Manual de fórmulas técnicas 1

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Published on March 13, 2014

Author: Nuevededos

Source: slideshare.net

A.Alfaomega • Manual electrónico con fórmulas prediseñadas • Potente editor de fórmulas • Función de graficado Kurt Gieck / Reiner Gieck manual de fórmulas técnicas

l/APLICACIONES BASICAS METROLOGIA • Unidades A EL S.I. MATEMATICAS • Supeñicies B ESTADISTICA Cuerpos C Algebra D Trigonometría E Geometría Analítica F Funciones Hiperbólicas G Cálculo Diferencial H Cálculo Integral I Probabilidad y Estadística J FISICA • Estática K INGENIERIA Cinemática L Dinámica M Hidráulica N Térmica O Resistencia de Materiales P TECNOLOGIA Elementos de Máquinas Q INDUSTRIAL Máquinas-Herramienta R Electrotecnia S Optica e Iluminación T Química U MATERIALES • Tablas Z PROPIEDADES

MATEMATICAS Análisis Vectorial A' Funciones Racionales B' Transformadas de Funciones C' Ecuaciones Diferenciales D' Análisis Estadístico E' Matemáticas Financieras F' Teoría de Ecuaciones G' Elementos de Máquinas O' Análisis de Esfuerzos P' Maquinaria y Elementos Q' Manufactura y Procesos R' Sistemas Eléctricos S' Radiaciones T' Ingeniería de Control U' Tablas Z' II/APlICACIONES AVANZADAS

Traducción: Dr. Víctor Gerez Greiser Universidad Nacional Autónoma de México University of California (Berkeley) Ing. José de la Cera Alonso Universidad Autónoma Metropolitana Technische Hochschule München Con la colaboración de: Ing. Quím. Virgilio González Pozo Revisión, adaptación y complemento: Ing. Francisco Paniagua Bocanegra Universidad Nacional Autónoma de México Revisión técnica: Francisco Javier Rodríguez Cruz Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa Versión en español de la edición electrónica en alemán de la obra titulada: Technische Formelsammlung, por Kurt Gieck y Reiner Gieck © 2000 by Gieck Verlag, D-82110 Germering, Germany ISBN 3 920379 21 7 75a. edición conjunta © 2003 Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V. Pitágoras 1139, Col. Del Valle 03100, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro No. 2317 Reservados todos los derechos. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, mecánico, eléctrico, de fotocopiado, térmico u otros sin permiso expreso del editor ISBN 970-15-0840-8, Alfaomega ISBN 84-267-1330-0, Marcombo IMPRESO EN ESPAÑA – PRINTED IN SPAIN

PREFACIO Miles de estudiantes de diversas áreas, técnicos e ingenieros han encontrado por muchos años en esta bien conocida obra: Manual de fórmulas técnicas, de Gieck, una útil herramienta para consultar las fórmulas técnico-científicas más usuales en sus campos de acción, de manera clara, concisa y ordenada. Por las completas explicaciones que se proporcionan y mediante la aclaración de los conceptos implicados, es posible entender bien las fórmulas, aun sin ser especialista en el tema. Esta nueva edición revisada, corregida y aumentada, basada en la 30ª edición del clásico texto de bolsillo -además de conservar todas las cualidades de contenido y forma que lo han mantenido como el best-seller de los manuales técnicos y de ingeniería- incluye también un editor de fórmulas que le permitirá diseñar sus propias ecuaciones y graficarlas en un plano cartesiano, mediante la apertura de hasta 20 ventanas de cálculo, que pueden ser de parámetros variables o de resultados. Se conservan, entre otras cosas, la impresión de texto en una sola cara del papel de la mayoría de las páginas, para que el usuario pueda efectuar anotaciones complementarias y observaciones en la otra; la clasificación e identificación de los temas con una letra mayúscula de gran tamaño en la esquina superior derecha, y la sección de tablas, ya que no siempre se puede llevar consigo una computadora. En la parte de Aplicaciones avanzadas se han incluido los siguientes temas: Teoría de ecuaciones Elementos de máquinas Ingeniería de control En la Teoría de ecuaciones se exponen los conceptos fundamentales del álgebra superior, con lo que se da por completado el tema de álgebra. En la sección Elementos de máquinas se incluye lo relacionado con el diseño de engranes, y la sección Ingeniería de control proporciona de manera cabal los elementos conceptuales y algorítmicos necesarios para el análisis de un sistema. Damos las gracias a los profesores M. Otto y H. W. Zimmer, quienes colaboraron en la ampliación y reelaboración de los temas. Kurt Gieck Reiner Gieck

Colaboraron en esta obra: Al cuidado de la edición Gonzalo Ferreyra Cortés Programación de fórmulas Francisco Javier Rodríguez Cruz Diagramación Jesús García Alvarez Procesos gráficos Miguel Angel Ferreyra Cortés Diseño de cubierta Javier Perdomo M. Producción Guillermo González Dorantes

Para efectuar la conversión de unidades, la equivalencia se expresa como un factor de valor numérico igual a la unidad. Así, de las fórmulas anteriores, 1 N = 1 kg·m/s21 m = 100 cm Fórmulas de unidades. Conversión. Estas ecuaciones presentan la rela- ción de equivalencia entre unidades. Por ejemplo: Estas fórmulas son útiles en diversas aplicaciones. Fórmulas de cantidades ajustadas. En estas ecuaciones cada símbolo de cantidad aparece dividido entre su correspondiente unidad. Por ejemplo, la fórmula s 78: F == 40 (-ª-)2(~) N = 40 (0.9 T)2(5 cm2) N = 162 N m T cm? T cm2 ~ s = 20 s (fórmula I 23) 8 2 x 80 m 8 mis 25 V Fórmulas de cantidades. Estas son las fórmulas normales en las que los símbolos corresponden a cantidades físicas. Permiten evaluar una cantidad sustituyendolas restantespor su magnitud (valornumérico por unidad). Al efec- tuar el cálculo se obtiene la magnitud de la cantidad por determinar. Por ejem- plo, si en la fórmula t = 2slv se sabe que s = 80 m y v = 8 mis, resulta entonces: TIPOS DE FORMULAS 15 X 10-3 km = 15 x 103 mm 3 x 10-3 mA = 0.003 mA I = 15 m 1 = 3p.A Si se selecciona una unidad n veces mayor, el valor numérico se reduce en la fracción 1/n; recíprocamente, si se adopta una unidad 1/n veces menor, el valor numérico es n veces mayor. El producto de valor numérico y unidad es constante, y la magnitud dada de una cantidad física es invariante en el cam- bio de unidad. Por ejemplo: Magnitud de las cantidades físicas La magnitud de una cantidad física es el producto de su valor numérico y la unidad física seleccionada. Por lo tanto, el valor numérico es el cociente de la magnitud y la unidad. Entonces, por definición, Magnitud = Valor numérico x Unidad OBSERVACIONES SOBRE LAS FORMULAS

Unidades en las fórmulas. Ladesignación EUsignifica "ejemplo de unidad." En varias fórmulas se indican ejemplos de unidades. En tales casos, la pri- mera unidad indicada es la SI. Las demás unidades son de otros sistemas que todavía se emplean en algunos países. Por ejemplo, del sistema técnico mé- trico o del sistema técnico inglés. La gran mayoríade las fórmulas presentadas en este manual son las normales de cantidades físicas, en las que se aplican las unidades compatibles que co- rresponden a las cantidades. 1.2 N 30 kg x 4 cm/s" = 30 kg (~) x 4 cm (_ll!!_)1 kg· m S2 100 cm F 4 cm/s", se tiene que para obtener F en newtons:sim = 30kgya F = ma Lo anterior permite obtener una magnitud en la unidad deseada, a partir de una ecuación de cantidades físicas. Por ejemplo, de la fórmula m 1: 1 = ~ = 1N'S2 1N'S2 ~ 1 m 100 cm 1 = 100 cm = 1 m

m masa p densidad v volumenespecífico p cantidad de movimiento (o ímpetu) J momentode inercia de masa F fuerza G peso (fuerzade gravedad) M momentode fuerza p presión a esfuerzoaxial (o normal) T esfuerzocortante (o tangencial) deformación axial y deformaciónangular E módulodeelasticidadaxial G módulo de elasticidad angular Q momentoestático de área f momentode inercia de área S módulode sección 1-" coeficiente de fricción dinámica 1-". coeficiente de fricción estática '7 viscosidaddinámica v viscosidad cinemática W trabajo. energía Mecánica Fenómenososcilatorios y similares T periodo , frecuencia n número de revoluciones por unidadde tiempo (o) frecuencia (velocidad) angular , longitud de onda cj> ángulo de fase. defasamiento a2 variancia r coeficiente de correlación a o A+B AB u Probabilidady estadistica A. B•... eventos (simpleso compuestos) evento universal evento nulo (o vacío) uniónde los evento A y B intersecciónde los eventos A y B P(A) probabilidad del evento A P(AIB) probabilidad(condicional) de A dadoB X variable aleatoria Px(X.) probabilidadde queX tome el valor X. E[g(X)) esperanza(matemática)de g(X) media(o valor medio)de X desviaciónestándar Espacioy tiempo a. {J. y ángulos (planos) !1 ángulo sólido f longitud b anchura h altura s espesor r, R radio d. O diámetro p. P perímetro A área.seccióntransversal A, árealateral A, áreatotal V volumen s recorrido t tiempo v velocidad a aceleración 9 aceleracióndebidaa la gravedad velocidadangular a aceleraciónangular NOMENCLATURA GENERAL

