cálculo Determinación de (J E'6Análisis estadístico
  • x f :1.!.:l!!.'_ = --'- e la' -c e <1V2J[_ 00 A según F(r) = ~(A) o t -" o e'47/48 La relación entre la función de distribución normalizada 1>(>-) y la función de distribución real F(x), cuando Ji '* O y 02 '* " está dada por Como lim <P(A) = 1 para A -> 00, y ep(/) es una función simétrica, se cumple que e'46 ~(t ) Á fA .,', - ~(A) =-L~(t)· dt = l[2ir.ooe ¡ 'dt La ecuación e'39 da para 02= , y Ji = O, la función de distribución normalizada de la distribución de Gauss. e'45 Distribución de Gauss normalizada 1> IA) (Función de distribución) Para calcularla, se busca en tablas un valor determinado de >-, el valor correspondiente de la densidad normalizada epi A), y se encuentra después de dividir entre o, el valor de tal densidad !(x) asociada a x. Los valores de Ji y O pueden obtenerse con las ecuaciones e'26 y e'58. En E'6 se muestra un método gráfico sencillo para determinar ¡(x). !(r) = ~(A) a segúne'44 epi A) puede leerse en las Tablas Z'5 y Z'6 para valores O oS A oS 1,99 o también calcularse directamente con la ecuación e'43. La relación entre la densidad normalizada eplA) y la densidad real !(x), cuando 11 '*' O y 02 '*' 1, está dada por • 'A' 1 .el V2n e'43 Distribución normal de Gauss (Densidad de probabilidad) La ecuación e'39 da para 02 = 1 Y l' = O la densidad de probabilidad norrnatí- zada con medida en >- = O. E/7Distribución normal de Gauss Análisis estadístico
  • -Z{j ZG{j-{j 31.74 4.56 1 0.27 0.1 ± o 68,26 ± 2 o 95.44 ± 2.58 o 99 ± 3 o 99.73 ± 3.29 o 99.9 r¡¡(t)~o(x) Y [1 - ~o(x)l en % del área total para valores especiales de x (según e'49): x <Polx)l% 00 2 f -t'erfc ( r ) = 1 - erf (x) = )lit e . d t x erf (x) = l __ a_ con a = 0,515 para 2:$x~3 " a = 0,535 para 3:Sx::s4x'e El área restante bajo la curva de a = 0,545 para 4::sx:-s7 campana es igual a: a = 0,56 para 7:sx<oo En las tablas l'5 y l'6 se dan los valores de erf (x para O :so x :so 1.99. Para x 2e: 2 puede calcularse erf (x) con la serie anterior o también con la siguiente expresión aproximada: ln..-1 'X x erf (x) = ~o(x·...p) = .z.fe-t'. dt YiCo ~'e-x' ,f 2" VJf' n'O 1-3- ".'(2,,+1) Función de error +x-x • r¡¡(t)La integral de probabilidad se basa en la distribución normalizada de Gauss (e'45) con o' = 1 Y Jl- = O, representa el área de la superficie entre -x y + x de la función simétrica de densidad (,,). Integral de probabilidad de Gauss Integral de probabilidad E'eAnálisis estadístico e'55 e'54 e'53 e'51 e'49 J x -,' ~ (x) = _2_ e"dt o V2it0 En las tablas l'5 y l'6 se dan valores de ~o(x) para O :so x :so 1.99; para valores mayores de x, véase la aproximación indicada en la si- guiente sección. La relación entre ~o(x) y la función de error está dada por e'50 <Polxl = erf(x/V2). Z'5 Z'6
  • El cálculo muestra que se tiene sólo 1 defectuoso. Otras distribuciones especiales: Además de la distribución hipergeométrica, la cual exige una gran cantidad de trabajo de cálculo, se han obtenido otras distribuciones especiales para determinadas hipótesis y condicio- nes de frontera. En E'4 y E'5 se muestran, además de la hipergeométrica, algunas de dichas distribuciones junto con sus caracteristicas principales. x P( r ) ip(x) r-o O 0.508 0.508 [~~~ 0.391 _-.-_~~§WJ 2 0.094 0.993 3 0.007 1.000 Ejemplo: En una población N de 300 tornillos, pueden como máximo ser desecha- blesp - 3%,oseapN = 3.Setomanmuestrasden = 20.¿Cuántos defectuosos son permisibles, si la probabilidad l P(k) es " 90%1 pN: numero entero ip(l<) x=o e'57 en donde p es la probabilidad supuesta de tener un elemento defectuoso y pN es, por consiguiente, el numero de defectuosos en N. La probabilidad de encontrar como máximo k defectuosos, o sea O, 1,2, ..., k, puede cal- cularse con la distribución hipergeométrica acumulativa: pN: numero enteroP(I<) Distribución hipergeométrlca: La probabilidad P(k) de encontrar exactamente k elementos defectuosos en una muestra de tamallo n tomada de una po- blación N, se calcula con la expresión. Muestreo: Por razones de economía se renuncia a menudo a una revisión en 100% de todos los elementos de una población. En vez de esto se efec- tüan muestreos. Para que los elementos sean representativos del total, de- ben ser arbitrarios y tener la misma probabilidad de ser escogidos (ejemplo, por medio de un buen mezclado). Objetivo del muestreo: Estimación de la posibilidad de la proporción verda- dera de elementos defectuosos de una población, con base en el numero Ide defectuosos o fallas detectadas en una muestra. Análisis estadístico E'gMuestreo - Distribuciones e'56
  • Suporuendo una} , [ drstnbución = i (n.p) e-np = e-np 1+"p+ (n.2P,. )'+ .. +("cp,lC] de Poisson, 11.=0 k' segun e'44 (Continúa en E'11) e'63 L(p,c)=P(O)+P(I) +e'62 Curva caracteristica de aceptación: Un usuario se pregunta si una pobla- ción de objetos que recibe satisface sus requisitos de calidad, o bien si el fabricante ha entregado dicha población con la calidad convenida. Una prueba de 100% de la población es muy costosa y no siempre es posible efectuar ensayos no destructivos. S, se supone una probabilidad de fallas p-Spo en la población, hay que determinar si se acepta tal población cuando al efec- tuar un muestreo de tamaño n se encuentran hasta k = c partes defec- e'6t tuosas. La probabilidad de aceptación Ltp . e) ~ 1 - a,en donde a es el riesgo del fabricante, puede calcularse en función de la probabilidad simple P(k) dada por la ecuación e'57. (También se conoce esta curva como "CO".) Ptx>«¡ se denomina también seguridad del muestreo. Con ayuda dela ecua- ción e'60 puede determinarse con qué seguridad Pt x s-k ],con una muestra de tamarío n y k defectuosos en ella, el porcentaje de partes defectuosas en la población total toma el valor p = kln, o bien cuán grande debe ser la muestra n para que con k defectuosos aceptables y una cierta seguridad deseada, la probabilidad de fallas sea igual a p. () '(np)' -np l_e-np[l+"P+("P)'+ .. +("!'!)'] PX>i<=I-¿-x-,-.-·e = t ! 2! . n x=o e'60 Esta probabilidad, para valores pequeños de k, se calcula fácilmente con la siguiente ecuación: ,~,(" p)' -np -¿--,-.e x-o x. ,~n (" p)' -np P(oi<) = ¿ -x-' -,8 x_k+1 • En el supuesto de que N es muy grande y 1'<0,1, -lo cual ocurre en un gran número de procesos industriales- puede efectuarse este cálculo (ver E7) con ayuda de la distribución de Poisson: I P(x>i<)=P(i<+1)+P(i<+2)+ ... +P(n)= f_P(x) x=}(+1 e'58 Seguridad de un muestreo: En una muestra de tamaño n tomada de una población de magnitud N se encuentran k elementos defectuosos, Sea p la probabilidad de tener un defectuoso en la población. La probabilidad de encontrar más de k defectuosos en la muestra se obtiene con la ecuación e'57: Seguridad de un muestreo - Curvas de aceptación e'59 Análisis estadístico

