Los teoremas De Incompletud De Kurt GöDel

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Published on July 9, 2008

Author: rafael.mora

Source: slideshare.net

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EXPONEMOS EL FAMOSO METODO DE GÖDEL

LOS TEOREMAS DE INCOMPLETUD DE KURT GÖDEL EXPOSITOR: SEÑOR MORA KURT GÖDEL

INTRODUCCIÓN Según el diccionario de Mosterin y Torreti, estas dos son las sentencias que constituyen los metateoremas de Gödel: el primero dice que “(…) la aritmética no puede axiomatizarse de un modo consistente (primer teorema de incompletud)” y el segundo dice que “la consistencia de una teoría aritmética no puede probarse con sus propios medios (segundo teorema de incompletud).” De manera que “(…) uniendo los dos teoremas de incompletud, podemos concluir que una teoría aritmética (o cualquiera de sus extensiones) que sea axiomatizable y consistente no puede ser completa y tampoco puede probar su propia consistencia.”

Según el diccionario de Mosterin y Torreti, estas dos son las sentencias que constituyen los metateoremas de Gödel: el primero dice que “(…) la aritmética no puede axiomatizarse de un modo consistente (primer teorema de incompletud)” y el segundo dice que “la consistencia de una teoría aritmética no puede probarse con sus propios medios (segundo teorema de incompletud).” De manera que “(…) uniendo los dos teoremas de incompletud, podemos concluir que una teoría aritmética (o cualquiera de sus extensiones) que sea axiomatizable y consistente no puede ser completa y tampoco puede probar su propia consistencia.”

NUMERACIÓN DE GÖDEL Es posible asignar un único número Gödel a cada signo elemental, a cada fórmula, y a cada sucesión finita de fórmulas (pruebas). Procedimiento: mediante un conjunto de reglas que nos permitan establecer una correspondencia biunívoca entre las expresiones del cálculo y una cierta subclase de los números enteros (números Gödel). -Dada una expresión, podemos calcular su número Gödel. (DIAPOSITIVA 6) -Dado un número cualquiera, podemos averiguar si se trata de un número Gödel, y en ese caso, descubrir cuál es la fórmula que tiene asociada. (DIAPOSITIVA 7 )

Es posible asignar un único número Gödel a cada signo elemental, a cada fórmula, y a cada sucesión finita de fórmulas (pruebas).

Procedimiento: mediante un conjunto de reglas que nos permitan establecer una correspondencia biunívoca entre las expresiones del cálculo y una cierta subclase de los números enteros (números Gödel).

-Dada una expresión, podemos calcular su número Gödel.

(DIAPOSITIVA 6)

-Dado un número cualquiera, podemos averiguar si se trata de un número Gödel, y en ese caso, descubrir cuál es la fórmula que tiene asociada.

(DIAPOSITIVA 7 )

ARITMETIZACIÓN DEL CÁLCULO FORMAL Para la metalógica y la metamatemática es de suma utilidad poder asignar un número natural a cualquier expresión que se ha formado con los signos de un sistema determinado, fuera o no bien formada esta expresión. O sea “ Se puede establecer una relación biunívoca entre los elementos de una subclase de los números naturales y las expresiones indicadas.” Así: “Si ordenamos los números primos según magnitud, la lista comienza así: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. (…) en este contexto contamos a partir de 2 (el primer número primo), de modo que 2 es el primer número primo, 3 el segundo, 5 el tercero, etc. Escribimos: p 1 = 2 p 2 = 3 p 3 = 5 etc.”   El hecho de que Stahl empiece el conteo por cero es discutible, pero no importante. Por lo cual seguiremos su exposición: “ Incluyendo los números primos con exponente 0, puede darse la siguiente forma reforzada del teorema de la factorización única: “Cualquier número natural dado (…), diferente de 0, es igual a un único producto de todos los números primos con un número natural como exponente, en orden de magnitud.”   Esta expresión sería lo más cercano a esta otra:   M = (p 1 ) P . (p 2 ) Q . ( p 3 ) R …   Donde: P, Q, R,… serían los exponentes de los números primos.  “ Consideramos expresiones no necesariamente bien formadas que se han constituido a partir de los 10 signos señalados (…) con cada uno de esos signos se correlaciona un número natural (…). Estos números se llaman “números correlativos” de los signos (…) “