  • a s velocidad de la luz en el vacío intensidad luminosa flujo lumínico cantidad de luz iluminación luminosidad (brillo) índice de refracción potencia (o vergencia) de una lente distancia focal amplificación, aumento distancia visual. e Optica (radiación visible) z X Y S Po P P,. p z N '0 H flujo magnético densidad de flujo magnético, inducción magnética intensidad de campo magnético inductancia fuerza magnetomotriz tensión magnética reluctancia permeancia permisividad dieléctrica permisividad dieléctrica del vacío coeficiente dieléctrico (constante dieléctrica) permeabilidad magnética permeabilidad magnética del vacío coeficiente magnético (permeabilidad relativa) número de pares de polos número de conductores número de vueltas o espiras impedancia reactancia admitancia susceptancia potencia aparente potencia activa potencia reactiva <1> B resistencia resistividad coeficiente de temperatura de la resistencia conductancia conductividad carga capacitancia flujo eléctrico densidad de flujo eléctrico intensidad de campo eléctrico G Y Q e tjt D E R P '" I corriente V tensión (voltaje). diferencia de potencial E, g tensión inducida o generada (fuerza electromotriz) Electricidad y magnetismo temperatura temperatura termodinámica coeficiente de dilatación longitudinal coeficiente de dilatación volumétrica calor calor por unidad de masa flujo de calor densidad de flujo de calor conductividad térmica calor específico a p resión constante calor específico a volumen constante relación de calores específicos calor de fusión calor de vaporización calor de sublimación constante de un gas I¡ Iv 1, R k e, K {3 Q q <1' <1> t T P po tencia r¡ eficiencia Térmica
  • PARTE I APLICACIONES BASICAS
  • * Mayoresdetalles pueden verse en la obra Manual TEC Las unidades SI y otros sistemas, F. Paniagua (Apdo. 30-488, México D.F. 06470). kelvin: Fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica (o ab- soluta) del punto·triple del agua (273.16 K). segundo: Duraciónde 9 192631 770 ciclos de la radiación correspon- diente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133. kilogramo: Masa del Kilogramo Prototipo Internacional conservado en la sede del BIPM. El símbolo de cada unidad se halla estandarizado y es el mismo en to- dos los paises; no deben usarse otros slmbolos fuera de normalización. Definiciones. La definiciÓn de cada una de las unidades básicas se expresa en seguida: metro: Longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo igual a la fracción 1/299 792 458 de 1 s. Símbolo de la unidad m kg s K A cd mol Cantidad fundamental Longitud (f) Masa (m) Tiempo (1) Temperatura termodinámica (T) Corriente eléctrica (i) Intensidad luminosa (1) Cantidad de sustancia (n) Nombre de la unidad metro kilogramo segundo kelvin ampere candela mol El SI tiene siete unidades básicas que corresponden a las cantidades físicas fundamentales del sistema, y son como sigue: UNIDADES BASICAS l. La metrología internacional • En la actualidad se ha adoptado casi en todo el mundo el Sistema In- ternacional de Unidades, que se simboliza por SI y es el resultado mo- derno de la evolución del sistema físico llamado MKS. El nombre oficial del SI es Systéme International d'Unités, y las normas respectivas las establecey actualizael BureauInternationaldes Poidset Mesures(BIPM), con sede en Sévres, Parfs, Francia. IA1·El S.I.-Unidades
  • Para ampliar o reducir el tamaño de una unidad SI se utilizan los múl- tiplos y submúltiplos de la misma, que se obtienen aplicando como fac- tores, potencias del número 10. Para los múltiplos se tiene una sucesión que aumenta en 103 cada vez, y para los submúltiplos la reducción pro- gresiva es en 10-3. A fin de indicar lo anterior se utilizan prefijos que se aplican al nombre de la unidad SI. Tales prefijos son: MULTIPLOS y SUBMULTIPLOS: PREFIJOS radián: Angulo comprendido entre dos radios de una circun- ferencia y que determina en esta curva un arco de longitud igual a la de su radio. estereorradián: Angulo sólido con un vértice en el centro de una es- fera, y que interceptaen ésta unasuperficie cuya área es igual a la de un cuadrado con lado igual al radio de la esfera. Sus definiciones son como sigue: Como unidades que complementan a las básicas se tienen las dos si- guientes: UNIDADES COMPLEMENTARIAS candela: Intensidadluminosaen unadirección dada, correspondiente a una energíade 1/683W/sr,de unafuenteque emite una ra- diación monocromáticade frecuencia igual a 540 x 10'2 Hz. mol: Cantidad de entidades elementales (átomos, moléculas, io- nes, etc.) en un sistema material, igual al número de áto- mos existente en 0.012 kg de carbono 12. (El número es 6.0220 x 1023, la constante de Avogadro.) ampere: Intensidad de la corriente eléctrica constante, que mante- nida en dos conductores rectilineos paralelos, de longitud infinita y sección transversal despreciable, y situados a la distancia de 1 m en el vacío, produce una fuerza de 2 x 10-7 N/m entre los conductores. Símbolo de la unidad rad sr Nombre de la unidad radián estereorradián Cantidad complementaria Angulo plano ( O) Angulo sólido ( n ) A 2 El S.I. -Unidades
  • Para la mecánica se tienen las siguientes unidades derivadas de las básicas y que tienen nombre especial: Fuerza (y peso) newton (N): Fuerza que al ser aplicada a una masade 1 kg le imparte una aceleración, en su misma dirección y sentido, igual al m/s2. Presión y esfuerzo pascal (Pa): Intensidad superficial de fuerza aplicada equivalente a 1 N/m2. Frecuencia o periodicidad hertz (Hz): Variación periódica equivalente a un ciclo por segundo (c/s). UNIDADES DERIVADAS En el casó del kilogramo, sus múltiplos y submúltiplos se forman to- mando como base la unidad auxiliar gramo (g), igual a 10-3 kg.Porejem- plo, miligramo (mg) (= 10-3 g = 10-6 kg), microgramo (I"g) (= 10'" g = 10-9 kg), etc. 10'2 kW 0.000001 m210-6 m2 109 s-, 10'5 W 1 (10-3.m)2 1(10-9 s¡-' 1 (10'5 W) mm2 1 ns-' 1 PW Ejemplos: metro: m; kilómetro: km; milímetro: mm ampere: A; miliampere: mA; microampere: I"A watt: W; kilowatt: kW; megawatt: MW; gigawatt: GW El S.I.-Unidades A 3 I Nombre Símbolo Valor multiplicativo exa E 10'8 (Múltiplos) peta P 10'5 tera T 10'2 giga G 109 mega M 106 kilo k 103 mili m 10-3 (Submúltiplos) micro 1" 10-6 nano n 10-9 pico p 10-'2 fento f 10-'5 ato a 10-'8
  • 1. Losvaloresnuméricos con cinco cifras o másdeben separarsea cada lado de la marcadecimal (punto o coma) en grupos de tres, mediante un espacio pequeño. Ejemplos: 61 154,61 354000,0.98203. En el caso de valores numéricos menores que la unidad se usa siempre el cero antes de la marca decimal. Ejemplo: 0.152, 0.00013. 1 b ; .105 Pa ; 100 kPa 1 rnb ; 100 Pa ; 105 mPa T (en kelvins) ; t (en OC)+ 273.15 También se admite la unidad de presión bar (b), igual a 105 N/m2. Se tiene que Seadmite indefinidamenteel empleo,junto con las del SI, de las siguien- tes unidades: de tiempo [minuto (min), hora (h), etc.] y de ángulo [grado ( 0), minuto (') y segundo (")]. De este modo, la tonelada (t), igual a 103 kg, Y el litro (L), equivalente a 10-3 ma Cuandono es necesarioconsiderartemperaturastermodinámicas(a par- tir del cero absoluto) se utiliza el grado Ce/sius("C), llamado anterior- mente"centígrado". La escala Celsiusva desde O "C (p. cong. del agua) hasta 100 "C (p. eb. del agua). La relación con la escala Kelvin es UNIDADES AUXILIARES DEL SI La unidad de energía joule (J) se aplica también a los fenómenos tér- micos y de cualquier otra clase. Lo mismo corresponde al watt (W). Las unidades derivadas térmicas se determinan considerando el joule y el kelvin(1<) o el grado Celsius (OC).Asimismo, las unidades derivadas eléc- tricas [volt (V),henry (H), etc.] y magnéticas [weber (Wb), tesla (T), etc.] se establecen a partir del ampere, el joule, el metro y el segundo. Potencia y flujo de energía watt (W): Potencia o flujo de energía que se desarrolla a razón de 1 J/s. Trabajo y energía joule (J): Trabajo realizado por una fuerza de 1 N, cuando su punto de aplicación se desplaza una distancia de 1 m en la di- rección y sentido de la fuerza. a 1 NORMAS DE USO DEL SI El S.I.-Unidades·
  • • Mayores detalles pueden verse en la obra citada en Al. Aproximadamente, 1 utm '" 1Okg. (No se emplea en la práctica la uni- dad técnica de masa.) Unid,adesUSo La denominación proviene del nombre U.S. Customary Units, que se emplea en.Estados Unidos de América para designar a este antiguo sistema de unidades originado en Inglaterra. Aquel país 1 utm = 1 k/gf2 = 9.80665 kg '" 9.8 kg 1 ms a 3 La unidad de masa, denominada unidad técnica de masa (utm) se de- fine como: Fuerza (y peso): tonelada fuerza (tI) = 103 kgl Presión y esluerzo: kgl/m2, kgl/cm2, tl/m2, tt/cm", etc. Trabajo y energía: kilográmetro (kgl ' m) Potencia: kilográmetro por segundo (kgl . mis). Las unidades derivadas principales son: 9.806 65 kg . m/s2 Unidades STo Son las de uso antiguo en ingeniería. Se basan en la unidad gravitacional denominada kilogramo fuerza (kgf),que es una uni- dadlundamental junto con el metro y el segundo. Su delinición es: Peso, en el vacío, del kilogramo (kg) al nivel del mar) y a 45° de latitud, donde go = 9.806 65 m/s2• Es decir, IAs 2. En las unidades compuestas los símbolos se combinan con los sig- nos de producto ( . ) o de cociente (/). Para mayor claridad pueden utilizarse exponentes negativos y no se debe usar más de uria raya diagonal en la expresión. Ejemplos: N . m, mis, kg . m/ss, J/(kg . K); o bien, m . S-l, J . kg-l , K-l, etc. 11.Las metrologías técnicas métrica e inglesa * En algunos países de habla española aún se utilizan en la industria las unidades de los llamados Sistema Técnico (ST) y Sistema Inglés (US), que van desapareciendo a medida que se extiende el uso obligatorio del SI. a 2 1 kgf = 1 kg . 9.80665 m/s2 9.806 65 N '" 9.8 N Aproximadamente, 1 kgf '" 10 N El SJ.-Unidades
  • a 11 La unidadde temperatura,el grado Fahrenheit(OF),es la fracción 1/180 del intervalo entre 32°F (p. congodel agua) y 212°F (p. eb. del agua). La conversión a grados Celsius (OC)es Aproximadamente, 1 slug '" 32 lb. (Tampoco se emplea mucho en la práctica el slug.) a 10 1 Ibf 1 slug = 1 pie/s2 = 32.1740 lb '" 32.2 lb La unidad de masa, denominada slug, tiene por definición: 1 tonelada (ton) = 2000 lb, 1 kilolibra fuerza (kip) = 1 000 Ibf a 9 A continuación se expresan las equivalencias principales de las unida- des US dentro del mismo sistema: 1 pulgada(plg) = 1~ pie, 1yarda(yd) = 3 pie, 1milla(mi) = 5 280pie a 8 a 5 a 6 a 7 0.3048 m 0.4536 kg 0.4536 kgf = 4.4482 N 1 pie 1 lb 1 Ibf En la actualidad, el pie, la libra y la libra fuerza se definen en función de las unidades métricas: 1 Ibf = 1 lb· 32.1740 pie/s2 = 32.1740 lb· pie/s2 Estas unidades son también las de uso antiguo en ingeniería en los paí- ses de habla inglesa. Se fundan en la unidad gravitacional de nombre libra fuerza (Ibf), que es una unidad básica junto con el pie (pie) y el segundo(s).Su definiciónoriginal era: Peso,en el vacío,de la libra (masa) (lb) al nivel del mar y a 45° de latitud, donde go = 32.1740 pie/52. Es decir, es prácticamente el único del mundo que no ha adoptado como obli- gatorio el SI. La institución denominada United States Metric Associa- tion (USMA), promueve intensamente el conocimiento y la adopción general del SI en todos los campos: educativos, comerciales, tecnoló- gicos, etc. El S.I.-UnidadesAsj a 4 % [t(OF) - 32]WC) = t(OF) - 32 1.8
  • • Para pasar de las unidades indicadas a la derecha del primer signo =. a la del primer término, se divide entre el factor expresado. Por ejemplo, 1 cm = 1~O m = 10-2m; 1 mm = 10-3 m; 1 km = 1~-3 m = 103m 1 9 = 10-3 kg; 1 N =_l_8 kgf = 0.102 kgf 9. 1 a 25 1 kgf = 9.8066 N = 10-3 tf (tonelada fuerza) a 26 1 dina = 10-5 N = 0.01 mN = 0.102 x 10-5 kgf 1 . 60 mm103 ms = 1061's = 109 ns = 10'2 ps 60 min = 3600 s 24 h = 1440 min = 86400 s FUERZA a 22 1 s a 23 1 h a 24 1 d TIEMPO MASA a 19 1 kg = 103 9 = 106 mg = 1091'g (microgramo) a 20 1 Mg = 103 kg = 1 t (tonelada métrica) a 21 1 utm = 9.8066 kg 10 hL (hectolitro) 106 rnrn" 100 ha (hectárea) VOLUMEN 106 cm3 = 103 L (litro) 10'2 L a 171m3 = 103 dm3 a 18 1 km3 = 109 m3 AREA 111.Equivalencias de unidades métricas usuales * LONGITUD a 121m = 10 dm = 100 cm '" 1000 mm = 1061'm = 109 nm = 10'2 pm a 131m = 10-3 km = 10-6 Mm = 10-9 Gm = 10-12 Tm = 10-;5Pm a 14 1 mm = 1O-31'm = 106nm = 109pm = 107Á(angstrom) = 10,omÁ IEl S.I.-Unidades a 151m2 = 104 cm2 a 16 1 km2 = 106 m2
  • a 43 a 44 a 45 a 40 a 41 a 42 a 35 a 36 a 37 a 38 a 39 a 33 a 34 a 30 a 31 a 32 a 27 a 28 a 29 * Se aplica el mismo procedimiento indicado para las unidades métri- cas en la interconversión de las unidades. VOLUMEN 1 pie3 ; 0.0283 m3 ; 28.3 L 1 plg3 ; 1.6387 X 10-5 m3 ; 16.387 cm3 1 galón (gal) ; 3.7854 X 10-3 m3 ; 3.785 L (líquidos) AREA 1 pie2 ; 0.0929 m2 ; 929 cm2 1 plg2 ; 6.452 X 10-4 m2 ; 6.452 cm2 1 yd2 ; 0.8361 m2 ; 8 361 cm2 1 milla náutica (nmi) ; 1 852 m ; 1.852 km 1.609 km1 milla (mi) ; 1 609 m 1 pie (pie) ; 0.3048 m 1 pulgada (plg) ; 0.0254 m ; 25.4 mm (por definición) 1 yarda (yd) ; 0.9144 m LONGITUD POTENCIA 1 kgf . mis ; 9.8066 W ; 9.81 X 10-3 kW 1 kcallh ; 1.16 W ; 1.16 X 10-3 kW IV. Equivalencias métricas de unidades inglesas usuales * TRABAJO Y ENERGIA 1 kgf· m ; 9.8066 J ; 0.239 x 10-2 kcal (kilocaloría) 1 kcal ; 4 186.8 J ; 4.187 kJ 1 kW· h ; 3.6 X 106 J ; 3.6 MJ PRESION y ESFUERZO 1 kgf/cm2 ; 98.066 kN/m2 ; 98.066 kPa 1 b (bar) ; 105 Pa ; 100 kPa ; 1.02 kgf/cm2 1 torr (mm Hg) ; 133 Pa ; 1.33 x 10-3 b ; 1.33 mb El S.I.-UnidadesAs
  • V. Equivalencias de diversas unidades a 63 1 gal (Gran Bretaña) = 4.546 m3 = 4.546 L a 64 1 long ton (GB) = 2240 lb = 1016 kg a 65 1 quilate (métrico) = 200 mg a 60 1 pie· Ibfls = 1.3558 W = 0.1382 kgf' mis a 61 1 caballo (hp) = 746 W = 0.746 kW a 62 1 Btu/s = 1.0550 kW = 0.252 kcal/s a 53 1 Ibf/plg2(psi) = 6.8947 kPa = 0.07031 kgf/cm2 a 54 1 Ibf/pie2(psf) = 47.8802 Pa = 4.8825 kgf/m2 a 55 1 kip/plg2 (ksi) = 6.8947 MPa = 70.3081 kgf/cm2 a 56 1 kip/pie2 (ksf) = 47.8802 kPa = 4.8825 x 103 kgf/m2 a 57 1 plg Hg = 3.3768kPa = 33.768mb = 25.4 torr = 0.0345 kgf/cm2 THABAJO y ENERGIA a 58 1 pie ·Ibf = 1.3558 J = 0.1382 kgf· m a 59 1 Btu = 1 055 J = 1.0550 kJ = 0.252 kcal POTENCIA a 46 1 lb = 0.4536 kg = 453.6 9 a 47 1 tonelada (ton) = 907.18 kg = 0.9072 t a 48 1 slug = 14.594 kg a 49 1 onza (oz) = 0.02835 kg = 28.35 9 FUERZA a 50 1 Ibf = 4.4482 N = 0.4536 kgf a 51 1 kip = 4.4482 kN = 453.6 kgf a 52 1 tonf = 8.8964 kN = 907.2 kgf PRESION y ESFUERZO MASA IEl S.I.-Unidades
  • b 13 s b 12 ah A =-2-=ps = vs(s-a)(s-b)(s-c) b 11 a + b m=-- 2 b 10 a+b A =-·-h=mh 2 b 9 b 8 o, = V (a + h cot a)' + h' d,=v(a - h eota)' + h' A= a h= a bsen ab 6 b 7 Superficies B 1 ICuadrado b A= a' J "/ / "/ b 2 a v'"A Ó "/ "/ i "/ a-..j2 "/ b 3 d "/ Rectángulo A =ab ---b 4 }/ .......,... -b 5 d = va' + b' -- a Paralelogramo