    ., , " " . , ,<"' '~"'" 99% -_ pOlo n: Tamaño de la muestra e: Número máximo de defectuosos aceptable Observación: Cuanto menor sea el número máximo de defectuosos e en la muestra, tanto más se acerca la curva de aceptación al porcentaje de defectuosos 4> en la población; e debe ser :5 n. Observación: Cuanto más inclina- da es la curva de aceptación, tanto mayor es el tamaño de la muestra. Como curva limite se obtiene un rec- tángulo cuando n es el tamaño de la población. Cuanto más inclinada es la curva de aceptación, tanto más estricta es la prueba; n debe ser 2': e. Valor AQL (Acceptable quality level = Nivel aceptable de calidad): El acuerdo entre el fabricante y el comprador implica fijar la posición del valor AOL sobre la curva de aceptación. Ese punto indica el porcentaje de defectuosos Po de una población para el cual ésta es aún aceptable con base en una muestra cuya probabilidad sea (usualmente) de 90% (co- mo L(p, e) 2: 1 - a, es en este caso igual a 0.1, o sea 10%). Con referen- cia a la curva de aceptación tipo A, esto significa que, por ejemplo, en una muestra de tamaño n, e2 partes defectuosas serán aceptables como máximo. Para recibir menos par- LlP.cJ tes rechazadas, el fabricante man- tiene su calidad (0/0 de defectuosos de la población) muy por debajo del valor AOL prometido por él, Po', en donde sólo se permiten e, defec- c: tuosos, lo que referido a la curva -gil original corresponde a una probabi- ~ !:! lidad de aceptación de aproximada- :g g. mente 99%. En la práctica se exige D ~ con frecuencia un valor AOL con ir. ~ Po = 0.65%. L-p"",.Hpr,-=DC"e"""'f-ec-t-s-.-e-n-p-o"""'b-::I-.__......Jp~. 1 2 3 4 1 2 3 4 Defects. en pobl. - p % Defects. en pobl. I n c: = Up,d L!P.c) .~~~~~~~~ (Conlinuaclon de E'10) Con esta fórmula pueden calcularse las diferentes curvas características de aceptación L(p,c) en función del porcentaje de partes defectuosas p en la po- blación. Se distingue principalmente entre dos tipos de curvas: Tipo A Tipo B Curvas de aceptación - Valor AQL Análisis estadístico

