Lista de Exercício - Eletromagnetismo 2

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Published on March 12, 2014

Author: FilipeRibeiro

Source: slideshare.net

1 Campo Elétrico e Campo Magnético 1.1. Uma casca semi-esférica de raio a está uniformemente carregada com uma densidade superficial de cargas. Determine o campo elétrico no centro da semi-esfera. [R. m V 4 0ε ρs ] 1.2. Uma densidade superficial de cargas está distribuída uniformemente numa fita infinita em comprimento e de largura 2a. Determine o campo elétrico num ponto perpendicular e a uma distância d do centro da fita. [R. m V arctg 0       d as πε ρ ] 1.3. Dois fios finos, infinitos e paralelos, têm cargas iguais e opostas, uniformemente distribuídas. Os fios estão separados por 10 cm. Se a diferença de potencial é de 6 V entre dois pontos cujas distâncias para os dois fios são, respectivamente, 6 cm e 8 cm, e 8 cm e 6 cm, encontre o valor de ρl . [R. m nC579,0 ] 1.4. Um capacitor de placas planas e paralelas com área A, separação d e permissividade ε é carregado por uma bateria de tensão igual a V, que é desligada do capacitor após o carregamento. a) Qual é a energia do capacitor? [R. J 2 2 d AVε ] b) uma lâmina metálica não carregada, de espessura t, é colocada entre e paralela às placas do capacitor. Encontre a nova capacitância. Qual o trabalho feito por forças elétricas durante a inserção da lâmina metálica? [R. F td A − ε , J 2 2 2 d AtV ε ] c) qual é a diferença de potencial no capacitor depois da lâmina ser inserida? [R. V d td − ] 1.5. Determine a capacitância do capacitor esférico concêntrico mostrado na figura. Os eletrodos têm raios a e b e o dielétrico tem permissividade a r r 1 )( ε ε = . 1.6. Uma carga pontual Q está localizada no eixo-z a uma distância h de um condutor que ocupa o plano z = 0. Para esse sistema, uma superfície equipotencial corta o eixo-z, em z = a < h. Em termos de a, h e ε0, determine a capacitância entre o plano terra e um condutor ocupando a referida superfície equipotencial. 1.7. Um capacitor é formado por duas esferas condutoras de raios a e b, separadas por um dielétrico de permissividade ε. Considerando o raio externo b = 3 cm. a) Determine o valor do raio interno a que permite armazenar a máxima energia no dispositivo.

2 b) Considerando o valor obtido no item anterior, calcule a diferença de potencial entre as duas esferas. O campo elétrico de ruptura do dielétrico é 1×106 V/m. 1.8. A figura ilustra duas esferas condutoras de raios a e b, separadas por dielétricos de permissividades ε1 e ε2, cada dielétrico ocupando a metade do volume entre as esferas. A esfera interna é conectada em um potencial V0, e a esfera interna está aterrada. Encontre a densidade superficial de cargas na esfera de raio a. 1ε 2ε a b 1.9. No sistema de três placas condutoras paralelas da figura, a placa na base está no potencial de referência zero (aterrada). As placas superior e no centro estão nos potenciais V1 e V2, respectivamente. Os espaçamentos entre as placas, 2d e d, são pequenos com relação às dimensões W e L, tal que que os campos entre elas podem ser considerados uniformes. Determine a carga total na placa do centro. [R. ( )12 0 2 VV d WL − ε ] 1.10. Dois objetos metálicos estão imersos em um material dielétrico (não perfeito) com permissividade ε0 e condutividade σ. Considere que uma baterial seja conectada entre os objetos 1 e 2 até que seja estabelecida uma diferença de potencial V1 – V2 = V0 entre eles. Se a bateria é desconectada, existirá uma corrente de fuga entre os dois condutores, tal que a carga vai gradualmente diminuindo até zero. Se 10 10− =σ S/m, determine o tempo necessário para que a tensão no objeto 1 se reduza para 50% de seu valor inicial. 1.11. O dispositivo mostrado na figura é formado por duas placas condutoras paralelas com dimensão d e w nas direções x e z, respectivamente. O material entre as placas tem condutividade       += d x x 1)( 0σσ . Determine a resistência desse dispositivo. 1.12. Considere um feixe cilíndrico e longo de partículas carregadas. O feixe tem uma seção transversal circular de raio a, uma densidade uniforme de cargas vρ e as partículas têm a mesma velocidade constante v r . Encontre a intensidade de campo magnético dentro e fora