    Superficies B 2 ITriángulo equilátero b 14 A !:y13 4 b 15 h .!!....j3 2 b 16 A ~"V10 + 2V5 Pentágono regular 8 el b 17 a _!_'V1O - 2V5 2 b 18 P _!_'V6 + 2y'5 4 Construcción: AB= 0.5" BC = BO, CO=CE b 19 A 2-a2y13 2 b 20 d 2a b 21 2 yl35""1.1555 b 22 5 yI3 d"" 0.866d 2 b 23 A 2 a 5 ",,0.83 5' Octágono regular b 24 25Vd2-5' b 25 a 5 tan 22.5· '" 0.4155 b 26 5 d cos 22.5 e '" 0.924 d b 27 d 5 '" 1.083s cos 22.5· Polígono b 28 A A, + Az + A, b 29 a n. + b h2 + b ha 2

    Superficies B 3 ICírculo b 30 A = _E. cf' = rrr" ~ 4 b 31 "" 0.785d2 b 32 P=2rrr=rrd b 33 A =:'!_ (D' - d") ~ 4 b 34 =rr(d + b)b D-d b 35 b=-- 2 b 36 A ==~r2a=~r'!. Seotorcircular 360 2 ~ br b 37 - 2 -tt b 38 b =--ra 180 b 39 ¡;_ =....:!_ a (a = aenradianes) 180 b 40 s =.2rsen~ Segmentocircular 2 h r' b 41 A = - (3h2+ 4s2) = - (.ii-sen a) 6s 2 h s2. b 42 r=-+- 2 8h b 143 a S a h =r(1 - COS2) =2tan4 b 44 ¡;_ : Ver fórmula b 39. b 45 A=:'!_Dd='",Jb Elipse 4 Dtd b 46 P""1I"-- 2 1 1 1 b 47 =rr(a + b) [1 + 4A2 + 64A4+256)<i!+ 25 . a-b 16384AS+ ... ]. dondeA=-- . a + b

    Pirámide truncada Pirámiderectangular (recta) Al +A" ""h---- 2 e 10 h V ="3 (Al + A, + ~)e 9 e 8 Prismaoblicuo Prisma rectangular (recto) I Cubo (Principiode Cavalieri) e 7 e 1 V=a' e 2 A =6a' e 3 d=y3a e 4 V=abc e 5 A =2(ab + a e + be) e 6 d=ya'+b'+c' Cuerpos

    Cilindro circular (recto) e 14 V ='!!_h (O' - 0"') 4 e 12 A, =27!'rh e 15 V =!!...,"h Conocircular (recto) 3 A2 e 16 A, =1I"rg / e 17 A, = 1I"r(r+ g) e 18 9 =Vh" + ," e 19 A,: Al = x': h" e 20 V =.!!_h (O' + Dd + d") 12 e 21 A, =!!...g (O + d) =211"ph 2 e 22 9 =,/[(0 - d)121'+h' 4 1 Esfera e 23 V ==-7rr:t=-7rd~ 3 6 e 24 es 4.189r' e 25 A =47!'r'=7!'d' •V =!!...d"h 4 Cuerpos e 11

    Esfera con perforaciones cónicas Esfera con perforación cilíndrica e 37 A, = 2 7rr (h +V r2 - h' / 4 ) e 35 Al =2 7rh (R + r) e 34 V =!!...h3 6 e 33 At =!!... r (4 h + s) 2 e 32 V =3..7rr' h 3 Cuerpos I e 3 =!!... h (3 a' + 3b' + h2) Segmento esférico truncado Ie 26 V 6 c 27 A; =27rrh (Zona esférica) e 28 Al = -tr (2 r h + a' + b2) e 29 V = !!...h (~S2 + h2) Segmento esférico 6 4 T~ =7r h' (r - !!_j -<:: . 3 L /--+-r-_,c 30 Al = 2 tt r h (Casquete esférico) ~ . e 31 =!!... (S2 + 4h2) S ., ~r 4 Sector esférico

