Lezione 2

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Published on June 18, 2007

Author: Nickel

Source: authorstream.com

Modelli Finanziari nel Tempo Continuo:  Modelli Finanziari nel Tempo Continuo 2 Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Giovanni Della Lunga Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari:  Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Probabilità:  Probabilità Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei concetti probabilistici più elementari si trova di fronte ad un problema; infatti, non solo esistono differenti formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma a queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro. Al di la delle differenze di carattere formale un elemento comune posseduto da tutte le forme di probabilità riguarda il suo significato intuitivo di valutazione della possibilità che un dato evento possa accadere o meno. Probabilità:  Probabilità Sia nelle scienze naturali sia in quelle economiche si è soliti assumere che un certo evento sia il risultato di un ipotetico esperimento intendendo con questo termine l’insieme di tutte 'le azioni e le condizioni ambientali che conducono al determinarsi di un fatto'. E’ un esperimento la misura di una grandezza fisica, il lancio di un dado o di una moneta, il verificarsi o meno di un particolare stato di natura (es. l’indice MIB30 supera il livello 50.000). Probabilità:  Probabilità Indicheremo con  un particolare stato di natura esito di un dato esperimento e con  l’insieme di tutti gli stati possibili (spazio campione). Il concetto di evento é associato al verificarsi di uno o più stati di natura, esso verrà pertanto rappresentato come sottoinsieme di . Lo spazio degli eventi, A, è quindi una famiglia di sottoinsiemi di  caratterizzata dalle seguenti proprietà:   A; se l’evento   A allora anche il suo complemento  -   A; se n  A, allora n  A Probabilità:  Probabilità Esempio – consideriamo l’esperimento aleatorio per antonomasia: il lancio di un dado. In questo caso lo spazio campione è formato dall’insieme dei sei numeri che possono risultare dal lancio stesso     Vediamo il significato di alcuni elementi di A. Ad esempio l’elemento corrisponde all’evento 'il numero risultante dal lancio è minore o uguale a 2'. Altri elementi sono vale a dire 'il numero risultante è dispari', e cioè 'il numero uscente è pari'. Probabilità:  Probabilità Definiamo funzione di probabilità una funzione P a valori reali che soddisfa le seguenti proprietà:     se gli n sono a due a due disgiunti. Osserviamo che una funzione di probabilità così definita è anche una misura. La terna (, A , P) viene detta spazio di probabilità. Probabilità:  Probabilità L’interpretazione geometrica L’area complessiva è uguale a 1 L’area di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva  1 2 3 4 L’area di un insieme di superfici che non si sovrappongono è la somma delle aree delle singole superfici Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari:  Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Variabili Aleatorie:  Variabili Aleatorie Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o casuale viene definita come una funzione Può esservi una certa confusione fra il concetto di variabile stocastica e quello di evento. Se in un determinato 'esperimento' si è interessati unicamente al valore che una determinata grandezza può assumere allora effettivamente il valore di questa grandezza descrive compiutamente l’evento. In questo caso il valore assunto dalla variabile aleatoria, x, si chiama 'campione' della variabile aleatoria X e può essere pensato come una sorta di 'etichetta' dell’evento e(x) definito dalla relazione Variabili Aleatorie:  Variabili Aleatorie Potremmo poi pensare di definire la funzione distribuzione di probabilità della variabile aleatoria X come la probabilità corrispondente all’evento caratterizzato da un ben definito valore di X Se la funzione X può assumere solo valori discreti, la definizione appena data è legittima, tuttavia se X è una funzione a valori continui, la probabilità di ottenere come risultato un qualunque valore prefissato è nulla. L’evento a cui, in ogni caso, possiamo assegnare probabilità non nulla è l’evento corrispondente al caso in cui la variabile aleatoria X non supera un livello prefissato Abbiamo pertanto la seguente definizione di variabile aleatoria … Variabili aleatorie:  Variabili aleatorie Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o casuale viene definita come una funzione tale che per ogni numero