Para la metalógica y la metamatemática es de suma utilidad poder asignar un número natural a cualquier expresión que se ha formado con los signos de un sistema determinado, fuera o no bien formada esta expresión. O sea “ Se puede establecer una relación biunívoca entre los elementos de una subclase de los números naturales y las expresiones indicadas.”

Así: “Si ordenamos los números primos según magnitud, la lista comienza así: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. (…) en este contexto contamos a partir de 2 (el primer número primo), de modo que 2 es el primer número primo, 3 el segundo, 5 el tercero, etc. Escribimos:

p 1 = 2

p 2 = 3

p 3 = 5

etc.”

  El hecho de que Stahl empiece el conteo por cero es discutible, pero no importante. Por lo cual seguiremos su exposición:

“ Incluyendo los números primos con exponente 0, puede darse la siguiente forma reforzada del teorema de la factorización única: “Cualquier número natural dado (…), diferente de 0, es igual a un único producto de todos los números primos con un número natural como exponente, en orden de magnitud.”

  Esta expresión sería lo más cercano a esta otra:

  M = (p 1 ) P . (p 2 ) Q . ( p 3 ) R …

  Donde: P, Q, R,… serían los exponentes de los números primos.

 “ Consideramos expresiones no necesariamente bien formadas que se han constituido a partir de los 10 signos señalados (…) con cada uno de esos signos se correlaciona un número natural (…). Estos números se llaman “números correlativos” de los signos (…) “

GODELIZACIÓN

NÚMERO GÖDEL DE UNA FÓRMULA En forma esquemática el procedimiento de la determinación de un número Gödel es el siguiente: se determinan los números correlativos de los signos que figuran en la expresión. El número correlativo del signo que se presenta en primer lugar se aplica luego como exponente a p 1 , el del signo que se presenta en segundo lugar a p 2 , etc. Después se forma el producto de estos números primos elevados a las potencias respectivas. Este producto es el número de Gödel de la expresión. Pondremos un ejemplo que aclarará lo dicho: Consideremos ahora una fórmula del sistema: (  x) (x = s y) que traducida dice que “Todo número tiene un sucesor inmediato”. Hallemos su número Gödel “m”. Primero, démonos cuenta que los números correlativos de sus signos elementales son los siguientes: 8, 4, 11, 9, 8, 11, 5, 7, 13, 9. (son 10 números en total). Después convengamos en hacer lo que indicó Stahl: asociemos a la fórmula un único número que es el producto de los 10 primeros números primos en orden de magnitud, estando cada uno de ellos elevados a una potencia igual al número correlativo del correspondiente signo elemental, con lo que tenemos:   m = 2 8 . 3 4 . 5 11 . 7 9 . 11 8 . 13 11 . 17 5 . 19 7 . 23 13 . 29 9

En forma esquemática el procedimiento de la determinación de un número Gödel es el siguiente: se determinan los números correlativos de los signos que figuran en la expresión. El número correlativo del signo que se presenta en primer lugar se aplica luego como exponente a p 1 , el del signo que se presenta en segundo lugar a p 2 , etc. Después se forma el producto de estos números primos elevados a las potencias respectivas. Este producto es el número de Gödel de la expresión.