    Prismatoide Barril q}j Cuña cilíndrica IToro (anillo de sección circular) h V =6'(A1 + A2 + 4A)c 45 v ""!!...h (2 02 + d2) 12 e 44 A. =A, + !!...,2 + !!..., v'f2+I122 2 c 43 A, =2,hc 42 V =.3..,2h 3 c 41 e 40 V =_!!_d'h 4 A =7I'20dc 39 v =:::"Od2 4 Cuerpos Estafórmula se aplica también a los cuerpos de las partes C1a C3. incluso para la esfera y sus porciones. e 38

    'No es válida en algunos casos; p. ej.. V(- 2)2=+ 2 (V=-2r=-2 Nota: Los exponentes para potencias y raíces deben ser escalares. v=a=iVad 12 ( ) ' 3. . - p = Va =a'd 11 d 10 d 9 d 8 , ..VTIfXl!1 =Vl6 x VlIT 4Vx+7Fx=11Fxd 7 d 6 1 a-"=- an 1 8-4=_ a' d 5 d 4 (a3)2 =(a2)3=a"2=a6 am _= am-n an d 3 a' _ == 88-2 == a6 a2 a8 .a4 == 812d 2 3a' + 4a' =7a'p . an ± q . a" = (p ± q) an IEjemplos FORMULAS PARA POTENCIASV RAICES General Algebra Potencias y raíces d

    Nota: El logaritmando (o antilogaritmo) debe ser un valor numérico. 'También se usa la notación Ig. Características de logaritmos de base 10 log 0.01 = - 2 o bien, 8 - 10 logO.1 = - 1 o bien, 9 -10 1091 O 10910 1 log 100 2 log,o x = 10g"l e . In x = 0.434294 . In x log,o x In x = =2.302585 . log ro x 10910 e Base de los logaritmos naturales: e = 2.718 28183. Transformación de logaritmos log b Ide donde: x =--- log a a" =b = e=In fl Igualdad entre expresiones con exponentes log s. =Iogx-Iogy y log x' =n log x log Vx =_!_ log x n En loq, x =b se llaman: a, base x, loqaritmando b, logaritmo Reglas para el cálculo con logaritmos (de base cualquiera) log (x· y) = log x + log y d 26 d 27 d 28 d 29 d 30 d 23 d 24 d 25 d 22 d 21 d17 d18 d19 d20 Algebra D 2Potencias y raíces LOGARITMOS Base del Sistema sistema Denominación Id13 log, a Logaritmo de base a d14 10glO log' 10 Logaritmo común d15 log, In e Logaritmo natural d 16 log2 lb 2 Logaritmo binario

    d 41 -d 40 d 34 d 35 d 36 d 37 d38 d39 d 33 d 31 d 32 I (a ± b)" = a2 ± 2 ab +b2 (a ± bl'l = a:¡ ± 3 a2 b + 3 a b2 ± ba (a + b)" = a" +_!2. a,,-I b + n(n-1) a'~2 b2 1 2 + n(n - 1) (n - 2) a"-3 b3 + '" + b" 1 • 2 .3 (a +b + C)2 = a2 + 2ab + 2ac + b2 +2bc +c2 (a - b +c)2 = a2 - 2ab + 2ac + b2 - 2bc + c2 a2 - b2 = (a + b) (a - b) al! + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) a3 - b:l = (a - b) (a2 + ab + b2) an - b" = (a - b) (a"-l + a"oo!!b + a,,-a b2 + ... +abn-2 + btH) Ecuación cuadrática o de segundo grada Forma normal X2 +px + q = O Raíces XI;X2=-.!!_±~ 2 4 Teorema de Vieta p = - (Xl + X2); q = Xl 'X2 Cálculo aritmético de la raíz cuadrada Explicación Ejemplo Los valores entre paréntesis se refieren al ejemplo. d 42 TRANSFORMACION DE EXPRESIONESALGEBRAICAS USUALES Potencias y raíces D3Algebra V 216143.69r,===-~P" a) Hacia la derecha y hacia la izquierda del punto _ . I decfmal formar grupos de dos cifras. 543 : 86 I b) Obtener la raíz cuadrada del primer grupo 516 :-~ (21). Registrar como primera cifra del resultado -z769 : 923 el número entero así obtenido (4). elevarlo al 2769 cuadrado (16) y restarlo del primer grupo para --O tener un residuo(5). e) Bajar el siguiente grupo (43). y dividir entre el doble del resultado obtenido hasta el momento (2X4 = 8) las cifras anteriores me- nos la última (54: 8 = 6). Registrar el cociente (6) como siguien- te cifra de la raíz. Agregar este número al doble del resultado an- terior (8) Multiplicar el divisor así obtenido (86) por la última cifra del resultado (6) (516= 86 X 6). Calcular la diferencia (27). d) Repetir el procedimiento hasta terminar. Determinación aproximada de una raíz d 43 Si x =V"A entonces x = 2_ [In - 1) Xo +~_ln XO,,-l J donde Xo es el valor estimado <lex. Sustituciones de valores sucesivos de Xo aumentarán la exactitud del valor de x.

    Ejemplos d 53 (a +b)" = aro+5a4 b + 10a:1b~ + 10al!bl! + 5ab4 + b" d 54 (a - b)" = (+) aro - 5a4 b + 10a;¡bl! - 10a2 b3 + 5ab4 - b5 Signos En (a +b) todos son positivos. En (a - b) se empieza con + y luego se van alternando. Exponentes La suma de los exponentes de a y b en cada término es igual al exponente n del binomio. Cuando disminuye el exponente de a au- menta el de b. Se continúa de manera que cada renglón empiece y termine en 1. Los números restantes son la suma de los dos números situados inmediatamente arriba a la derecha y a la izquierda. d 46 (a+b)" d 47 (a + b)' d 48 (a +b)~ 2 d 49 (a +b)3 3 3 d 50 (a +b)4 4 6 4· d 51 (a+b)" 5 10 10 5 d 52 (a + b)6 6 15 20 15 6 Resolución esquemática. Coeficientes por el Triángulo de Pascal n(n - 1) (n - 2) ... n-k + 1 1 ·2·3 .. k BINOMIO DE NEWTON (a +b)" = (~) a" + oa"O'. b + (;) a,,02•b2 + (;) a"o;¡.b:1+ ... n tiene que ser un número entero iI d 44 Algebra Teorema del binomio 4 4·3 4·3·2 d45 (a +b)4 = 1 a4 +,a·o'.b +Wa4-l ·b2 + ~aH ·b:l+bq = a4 + 4a:1 • b + 6a2 • b1 +4a . b" + b4

    *n! recibe el nombre de factorial n. La tabla D 6 presenta las fórmulas de combinaciones y ordenaciones, con y sin repetición de elementos. Considerando el orden de los elementos se habla de ordenaciones. El número de modos diferentes en que pueden asociarse los elemen- tos de un conjunto de n de ellos tomando k cada vez, sin tener en cuenta su orden, se llama número de combinaciones. Hay que especi- ficar si los elementos se repiten o no. COMBINACIONES V ORDENACIONES 3 permutaciones 3! 1 x 2 x 3 P« 2 = 2! x 1!= 1 x 2 x 1 Eneste caso n = 3, nI = 2, n2 = 1; por lo que aab aba baa Ejemplo: Los n = 3 elementos a, a, b pueden permutarse de tres maneras diferentes: mi d 57 Caso especial: Si al permutar n elementos existen n, elementos del tipo 1, n2 elementos tipo 2, .. " y nk elementos del tipo k, entonces: P« = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 permutacionesd56 abc bac cab acb bca cba Ejemplo: Los n = 3 elementos a, b, c pueden permutarse de las seis maneras siguientes: mi d55 P; = n! = 1 x 2 x 3, , .x n d 58, b.mutaciones.~!~n~c~!'! y ordenaciones O 5 I PERMUTACIONES Número de permutaciones de n elementos*:

    eLos grupos ab y be, por ejemplo. pertenecen a ordenaciones dife- rentes Los grupos ab y be, por ejemplo. pertenecen a la misma combinación Observa- ciones =9 (3 - 2)! 1! =1X2X3=6 1 3! 3! ab ae ba be ea eb =~=6 1 x 2 ,. a_(3+2-1) C2 - 2 =G) a. E Cálculo del al número de i.ü posibi- lidades en o r--------+-------------------+----------------~----------------+_--------~ aa ab ae ba bb be ea eb ee o;= G) 2! aa ab ae bb bc ce ab ae bePosibi- lidades n = 3 elementos: a, b, c k = 2 elementos seleccionados del conjunto de 3 Datos C : número de combinaciones posibles O : número de ordenaciones posibles n :número de elementos dados k : número de elementos seleccíonados de entre n elementos dados Significado de los símbolos o:= C~· r, = G)k~ n! = (n-k)! e:=__ n_! _=( kn )1 rc~= e+kk-1) k! (n-k)! I r con repetición Fórmulas Número de ordenaclones ·sin I con repetición Número de combinaciones sin I con repetición ~~(OHftiI ~~oHftil a.~ ~HftiI

    Da z=- D DI x=- D Desarrollar D2 y D3 de igual manera, sustituyendo la columna de yo z por la de r; por lo tanto, = an· a22 • aaa + a12 • a28 ·aSl +a13 •a21 • aa2- aJa· a22 • aSl d68 md67 md66 Determinantes de tres renglones (regla de Sarrus): al1 . x +a12 • Y +ala· Z = r 1 d 65 a21 • x + a22 • Y + a23 • Z = r 2 aSl· x + aa2 . Y + aaa· Z = fa Poner ía columna de r en vez de la columna de x columna de y Iau . x +a12 • Y = r, Ia21 • x + a22 • Y = '2 Determinantes de dos renglones o filas: Algebra Determinantes mmd64 -d63