reale r si abbia La funzione definita sull’insieme dei numeri reali, viene detta funzione di distribuzione cumulata o, più semplicemente, funzione di distribuzione. Variabili Aleatorie:  Variabili Aleatorie Una variabile aleatoria è detta discreta se l’insieme dei valori che può assumere è numerabile. Sia (, A , P) uno spazio di probabilità e X una variabile aleatoria discreta. Definiamo la funzione di probabilità come La funzione di probabilità e la funzione di distribuzione sono legate dalla relazione: Il lancio di un dado rappresenta una tipica variabile aleatoria discreta Variabili Aleatorie:  Variabili Aleatorie Una variabile aleatoria X è detta continua se esiste una funzione reale fX tale che per ogni x reale sia soddisfatta la relazione Nei punti in cui la funzione di distribuzione è derivabile vale anche la relazione inversa La funzione f(x) in questo caso viene detta funzione densità di probabilità (o semplicemente funzione densità). Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari:  Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Momenti:  Momenti Il valor medio o valore di aspettazione di X, che indicheremo con , è definito come In generale si definisce momento dall’origine (o momento grezzo) di ordine r, e si indica, la media della variabile aleatoria Xr. La definizione è naturalmente applicabile solo nel caso in cui tale media sia finita. Momenti:  Momenti In pratica vengono comunemente utilizzati i primi quattro momenti: media varianza skewness (o asimmetria) curtosi Momenti:  Momenti La varianza di X, indicata con , è la media degli scarti quadratici rispetto alla media e rappresenta una misura di dispersione di X. La sua radice quadrata è detta deviazione standard. La varianza è definita da Da cui è immediato ricavare Uno stimatore della varianza è dato da Il significato della deviazione standard:  Il significato della deviazione standard Due serie storiche di cui la seconda ha standard deviation doppia dell’altra... Il significato della deviazione standard:  Il significato della deviazione standard ... e le rispettive distribuzioni di probabilità! Momenti:  Momenti Il momento centrale di ordine 3 ci dà informazioni sul grado di asimmetria di una distribuzione attorno alla sua media ed è comunemente indicato col termine skewness. L'asimmetria positiva indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più positivi. L'asimmetria negativa indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più negativi. Uno stimatore di questa grandezza è dato da in cui s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio. Momenti:  Momenti La relazione tra momento del terzo ordine e coefficiente di asimmetria, solitamente indicato con 1/2, è data da Valori positivi dell’asimmetria indicano che la distribuzione è asimmetrica per valori crescenti della variabile x (a destra) mentre un’asimmetria negativa sta ad indicare una distribuzione asimmetrica a sinistra. Momenti:  Momenti Vediamo infine la curtosi, indicata con 2, di un insieme di dati. Essa è legata al momento centrale di ordine 4 dalla relazione ed è caratteristica delle cosiddette 'code grasse'. Gli stimatori comunemente utilizzati riportano in realtà la cosiddetta 'curtosi in eccesso' ovvero la differenza fra e 3. Questo è dovuto al fatto che la distribuzione normale o gaussiana ha curtosi pari a 3 e questo indicatore viene spesso utilizzato come indice per comprendere quando la distribuzione di un insieme di dati si allontani dalla normalità. Momenti:  Momenti La formula utilizzata per lo stimatore è riportata sotto; s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio. Nell’immagine un esempio di distribuzione empirica dei rendimenti di un titolo in cui si evidenzia il fenomeno della 'leptocurtosi' (code grasse) Momenti:  Momenti Si possono facilmente generalizzare al caso continuo i risultati per le distribuzioni discrete. Il valore di aspettazione sarà pertanto definito come In cui l’integrazione è estesa al dominio di definizione della variabile che può variare a seconda del tipo di distribuzione. In maniera analoga si generalizzano le definizioni di varianza e degli altri momenti. Cenni di Statistica dei Mercati Finanziari:  Cenni di Statistica dei Mercati Finanziari Come vedremo più avanti la grandezza di cui siamo interessati a stimare le caratteristiche statistiche non è il prezzo di un titolo ma la sua variazione percentuale (rendimento); In prima approssimazione possiamo ipotizzare che il rendimento di un titolo azionario sia distribuito in maniera normale; In realtà quest’assunzione è