3 do feixe. Expresse o resultado em termos dos parâmetros fornecidos. [R. 2 vrvρ , 0 < r < a r vav 2 2 ρ , r > a] 1.13. A figura ilustra cilindros coaxiais condutores (raios a e b), que formam um indutor. A corrente total i que flui na superfície r = b do cilindro interno retorna através da superfície do cilindro externo (r = a). A região entre os cilindros é preenchida por materiais de permeabilidade µa e µb, com interface em r = R. Determine a) o campo H entre os cilindros condutores. b) a indutância. 1.14. Duas bobinas circulares idênticas, com N espiras e raio a, têm os eixos coincidentes e estão separadas uma da outra por uma distância igual ao raio a, formando um par de Helmholtz. Ambas conduzem uma corrente I, no mesmo sentido. Considere que a área da seção transversal das bobinas seja desprezível, de modo que cada uma delas possa ser representada por uma espira fina com uma única volta e corrente NI. a) Determine a densidade de campo magnético no eixo das bobinas, num ponto situado a uma distância a/2 entre elas. b) Considere que o campo obtido no item anterior exista em toda uma área circular de raio a entre as duas espiras e que um elétron, acelerado por um potencial V, entre nessa região com uma direção normal ao campo magnético de modo que adquira um movimento circular de raio R. Determine uma expressão para se obter a relação entre a carga e a massa do elétron. 1.15. Encontre a indutância mútua entre um solenóide de 1.000 espiras, 50 cm de comprimento e seção quadrada de 3 cm de lado, e o solenóide que é coaxial com ele, mas que tem 1.500 espiras e seção quadrada de 4 cm de lado. Considere 0µµ= . [R. 3,39 mH]

4 Circuito magnético 1.16. Um anel de ferro tem uma área de seção transversal uniforme de 150 mm2 e um raio médio de 200 mm. O anel é contínuo, exceto por um entreferro de 1 mm de largura. Ache o número de ampère-espiras necessário no anel para produzir uma densidade de fluxo de 2 mWb5,0 no entreferro. Quando 2 mWb5,0=B no ferro, µr = 250. [R. 2,4×103 Ae] 1.17. Um toróide com núcleo de material magnético linear tem uma seção transversal de 2 cm3 e comprimento médio de 20 cm. a) se para NI = 300 Ae um fluxo magnético de Wb105 4− × é estabelecido no núcleo, encontre a permeabilidade do material. [R. 1,11×10−3 H/m] b) se um gap de ar de comprimento 0,1 mm é introduzido, encontre o novo valor de NI para manter o mesmo fluxo magnético. [R. 436 Ae] 1.18. Um circuito magnético consiste de um gap de ar, com 0,5 mm de comprimento e área de 2,1 cm2 , em série com um trecho de aço-silício com 12,5 cm de comprimento e área de 2 cm2 . Uma força magnetomotriz de 400 Ae é aplicada no circuito. Calcule a densidade de fluxo, considerando a) nula a relutância no trecho de aço. [R. 1 Wb/m2 ] b) o aço magneticamente linear, com mH005,0=µ . [R. 0,943 Wb/m2 ] 1.19. O circuito magnético mostrado tem as dimensões do núcleo: la = lb = 1 m, lc = 0,34 m e área da seção transversal igual a 7,9×10−3 m2 . Encontre a densidade de fluxo no entreferro quando o número de ampère-espiras é igual a 200 e lg = 0,76 mm. Assuma que o material do núcleo tem uma permeabilidade relativa constante igual a 4.000. 1.20. No circuito magnético da figura, todas as dimensões mostradas estão em centímetros. A curva B-H para o material do núcleo pode ser aproximada por duas retas como no gráfico. Para I1 = 2 A, determine I2 para produzir uma densidade de fluxo magnético igual a 0,6 T no braço vertical do circuito. [R. I2 = −2,53 A]

5 1.21. Encontre a densidade de fluxo no gap do eletromagneto mostrado na figura, para os seguintes parâmetros: lg = 0,1 mm, li + lg = 10 cm, NI = 100, núcleo de aço comercial com a curva BH abaixo. Despreze os campos de borda. [R. 1,05 Wb/m2 ] 1.22. No circuito magnético mostrado na figura, la = lb = 2lc = 20 cm e os três ramos têm seção transversal com áreas iguais a 2 cm2 . As forças magnetomotrizes no circuito são N1I1 = 100 ampère-espiras e N2I2 = 300 ampére-espiras. A curva de magnetização do núcleo é mostrada na figura. Determine a densidade de fluxo magnético e as intensidades de campo em cada ramo do circuito. 1.23. Um bloco de material magnético não linear está posicionado no gap de ar do circuito magnético mostrado na figura. Os parâmetrso α e µ são constantes. Encontre a tensão induzida na bobina quando i = I0 sen(ω t). 1.000 H [A/m] 1,5 B [T]