    n(t) : condición en el tiempo t considerado no :condición inicial Observación: Como modelos para la función de confiabilidad R(t) pueden considerarse las funciones de distribución F(x) dadas en E'4 y E'S (cálculo según e·66). La distribución exponencial, de sencillo manejo matemático, cumple en general de manera satisfactoria los requisitos (A = const.). ,=-1, -J[Á1(T} + A) (T) e' e72 Teorema del producto de confiabilidades. Si R" R2, •••, Rnson las confiabilidades de los elementos 1, ..., n, la con- fiabilidad del sistema total está dada por 00 MTTF = MTBF = m = f R( t) . d t • e70 En sistemas capaces de reparación se emplea en vez del MTTF, el MTBF, (mean time between failures), que es el promedio entre dos fallas, o sea MTBF = m. El MTTF Y el MTBF tienen iguales valores numéricos. MTTF = Tf(t). t'dt = fR(t)'dt pro e'69 MTTF (mean time to failure, o tiempo medio a la falla) es el tiempo pro- medio que transcurre hasta que ocurre una falla e'68 IdR e'66 Probabilidad de fallas e'67 Densidad de fallas 1 - R(t)r(t) f(t) - dt , -J).(T) -u r A (t)· e o f( t) 1 dR Tasa de fallas o función de riesgo A ( t) = RTTí = -RtJ' dt , -J),rT/o er e,R(t)Confiabilidade'65 Definiciones generales Confiabilidad - Definiciones e71 Análisis estadístico