fortemente criticabile anche se di impiego quasi universale in pratica; La distribuzione effettiva dei rendimenti tende ad essere leptocurtotica Dalla serie storica dei prezzi a quella dei rendimenti:  Dalla serie storica dei prezzi a quella dei rendimenti Il primo calcolo che dobbiamo fare è quindi quello di trasformare la serie storica dei prezzi in serie storica dei rendimenti del titolo o della generica attività finanziaria: sia n il numero di osservazioni; Si il prezzo dell’azione alla fine dell’i-esimo intervallo (i = 0,1,..,n);  la lunghezza dell’intervallo in anni Indichiamo con ui il tasso di rendimento composto continuamente non annualizzato relativo all’intervallo considerato La Stima della Volatilità:  La Stima della Volatilità Una stima della deviazione standard è data da Questa è una stima della volatilità giornaliera, per ottenere una stima della volatilità annualizzata occorre moltiplicare per la radice quadrata del numero di giorni lavorativi in un anno. Scegliere un valore per n non è facile, in generale più dati si usano e maggiore è l’accuratezza. Tuttavia  cambia nel tempo e i dati troppo vecchi possono non essere rilevanti per prevedere il futuro. Un compromesso che sembra funzionare abbastanza bene è quello di utilizzare i prezzi di chiusura giornalieri degli ultimi 90-180 giorni. Stima della volatilità:  Stima della volatilità Si noti che la volatilità così stimata è una volatilità che si riferisce al periodo della serie storica Es. se abbiamo una serie di rendimenti giornalieri, la volatilità sarà la volatilità giornaliera del rendimento; Occorre riportare ad un’unità di misura comune; Es. per ricondurre tutto a volatilità annuali, sotto opportune ipotesi statistiche, occore moltiplicare per la radice del numero di giorni lavorativi Volatilità annuale Volatilità giornaliera Nr. Giorni Lavorativi in un Anno Esempio ProgrammazioneVBA:  Esempio Programmazione VBA Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari:  Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Distribuzioni Discrete:  Distribuzioni Discrete Distribuzione Uniforme Sia X una variabile aleatoria che assume valori nel dominio dei numeri naturali 1, 2, ... , n. Diremo che tale variabile ha una distribuzione uniforme se risulta Valor medio e varianza sono dati da: Distribuzioni Discrete:  Distribuzioni Discrete Distribuzione Binomiale Dati n eventi indipendenti, tutti con uguale probabilità p, sia X la variabile casuale che conta il numero totale di eventi che si verificano fra quelli possibili. X ha una distribuzione binomiale con parametri n e p. La funzione di probabilità è per i = 0, 1, 2, ..., n valor medio e varianza sono dati da Funzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata Binomiale per il caso n = 6 e p = 0.5 Distribuzioni Discrete:  Distribuzioni Discrete Distribuzione di Poisson Esistono numerosi eventi che accadono nel tempo con cadenza del tutto irregolare. Indichiamo con  il numero medio di occorrenze nell’unità di tempo e supponiamo che siano soddisfatte le seguenti proprietà: La probabilità di avere esattamente un’occorrenza in un intervallo di tempo dt di ampiezza trascurabile è  dt a meno di infinitesimi di ordine superiore mentre la probabilità di avere più di un’occorrenza è trascurabile; I numeri di occorrenze in intervalli temporali disgiunti sono indipendenti. Consideriamo la variabile aleatoria X che rappresenta il numero di occorrenze in un dato intervallo . Dividiamo l’intervallo in n sotto-intervalli di ampiezza t / n. La probabilità di avere esattamente una occorrenza all’interno di uno di questi sotto-intervalli è per le ipotesi fatte pari a  t / n; per la proprietà dell’indipendenza, e ricordando la definizione della distribuzione binomiale, otteniamo che la probabilità di k occorrenze è data da (a meno di infinitesimi di ordine superiore) Distribuzioni Discrete:  Distribuzioni Discrete Supponiamo ora che n tenda all’infinito, per le ipotesi fatte la probabilità di occorrenza all’interno di un intervallo  dt tende a zero ma il prodotto n dt è pari ad una costante  =  t, otteniamo così la cosiddetta distribuzione di Poisson con x = 0, 1, 2, ... La media e la varianza di una distribuzione di Poisson coincidono e sono entrambe pari al parametro . Funzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata di Poisson per  = 9 Distribuzioni Continue:  Distribuzioni Continue Distribuzione Uniforme Diremo che una variabile aleatoria X è uniformemente distribuita nell’intervallo reale [a, b] se la sua funzione di distribuzione cumulata è data da a cui