Pondremos un ejemplo que aclarará lo dicho: Consideremos ahora una fórmula del sistema:

(  x) (x = s y) que traducida dice que “Todo número tiene un sucesor inmediato”. Hallemos su número Gödel “m”. Primero, démonos cuenta que los números correlativos de sus signos elementales son los siguientes: 8, 4, 11, 9, 8, 11, 5, 7, 13, 9. (son 10 números en total). Después convengamos en hacer lo que indicó Stahl: asociemos a la fórmula un único número que es el producto de los 10 primeros números primos en orden de magnitud, estando cada uno de ellos elevados a una potencia igual al número correlativo del correspondiente signo elemental, con lo que tenemos:

  m = 2 8 . 3 4 . 5 11 . 7 9 . 11 8 . 13 11 . 17 5 . 19 7 . 23 13 . 29 9

NÚMEROS GÖDEL Y FÓRMULAS CORRELATIVAS También dado un número podemos saber cuál es su fórmula correlativa. Primero, lo descomponemos en sus factores primos. Luego, escribimos el primo como factores primos mínimos elevados a ciertas potencias. Enseguida, las potencias serán intercambiadas por los signos correlativos que formarán una fórmula completa. Por ejemplo: A = 243, 000, 000 B = 64x243x15,625 C = 2 6 x3 5 x5 6 D = 6 5 6    0 = 0 E = (0=0)

También dado un número podemos saber cuál es su fórmula correlativa. Primero, lo descomponemos en sus factores primos. Luego, escribimos el primo como factores primos mínimos elevados a ciertas potencias. Enseguida, las potencias serán intercambiadas por los signos correlativos que formarán una fórmula completa. Por ejemplo:

A = 243, 000, 000

B = 64x243x15,625

C = 2 6 x3 5 x5 6

D = 6 5 6

  

0 = 0

E = (0=0)

ARITMETIZACIÓN DE LA METAMATEMÁTICA Las proposiciones metamatemáticas pueden ser adecuadamente reflejadas dentro del cálculo aritmético: -Una proposición metamatemática acerca de las expresiones y sus recíprocas relaciones (sobre la base de que cada expresión del cálculo está asociada a un único número) puede escribirse como una proposición acerca de los correspondientes números Gödel y sus recíprocas relaciones aritméticas . -Cada proposición metamatemática se halla representada por una única fórmula dentro de la aritmética. -La exploración de cuestiones metamatemáticas puede ser desarrollada investigando las propiedades aritméticas y las relaciones de ciertos números enteros.

Las proposiciones metamatemáticas pueden ser adecuadamente reflejadas dentro del cálculo aritmético:

-Una proposición metamatemática acerca de las expresiones y sus recíprocas relaciones (sobre la base de que cada expresión del cálculo está asociada a un único número) puede escribirse como una proposición acerca de los correspondientes números Gödel y sus recíprocas relaciones aritméticas .

-Cada proposición metamatemática se halla representada por una única fórmula dentro de la aritmética.

-La exploración de cuestiones metamatemáticas puede ser desarrollada investigando las propiedades aritméticas y las relaciones de ciertos números enteros.

LA FUNCIÓN SUST(X, Y, Z) Recordemos que el número Gödel de la fórmula: (  x ) ( x = s y ) era m, y   m = 2 8 . 3 4 . 5 11 . 7 9 . 11 8 . 13 11 . 17 5 . 19 7 . 23 13 . 29 9 Para hallar el número Gödel de la fórmula (  x ) ( x = s m ) , la cual se obtiene cambiando el signo ‘y’ por el signo ‘m’ hagamos el siguiente artificio: (  x ) ( x = sssssssss…sssssssss 0 ) ------- (m+1) veces-----   Si decidimos darle a esta expresión el número Gödel R, éste sería: R =2 8 . 3 4 . 5 11 . 7 9 . 11 8 . 13 11 . 17 5 . 19 7 . 23 7 . 29 7 . 31 7 . … . (p m+10 ) 9 Y p m+10 es el (m+10)-ésimo número primo. Y dado que el número R es una función aritmética definida de m y 13, podríamos resumir este procedimiento bajo la función sust (m, 13, m) que indica “el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel m, sustituyendo la variable de número Gödel 13 (es decir, ‘y’) por el numeral de ´m´ “