    500 0.5 0.0025 0.26 0.3 04 5...30 10 5 1 10 , MTBF I Observación: Pueden encontrarse numerosos datos sobre confiabilidades en las normas: DIN 29500. parte 1; DIN 40040, Y DIN 41611. 0.5 Ejemplos típicos para tasas de falla A. en fit. (IC - Circuito integrado) IC digital bipolar (SSI) 15 Resistor de hojas metálicas 1 IC analógico bipolar (Op Resistor de alambre en Amp) 100 bobina Transistor (Si) universal 20 Transformador pequeño Transistor (Si) de potencia 200 Inductor de alta frecuencia Diodo (Si) 5 Cuarzo Tantalio con electrólito Diodo emisor de luz (Falla: líquido 20 dism. de la luminosidad Tantalio con electrólito sólido 5 a 50%) Aluminio. electrolítico 20 Unión soldada (manual) Capacitar de cerámica; Unión enrollada capas múltiples 10 Unión con abrazadera Capacitar de papel 2 Contacto de clavija Capacitar de mica 1 Receptáculo de contacto Resistor de capas de carbón Conmutador giratorio 100 5 Resistor de capas de carbón 100 e'82 A. = ... . . Fallas .. (Condición inictal) (Horas de servicio) Los valores para A. se refieren en general a horas de servicio: Unidad: 1 fit = 1 falla/l09 horas e'81 Para valores pequeños. la tasa de fallas puede calcularse con la siguiente expresión aproximativa: A. + A2 + ... + AnTasa de fallas total e'78 e'79 e'80 -A,t -~2t - Ant Rs = e ·e e -(A, + A2+ + Anit e Producto de con fiabilidades MTBF (tiempo medo entre fallas) '"«rr f( t) A ( t) =""RTtT =A - const. (Dimensión: 1/tiempo) Tasa de fallase'76 Distribución exponencial como función de confiabilidad Confiabilidad R( t) e-At Probabilidad de fallas F( t) , _ e-H Densidad de fallas f( t) A' e-At mie'73 e'74 e'75 Confiabilidad - Distribución exponencial Análisis estadístico 21

    (1 + ¡)-1 para fuerza de interés /jS = Pe" p=Sv"siv 1'4 1'5 para tasa nominal de interés pagadera m veces al año ¡(m) . (m) S = P (1 + 7n-)m" para tasa efectiva de interés iP (1 + ¡)"S1'2 Relación entre S, P Y n. P: valor presente o principal de un capital invertido al inicio de los n periodos de inversión. S: Valor futuro o monto del capital después de n periodos de inversión. Notación Interés compuesto: Si el tiempo total de inversión se divide en varios perio- dos y al final de cada uno el interés generado se incre- menta al capital para ser invertido a la misma tasa, se tiene una inversión a interés compuesto. n: número de periodos de inversión. 2. Acumulación a interés compuesto (m) eó _ (1 + i) = (1 + ~)m1'1 Relaciones entre i, ¡(m) y /j: ¡(m): Tasa nominal de interés por año, pagadera m veces al año. /j: Fuerza de interés por año. 1: Tasa efectiva de interés anual.Notación Fuerza de Tasa de crecimiento continuo según una cierta operación interés: de interés. •Tasa del interés total que se paga en un año sobre una unidad invertida al principio del año, considerando que cualquier interés percibido durante el año no se reinvierte. Tasa nominal de interés: Tasa efectiva Tasa actual de incremento por unidad invertida durante de interés: el periodo contratado. Tasa de interés: Monto que se paga en un intervalo de tiempo unitario por unidad de capital invertido. 1. Tasas de interés Matemáticas financieras Conceptos principales 1'3

    e-O = (1 - d) d, d(m) y 6: 6 : Fuerza de descuento d(m): Tasa nominal de descuento por año, efectuado en m exhibiciones iguales. d: Tasa efectiva de descuento anual. Tasa de decrecimiento continuo baio una operación de descuento. Descuento total efectuado en un año sobre una canti- dad comprometida para pago al final del periodo, con- siderando que el descuento se aplica en m exhibiciones. •Tasa actual de decrecimiento por unidad adeudada du- rante el periodo contratado. Cuando se hacen los pagos de interés por anticipado, corresponde a la cantidad pagada por anticipado, res- pecto a la cantidad que se debe entregar al final del periodo contratado. Relaciones entre Notación Fuerza de descuento: Tasa nominal de descuento: Tasa efectiva de descuento: Tasa de descuento: 3. Tasas de descuento Conceptos principales Matemáticas financieras