    Nota: Para un determinante de n renglones se hará el desarrollo hasta obtener determinantes de tres renglones. O2 O. u2=o, ... , u'=j) O, ul=7i'd 72 Para los determinantes inferiores O" O2, .•. , introducir las columnas de rde acuerdo con la página D 7 Y luego desarrollar como el deter- minante O. Obtención de las n incógnitas u" ... ,un con las fórmulas: Debido a que no se pueden introducir ceros como en el caso anterior, puede hacerse el siguiente desarrollo. Por ejemplo, con los primeros renglones: d 70 Desarrollo para la cuarta columna: o:+ ....... a:.n-- - _. -.-a22---- o •• - 823'·' -- - "?24-". - - - -.-831-- --- -- ••8:'12----- - - .a1:I:::I--·-_.'-'~l:I4 .....- :+ ? d 69 ++ I Determinantes de más de dos renglones: (En un determinante de más de 3 renglones también puede aplicarse la regla de Sarrus, de acuerdo con D 7). Formar una matriz y mediante adición o sustracción de dos o más renglones, transformados previamente por multiplicación o división, introducir elementos nulos. Desarrollar el determinante por renglones o columnas con el mayor número de elementos nulos, e introducir signos alternadamente (co- menzar con + en a,,). Ejemplo: DaAlgebra Determinantes d 71 O =a.. ( a11 1a" a", ¡_ al21 a.. a33j + a" ¡aal aS2¡) -a", ( ... ) ~ ~ ~~ ~~

    n: cantidad de términos sn: suma hasta n términos q: cocientede dos términos consecutivos a.: término inicial an: término final d: diferencia de dos términos consecutivos d 79 d 78 mi d 76 d77 . . . 4+ 10 (por eíemplo, en la sene antenor a3 = -2- = 7). SERIE GEOMETRICA La sucesión 1,2,4, 8, etc., se llama progresión geométrica. (El cociente q de dos términos consecutivos es constante y se llama "razón" de la serie.) qn _ 1 q • an - a, a n sn=a,~=~ para q=~ an = a,. qn-' Media geométrica: cada término am de una serie geométrica es la media geométrica de sus términos adyacentes am _ ,y am + 1. Así, el m-ésimo término es am = ~am _, • am + 1 para 1 < m < n (por ejemplo, en la serie anterior a3 = ~ = 4) Para las series geométricas infinitas (n ~ 00, Iql < 1), se aplican las si- guientes ecuaciones: an = lím a, = O; sn = lím s, = a, _1 - 1-q SERIE GEOMETRICA DECIMAL Aplicación al cálculo de series normalizadas de números. El cociente de dos términos consecutivos se llama "relación progresiva ¡p". ¡p = ~ b ~ 1, entero. b determina la cantidad de términos o números normalizados de una serie en una década. Los valores de los términos que se deben redondear se cal- culan de acuerdo con d 77: an = a, (N)n-l = an(10,/b)n-l n = 1 ... b Comenzando con a, 1 o a, = 10 o a, = 100 o ... Ejemplos: nota serie E internacional, ver Z 2 serie DIN, ver A' 1 d80 d 75 I SERIE ARITMETICA La sucesión 1, 4, 7, 10, etc., se llama progresión aritmética. (La diferencia d entre dos términos consecutivos es constante.) La suma de una progre- sión se llama serie. n n (n - 1) d sn = 2" (a, + an) = a.n + 2 en donde d = an - an_, an = a, + (n - 1)d Media aritmética: cada término am de una progresión aritmética es la me- dia aritmética de sus términos adyacentes am _ , y am + t- a + a Así, el m-ésimo término es am = m -, 2 m + , para 1 < m < n iI d 73 d 74 Algebra Series d 81

    (Continúaen D 11) X x2 x3 e'= 1+11+21+31 + ... X • Ina (x.Ina)' (x. Inal" a' = 1+ -1-! - + --2-' - + --3-! - + ... Inx=2rx-i +2_e-1)"+2_(X-1),,+,.]' Lx + 1 3 x + 1 5 x + 1 Xi Xli x" x5 -+--- In(1+ x)= x - 2"+"3 + "4 + 5" - .,. 1 1 1 1 tn 2 =1- 2"+"3 - "4+ 5" - ... para toda x toda x x>O -1< x x~+ 1 Eiempios: Deaquíquelaformade Maclaurin.cuandoa = O es r (01 t" (O) . f(x)=f(O)+1Ix+-2-!-x'+ . . '. SERIE DE TAYLOR (SERIE DE MACLAURIN) t' (a) t" (a) f(x)= f(a)+ 11(x- a)+ -2-! - (x- al" + ... [x ] < 1 [x ] < 1 1 1 1 =1±-x __ X2±_X3_ .. . 2 8 16 1 3 5 =1 +2"x+ax'+16x3+ ... , y 1 ± x = (1 ± x)" 1 _.! ---=(1 ±x)' y1±x Ixl < 1 paraE;emplos: 1 --=(1±x¡-' 1±x a(a-1) (a- 2) (a- 3) ... (a- n +1) 1·2·3 ... ·ne)= Fórmuladel coeficientebinómico. I SERIE BINOMICA o BINOMIAL f(x)= (1± x)a=1± ox + ox' ± ox' + ... aes un númerocualquiera.positivoo negativo.entero o fraccionario. Algebra Series d 92 d 91 d 90 d89 d88 d 87 d 86 d85 d84 d 83 d82

    Ixl> 1 Ixl < 1 Ixl < 1 Ixl<~ 2 toda x toda x Ixl~l Ixl ~ 1 O < Ix i Ixl < 'Ir Ix I~ 1 Ixl <..!!:2 toda x toda x I d 108 d 107 d 106 d 105 d 104 d 103 d 102 x3 x5 x7 x9 senhx=x +31+ 51+ 7!+ 91+'" X2 x4 x6 xl:! coshx = 1+ 21+41+ 61+ ¡¡¡-+... 1 2 1 7 tanhx= x- 3x'+15x5 - 3i5X7 + ... 1 1 1 2 cothx=-;+3"x-"45.X8 +"945x'- ... 1 xa 1·3 x" 1 ·3 . 5 x7 senh-lx=x-23+N5-~67+" . 1 1 1·31 1 ·3·5 1 cosh+x =In 2 x - --- - ---- - ----- +- ..2 2x' 2 . 4 4x' 2 . 4 . 6 6 x· x! X!' x7 x" tanh-'• =x+"3+"5+ 7+9+' 1 1 1 1 coth-'x= -; + 3;3+ 5x'+ 7il + . d 101 d 100 Xii xl} x7 x9 tan-'x=x-3"+S--=¡+9-" . cot?x = :f... - tan-1x 2 d 99 d 98 d 97 d 96 x2 x4 x6 COSX=1-2i+4i--¡¡¡+ ... 1 2 17 tanx= x+ 3"x·+ 15x· + 3i5x' + ... 1 1 1 2 cotx=---x--x'---x·- ...x345945 1 x' 1· 3 x· 1 ·3· 5 x7 sen-Ix= x + 23" + NS + ~-=¡ + ... 'Ir cos-ix =- - sen+x 2 d 95 E;emplos: para SERIE DE TAYLOR (Continuación) Algebra Series d 94

    Si f(x) = - f(- xl y 11" 11" f(2 +x) =- f(2 - x) entonces 4 S'/2b. =- f(x) sen (kx) dx 11" o para k =1,3, 5, . a,. = Opara k =O,1,2, . b, = Opara k =2, 4,6, . Función impar d115 Sif(x)=f(-x)y d 116 f(_!' +x) =- f(..!. - x) entonces 2 2 d 117 a, == ~ f'(¡~) cos (kx)dx 11" " para k =1,3, 5, . d 118 a, = Opara k =O,2, 4, .. d119 b,=Oparak=1,2,3,. para k =O, 1, 2, ... d 113 Funciones impares: f(x) =- f(- x) I rV" /~ tIlOVa tx 2f"b; =7f f(x) sen (kx) dx o d 114 d 112 a. =~i;(X) cos (kx) dx 11" o para k =O,1, 2, ... b,=O d 111 Simplificación del cálculo de los coeficientes: Funciones pares: f(x) =f(- x) para k =O,1, 2, ... , en uno y otro caso 1 S"b; =- f(x) sen (kx) ax11" ~ Los coeficientes de cada término se forman como sigue: 1 S" Ia.=-- f(x) cos (kx) dx 11" " d 110 lit Xo I r Generalidades: Toda función SERIES DE FOURIER periódica f(x), que puede des- componerse en el intervalo de periodicidad - 11" :5 x :5 11" en un número finito de intervalos continuos, podrá descomponer- se en ese intervalo en una serie convergente de la forma (x = "~,tI: a. 00 f(x) =- +~ la. cos (nx) + b; sen (nx)] 2 .=i Algebra Series Función par d 109

    x 8X y =~ para O < x < 27r y = 1(27r+ xl n-b 4 8 [1 1Y = -- - senb senx + - sen (3bl sen (3x) 7rbP 32 ] +..!. sen (5b) sen (Sx)+ ...52 Y=8xlb para O:::;; x:::;; b y =8 para b :::;;x :::;;7r- b y =8(7r- x)lb para 7r- b:::;; x:::;; 7r i( 28 [7r -a sen (7r-a) + sen2 (7r-a) (2 ) y=- --- casx cas x 7r 2 1 3]sen3 (7r-a) (3 ) 3 cas x+ ... 3lt x .., y I I d 134 mi d 135 d 133 d 129 d 130 d 131 mi d 132 mil d 128 d 126 y = 8 para a < x < 27r- a d 127 y = 1(211" +xl I ,o ¡¡ liT 48 ~ 1 L.....I Y =- COSa senx + - cos (30) sen (3x) 7r 3 + tcos (5a) sen (5x) + .. J mi d 125 d123 y= 8 paraa<x<7r-a d124 Y=-8 para7r+a<x<27r-a x i(I Jt 12Jt 13J! I I I ~ '-- 48 [ sen (3 x) sen (5 x) JY="1r senx+--3--+--S--+ .. . _ I y = 8 para O < x < 7r Y = - 8 para 7r< X < 27r TABLAS DE DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER Algebra Series liI d 122 d 120 d 121

    Y=8X/7T paraO:::::;x:::::;7T YVJ: ~y = f(27T+ x) I °1 / ;1m=- • mi d 154 d 155 d 156 mi d 157 y = O para O:::::;x :::::;7T/2 Y = a sen (x - f) para ~:::::; x :::::;~ __ ~+-~-.-~_"'""= __±__ y = f(27T+ x) 2 2 2 2 !{!, x 2a ..!.. _ !!.... cos x + cos (2x) _ cos (4x) + cos (6x) _ ... y = -:; 2 4 2 2 - 1 4 2 - 1 6 2 - 1 d 148 d 149 d 150 IiId 151 d 152 d 153 x para O:::::;x:::::; 7T para 7T:::::;X :::::;27T y = a sen x y= = a sen x y = f(7T+ x) d 144 d 145 d 146 mi d 147 x d 140 d 141 d 142 iId 143 Ix para O:::::;x :::::;7T/2 para-r/z :::::;x :::::;7T --+-~~~--~~~~~ y = 2axhr y = 2a(7T- X)/7T y = - f(7T+ X) mi d 139 SERIES DE FOURIER (Continuación) Algebra Series d 136 d 137 d 138