Recordemos que el número Gödel de la fórmula: (  x ) ( x = s y ) era m, y

  m = 2 8 . 3 4 . 5 11 . 7 9 . 11 8 . 13 11 . 17 5 . 19 7 . 23 13 . 29 9

Para hallar el número Gödel de la fórmula

(  x ) ( x = s m ) , la cual se obtiene cambiando el signo ‘y’ por el signo ‘m’ hagamos el siguiente artificio:

(  x ) ( x = sssssssss…sssssssss 0 )

------- (m+1) veces-----

  Si decidimos darle a esta expresión el número Gödel R, éste sería:

R =2 8 . 3 4 . 5 11 . 7 9 . 11 8 . 13 11 . 17 5 . 19 7 . 23 7 . 29 7 . 31 7 . … . (p m+10 ) 9

Y p m+10 es el (m+10)-ésimo número primo. Y dado que el número R es una función aritmética definida de m y 13, podríamos resumir este procedimiento bajo la función sust (m, 13, m) que indica “el número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula de número Gödel m, sustituyendo la variable de número Gödel 13 (es decir, ‘y’) por el numeral de ´m´ “

LA IDEA CENTRAL DE LAS PRUEBAS GÖDELIANAS (I) Construimos una fórmula G que: Representa dentro del cálculo la proposición metamatemática “La fórmula G no es demostrable” Está construida de tal modo que afirma de sí misma que no es demostrable   La proposición metamatemática “La sucesión de fórmulas con número Gödel x es una demostración de la fórmula con número Gödel z ” puede ser reflejada dentro del cálculo por la fórmula Dem ( x , z ). Esto quiere decir que existe entre x (el número Gödel de la prueba) y z (el número Gödel de la conclusión) la relación aritmética designada como Dem. “ La sucesión de fórmulas con número Gödel x no es una prueba de la fórmula con número Gödel z ” puede reflejarse del mismo modo: ~Dem ( x , z ) Generalicemos ésta última fórmula: (  x) ~Dem ( x ,z) La última fórmula representa la proposición metamatemática “Para todo x , la sucesión de fórmulas con número Gödel x , no es una prueba para la fórmula con número Gödel z ” o, en otras palabras, “La fórmula con número Gödel z no es demostrable”. Notemos la mención del número Gödel de la fórmula que se hace en la anterior interpretación.   Gödel prueba que un determinado caso de esta fórmula no es demostrable.   [1] (  x ) ~Dem ( x , sust( y ,13, y ))   -Llamamos sust( y ,13, y ) al número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula con número Gödel y , sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de y. -A su vez, esta fórmula tiene asociado un número Gödel n.

(I) Construimos una fórmula G que:

Representa dentro del cálculo la proposición metamatemática “La fórmula G no es demostrable”

Está construida de tal modo que afirma de sí misma que no es demostrable

  La proposición metamatemática “La sucesión de fórmulas con número Gödel x es una demostración de la fórmula con número Gödel z ” puede ser reflejada dentro del cálculo por la fórmula Dem ( x , z ). Esto quiere decir que existe entre x (el número Gödel de la prueba) y z (el número Gödel de la conclusión) la relación aritmética designada como Dem.

“ La sucesión de fórmulas con número Gödel x no es una prueba de la fórmula con número Gödel z ” puede reflejarse del mismo modo:

~Dem ( x , z )

Generalicemos ésta última fórmula:

(  x) ~Dem ( x ,z)

La última fórmula representa la proposición metamatemática “Para todo x , la sucesión de fórmulas con número Gödel x , no es una prueba para la fórmula con número Gödel z ” o, en otras palabras, “La fórmula con número Gödel z no es demostrable”. Notemos la mención del número Gödel de la fórmula que se hace en la anterior interpretación.