corrisponde una funzione densità di probabilità data da La distribuzione uniforme gioca un ruolo particolarmente importante nei metodi di simulazione in quando per generare le diverse distribuzioni si parte usualmente da generatori di variabili casuali uniformi. Distribuzioni Continue:  Distribuzioni Continue Distribuzione Normale Una delle funzioni più importanti, sia nella teoria sia nella pratica, è la distribuzione normale o gaussiana la cui funzione densità è data da: dove i parametri  e  sono rispettivamente la media e la deviazione standard. Una variabile aleatoria viene detta distribuita secondo una normale standard se la media è 0 e la standard deviation è 1. Durante il corso utilizzeremo anche una notazione abbastanza diffusa tramite la quale si indica che una generica variabile aleatoria X è distribuita come una normale con media  e varianza 2: X ~N( , ). Rapporto fra distribuzioni e istogramma:  Rapporto fra distribuzioni e istogramma Non dimenticate che la densità di probabilità rappresenta la frazione di valori che cadono all’interno di un certo intervallo della variabile aleatoria: Distribuzioni Continue:  Distribuzioni Continue Distribuzione LogNormale Sia X una variabile aleatoria con distribuzione normale, allora la variabile z = eX definisce una variabile aleatoria con distribuita in maniera log-normale. Se la variabile X ha media  e standard deviation , allora la funzione densità di probabilità di z è data da con z andgt; 0. La media e la varianza della variabile Z possono essere espresse in funzione dei corrispondenti momenti di X tramite le relazioni avendo posto . Distribuzioni Continue:  Distribuzioni Continue I fattori di asimmetria e curtosi sono dati rispettivamente da Notate che per valori di  non nulli, sia l’asimmetria è sempre maggiore di zero e la curtosi è sempre maggiore di 3. Questo vuol dire che la distribuzione log-normale è sempre asimmetrica a destra e leptocurtica. Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari:  Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Esistono numeri casuali ?:  Esistono numeri casuali ? Come può un elaboratore, macchina totalmente deterministica, generare numeri casuali e quindi per loro natura non deterministici? La risposta è molto semplice: non può! I numeri sono generati per mezzo di qualche algoritmo per cui non si può parlare di casualità essendo la sequenza predeterminata; In compenso con un computer si possono generare sequenze di numeri che sembrino aleatorie Generatori di Numeri Pseudocasuali:  Generatori di Numeri Pseudocasuali Virtualmente tutti i generatori di numeri pseudo casuali impiegati in pratica sono basati sul generatore lineare congruente I parametri a, c ed m determinano la qualità del generatore. a viene detto moltiplicatore, c incremento ed m è il cosiddetto modulo. Il generatore appena visto genera numeri interi compresi fra 0 ed m. Usualmente si utilizzano generatori di numeri casuali uniformemente distribuiti fra 0 ed 1, per questo è sufficiente scegliere Generatore Lineare Congruente:  Generatore Lineare Congruente La sequenza di numeri casuali si ripeterà dopo un ciclo che, al più, potrà essere di lunghezza m. Il massimo intero rappresentabile su un computer la cui lunghezza di parola è di L bit è 2L . Usualmente si sceglie Generatore Lineare Congruente:  Vantaggi E’ molto veloce richiedendo pochissime operazioni per chiamata, questo lo rende di uso universale; Svantaggi Il più grosso svantaggio è rappresentato dalla presenza di correlazione sequenziale; Può produrre risultati inaspettati quando viene usato per la generazione di distribuzioni non uniformi. Generatore Lineare Congruente Generatore Lineare Congruente:  Generatore Lineare Congruente Se si generano n coppie di numeri casuali e si associano ad esse n punti in un piano, i punti non si distribuiscono uniformemente ma tendono ad allinearsi lungo segmenti di retta. Generatore Lineare Congruente:  Generatore Lineare Congruente La correlazione sequenziale può essere facilmente rimossa con tecniche di mescolamento ('shuffling'); Il numero prodotto allo step j non costituisce l’output j-esimo ma viene utilizzato per l’output ad uno step successivo scelto in maniera casuale; Generazione di distribuzioni UniformiMicrosoft Excel:  Generazione di distribuzioni Uniformi Microsoft Excel La funzione Rnd() restituisce un valore numerico di tipo Single che contiene un numero casuale. La sintassi è la seguente:   Rnd[(num)]   L'argomento facoltativo num può essere un valore Single o una qualsiasi espressione numerica valida. I