    Si al = a2Yb¡ = b2• entonces z¡ = ~- . ~a+va2+b2 + .¡~-a+V2a2+b2d 170 va± Ib= - 2 d 169 a2 +b2 = (a + ib) (a - ib) d 168 z=a +ib z, + Z2 = (al + a2) + i(bl + b2} z, - Z2 = (al - a::) + i(b¡ - b2) z, • Z2 = (al a2 - b1 b2)+ i(a1b2 + a2b¡} iI d 164 d 165 d 166 d 167 En coordenadascartesianas: Nota: Paraevitar confusiones.en la electrotecnia se sustituye ¡por ¡. Algebra D 15Números complelos Generalidades: Eje imaginario z=rel<P Ia = parte real de z b = parte imaginariade z r = módulo (valor absoluto) de z cJ>=argumento (áng.en rads.) de z (a y b son reales) d 158 i =v'="T d 159 P=+ i i-1=- i d 160 P=-1 i-2= -1 d 161 i3=-i j-3= + i d 162 i4=+ 1 i.-4=+1 d 163 i5=+i i-5=_ i etc.

    d184 Inz=lnr+i(cp+27rk) (k=O.±1.±2 •... ) Si rs. ='2 y </>1= </>2+ 271'k. entonces z, = Z2 Nota: cf> es el ángulo en radianes (arco) k es un número entero cualquiera. cos <p sen <pd 183 d 182 Ie-1cf>1= V cos- </>+ sen2</>= 1 cos cp+ i • sen <p e-1cf>= cos cp- i . sen </>d 181 En las fórmulas d 178 Y d '179 se tiene k = 0, 1, 2, ... , n - 1 d 180 e1ct>=cos </>+ i· sen <p n 271'k 271'k VT= ·cos -- + i . sen -- (raíz n-ésima de la unidad) n n .... (CP+271'k 1>+271'1<) Vz= Ivrl 'COS --n-- + i . sen --n-- zn = (n (cos ncp+ i . sen ncp) (n> O. entero) b tan cp=- a a coscp =- r sen cp=~ I z = rIcos cp + i . sen CP) =.a + ib (= +va2+b2 En coordenadas polares: Algebra Números complejos d 179 d 178 d 176 mi d 177 d 174 ID d 175 d 173 d 172 mi d 171

    n Número de años p Tipo de interés, en fracción (p. ej., 0.06. o sea,6%) q =1+p k. Capital inicial k" Capital a los n años Anualidad z Depósito Significadode los símbolos logq n q"-1 k,.,(q-1)+z log_;;_...:..:..._..:......:- k. (q - 1) +Z Z q"-1 k..=k•. q"+Z-- q-1 (k,.,- k •• q") (q - 1) Cálculo de depósitos Fórmulaspara cuentasde ahorro Si k" = O se obtendrán las fórmulas de amortización. log q n r. q-kn(q - 1) log-___:_-_;_:_.:....:....._- r. q-ko(q - 1) (ka. q" - k,)(q - 1) W -1)q k = k • qn _ r' q qn - 1 n a q _ 1 Cálculo de rendimientos logq n=-- •k" = k •• q" k" log- k. Cálculo del interés compuesto Algebra Aplicación de la serie geométrica d 192 d 191 iii d 190 d 189 d 188 iI d 187 d 186 iI d 185

    d 204 d 202 d 203 x = altura de un triángulo equilátero. d 201 x = hipotenusade un triángulo rectángulo. x =Va2+b2d 200 por tanto, x' =a2 +b'd 199 x = media proporcional a:x=x:bd 198 x=~d 197 ~ ~ I x = tercera proporcional d196 a:b=b:x b' d 195 x =- a x = cuarta proporcional a:b=c:xd 194 b.c x=-- a a : X =X : (a - x) x = porción mayorde unsegmento dividido Segúnla sección áurea: x=~( V5-1) ""0.618a 2 d 193 Algebra Resolución geométrica de ecuaciones

    l' = ~ rad = 0.017453roo 180 180' 1 rad = -- = 57.2967' 7T 75' 90' 180' 270' 360'50' e 6 a = arc a = longitud de arco radio e 5 o=____:!__a= __ a__ 180 57 .2967 e 4 360' = 27Trad 1°= ~rad 180 EQuivalencias. Por definición: O 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28 O a 30'O' 7T/6 7T/4 7T/3 57T/12 7T/2 7T 37T/2 27T ar_--_+----,_----+---~----_+----+_----r_--_+----- 45'e 3 Con frecuencia no se indica especificamente la unidad. como en la siguiente tabla. 1 m .' I) e 2 1 rad ='"'im = 1 (número adimensiona Unidad de arco: 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio uni- tario que intercepta un' arco tam- bién unitario. Por lo tanto. Unidades comunes (sexagesimales): grado n.minuto ('). segundo ("). e l' =60'; l' = 60" • Representación: La medida de un ángulo puede ex - presarse en unidades comunes (gra- dos) o en unidades de arco ( radia- nes). Se representa a veces. respec- tivamente. por a y &. MEDIDA DE ANGULOS PLANOS Trigonometría Fundamentos

    o bien. seno con defasamiento ep = - !!. 2 '.._.,' 27r ."""'. e 14 e 13 Relaciones entre las funciones seno y coseno m Ecuaciones fundamentales: e 11 Función seno y = A sen (ka-ep) e 12 Función coseno y = A cos (ka- ep) y Valores de las funciones de ángulos importantes a 0° 30· 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360° sen a O 0.500 0.707 0.866 0.966 1 O -1 O COSa 1 0.866 0.707 0.500 0.259 O -1 O 1 tan a O 0.577 1.000 1.732 3.732 O 00 O cot a 00 1.732 1.000 0.577 0.268 O O 00 bcateto adyacente cos a = ------- ehipotenusa ~hipotenusa e e cat. op. a 1 1 1 tana =--- = -; cota = --; seca =-- ;COSeCa=-- cat. ady. b tana COSa sena acateto opuesto sena = ------ Funciones trigonométricas. En un triángulo rectánguio: I e 10 e 9 e 8 Longitud de un arco La longitud de un arco (b) es el pro- ducto del radio r y el ángulo central a (en radianes) de la circunferencia: e 7 b=réi Trigonometría Fundamentos

    e// ", , ,,/ '" ",: ,: ",1 , i! , 360" 211' a sen (a± n ,360°)= + sen a cos( .. ) =+COSa tan (a± n ,180°)= + tan a col ( .. )=+CÓI a a)=+sena )=+COSa ) =+Ian a )=+col a sen ( 360° + cos ( .. tan ( COI( a)=-cosa )=+sena )=-col a ) =-Ian a sen ( 270° + cos ( .. lan ( col ( " , , ~,/ ." ......... :" ! "'o ,-," ISo" 11' 180°+ a) = - sen a ., )=-cosa ) =+18n a )=+col a sen ( cos ( lan ( col ( • sen ( cos ( tan ( col ( a)=+cosa )=-sena )=-col a ) =-Ian a 90°+e 15 sen ( 900-a)=+cosa e 16 cos ( )=+sena e17 tan ( )=+col a e 18 COI( ) =+Ian a e 19 sen (180 °-a) = + sen a e20 cos ( )=-COSa e 21 tan ( ) =-Ian a e 22 COI ( )=-col a e 23 sen (270 °-a) = - COSa e 24 cos ( )=-sena e 25 lan ( )=+col a e 26 col ( ) =+Ian a e 27 sen (360·-a) = - sen a e 28 cos ( )=+coSa e29 tan ( ) =-Ian a e30 col ( l=-col a e 31 sen -a ) =-sena e32 cos )=+COSa e33 tan ) =-Ian a e34 COI )=-col a +y t:Ji e: S! E3Trigonometría Variaciones en los cuadrantes

    cota- cot s cota- cotp cot a . tana- tanp tan a . tana+ tan s tanp=----- cota+ COIp col P = cola + COIp tan o-} tan p tana - tan p cota+ tan p 'cota - tan p tan p = = - -:----~ tana+cotp lana-cotp cot a· a+{3 a-p COSa- COSP = - 2 sen --2- sen --2- sen (a±p) tan a ± tan f3= ----- COSa·COS{3 sen (P ±a) cot a± cot {3= --.::..._-_;_ sena· sen 11 1 1 sena· cosf3=2sen (a+ P) + 2sen (a- (3) 1 1 COSa· cosP=2cos(a+p)+2cos(a-ll) 1 1 sen a . sen {3= 2 cos (a- P) - 2 cos (a+ P) cos ce-]- cos s = sena-senf3= sena+ sen s = •Funciones de sumas y dilerencias de ángulos sen (a±(3) = sena· cos{3 ± COSa·sen {3 cos (a±(3) = COSa·COS{3:¡:seno . sen {3 tana ± tan {3 tan (a±f3)= ""7"----'-- 1 +Iana· tan s cot«. cot (3 :¡: 1 cot la ± (3) = --:----'-- cot s ± COta Operaciones con funciones trigonométricas 2 sen a+f3 cos a-p 2 2 2cos a+f3 sen a-p 2 2 2cos a+p cos a-p 2 2 1 1 + cot'a=--- sen-o 1 1 + tan'a = --- cOS2cr tana· cota= 1sen'a+ COS'a= 1 RELACIONES FUNDAMENTALES Trigonometría Transformaciones trigonométricas e52 e 51 eSO e49 e48 e 47 e 46 e 45 e44 e43 e 42 e 41 e 40 e 39 e 37 e38 e 35 e 36
  • j1 + COSa 1 - COSa sena 1-cosa 1 +COSa sen asen a 1 + COSa 1 - COSa sena ~ 1 +COSa j1 + COSa 2 j1-cosa 2 e66 e65 e64 a tan-= 2 a cos-= 2 a sen-= 2 a cot-= 2 cOl'a - 1 2cota 1 1 ---<:ota - -tana 2 2cOIa - tana 2 tana 1 - tan' a 22cos'a-1 1 - 2 sen'a COS'a - sen' a2 sena· COSa e62 e63 e 61 tan2a=cos2a=sen 2a= cot2a= 2 cot.:!.. 2 coF~-1 2 j1- sen'a sena y1 - COS'a } __1 __ 1 sen=o sena COSa tan a COSa • a 1 - tan'- 2 2 tan.:!.. 2 j +cos'a COSa ~ J___2_-1 COS:!Q cosa sena cot a sena. cot (90' -a) a 1 +tan'"2 y1 +tan'a 1 - tan'.:!.. 2 a 1 - 2 sen'- 2 y1 +cot-o a a cos-- - sen2 -~ 2 2 cota y1 - sen- o sen (90' -a) 1 + tan'.:!.. 2 y 1 +cot=o 2 tan.:!.. 2 y cOS'a - cos 2a )1- cos2a 2 y1 + tan'a a a 2sen-·cos- 2 2 tana cos (90' -a) e60 e59 e58 e 57 e56 e 55 e54 tana=cosa= tan (90' -a)e53 cota= RELACIONES ENTRE FUNCIONES DE ANGULO SIMPLE, ANGULO DOBLE y ANGULO MITAD sena == EsTrigonometría Transformaciones trigonométricas