  Gödel prueba que un determinado caso de esta fórmula no es demostrable.

  [1] (  x ) ~Dem ( x , sust( y ,13, y ))

  -Llamamos sust( y ,13, y ) al número Gödel de la fórmula obtenida a partir de la fórmula con número Gödel y , sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de y.

-A su vez, esta fórmula tiene asociado un número Gödel n.

“ YO SOY INDEMOSTRABLE” Ahora, sustituimos la variable de número Gödel 13 de la fórmula [1] por el numeral de n   Obtenemos así la fórmula que estábamos buscando:   [G] (  x ) ~Dem ( x , sust( n ,13, n ))   G pertenece al cálculo aritmético y, por lo tanto, puede calcularse su número Gödel. Este número es sust( n ,13, n ) :   Y sust( n ,13, n ) es el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula de número Gödel n , sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de n. Efectivamente, la fórmula obtenida mediante este proceso es la misma G, porque si cambiamos el signo ‘y’ de número Gödel 13 por el numeral de n en la fórmula [1], obtendremos [G].     En resumen: G afirma: “La fórmula de número Gödel sust( n ,13, n ) no es demostrable”. La fórmula de número Gödel sust( n ,13, n ) es la misma G. Luego, G afirma “G no es demostrable” o “Esta fórmula no es demostrable” o “Yo no soy demostrable” (Esta última interpretación sin embargo, no deja de ser problemática al atribuirle la capacidad de expresarse a cierta fórmula)

Ahora, sustituimos la variable de número Gödel 13 de la fórmula [1] por el numeral de n

  Obtenemos así la fórmula que estábamos buscando:

  [G] (  x ) ~Dem ( x , sust( n ,13, n ))

  G pertenece al cálculo aritmético y, por lo tanto, puede calcularse su número Gödel. Este número es sust( n ,13, n ) :

  Y sust( n ,13, n ) es el número Gödel de la fórmula que se obtiene a partir de la fórmula de número Gödel n , sustituyendo la variable de número Gödel 13 por el numeral de n. Efectivamente, la fórmula obtenida mediante este proceso es la misma G, porque si cambiamos el signo ‘y’ de número Gödel 13 por el numeral de n en la fórmula [1], obtendremos [G].  

 

En resumen:

G afirma: “La fórmula de número Gödel sust( n ,13, n ) no es demostrable”. La fórmula de número Gödel sust( n ,13, n ) es la misma G. Luego, G afirma “G no es demostrable” o “Esta fórmula no es demostrable” o “Yo no soy demostrable” (Esta última interpretación sin embargo, no deja de ser problemática al atribuirle la capacidad de expresarse a cierta fórmula)

G ES DEMOSTRABLE ↔ ~G ES DEMOSTRABLE (II) G es demostrable si y sólo si ~G es demostrable   G: ( x ) ~Dem ( x , sust( n ,13, n )) ~G: ~(( x ) ~Dem ( x , sust( n ,13, n )))   Negar que G no es demostrable equivale a afirmar que G es demostrable .   Si tanto G como su negación formal ~G son demostrables, entonces los axiomas son inconsistentes. Si suponemos la consistencia de los axiomas, (es decir, si suponemos que no se admiten que tanto un fórmula como su negación sean demostrables) entonces G es formalmente indecidible (no es posible probar su verdad o su falsedad dentro del sistema).

(II) G es demostrable si y sólo si ~G es demostrable

 

G: ( x ) ~Dem ( x , sust( n ,13, n ))

~G: ~(( x ) ~Dem ( x , sust( n ,13, n )))

 

Negar que G no es demostrable equivale a afirmar que G es demostrable .

 

Si tanto G como su negación formal ~G son demostrables, entonces los axiomas son inconsistentes. Si suponemos la consistencia de los axiomas, (es decir, si suponemos que no se admiten que tanto un fórmula como su negación sean demostrables) entonces G es formalmente indecidible (no es posible probar su verdad o su falsedad dentro del sistema).

