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Ley de gauss clase 5 ok

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Information about Ley de gauss clase 5 ok
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Published on October 12, 2014

Author: Tensor

Source: slideshare.net

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Ley de Gauss
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1. Ley de Gauss Clase 5 03/octubre/14

2. Ley de Gauss  Este ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de la carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita.  Además se entiende por superficie cerrada aquella que divide el espacio en dos regiones diferentes, la interior y la exterior a dicha superficie como se denota a continuación.

3. Ley de Gauss Dipolo eléctrico encerrado en una superficie de forma arbitraria. El numero de líneas que abandonan la superficie es exactamente igual al número de líneas que entran en ella sin que importe donde se dibuje la superficie, siempre que se encierren dentro de ella ambas cargas del dipolo.

4. Ley de Gauss Para superficies que encierran otras distribuciones de carga, como el que se muestra en la figura, el numero neto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss.

5. Ley de Gauss  Nota. Para contar el numero neto de líneas que salen de la superficie, cuéntese cualquier línea que cruce desde el interior como +1 y cualquier penetración desde el exterior como -1. Así pues para la superficie indicada el balance total de las líneas que cruzan al superficie es cero.

6. Flujo eléctrico  Las unidades del flujo son 푁 ∙ 푚2/퐶 . Como el campo eléctrico es proporcional al número de líneas por unidad de área, el flujo eléctrico es proporcional a número de líneas de campo que atraviesan el área. Líneas de campo correspondientes a un campo eléctrico uniforme que E que atraviesa un área A perpendicular al campo. El producto EA es el flujo 휙 a través del área.   EA A E

7. Flujo eléctrico Líneas de campo correspondientes a un campo eléctrico uniforme perpendicular al área 퐴1 , pero que forma un ángulo 휃 con el vector unitario 푛 normal al área 퐴2 . Cuando E no es perpendicular al área es 퐸푛퐴 , siendo 퐸푛 = 퐸푐표푠휃 la componente de E perpendicular al área. El flujo que atraviesa 퐴2 es el mismo que pasa por 퐴1 n  E 1A 2 A 2 1 A cos  A La superficie del área 퐴2 no es perpendicular al campo eléctrico E. Sin embargo, el numero de líneas que atraviesan el área 퐴2 es el mismo que atraviesa el área 퐴1 , que es perpendicular a E. Las áreas están relacionadas por : 퐴2푐표푠휃 = 퐴1

8. Flujo eléctrico  En donde 휃 es el ángulo existente entre E y el vector unitario 푛 perpendicular a la superficie 퐴2. Por lo tanto el flujo de una superficie viene definido por : cos n   E  nA  EA  E A  En donde 퐸푛 = 퐸 ∙ 푛 es la componente de E perpendicular, o normal, a la superficie.

9. Flujo eléctrico  La figura siguiente muestra una superficie de forma arbitraria sobre el cual el campo E puede variar. i n Ai E Si el área Δ퐴푖 del elemento de área que elegimos es suficientemente pequeño podemos considerarle como un plano y la variación del campo eléctrico a través del elemento puede despreciarse. Por lo tanto el flujo eléctrico a través de ese elemento es:        lim E n A E ndA   0 A i i i i i S Definición de flujo electrico

10. Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss  La siguiente figura muestra una superficie esférica de radio 푅 con su centro en la carga puntual 푄. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie perpendicular a la superficie se denota de la siguiente manera: kQ E n 2 R  Una superficie esférica puntual que incluye la carga puntual 푄 . (a) El mismo numero de líneas de campo eléctrico que pasa a través de esta superficie que incluya 푄. (b) El flujo se calcula fácilmente para una superficie esférica. Es igual al producto de 퐸푛 por el área superficial, es decir 퐸푛4휋푅2

11. Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss  Por lo tanto el flujo neto de E a través de esta superficie esférica es:  휙푛푒푡표 = 푆 퐸푛 푑퐴 = 퐸푛 푆 푑퐴  En donde 퐸푛 puede salir de la integral por ser constante en todos los puntos. La integral de 푑퐴 extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a 4휋푅2. Con este valor y sustituyendo 푘푄/푅2 por 퐸푛 se obtiene:  휙푛푒푡표 = 푆 퐸푛푑퐴 = 4휋푘푄푖푛푡푒푟푖표푟

12. Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss  Por lo tanto el flujo neto a través de cualquier superficie es igual a 4휋푘 veces la carga neta dentro de la superficie.:  휙푛푒푡표 = 푆 퐸푛푑퐴 = 4휋푘푄푖푛푡푒푟푖표푟  Esta propiedad del campo eléctrico es la que ha hecho posible dibujar un numero fijo de líneas de fuerza desde una carga y conseguir que la densidad de líneas se a proporcional a la intensidad del campo.