valori restituiti dalla funzione dipendono dal valore passato come argomento. Per ogni base iniziale specificata, viene generata la stessa sequenza di numeri, in quanto ogni successiva chiamata alla funzione Rnd() utilizza il numero casuale precedente come base per il numero successivo nella sequenza. In particolare se il parametro num è minore di zero Rnd() genera sempre lo stesso numero, utilizzando num come base; se num è maggiore di zero viene restituito il successivo numero casuale nella sequenza; se num è uguale a zero viene restituito il numero generato per ultimo; infine se il parametro in input viene omesso, Rnd() restituirà il successivo numero casuale nella sequenza. Generazione di distribuzioni Uniformi Microsoft Excel:  Prima di richiamare Rnd(), è consigliabile utilizzare l'istruzione Randomize senza argomento per inizializzare il generatore di numeri casuali con una base connessa al timer del sistema con la seguente sintassi   Randomize[(numero)]   Randomize utilizza il parametro numero per inizializzare il generatore di numeri casuali della funzione Rnd() assegnandogli un nuovo valore base. Se numero viene omesso, il valore restituito dal timer di sistema verrà utilizzato come nuova base.   Ricordate che la funzione Rnd() restituisce un valore minore di 1 ma maggiore o uguale a zero. Per generare interi casuali in un dato intervallo, utilizzare la seguente formula:   Int((limitesup - limiteinf + 1) * Rnd + limiteinf)   dove limitesup indica il numero maggiore presente nell'intervallo, mentre limiteinf indica il numero minore. Generazione di distribuzioni Uniformi Microsoft Excel Esempio ProgrammazioneVBA:  Esempio Programmazione VBA Metodo della trasformazione inversa:  Metodo della trasformazione inversa Da un generatore di numeri distribuiti uniformemente si possono ricavare numeri distribuiti secondo una densità di probabilità prefissata. SCOPO: generare un campione di numeri Z distribuiti in accordo ad una funzione di distribuzione assegnata F(z). INPUT: deve essere possibile valutare la funzione inversa di F(z). OUTPUT: Z. METODO: Generare un set di numeri casuali U uniformemente distribuiti fra 0 ed 1 e per ciascuno di questi calcolare Z = F-1(U) Z Variabili Normali Univariate Microsoft Excel:  Variabili Normali Univariate Microsoft Excel INV.NORM(). Restituisce l'inversa della distribuzione normale cumulativa per la media e la deviazione standard specificate. La sintassi é   INV.NORM(probabilità;media;dev_standard)   dove probabilità   è la probabilità corrispondente alla distribuzione normale, media è la media aritmetica della distribuzione, dev_standard è la deviazione standard della distribuzione. INV.NORM utilizza una tecnica iterativa per il calcolo della funzione. Dato un valore di probabilità, INV.NORM applica il metodo delle iterazioni fino a quando la precisione del risultato non rientra in ± 3x10^-7. Se il risultato di INV.NORM non converge dopo 100 iterazioni, la funzione restituirà il valore di errore #N/D. Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari:  Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Covarianza:  Covarianza Date due variabili aleatorie X ed Y con varianza finita, si definisce covarianza la quantità definita da Se la covarianza è nulla le due variabili si dicono non correlate. Solitamente viene introdotto un coefficiente di correlazione definito come I cui valori massimi e minimi dipendono dal tipo di distribuzione considerata. uno stimatore della covarianza è dato da Dipendenza:  Dipendenza Due variabili si dicono indipendenti se la funzione di distribuzione congiunta FXY(x, y) è fattorizzabile nel prodotto delle marginali FX(x)FY(Y). Due variabili indipendendi con varianza finita sono anche non correlate ma non è vero il viceversa. Correlazione positiva:  Correlazione positiva Correlazione negativa:  Correlazione negativa Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari:  Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Processi stocastici:  Processi stocastici Consideriamo una successione discreta di istanti di tempo t1, t2, … , tn. In generale possiamo descrivere il comportamento di un sistema che evolve nel tempo in maniera imprevedibile tramite una corrispondente sequenza di variabili aleatorie X1, X2, ..., Xn. Parleremo in questo caso di processo stocastico discreto. Naturalmente possiamo anche definire processi stocastici nel tempo continuo sia su un dominio finito, come ad esempio [0, 1], sia su un dominio infinito, ad esempio [0, ). Processi stocastici:  Processi stocastici Da un punto di vista