    2 sen,8 c ="'2 seny j (S - al Is - b) (s - c) p= s 1 a 1 b f=--- 2 sena a+b+c s= 2 tan!!_ =_P- 2 s - b tan!!.... = _P- 2 s - a a+c a-c e 80 e 79 e 78 Area, radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, y semi perímetro 1 1 1 A = "2 bc sen a = "2 ac sen,8 = 2"" ab sen y A = v's(s - a) (s - b) (s - c) = p s me 76 e77 "1 p tan-=-- 2 s - c a+y tan-2- tan a -"1 2 tan~ I :~~ = a~,8 tan-2- Relaciones para el ángulo mitad TRIANGULO (OBLICUANGULO) tan fJ+"I b+c _ 2 b-c - ,8-"1 tan-2- I EsTrigonometría Teoremas o leyes principales e 75 e 74 e 71 e 72 e 73 e 70 e 69 e 67 e68 Teorema de los senos sen a :sen f3 : sen "1= a : b :c b c a = -- sen a = --- sen a sen f3 sen "1 a c b = --- sen f3 = -- sen ,8 sena sen y a b c = --- SAn"1= -- sen y sena sen fJ Teorema de los cosenos a2 = b2 + c" - 2 bc cos a b2 = c" + a" - 2 ac cos f3 c" = a" + b" - 2 ab cos y (El coseno es negativo en el caso de ángulos obtusos) Teorema de las tangentes

    Teorema de adición sen:" a :±csen= b = sen " (a ~ :±cb VT=ii'1 cos " a :±ccos " b = cos " (a b :¡: v'"'f=82 . ..¡-r-=t}2) tan"? a :±ctan-' b = tan= a:±c b 1 :¡: ab cor' a :±C. cor ' b = cot' ab :¡: 1 b:±:a 1 tan-I- x 1 ·cot-1_ x I cos"" (- x) = n - cos= x cor= (- x] = .".- cor= x - sen-1 x - tan- x sen-' (- x) tan-' (- x) Para x negativa « O) se tiene corl __ X__ v'T"="X2 • VT=X' tan-I---- x 15en-I-- __ V1+X' sen-1 __ X__ v'1+X' ~OS-, __ 1__ ~ cos-I X ==serr ' x = Relaciones entre funciones inversas • Para x positiva (? O) cos" X == !!.... - sen-I x 2 Relaciones fundamentales Valor principal"" n en el Intervalo -2~V ~+2 Intervalo de definición Ix = cos yx = sen y cos-I X x = cot yx = tan y Función y = Equivalente a Notaciones: sen= x =arc sen x = áng sen x Definición: Trigonometría Funciones Inversas

    f 13 Area f 12 Centroide 3 (punto Gl YI + Y~ + y" Yo= 3 Xo = mi f 11 TRIANGULO iif 10 X3 = b2 - bl I Y:t = mi Xa + b, = m; X3 + bz ml-m~ m; - mi (ver la figUra) Angulo entre dos rectas (cf»: tan cf> = di ' - I 1 + m; . mi e tnangu o f 9 (ver la figura del triángulo)Punto de intersección de dos rectas Punto medio entre dos puntos _ XI + X, I _ YI + Y2 x"'---2-- Ym---2-- id f 8 idf 7 Distancia entre dos puntos 6 En función del punto PI (XI. yd y la pendiente m Y - YI = m (x - XI) X - XI f 5 Forma en función de dos puntos : PI (XI. yd y P~ (x~. Y2) I RECTA Pendiente de la perpendicular AB -1 m.H'=-- m f 4 Forma simétrica para a =t= O y b =t= O X Y ;-+b-1=0f 3 y = mx + b Y~ - YI m=---=tana X2 - XI Pendiente Ecuación Geometría analítica Recta y triángulo (XI Y~ - X2 Yd + ()(~Ya - Xa yz) + (Xa YI - XIYa) 2 A f 2

    TangenteT en PI (XI. y,) 2 (y, - Yo) (x - x¡) y + y, Xl - Xo f 24 f 23 f 22 Radio de curvatura Ecuaciónfundamental f 21 y = Ax" + Bx + e Vértice apertura F. foco enel origen en otra posición hacia L: directriz X2 = 2py (x _ X,,)2 = 2p(y - Yo) arriba S. tangente x, = - 2py (x _ X,,)2 = - 2p(y - Yo) abaja en el vértice f 19 t 20 PARABOLA Ecuacionesde la parábola(en esta rorma puedenapreciarsedirecta- mente la posicióndel vértice y el parámetrop) I Coordenadasdel centro e x" = - % I y" = - ~ TangenteT enel punto PI (XI. y¡) r' - (x - x,,) (XI - x,,) y= + y"f 18 Radio f 16 r = Jx,,, + y,.' - e Ecuaciónfundamental f 15 x' + y' + Ax + By + e = o f 14 x' + y' =,' (x - x,,)' + (y _ Yo)' = " enotra posiciónenel origen Ecuaciones de la circunferencia Centro CIRCUNFERENCIA Geometría analítica Circunferencia - Parábola YI - y" f 17

    Radiode curvatura I 33 p = a (parámetro) I 32 x . y = e' (x - x,,) (y - Yo) = c' enotra posiciónen elorigen Punto de intersección de las asíntotas HIPERBOLA EQUILATERA En las hipérbolasequiláterasa = b. por lo tanto: Pendientede las asintotas f31 tana=rn=±l (a=45°) Ecuaciones(cuandolas asíntotas son paralelasa los ejes x y y): b' (XI - xo) (x - x" y =:;;;;' YI - Yo y • TangenteT en PI (XI. YI)I 30 b' Radioenel vérticep = - (parámetro) a b I 29 tan a = m = ± - a I 28 c = va' + b' Pendientede las asíntotas Propiedadbásica I 27 F,P - F,P = 2a Distancia local I 26 Ax' + By' + ex + Dy + E = o .:::-~-1=0 a' b' Ecuaciónlundamental (x - xo)' (y - Yo)' --------1=o a' b' en otra posición Ecuacionesde la hipérbola Puntode intersecciónde las asíntotas enel origen HIPERBOLA ¡F3Geometría analítica Hipérbola I 25

    e = 2.718 281 828 459. xLa curva que en este punto tiene la inclinación de 45· (tan a = 1). da por derivación la misma curva . La constante a se convierte en este caso en e (número de Euler). base de los logaritmos naturales: y CURVA EXPONENCIAL f 39 Tangente T en PI (XI, y.) b' (XI-X,,) (x-x.) y = - -;;' YI - y" + YI f38 Propiedad básica f 37 FIP+F,P=2a f 36 e = va' - b' Distancia focal b' I a''N =-; fH-=-¡;f 35 Radios de curvatura (x - x.)' (y _ y.)' --a-'- +---¡;;;-- - 1 =O • en otra posición ELIPSE en el origen Ecuaciones de la elipse Punto de intersección de los ejes Ecuación fundamental y = a" a es una constante positiva # 1 Nota: Todas la~ curvas exponencra- les pasan por el punto de coor - denadas x = O,y = 1. fJ4 Geometría analítica Elipse - Curva exponencial

    Teoremasde adici6n senh (a ± bl = senha coshb ± cosha senhb cosh (a ± bl = cosha cosh b ± senha senhb tanha ± tanh b tanh (a ± bl = ------- 1 ± tanh a tanh b coth a coth b ± 1 coth (a ± bl = -c-o.....t.....h-a-±-c-o.....th:-:-b- *EI exponente x debe ser numérico. **El signo + parax > O; - parax < O. 9 16 9 13 9 14 9 15 senhx = coshx = ranhx = coth x = senhx V senh2x +:¡ 9 8 ± Jcosn" x -*1 Jsenh2x + 1 Y senh- x + 1 senhx tanh x Vcosh- X -- 1 coshx ** 9 9 Y 1 - tanh2 x yl tanh2 x ± ± V cosb- X -1cosh x 9 10 1 I coth x I± ycoth2x -1ycoth2 x - 1 coth x tanhx gIl Para x Ilsenh (- xl = - senhx I cosh (- x) = + coshx 9 12 negativa: tanh (- x] = - tanh x coth (- x) = - coth x Relacionesentre las diversas funciones Parax positiva: senhxII I - 1 tanh x = --- 1 - tanh2 x = --- 1 - coth2 X = ---coshX cosb- x senh 2 x Relacionesfundamentales cosn" x - senh2 x = 1 tanh x • coth x = 1 -) ex_(!":r e2x_l tanh x = --- = --- ex + frX e2,r + 1 ex+e-x e2x+l coth x = --- = --- eZ_frX e2x_1 el' + (!"X coshx=--- 2 • eX_e-x* senhx=--- 2 Otras notaciones:Sh. Ch. rn, Cth Definiciones Funciones hiperbólicas Directas 9 5 9 6 9 7 9 4 9 3 9 2 9