    x $18058331.04 de donde 1'12 Tasa nominal de descuento f'13 .) v = (1 + ¡¡-' Ecuación de Consiste en dos series de obligaciones vinculadas por valor: un signo de igualdad y valuadas en una misma fecha, llamada "fecha de valuación". Ejemplo: Una persona adeuda $30 000 000, pagaderos dentro de 5 años y $25 000 000 pagaderos en 8 años. Desea carn- biar estas deudas haciendo dos pagos iguales al cabo de 1 y 2 años, a partir de ahora. De cuánto serán los pagos requeridos si el interés es del 9% anual conver- tibie semestralmente? Solución: Sea x la cantidad a pagar al final del primero y segundo año; i = 0.09. Se puede tomar como periodo fundamental el semestre y trabajar entonces con una tasa efectiva semestral i = 0.045. La ecuación de valor obtenida tomando como fecha de valuación el fin del segundo año es: 30000000 V6 + 25000000 V,2 = X + X (1.045)2 30000000 (0.767896) + 25000000 (0.589664) = x + (1.092025) x 1'11 Tasa efectiva de descuento 1'10 Tasa nominal de interés 1'9 Tasa efectiva de interés Monto de una Valor presente unidad al fin de una unidad de n años antes de n años e 'n e 'n ( 1 + i)" Vn .) ( 1 i(m))mn ( 1 + i:;J) -mn + In (1 - dt (1 - d)" ( 1 _ d;))-mn (1 - d:1tn 1'8 Fuerza de interés O descuento Relaciones entre tasas de interés y de descuento: 1'7 •_ d = __ 1_ 1 + i de donde, d(1 + i) = i, o bien i (1 - d) = d 4. Relación entre Interés y descuento Interés y descuento son dos puntos de vista diferentes respecto a un mismo problema. A cada tasa de interés corresponde una tasa de descuento, y vi· ceversa. Un pago de ial final de un año correspcnde a un pago d al principio del mismo, esto es: Matemáticas financieras F'3Relaciones diversas 1'6

    (Continúa en f'5) Ejemplo: Una persona desea disponer de un capital de $1 000 000 000 dentro de 10 anos. formado mediante depósitos mensuales en un banco que le ofrece el 9% de interés anual convertible mensualmente ¿De cuánto debe ser el aporte o renta mensual para lograr su objetivo? 1'18 1'19 1'17 1'16 1-vn a" A R Bffi Sm (1 + i)" -1 S R Sm Sm (1 + i)" am am V" Sm f'15 Relaciones entre am' A. Sm y S. S: Monto de una anualidad con serie de pagos iguales a R. Sm: Monto de una anualidad ordinaria pagadero durante n periodos. A: Valor presente de una anualidad con serie de pagos iguales a R. am: Valor presente de una anualidad ordinaria pagadera du- rante n periodos. Notación Anualidad Serie de pagos unitarios efectuados un periodo después ordinaria: de su contratación y pagaderos durante n allos. ISerie de pagos periódicos que se efectúan sujetos a algún evento. Anualidad contingente: Serie de pagos periódicos que deben efectuarse con cer- teza e independientemente de cualquier evento o suceso fortuito durante un cierto tiempo. Anualidad cierta: Anualidad: Serie de pagos periódicos. de sumas generalmente igua- les. que se efectúan durante la existencia de una si· tuación dada. 5. Anualidades Matemáticas Financieras Anualidades y amortización 1'14

    Capital insoluto Intereses Capital al principio del contenidos contenido periodo en el pago en el pago 8ñ' 1 - Vn V" an-=tl _ Vn-1 Vn-1 8ñ=21 - Vn-2 Vn-2 an-(t-1)1 1 _ Vn-(t-l) Vn-(t-l) a, = V 1 - V V Distríbuclón del pago n 1 2 3 Número del pago TABLA DE AMORTIZACION PARA UNA ANUALIDAD ORDINARIA PAGADERA DURANTE n PERIODOS Capital insoluto: Capital que se adeuda en cada periodo. Tabla de Registro del destino a intereses y capital del pago pe- amorñzacién : riódico de una amortización. AmortizaciÓn: Método para extinguir una deuda mediante pagos pe- riódicos, generalmente iguales, en los que se incluyen tanto intereses como capital. 6. Amortización: R. Yla renta mensual: 12 - $5166 741.66 •R. = SP SiffifljO R, = 12000 000 000 Si20l0.0075 R, = 12000 000 000 $62010900 193.514281 0.09 12 Ra p Sñiñli<s do la fórmula del monto se tiene: (Continuación de F 4) SoluciÓn: El depósito mensual debe ser Ra, con p = 12, de donde aplican- p F'sMatemáticas Financieras Anualidades y amortización