6 1.24. A figura mostra um circuito magnético cuja fmm é fornecida por ímã com a curva característica dada por B Hi i= +µ0 0 4, . As dimensões são: L = 4 cm; S = 4 cm2 ; e l = 2 mm. Considerando que µr seja infinito no material magnético, determine: a) os valores de B e H no ímã; b) os valores de H nos entreferros. [R. a) 0,343 T, −4,5×104 A/m] 1.25. O circuito magnético da figura consiste de um magneto permanente de 8 cm, dois trechos de aço de 10 cm cada e um gap de ar de 1 cm. Considere que todos os trechos têm a mesma seção transversal e despreze os campos de borda. Os dados para a curva B-H para o magneto são dados abaixo e 0000.5 µµ = no aço. a) qual é a densidade de fluxo magnético no ar? b) desenhe as direções de B e H no circuito magnético. [R. a) 0,42 Wb/m2 ] H(Ae/m) 0 −10.000 −20.000 −30.000 −35.000 −40.000 −45.000 B(Wb/m2 ) 1,25 1,22 1,18 1,08 1,00 0,80 0,0 1.26. Uma bobina de 60 espiras está enrolada sobre um núcleo anular de ferro (µr =1000) com 20 cm de diâmetro e 10 cm2 de área de seção transversal. O anel tem um entreferro de comprimento mm1,0=t . Determine a força que tende a diminuir o gap de ar quando a corrente na espira é igual a 1 A. [R. 4,26 N] 1.27. Um eletromagneto é feito na forma de um toróide com seção transversal retangular. A largura da seção transversal é 2 cm, enquanto que os raios interno e externo medem 7 e 8 cm. A bobina tem 1.000 espiras e um gap de 0,25 mm é feito no toróide. Quando o fluxo magnético produzido no anel é Wb106,2 4− × , a permeabilidade do material magnético é 0250.4 µ . Encontre a densidade de fluxo, a relutância, a corrente na bobina, o campo magnético no gap e no material, e a fração da força magnetomotriz total no gap. 1.28. Deseja-se obter, no gap de ar do circuito da figura, um campo magnético variando no tempo na forma tBBBg ωsen10 += , em que T5,00 =B e T25,01 =B . O campo constante 0B deve ser criado pelo ímã permanente, enquanto o campo variando no tempo deve ser criado por uma corrente variando no tempo. Considerando a curva BH do ímã permanente da figura e que a área Am seja igual à área do gap Ag, encontre: a) o comprimento d do ímã.; b) a corrente i(t).

7 1.29. A figura mostra um pequeno eletromagneto, em que todas as dimensões estão em milímetros. Cada bobina tem 500 espiras e carrega uma corrente igual a 2 A. Calcule a força de atração na peça superior, quando x = 5 mm. Considere µr = 1.000 no material magnético. [R. 5 N] 1.30. Determine a força no entreferro do circuito magnético da figura para I = 10 A. Os parâmetros do circuito são: N = 50 espiras; a = 20 mm; g = 5 mm; b = 2 mm. Considere ∞→iµ . [R. π/(352 ) N] 1.31. No circuito magnético mostrado a seguir, uma corrente I circula em uma bobina com N espiras. O material tem permeabilidade infinita, exceto por um gap de lagura a e espessura b que tem permeabilidade µ1. A placa inferior tem permeabilidade infinita e está a uma

8 distância x abaixo do trecho do circuito com a bobina. Todo o sistema tem profundidade D. Desprezando os campos de borda, encontre: a) o campo magnético H0 no gap de ar e o campo magnético H1 na seção superior do circuito; b) a indutância da bobina; c) a energia magnética total armazenada no sistema; d) a força magnética na parte móvel inferior em função de x, dos parâmetros do material, N, I e das dimensões do circuito. 1.32. Considere o circuito magnético da figura abaixo. Assumindo que os gaps de ar são suficientemente pequenos para se desprezar campos de borda, determine: a) o fluxo magnético total λ(t) enlaçado pela bobina de tensão V(t) = V0cos(ωt) e N espiras; b) os campos magnéticos, H1(t) e H2(t), nos entreferros em termos de λ(t), µ0 e dos parâmetros da geometria; c) a indutância própria L(x) do circuito em função da distância x, de µ0 e dos parâmetros da geometria; d) a força magnética em termos de λ(t), µ0 e dos parâmetros da geometria.

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