“ G” ES VERDADERA   (III) G es indecidible pero verdadera   A pesar de que no podemos probar la verdad de G deduciéndola de los axiomas, podemos hacerlo mediante un argumento metamatemático:   Hemos probado que la proposición metamatemática “la fórmula G no es demostrable” es verdadera. Recordemos que supusimos la consistencia de los axiomas. Esta proposición metamatemática se halla representada dentro del cálculo por la fórmula G A proposiciones metamatemáticas verdaderas, corresponden fórmulas aritméticas verdaderas. Luego, dado que “La fórmula G no es demostrable” representa a G, y la primera es verdadera, lo será también la segunda.

  (III) G es indecidible pero verdadera

 

A pesar de que no podemos probar la verdad de G deduciéndola de los axiomas, podemos hacerlo mediante un argumento metamatemático:

  Hemos probado que la proposición metamatemática “la fórmula G no es demostrable” es verdadera. Recordemos que supusimos la consistencia de los axiomas.

Esta proposición metamatemática se halla representada dentro del cálculo por la fórmula G

A proposiciones metamatemáticas verdaderas, corresponden fórmulas aritméticas verdaderas.

Luego, dado que “La fórmula G no es demostrable” representa a G, y la primera es verdadera, lo será también la segunda.

LA ARITMÉTICA ES INCOMPLETA (IV) Los axiomas son, no solamente incompletos, sino esencialmente incompletos   Si G es una fórmula verdadera pero formalmente indecidible, entonces, suponiendo que sean consistentes, los axiomas son incompletos (Partiendo de ellos, es posible probar algunas fórmulas verdaderas, pero no todas. Es imposible probar una fórmula falsa) Son además esencialmente incompletos : Podríamos agregar G como axioma, y así eludir el problema de su indecidibilidad formal (supuesto) Sin embargo, por el mismo método por el que construimos G, podemos construir una nueva fórmula verdadera pero indecidible, no contemplada aún en el conjunto aumentado de axiomas. Así, cualquier lista que pretenda contener todos los axiomas necesarios para garantizar la completitud fracasará.

(IV) Los axiomas son, no solamente incompletos, sino esencialmente incompletos

 

Si G es una fórmula verdadera pero formalmente indecidible, entonces, suponiendo que sean consistentes, los axiomas son incompletos (Partiendo de ellos, es posible probar algunas fórmulas verdaderas, pero no todas. Es imposible probar una fórmula falsa)

Son además esencialmente incompletos :

Podríamos agregar G como axioma, y así eludir el problema de su indecidibilidad formal (supuesto)

Sin embargo, por el mismo método por el que construimos G, podemos construir una nueva fórmula verdadera pero indecidible, no contemplada aún en el conjunto aumentado de axiomas.

Así, cualquier lista que pretenda contener todos los axiomas necesarios para garantizar la completitud fracasará.

(V) ES IMPOSIBLE DEMOSTRAR LA CONSISTENCIA DENTRO DEL CÁLCULO ARITMÉTICO

NO SE PUEDE DEMOSTRAR QUE LA ARITMÉTICA ES CONSISTENTE *A no es demostrable: 1- A-> G es demostrable 2- A es demostrable (supuesto) 3- G es demostrable (por modus ponens 1y2) Pero probamos que G no es demostrable (si suponemos la consistencia de los axiomas, G es formalmente indecidible) Luego, (por modus tolens ) A tampoco lo será Si la aritmética es consistente, su consistencia no puede ser demostrada por ningún razonamiento metamatemático susceptible de ser representado dentro del formalismo de la aritmética.

