La distribuzione dei numeri primi

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Published on February 15, 2014

Author: armellini

Source: slideshare.net

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proprietà sulla distribuzione dei primi

Note sulla distribuzione dei numeri primi Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.it February 15, 2014 Dalla teoria dei numeri primi sappiamo che per tutti gli p primi p < x vale: log(x) ∼ log(p) p−1 p<x (1) Quindi se x < y : y log(p) log(y) − log(x) = log( ) ∼ x p−1 x<p<y (2) quindi se y = kxla formula diventa y kx log( ) = log( ) = log(k) ∼ x x x<p<kx log(p) p−1 (3) Dove log(x) è il lorgaritmo naturale di x. Questo signica che in ogni caso esistono inniti intervalli numerici dove la somma dei numer primi contenuti in questi inyervalli è costante e tale costante può essre scelta a piacere. Naturalmente siamo parlando di intervallo numerici di grandi dimensioni dove in gioco ci sono numeri di grandi dimensioni. Sappiamo anche che vale la formula: log(n!) ∼ n log(p) p−1 p<n (4) Ragionando come sopra possiamo dire che log(n!) − log(m!) = log( n! n−m )∼ log(p) m! p−1 m<p<n (5) Anhe qui ssando m, n possiamo determinare una costante e un intervallo dove già sappiamo quale sarà la somma di tutti i numeri primi contenuti nell'intervallo di grandi dimensioni ssato. Se il numero dei numeri primi minori o uguali a x è π(x) ∼ x/log(x) allora possiamo deurre che π(y) − π(x) ∼ y/log(y) − x/log(x) ovvero è un' altra forumula per stimare il numero dei primi contenuti in un certo intervallo numerico 1

con x < y da confrontare con quelle descritte prima ricordando anche che è stata provata la relazione molto importante: 2x x ≤ π(x) ≤ 2log(x) log(x) Inoltre è stato provato che limx→+∞ 1 p · log(p) = x2 2 p<x ovvero per x anche non molto grandi 1 p · log(p) ∼ 2 x 2 p<x D'altra parte come dimenticare, in questo contesto, la funzione zeta di Riemann: +∞ ζ(x) = 1 = nx n=1 p 1 1 − p−x dove ad esempio sono noti i valori ζ(2) = ζ(4) = 1 ζ(x) = Γ(x) π2 6 π4 π6 , ζ(6) = 90 945 ˆ ∞ 0 ux−1 du, x > 1 eu − 1 ζ(1 − x) = 21−x π −x Γ(x)cos(πx/2)ζ(x) ˆ ∞ tn−1 e−t dt, n > 0 Γ(n) = 0 2

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