    (Continúa en F"7) añ] + 8ñ=11 Srn (1 + i)S", S", V Sñl Sm Sñ+11 - m/a;;¡ v=»; m/s¡¡¡ 8nf+1j1 - a,., 8"" 1'20 ii", - (1 + i) a", 1'21 1'22 1'23 1'24 1'25 1'26 1'27 Slp) '" Relaciones entre diferentes tipos de anualidades. alp) '" I Anualidad en la que se estipula efectuar pagos en forma indefinida. Anualidad en la que el monto de los pagos crece pe- riodo a periodo. Anualidad en la que el monto de los pagos decrece pe- riodo a periodo. Valor presente de una anualidad unitaria anticipada. Monto de una anualidad unitaria anticipada pagadera durante n periodos. Valor presente de una anualidad unitaria diferida m pe- riodos. Valor presente de una perpetuidad unitaria. Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago unitario y que crece aritméticamente 1 unidad por periodo. Valor presente de una anualidad unitaria con primer pago n y que decrece aritméticamente 1 unidad por periodo. Valor presente de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo. Monto de una anualidad unitaria con p pagos iguales por periodo. (la)", Anualidad creciente: Anualidad decreciente: Notación ii", s, Perpetuidad: 7. Casos especiales de anualidades Anualidad Anualidad en la cual el primer pago se efectúa al prln- anticipada: cipio del periodo. Anualidad Anualidad ordinaria en la que se establece que el pri- diferida: mer pago se efectuará después de un cierto número de periodos. F'6Casos especiales Matemáticas Financieras

    Ejemplo: Encontrar el valor presente de 4 pagos anuales iguales de $5 000 000; el primero de ellos se efectúa inmedia- tamente y la tasa de interés efectivo anual es de 8%. Solución: Se desea determinar el valor presente de una cantidad anticipada a 4 años; A = 5000 000 a"" Esto es: A 5 000 000 a", = 5 000 000 [(1 + i) ami 5000000 [(1.08) a",ooal = 5 000 000 (1.08) (3.31213) $17 885502 - 1( . 1m) )mn 1 + .;" [( i Im))mIP Ip 1+--,¡¡ -1 para tasa nominal de inte- rés i, en el cual no coin- ciden la frecuencia de los pagos con la convertibilidad de la tasa de interés. ( 'Im))-mn 1-1+-'m Síññ1 r1 ~ { para tasa nominal de interés ¡1m)con m >p y m = kp para k entero, 1 j' m i,(k) aiiiñ1¡, 1 a ~~i' para tasa nominal de interés jlm) con m < p, y p = mk para k entero. j'(k)m { para tasa nominal de interés ¡(m) con m = p. { •i(m) rn.L: S para tasa efectiva anual ¡ En lo siquiente: i ' ¡(PI n +,- an para tasa efectiva anual i I (Continuación de F'6) an_1 + 1 - n Vn 1'39 S 1'28 (la)", 1'29 (Da)nl 1'30 a(P) '" 1'31 SIP) ñT 1'32 alP) ñT 1'33 Slp) ñT 1'34 alp) '" 1'35 Slp) '" 1'36 alp) '" 1'37 SIP) ñT 1'38 alp) '" F'7Anualidades y amortización Matemáticas Financieras