*A no es demostrable:

1- A-> G es demostrable

2- A es demostrable (supuesto)

3- G es demostrable (por modus ponens 1y2)

Pero probamos que G no es demostrable (si suponemos la consistencia de los axiomas, G es formalmente indecidible)

Luego, (por modus tolens ) A tampoco lo será

Si la aritmética es consistente, su consistencia no puede ser demostrada por ningún razonamiento metamatemático susceptible de ser representado dentro del formalismo de la aritmética.

CONCLUSIONES Limitación en la potencia del método axiomático: Para cualquier conjunto consistente de axiomas (al menos lo suficientemente expresivo como para expresar la aritmética) existen proposiciones verdaderas que no pueden ser derivadas a partir de dicho conjunto.   Dado un sistema (al menos de la complejidad del de la aritmética) es imposible probar su consistencia interna, a menos que se empleen en la prueba reglas de deducción que difieran de las reglas de transformación utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema. Pero en este caso, la consistencia de estos nuevos principios de razonamiento, quedaría tan sujeta a la duda como la consistencia del mismo sistema. No excluye la posibilidad de una prueba metamatemática, sino la posibilidad de que esa prueba sea expresada y demostrada dentro del mismo cálculo.

Limitación en la potencia del método axiomático:

Para cualquier conjunto consistente de axiomas (al menos lo suficientemente expresivo como para expresar la aritmética) existen proposiciones verdaderas que no pueden ser derivadas a partir de dicho conjunto.

 

Dado un sistema (al menos de la complejidad del de la aritmética) es imposible probar su consistencia interna, a menos que se empleen en la prueba reglas de deducción que difieran de las reglas de transformación utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema. Pero en este caso, la consistencia de estos nuevos principios de razonamiento, quedaría tan sujeta a la duda como la consistencia del mismo sistema.

No excluye la posibilidad de una prueba metamatemática, sino la posibilidad de que esa prueba sea expresada y demostrada dentro del mismo cálculo.

BIBLIOGRAFÍA DI MARCO, Noelia. (2007) Teorema de Incompletud de Gödel. (formulación de Nagel y Newman). Disponible en: http://www.accionfilosofica.com/misc/1177012461crs.doc HOFSTADTER, Douglas R. (1987) Gödel, Escher, Bach: Un Eterno y Grácil Bucle . Barcelona: Tusquets. MOSTERÍN, Jesús y TORRETI, Roberto. (2002) Diccionario de Lógica y Filosofía de la Ciencia. Madrid: Alianza Editorial. NAGEL, Ernest (y) NEWMAN, James R. (1960) Gödel’s Proof. New York: New York University Press.  ………………………………………………………… . (2000) El Teorema de Gödel . Madrid: Editorial Tecnos.   STAHL, Gerold. (1973) Elementos de Metamatemática. Santiago de Chile: Editorial Universitaria. GÖDEL, Kurt. (1981) “Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines”. Publicado en Gödel, Obras Completas. Madrid: Alianza Editorial, pp. 55-89

DI MARCO, Noelia. (2007) Teorema de Incompletud de Gödel. (formulación de Nagel y Newman). Disponible en:

http://www.accionfilosofica.com/misc/1177012461crs.doc

HOFSTADTER, Douglas R. (1987) Gödel, Escher, Bach: Un Eterno y Grácil Bucle . Barcelona: Tusquets.

MOSTERÍN, Jesús y TORRETI, Roberto. (2002) Diccionario de Lógica y Filosofía de la Ciencia. Madrid: Alianza Editorial.

NAGEL, Ernest (y) NEWMAN, James R. (1960) Gödel’s Proof. New York: New York University Press.

 ………………………………………………………… . (2000) El Teorema de Gödel . Madrid: Editorial Tecnos.

  STAHL, Gerold. (1973) Elementos de Metamatemática. Santiago de Chile: Editorial Universitaria.

GÖDEL, Kurt. (1981) “Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines”. Publicado en Gödel, Obras Completas. Madrid: Alianza Editorial, pp. 55-89

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