formale consideriamo uno spazio di probabilità (, A , P) e un insieme non vuoto, T, i cui elementi sono gli istanti che vengono presi in considerazione. Definiamo processo stocastico una funzione di due variabili tale che è una variabile aleatoria per ogni t. La funzione viene chiamata realizzazione o traiettoria del processo stocastico considerato. Ogni realizzazione in pratica non è altro che un’osservazione dell’evoluzione temporale della quantità descritta dal processo. Processi stocastici:  Processi stocastici Processi stocastici:  Processi stocastici Se assumiamo che un processo stocastico soddisfi le tre condizioni esso è definito diffusivo. I parametri  e , che possono essere costanti o funzioni di Y e t, sono definiti drift e parametro di diffusione (diffusion) del processo. La terza condizione esclude la presenza di salti nel processo. Processi stocastici:  Processi stocastici Un particolare tipo di processo diffusivo che utilizziamo per costruire i processi stocastici è il processo di Wiener w(t). Tale processo è definito dalla seguente proprietà: l’incremento w(t + h) – w(t), condizionale all’informazione disponibile in t (t), ha distribuzione di probabilità normale con media zero e varianza pari ad h. L’utilità di questo strumento per la costruzione di processi stocastici è immediata. Un processo con drift e diffusione costanti e con Y(0) = 0 può essere rappresentato come... Processi stocastici:  Processi stocastici ...o, nella notazione equivalente più usuale nota come equazione differenziale stocastica. Quest’ultima notazione è puramente simbolica e serve ad esprimere la precedente relazione in maniera più compatta. Processi stocastici:  Processi stocastici Dalla definizione del processo di Wiener è immediato ottenere che al tempo t + h la posizione di Y sarà descritta da una distribuzione normale con media pari a Y(t) + h e varianza pari a 2h. Notiamo che questo è dovuto al fatto che il processo di Wiener è moltiplicato per un parametro di diffusione costante. Processi di Wiener:  Processi di Wiener In particolare i modelli di comportamento dei prezzi azionari sono espressi spesso ricorrendo ai cosiddetti processi di Wiener; Il comportamento di una variabile z che segue un processo di Wiener può essere compreso se si esaminano le sue variazioni di valore in un piccolo intervallo di tempo dt. Proprietà 1 dz è legata a dt dalla relazione dove epsilon è una variabile aleatoria N(0,1); Proprietà 2 I valori di dz in due qualsiasi intervalli di tempo dt diversi fra loro sono indipendenti Processi di Wiener Generalizzati:  Processi di Wiener Generalizzati Un processo di Wiener generalizzato per una variabile x può essere così definito in funzione di dz dove a e b sono costanti Ricordando la prima proprietà dei processi di Wiener possiamo scrivere L’Integrale di Ito :  L’Integrale di Ito Nello studio dei flussi d’informazione nei mercati finanziari, i tradizionali strumenti forniti dall’analisi matematica risultano insufficienti. In particolare la nozione di integrale di Riemann-Stieltjes risulta inadeguata in un contesto stocastico. Supponiamo infatti di voler calcolare Se la variabile S è una variabile deterministica il risultato dell’integrazione com’è noto è Consideriamo la somma... Si noti che questo risultato si ottiene facendo tendere N all’infinito nella somma sopra riportata qualunque sia la scelta di L’Integrale di Ito :  L’Integrale di Ito Se invece S è una variabile aleatoria lo stesso procedimento non può essere utilizzato! Infatti la quantità non è conosciuta al tempo ti-1. Inoltre non è possibile effettuare un passaggio al limite nel senso classico del termine sempre per il fatto che abbiamo a che fare con variabili aleatorie per le quali vanno definiti opportuni criteri di convergenza. Nella definizione di Integrale di Ito, come vedremo, si usa il criterio della convergenza in media quadratica e il risultato finale è diverso da quello che ci aspetteremmo nel caso classico deterministico; Anche il concetto di differenziale classico risulta inadeguato in campo stocastico. L’Integrale di Ito :  L’Integrale di Ito Infatti, ad esempio, il moto browniano non è differenziabile in alcun punto e quindi non è derivabile rispetto al tempo; Il punto cruciale è che nel calcolo differenziale classico gli incrementi del secondo ordine come (S)2 sono trascurabili rispetto a quelli del primo ordine quando S tende a zero e il differenziale di una funzione composta, al primo ordine risulta semplicemente dato da Possiamo estendere questo semplice risultato al caso stocastico? NO! Il