13. Enunciado cuantitativo de la Ley de Gauss  Es costumbre escribir la constante de Coulomb 푘 en función de otra constante 휖0, denominada permitividad del espacio libre (permitividad del vacío):  0 1 4 k   Por lo tanto el valor de 휀0 en unidades del SI es 1 1         12 2 2 0 9 2 2 8.85 10 / 4 4 8.99 10 / C N m K N m C     

14.  Por lo tanto al ley de Gauss es válida para todas las superficies y distribuciones de carga. Puede utilizarse para calcular el campo eléctrico en algunas distribuciones espaciales de carga con altos grados de simetría. En los campos eléctricos que resultan de distribuciones de carga estática, la ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes. Sin embargo la ley de Gauss es mas general, pues también puede aplicarse a distribuciones de carga no estáticas.  Por lo tanto utilizaremos que  휙퐸 = 퐸푟 ∙ 푑퐴 = 푄푛푒푡푎 휀0

15. Problemas  Problema 1  Cuando se mide el campo eléctrico en cualquier parte sobre la superficie de un cascarón esférico delgado con 0.750 m de radio, se ve que es igual a 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de la esfera? a) ¿Cuál es la carga neta dentro de la superficie de la esfera? b) ¿Qué puede concluir acerca de la naturaleza y distribución de la carga dentro del cascarón esférico?

16. Problemas  Solución inciso a  De acuerdo a la siguiente figura tenemos que: r E r Datos r E r E r E r E r E r E r E r E 퐸푟 = 890푁/퐶 푟 = 0.750 푚

17. Problemas  Por la ley de Gauss tenemos: 휙퐸 = 퐸푟 ∙ 푑퐴 = 퐸푟 ∙ 푑퐴푐표푠 180° = 푄푛푒푡푎 휀0 ⇒ ⟹ −퐸푟 푑퐴 = 푄푛푒푡푎 휀0 ⟹ − 890 4휋 0.750 2 = 푄푛푒푡푎 8.85×10−12 ∴ 푄푛푒푡푎 = −55.7 × 10−9 = −55.7푛퐶

18. Problemas  Solución Inciso b  Que la carga neta que actúa dentro de la superficie de la esfera esta cargada negativamente.

19. Problemas  Problema 2  Cuatro superficies cerradas, 푆1 푎 푆4, junto con las cargas −2푄, 푄 푦 − 푄 se dibujan en la siguiente figura. Encuentre el flujo eléctrico a través de cada superficie.

20. Problemas  Solución  Nos piden: 휙퐸 a través de cada superficie = ?  휙퐸 푎 푡푟푎푣é푠 푆1 = 퐸 ∙ 푑퐴 = 푄푛푒푡푎 휀0  por la ley de Gauss  ∴ 휙퐸 푎 푡푟푎푣é푠 푆1 = −2푄+푄 휀0 = −푄 휀0

21. Problemas  Solución  Nos piden: 휙퐸 a través de cada superficie = ?  휙퐸 푎 푡푟푎푣é푠 푆2 = 퐸 ∙ 푑퐴 = 푄푛푒푡푎 휀0  por la ley de Gauss  ∴ 휙퐸 푎 푡푟푎푣é푠 푆2 = +푄−푄 휀0 = 0

22. Problemas  Solución  Nos piden: 휙퐸 a través de cada superficie = ?  휙퐸 푎 푡푟푎푣é푠 푆3 = 퐸 ∙ 푑퐴 = 푄푛푒푡푎 휀0  por la ley de Gauss  ∴ 휙퐸 푎 푡푟푎푣é푠 푆3 = −2푄+푄−푄 휀0 = −2푄 휀0

23. Problemas  Solución  Nos piden: 휙퐸 a través de cada superficie = ?  휙퐸 푎 푡푟푎푣é푠 푆4 = 퐸 ∙ 푑퐴 = 푄푛푒푡푎 휀0  por la ley de Gauss  ∴ 휙퐸 푎 푡푟푎푣é푠 푆4 = 0 휀0 = 0

24. Problemas  Problema 3  Consideremos un campo eléctrico uniforme 퐸 = 2푘푁/퐶 푖. (a) ¿Cuál es el flujo de este campo que atraviesa un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al plano 푦푧? (b) ¿Cual es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 30° con el eje 푥?

25. Problemas  Solución inciso a  La definición del campo eléctrico es 휙 = 푆 퐸 ∙ 푛 푑퐴. Nosotros podemos aplicar esta definición para encontrar el flujo eléctrico.  Por lo tanto aplicando esta definición tenemos que:  휙 = 푆 2푘푁/퐶 푖 ∙ 푖 푑퐴 = 2푘푁/퐶 푆 푑퐴  휙 = 2푘푁/퐶 0.1푚 2 = 20푁 ∙ 푚2/퐶 푃푙푎푛표 푦푧 퐿 = 10푐푚 푥 푦 푧

26. Problemas  Solución inciso b  Procedemos de la misma forma que el inciso a, tenemos que:  푖 ∙ 푛 = 푐표푠30°  휙 = 푆 2푘푁/퐶 푖 ∙ 푛 푑퐴 = 2푘푁 퐶 푐표푠30°푑퐴  휙 = 2푘푁/퐶 0.1푚 2푐표푠30° = 17.3푁 ∙ 푚2/퐶 푃푙푎푛표 푦푧 퐿 = 10푐푚 푥 푦 푧

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