    'Ver nota en G1 9 29 Teoremas de adición senh-ra ± senh-i o = senh-ita v'b"'+T± b ~) cosn-ia ± cosh-Ib = cosh-'[ab ± V (a' - 1) (b' - 1)1 a ± b tanh-'a ± tanh-Ib = tanh-I--- 1 .:!: ab ab ± 1 coth-i a ± coth -lb = coth-'--- a + b 9 26 9 27 9 28 coth-'(- x) = - cotn-ix senh-I(- x) = - senh-'x I tanh-' (- x) = - tanh-' x 9 24 9 25 Para x negativa: 9 23 xx ~ 1 tanh-'--- ± tanh-'--- ±cosh-'--- ± cosh-' 1 v'T+"X'. x • V~. V x' - v'T+X' x 1 1 coth-I--- ±coth-'-= cctn-i-« tanh-I- x • V x' - 1 x x 9 22 x senh-'--- vT="X' ±cosh-I '111 + x' ±senh-I~ . . cotn-ix = 1 senh-: V x' _ 1 tanh-Ix =senh-I x = Relaciones entre las diversas funciones Para x positiva: Función: y = sentrx ccsn+x tanh-'x coth-'x Equiva- x = senh y x = COShy x = tanh y x = coth yg17 l ente a Relacio- 1 1 + x 1 x+ nes con =ln(x+vx"+1 ) =In(x+v?=l) =-In--- =-In •9 18 In 2 1 - x 2 x- 9 19 Dominio -oo<x<+", l~x<+oo Ixl < 1 Ixl > 1 Contra- -oo<y<+", -x;<y<+oo -",<y<+"" lr l> O9 20 dominio Otras notaciones: Arg Sh, Arg Ch, Arg Th, Arg Cth Definiciones Funciones hiperbólicasl G 2 Inversas I 9 21

    d' y" = _y = f"(x). etc. dx Notaciones: y' =~ = f'(x). dx 6y dy um -=-=f'(x) I:..z .....O~x dx y'= Derivada (cociente diferencial) Cuando 6X tiende a cero. el punto P, tiende al punto p. y i~ secante pp,. a la tangente a la curva en P. De manera que la relación de in - crementos se convierte en la re- lación de diferenciales. que es la derivada (o intensidad de cambio) de la función en P: f(x + 6X) - f(x) h 3 h 2 Relación media de cambio (coc iente incremental) La intensidad media de variación de la función y = f(x) es la relación de los incrementos 6y/6X corres- pondientes al segmento de curva PP,: x • y Ay' m=tana=-- AX' En una curva y = f(x). la pendiente m varía en cada punto . La pendien- te de la curva en un punto P es también la pendiente de su tangen- te en dicho punto : Pendiente de una curva h 1 PENDIENTEEN UN PUNTO.RELACION(O INTENSIDAD) DE CAMBIO H 1 Cálculo diferencial Relación de cambio: Derivada

    , + y'" b=y+-- y" a=x-'+y'"y· y" Coordenadasdel centro de curvatura C correspondientea un radio p ~ y" Radiode curvatura /' en un punto dado x "- Mínimo local inflexión I Si paracada x de una curva se lleva la pendiente(o derivada)co- rrespondientey' como ordenada.se obtendrá la curva de y' = ('(x). o de la primeraderivadade la curva daday =,(x). Si sederiva la curva y' = ('(x) se obtendrá y" = '''(x). o la segunda derivada de la curva daday = '(x). etc. Ejemplo: y = Ax" + Bx" + Cx + O Curvasde derivadassucesivas INTERPRETACIONGEOMETRICA DE LA DERIVADA Significado de la derivación Cálculo diferencial h 6 h 5 h 4

    r ro o xo o n imparn par h 19 y'" (a) > O y'" (a) < O y'" (a) > O y'"' (a) < O yfW yllX' H~ Yl~ Otros casos Si para x = a h 17 y' (a) = y" (a) = v'" (a) = ... = y ,.-tI (a) = O,pero h 18 y' (a) "" O, pueden presentarse los 4 casos siguientes: h 11 y' (x) > O y(x) crece si aumenta x h 12 y' (x) < O y(x) decrece si aumenta x h 13 y' (x) = O y(x) tiene en x una tangente paralela al eje x. Curvatura h 14 y" (x) < O y(x) será cóncava hacia abajo h 15 y" (x) > O y(x) será cóncava hacia arriba h 16 y" (x) = O ~ cambio de signo Ipunto de inflexión y(x) tendrá en x máximo o mínimo I DETERMINACIONDE LOS VALORESMAXIMOS, MINIMOS y PUNTOS DE INFLEXION Valores máximos y mínimos Hágase y' = O. y sea a el valor obtenido de x. Sustitúyase ahora x = a en y". h 7 Si y" (a) > O habrá un mínimo en x = a. h 8 Si y" (a) < O habrá un máximo en x = a. h 9 Cuando y" (a) = O, véase h 19. Punto de inflexión Hágase y" = O. y sea a el valor obtenido de x. Sustitúyase ahora x = a en y'''. h 10 Si y''' (a) "" O, habrá un punto de inflexión en x = a. Forma de la curva y = f(x) Crecimiento y decrecimiento Cálculo diferencial Aplicaciones de la derivación IH3

    1 1 l' (x) =--- =- --- - sen y I'T=X" 1 f'(x)=-- <1>' (x) h30 h 31 x =<1>(y)h 29 Derivadas de funciones inversas Si de la ecuación y = I(x) se despeja x. resulta la función inversa x = <1> (y). h 28 dy dt Y y' =-.-=-;- dt dx x Derivadas de funciones paramétricas { X = I(t) Y = '(t) y = I(x)h 27 dx du dx y' = t'{u} . u'Ix) dY dy du y =I(u(x)] Derivada de una función de función Reglas fundamentales Función Derivada h 20 y=cx'+C y'=c·n·x··' h 21 y =u(x) ± v(x) y' =u'(x) ± v'(x) h 22 y =u(x)• v(x) y' =u" v+u'v' u(x) u'·v-uov' •h 23 Y=- y'= v"v(x) 1 h 24 Y=VX y'=-- 2VX ( U"v ) h 25 y =u(x)'(X) y' =u" -- + v' . In u u DERIVADASDE FUNCIONES Fórmulas básicas Ejemplo: y =I(x) = cos-I X x =<1> (y) = cos y h 26 Cálculo diferencial

    Funcionesexponenciales Función Derivada h 32 y = e' y'=ez=y"= .. h 33 y=e--l y'=_e-z h 34 y == e= y' = a. e= h 35 y ==x· e-l y' = e' . (1+x) •h 36 y = Ve> Ve>y'=- 2 h 37 y = az y' = aZ• Ina h 38 y == anx y' = n . a"x' Ina h 39 y= az' y' = az' ·2x· Ina Funcionestrigonométricas h 40 Y = senx y'=cosx h 41 y = cosx y' = - senx 1 h 42 y = tan x y' = -- = 1 + tan' x cos-x -1 h 43 y = cot x y' = -- =- (1 + col" x) sen' x h44 y=a'senkx y' =a . k . cos kx h45 y =a· coskx y' = - a . k . senkx h 46 Y = sen-x y' =n (seno-Ix)(cosx) h 47 y=cosox y' = - n (coso-IX)(senx) h 48 y =tan=x y' =n (tano-'x) (1 + tan' x) h 49 y=cotox y' = - n (cotn-lx) (1 + col" x) 1 - cosx h 50 y=-- y '=--- senx sen' x h 51 1 senx y=-- y'=-- cos x cos- x DERIVADASDE FUNCIONES Fórmulas básicas HsCálculo diferencial

    • h68 y = tanh-rxh 67 y =cosn-rxh66 y =senh-vxh 65 y = cot-'xh 64 y = tan-'xh 63 y =coa-ixh 62 y =serr+x Funcionesinversas(trigonométricase hiperbólicas) 1 y= y1-x' 1 y=--- y1-x' 1 . y=-- 1 +x' 1 y=--- 1 + x' 1 y'==--- yx'+1 1 y=-- yx'-1 1 Y=1-X" 1 Y=1-X' Funcioneslogarítmicas Función Derivada 1 h 52 y=Inx y'=- x 1 h 53 y= IOQax y=-- x ·Ina ±1 h 54 y= In(1 ± x) y=-- 1±x n h 55 y= Inxa y=- x y=lnyx 1 h 56 y=- 2x Funcioneshiperbólicas h 57 y=senhx y= coshx h 58 y=coshx y= senhx h 59 y= tanhx 1 y= cosh"x h 60 y=cothx y=--=..1..._ senh" x H6 DERIVADASDE FUNCIONES Fórmulas básicas Cálculo diferencial y = coth-'x h 61

    En la integral resultante se sustituye primero el limite superior y luego el inferior. y se resta el segundo resultado del primero. Desapareceasí la constante C. x Y -, ' " i 4 .['((X) dx = F(x) 1:=F(b) - F(a) La integral definida La integral definida tiene la forma: i3 Significado geométrico de la iritegral indefinida Comomuestra la figura. hay una infinidad de curvas y = F(x) con pendiente o deriva- da y' =F(x). Todaslas curvas y =((x) son iguales pero desplazadasparalelamentey en la dirección del eje y. La constante e fija una curva determinada.Si la curva de- be pasar por el punto x, y" se tendrá: •e es una constante indeterminadaque desapareceal derivar, ya que la derivadade una constante es igual a cero. La integralindefinida f((X) dx = F(x) + ei2 dF(x) F'(x) = -- = ((x) dx Laintegral. función inversa de la derivada Por integración se entiende el encontrar una función F(x) a partir de una función dada y = ((x) de manera que la derivada F' (x) sea igual a la función original ((x). Por lo tanto. SIGNIFICADO DE LA INTEGRACION Cálculo integral e =Yo - F(xo) i 1

    2 sustituyeel valorde z: F(x) =- (3x- 5) vi3x - 5 + e 9 1 j' 2F(x) = - Vzdz = - z Vz +C. En la última expresiónse 3 9 dz Por tanto.dx =3' Expresandola integralen funciónde z queda. dz Haga3x - 5 = z; laderivadaes z' = - = 3. dx Ejemplo: i12 F(x)= Jvl3X-5dX Métodode sustitución Jf(X)dx = Jf [<I>(z) l'q, '(z) dz dondex = q, (z) ydx = q,' Iz) dz i 11 Integraciónpor partes i 10 fU(X)' v'(x) dx = u(x)· v(x)- Su'(x)· v(x)dx ISu(x). u' (x)dx = -i-(U(X))2 + C SdX -x= Inx+ C S[u(x) ± v(x)) dx = Ju (x) dx ± Sv(x)dx f u'(X) -- dx = Inu(x)+ C u(x) J X"+1 X"dx= --+C.dondel1oF-l n+1 Reglasfundamentales Cálculo integral i9 i8 i7 i6 i5

    x a2 x = - yx' - a2 - - costr-' - 2 2 8 X a2 x = -y x2 + a2 + -senh-1- 2 2 a 128 I 27 x 82 X = - ya' - x' + - sen-1- 2 2 8 Sya2 - X2 dxI 26 = cosh-l~= In (x+yx2_a2) a = senh-1~ = In (x+ V X2 + a') a 125 i 24 S dx va2-x2 S dx yx2_a2 S dx yx2+a2 i 23 S dx 2 --- =-yax+b Vax+b a1I x = sen-l- a (n"# 1) S dx (x2+ 8')~1 x 1 x = 2a' (x' + a') + 283tan-1-;- x 2n-3 = 2a' (n- 1) (x' + a')~1+ 2a' (n- 1) 2 = "3v'X' S x dx 1 --- =-In (x' + a2) x' +a' 2 = ~tan-l~ 11 (x < a) •(x> a) (n - 1) (x - a)"-1 1 x 1 x - a - - coth-1- = -In-- a a 2a x + a 1 x 1 a+ x - tanh-1- = - In-

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