motivo è il seguente: se S è una variabile casuale, assumere che in media (S)2 sia trascurabile equivale a supporre che la varianza di S sia nulla, ovvero a ritenere S una variabile deterministica! L’Integrale di Ito :  L’Integrale di Ito Per chiarire meglio questo concetto, supponiamo che St segua un processo browniano, Supponiamo poi di voler analizzare l’andamento nel tempo di una generica funzione di S e t, anticipando i concetti di convergenza in media quadratica possiamo dire che simbolicamente Pertanto i termini del secondo ordine in S non possono essere trascurati in un’approssimazione del primo ordine in quanto risultato essere analoghi a termini al primo ordine nel tempo! Lemma di Ito :  Lemma di Ito Per valutare l’incremento di una funzione trascurando i termini di ordine superiore al primo nel tempo dobbiamo pertanto scrivere Si noti che c’è un termine aggiuntivo in più rispetto al differenziale del calcolo classico; Tale termine scompare se  = 0 ovvero se la variabile non è aleatoria! Il calcolo differenziale stocastico nasce con lo scopo di dare significato alle equazioni differenziali contenenti termini differenziali stocastici; Lemma di Ito...se fosse valido il calcolo differenziale classico:  Lemma di Ito ...se fosse valido il calcolo differenziale classico Lemma di Ito:  Lemma di Ito Se il valore di S segue un processo di Ito Allora il valore di una generica funzione di S segue la dinamica descritta da Lemma di Ito:  Lemma di Ito Un caso speciale Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari:  Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari Probabilità Variabili Aleatorie Momenti Distribuzioni Generazione di Numeri Pseudo-Casuali Dipendenza e Correlazione Processi Stocastici Dinamica del Prezzo di un’Azione Un processo per i prezzi azionari:  Un processo per i prezzi azionari Come abbiamo visto i rendimenti di un titolo possono, in prima approssimazione, essere considerati normalmente distribuiti; Da un punto di vista formale questo equivale ad ipotizzare la seguente relazione MEDIA STANDARD DEVIATION VARIABILE ALEATORIA N(0,1) Un processo per i prezzi azionari:  Vediamo quali sono le proprieta di scalabilità temporale della media e della varianza; Se la varianza del prezzo fosse sempre nulla detto  il tasso di rendimento istantaneo atteso, quello che ci si aspetta è S = S0et in quanto il possesso del titolo equivale in questo caso ad un deposito bancario (volatilità nulla = risk free) Ma questa relazione è soluzione dell’equazione differenziale dS/S= dt Quindi possiamo porre Un processo per i prezzi azionari Un processo per i prezzi azionari:  Un processo per i prezzi azionari Quindi possiamo porre La volatilità quindi varia come la radice quadrata del tempo, questo è equivalente ad assumere che la componente stocastica sia descritta da un processo di Wiener. Un processo per i prezzi azionari:  Riassumendo dove S è la variazione di prezzo nell’intervallo t e z è un numero casuale estratto da una distribuzione normale standard. Un processo descritto da un’equazione del genere è detto MOTO GEOMETRICO BROWNIANO Un processo per i prezzi azionari Un processo per i prezzi azionari:  Un processo per i prezzi azionari Un processo per i prezzi azionari:  Un processo per i prezzi azionari Esempio ProgrammazioneVBA:  Esempio Programmazione VBA Bibliografia:  Bibliografia S. Benninga 'Modelli Finanziari – La finanza con Excel' McGraw-Hill (2001) U. Cherubini, G. Della Lunga 'Matematica Finanziaria – Applicazioni con VBA per Excel' McGraw-Hill (2001) U. Cherubini, G. Della Lunga 'Il Rischio Finanziario' McGraw-Hill (2000) E. Gaarder Haug 'The Complete Guide to Option Pricing Formulas' McGraw-Hill (1998) M. Jackson, M. Staunton 'Advanced Modelling in Finance using Excel and VBA' Wiley Finance (2001) Slide85: 

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Unregelmäßige Verben (1.3. Person Singular) stare - stehen sto stai sta Per esempio: - Luigi, come stai? - Luigi, wie geht (steht) es Dir? - Signore ...
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Lezione 2 - TechnologicAll - sites.google.com

Salve, in questa lezione andremo a vedere come funziona lo Scanner, parleremo delle variabili intere, ovvero tutti quei numeri senza virgola, senza decimali.
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Appunto 2 - lehrerfortbildung-bw.de

Druckansicht von http://lehrerfortbildung-bw.de/faecher/italienisch/gym/fb1/u_2_arbeit/2_appunto2/, Stand 2. ... Lezione 1A: Herunterladen [doc] [64 KB]
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