Limites

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Published on May 26, 2008

Author: jorgehh

Source: authorstream.com

Límites. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc. Jorge Hernández 1 Límites. Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado M. Sc. Jorge Hernández. Límites. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 2 Límites. 1. Límites: Introducción. 2. Definición de límites lateral 3. Definición de límite. 4. Existencia del límite. 5. Límites conocidos de funciones no trascendentes 6. Ejemplos. 7. Límites de formas indeterminadas. 8. Problemario sugerido. 1 Límites: Introducción. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 3 1 Límites: Introducción. La noción de “límite”, como palabra ordinariamente usada, la tenemos asociada al significado de frontera, de borde, de separación entre objetos. Por ejemplo, si pensamos en dos bolas de billar muy cercanas, tanto que parecen tocarse (véase figura), el punto del espacio que falta para que las bolas, en realidad se unen, lo podríamos llamar límite. 1 Límites: Introducción. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 4 1 Límites: Introducción. Similarmente, cuando nos desplazamos sobre una línea recta numerada, horizontalmente hasta llegar lo más cercano que podamos al número 2, sin tocarlo, el mismo punto al que nos acercamos se convierte en el punto límite. Límites: Introdución. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 5 Límites: Introdución. Nos hacemos una pregunta: ¿Hacia que punto o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la misma? Antes de darle una respuesta a esta pregunta, veamos el siguiente gráfico. Límites Laterales. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 6 Límites Laterales. 2.1 Definición: El valor numérico aproximado que encontramos por medio de las imágenes de las aproximaciones menores que un valor determinado usando la función f, se denomina “límite lateral izquierdo de f cuando x tiende al valor a”, y se denota por Nota: Este símbolo representa un valor numérico aproximado, es decir, es un número. El símbolo representa la forma en la cual nos aproximamos hacia en este caso, el acercamiento es por el lado izquierdo. Límites Laterales. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 7 Límites Laterales. 2.2 Definición: El valor numérico aproximado que encontramos por medio de las imágenes de las aproximaciones mayores que un valor determinado usando la función f, se denomina “límite lateral derecho de f cuando x tiende al valor a”, y se denota por Nota: Este símbolo representa un valor numérico aproximado, es decir, es un número. El símbolo representa la forma en la cual nos aproximamos hacia en este caso, el acercamiento es por el lado derecho. Definición de Límite. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 8 Definición de Límite. 2.3 Definición: Límite de una función, El valor numérico único, encontrado cuando x tiende hacia el valor numérico “a”, por la izquierda y por la derecha, se denomina “límite de la función f cuando x tiende a , y se denota por Nota: El símbolo representa la forma en como nos aproximamos hacia el valor “a”; en este caso la ausencia de los signos “+” y “-“, indica que x se acerca al valor “a” en ambos sentidos, derecha e izquierda. Existencia del límite. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 9 Existencia del límite. Teorema: El límite de una función f cuando x tiende al valor numérico “a”, existe, es decir, es un valor numérico L, si y solo si Existencia del límite. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 10 Existencia del límite. En este gráfico se observa que las aproximaciones de la función se concentran en 4, a medida que los valores de x se aproximan a dos por el lado izquierdo. Esto quiere decir que Existencia del límite. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 11 Existencia del límite. En este gráfico se observa que los valores de la función se aproximan a 4 en la medida que las aproximaciones de x se aproximan a 2. Esto quiere decir que Existencia del límite. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 12 Existencia del límite. Usando entonces el teorema de existencia del límite, concluimos que el límite existe y su valor es 4. Podemos escribir entonces que Algunos límites conocidos. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 13 Algunos límites conocidos. 5.1 Función constante 5.2 Función identidad 5.3 Función potencial 5.4 Función polinomial Algunos límites conocidos. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 14 Algunos límites conocidos. 5.5 Función Racional 5.6 Función radical si el límite de f existe y n es impar, ó si el límite de f existe, es positivo y n es par. Algunos límites conocidos. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 15 Algunos límites conocidos. Función suma: Si existe y existe entonces, Función producto: Si existe y existe entonces, Algunos límites conocidos. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 16 Algunos límites conocidos. Función cociente: Si y existen, y además entonces Ejemplos. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 17 Ejemplos. 6.1 Sea Encuentre Respuesta: Observamos que la función f es un polinomio, en consecuencia, usando 5.4 tenemos: Ejemplos. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 18 Ejemplos. 6.2 Sea Encuentre Respuesta: Como podemos ver, f es una función racional; por otra parte, como a =2 es un punto del dominio de f, entonces podemos usar 5.5, y obtener: Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 19 Límites de formas indeterminadas Por una forma indeterminada entendemos: una división de funciones, donde la función del numerador se hace cero para algún valor de x y la función del denominador se anula en el mismo valor de x. En otras palabras, si para algún x=a se tiene que donde f y g son funciones. Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 20 Límites de formas indeterminadas Ahora, sucede que cuando se requiere tomar límite a una expresión de esta naturaleza, se observa por simple por inspección que el límite de la función del numerador existe y su valor es cero, y similarmente, el límite de la función del denominador existe y vale cero; en consecuencia, se podría cometer el error de escribir lo siguiente Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 21 Límites de formas indeterminadas Para resolver estos límites es necesario aplicar algunas técnicas de orden algebraico que nos permitan eliminar el término que anula al denominador, puesto que este precisamente es el factor que contribuye a la división entre cero. Nosotros solo estudiaremos los casos siguientes: 7.1 División entre polinomios. 7.2 División que contenga raíces pares. Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 22 Límites de formas indeterminadas 7.1 División entre polinomios: Consideremos la función entonces: 1. Factorizamos el numerador y el denominador 2. Cambiamos la función del numerador y del denominador por sus correspondientes factorizaciones. 3. Simplificamos el cociente de tal manera que puedan eliminarse los términos que se anulan. Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 23 Límites de formas indeterminadas 4. Procedemos a tomar el límite. Si la situación de división entre cero persiste, entonces el límite no existe. Veamos un ejemplo. Sea la función Encontremos el siguiente límite Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 24 Límites de formas indeterminadas Procedemos así: Factorización del numerador Factorización del denominador 3. Reemplazo de las funciones por sus factorizaciones Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 25 Límites de formas indeterminadas Procedemos a tomar el límite: Con esto, vemos que en apariencia un límite puede no existir, sin embargo usando algunas técnicas algebraicas encontramos un valor numérico para este límite. Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 26 Límites de formas indeterminadas 7.2 División entre polinomio y funciones que tengan binomios de raíces con índice par, : Consideremos la función Aquí procedemos así: 1. Factorizamos el polinomio 2. Determinamos la conjugada de la expresión con raíces 3. Sustituimos la factorización 4. Racionalizamos la expresión, es decir, multiplicamos y dividimos por la conjugada. Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 27 Límites de formas indeterminadas 5. Tomamos el límite después de operar los resultados anteriores. Si persiste la situación de división entre cero el límite no existe. Veamos un ejemplo. Sea la función Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 28 Límites de formas indeterminadas Procedemos así: Factorizamos la expresión polinomial Determinación de la conjugada Sustitución de la factorización, y racionalización Límites de formas indeterminadas : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 29 Límites de formas indeterminadas 4. Ahora, tomamos límite Problemario Sugerido. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 30 Problemario Sugerido. Se aconseja realizar todos los ejercicios propuestos en esta sección, de tal manera de adquirir destreza en el manejo de límites. Problemario: - Ejercicios del 1 al 30 de la página 466 en el libro de Arya. - Ejercicios del 37 al 41 de la página 466 en el libro de Arya. - Ejercicios del 1 al 8 en la página 509 del libro de Tan. - Ejercicios del 23 al 40 de la página 510 del libro de Tan. - Ejercicios del 49 al 62 de la página 511 del libro de Tan. Las soluciones de los ejercicios impares están en la página 817 del libro de Arya y en las páginas 967 y 968 del libro de Tan. Fin de la Presentación. : 26/05/2008 10:24 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 30 31 Fin de la Presentación. Gracias por su atención.

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