    (Continúa en G'2) o este valor menos un número ~ (teorema de Descartes). g'6 6. La cantidad de raíces reales positivas de la ecuación en cuestión es igual a la cantidad de cambios de signo de la serie de coeficientes g'2 l:x¡ = - an-1/an para I = 1, 2, n g'3 l:x¡·xf Bn-2/Bn-1 para i,j = 1,2, n donde i = j g'4 l:x¡· xf' xn = - Bn-3IBn-2 para 1,j, k = 1,2, n donde 1= j - k • Todos los términos cuyos coeficientes a. son iguales a O cuando ¡J < n se pueden omitir. La solución de una ecuación algebraica implica la determinación de los ce- ros (las raíces) de la ecuación, para los cuales 'n(X) = o. Características 1. La ecuación algebraica In(x) = O de grado n tiene exactamente n ceros (raíces). 2. Si todos los coeficientes a. son reales, sólo existen ceros reales o com- plejos conjugados como soluciones. 3. Si todos los coeficientes a. son z O, no hay soluciones cuya parte real sea> O. 4. Si n es impar, cuando menos un cero es real, suponiendo que todos los coeficientes a.son reales. - 5. Las relaciones entre los ceros x.y los coeficientes son: Una ecuación algebraica tiene la forma: DEFINICION DE UNA ECUACION ALGEBRAICA g7 Ejemplo: h(x) = 2.<3 - 15x2 + 16x + 12 = Otiene los signos + + + y debido a los 2 cambios de signo tiene 2 o O raíces reales positivas. Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado

    (Continúa en G'3) para resolver los siguientes problemas: Cálculo del valor de Pn(x) para x = xo. Cálculo de los valores de las derivadas Pn'(x), Pn"(x), etc. hasta pn)(X) para x = Xo. n Reducción del grado de Pn(X) si hay raíces conocidas. Determinación de los ceros (las raíces). El método de Horner es un algoritmo que se puede aplicar al polinomio P de n-ésimo grado Pn(x) - an x" + an_, 'x"-, + ... + a, ·x + aog'14 Hay un caso especial en el que las raíces son complejos conjugados; después de la división, el grado de la ecuación se reduce en 2 unidades. La división de la ecuación algebraicafn(x) entre (x - x.) se puede llevar a cabo fácilmente aplicando el método de Horner que se describe en G'3. METODO DE HORNER Solución general Si x, es una raíz de una ecuación algebraica de grado nJn(x) = O, el grado defn(x) se puede reducir en una unidad afn.'(x) = O cuandofn(x) se divide entre (x - .rj]. Si se conoce también otra raíz X2, la ecuación se puede reducir un grado más al dividirla entre (x - X2), Y así sucesivamente. g'10 [n (x) anx" + an_, x"-' + an_2x"-2 + ... + a2x2 + a,x + So g'll [n/(x-x,) = [n-' (x) - an' x"-' + an_,'xn-2 + + a2'x + a,' g'12 [n-,/(X-X2) [n-2 (x) - an" x"-2 + an_2"x"-3 + + a2"x + a," [n-2/(X-x3) = ... etc. g'13 [,/(x-xn) ,;, [o(x) - an(n). tiene los signos + y por consiguiente la ecua- ción g' 7 únicamente tiene una raíz real negativa, debido a que tiene un • solo cambio de signo. h(z) = -2r - 1sz2 - 16z + 12 = Og'9 (continuación de G'l) 7. La cantidad de raíces reales negativas de la ecuación en cuestión se determina mediante la sustitución x = +z: En este caso la cantidad de cambios de signo en la serie de coeficientes an·, an·,·, an·2·, ... , a2·,a,·, 130·es igual a la cantidad de raíces reales negativas, o a este valor menos un número ~. Aplicado al ejemplo en G'l, punto 6: Teoría de ecuaciones Ecuación algebraica de cualquier grado g'8

    g'26 12 g'24 Xc g'25 II s.I') = s. = b. = 1In!·p.(.) (Xc) Ejemplo 1 del método de Horner: Cálculo de los valores de Pn(x), p"'(x), Pn"(x) Y Pn'''(x) para x = xo;Xo = 4: Pn(x) = x3 - 6x2+11x - 6 83(0) 82(0) 81(O) 80(0) 1 -6 11 -6 Xo - 4 -s:;=s= / 4 ¿-8 ./ 12 '1,/'- _'2";::2--_ 3/ I 6 = Pn (4) 4'"-_ A -n8"1":><~2/}1 = Pn'(4) 4" f 4 .·1./"" 6 = Pn"(4)· 1/21; Pn"(4) = 1·2·6 g'27 g'28 g'29 g'30 g'31 g'32 g'33 g'34 g'23 Xc Xcs.(') s.(') ISn-l(')=b.

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