Kombinatorika

50 %
50 %
Information about Kombinatorika
Education

Published on March 10, 2014

Author: Corvinusmatek

Source: authorstream.com

Kombinatorika : Kombinatorika 1. Feladat : 1. Feladat Egy 25 fős osztályban a tanár véletlenszerűen oszt ki 5 jegyet. Határozzuk meg, hányféleképp oszthatók ki a jegyek az alábbi esetekben! A: A tanár 5 különböző jegyet oszt ki úgy, hogy egy tanuló csak egy jegyet kaphat. Megoldás : Megoldás A kombinatorikai feladatokban arra keressük a választ, hogy hány olyan kiválasztás létezik, ami megfelel a megadott feltételeknek. Mindig n elemből választunk k db-ot. Itt figyelembe kell venni, hogy egy elemet csak egyszer, vagy többször is kiválaszthatunk-e. Ennek alapján beszélünk ismétléses és ismétlés nélküli kiválasztásról. Ezen kívül foglalkoznunk kell még azzal, hogy a két kiválasztás közt különbséget okoz-e az, hogy a kiválasztás sorrendje eltér. Ennek alapján beszélhetünk variációról (ahol számít a kiválasztás sorrendje) és kombinációról (ahol nem számít a sorrend) Ebben a feladatban van 25 tanuló, akik közül a tanár véletlenszerűen kiválasztja, hogy kinek ad jegyet, így n=25 és k=5, mivel 5 jegyet oszt ki a tanár, azaz ötször választ a tanulók közül. A tanár mind az ötféle jegyet kiosztja, így a jegyek adottak. A jegyekhez választ a tanár tanulót. Mivel egy tanuló csak egy jegyet kaphat, így a kiválasztás ismétlés nélküli. Képzeljük el, hogy a tanár sorban leírja a jegyeket az egyestől kezdve és ezekhez sorban választ egy-egy tanulót. Ilyenkor a tanulók számára nem közömbös, hogy hányadikként kerülnek sorra, mivel az első kiválasztott egyest kap, míg az utolsó ötöst. Ebből következően számít a kiválasztás sorrendje, hiszen más eredmény adódik ha más sorrendben választja ki a tanár a tanulókat, mivel ugyanaz a tanuló szomorú lesz, ha elsőként választják és vidám, ha utolsóként. Mivel számít a kiválasztás sorrendje, variációról van szó. Megoldás : Megoldás Az ismétlés nélküli variáció képlete: Minden adat ismert, helyettesítsünk be! Slide 5: Biztosra akarsz menni a vizsgán vagy az MSc felvételin? Készülj fel Corvinusos oktatónál helyben az egyetemen a korábbi vizsgasorok feladatai alapján gyorsabban, hatékonyabban és olcsóbban, mint bármelyik konzultáción! Vizsgafelkészítés egyénileg és csoportosan: Kis csoport (2-4 fő) esetén már 750 Ft/óra/főtől Nagy csoportnál (5 fő felett) már 500 Ft/óra/főtől b) Feladat : b) Feladat B: A tanár 5 különböző jegyet oszt ki úgy, hogy egy tanuló akár több jegyet is kaphat Megoldás : Megoldás Továbbra is n=25 és k=5, de mivel egy tanuló több jegyet is kaphat, így többször kiválasztásra kerülhet, illetve továbbra sem mindegy, hogy hányadikként választják ki az adott tanulót, tehát a kiválasztás sorrendje számít. Mivel a sorrend számít, így variációról van szó. Mivel egy tanuló többször is kiválasztásra kerülhet, ismétléses variációról van szó, melynek képlete: Slide 8: Biztosra akarsz menni a vizsgán vagy az MSc felvételin? Készülj fel Corvinusos oktatónál helyben az egyetemen a korábbi vizsgasorok feladatai alapján gyorsabban, hatékonyabban és olcsóbban, mint bármelyik konzultáción! Vizsgafelkészítés egyénileg és csoportosan: Kis csoport (2-4 fő) esetén már 750 Ft/óra/főtől Nagy csoportnál (5 fő felett) már 500 Ft/óra/főtől c) Feladat : c) Feladat C: A tanár öt egyforma jegyet oszt ki úgy, hogy egy tanuló csak egy jegyet kaphat. Megoldás : Megoldás Mivel egyforma jegyet ad a tanár, így a tanulók számára közömbös, hogy hányadikként kapják meg ugyanazt a jegyet, azaz ebben az esetben nem eredményez más kimenetelt a kiválasztás sorrendje, röviden a sorrend itt nem számít, azaz kombinációról van szó. A másik szempont, hogy egy tanuló csak egy jegyet kaphat, így ismétlés nélküli kombinációval van dolgunk. Az ismétlés nélküli kombináció képlete: Slide 11: Biztosra akarsz menni a vizsgán vagy az MSc felvételin? Készülj fel Corvinusos oktatónál helyben az egyetemen a korábbi vizsgasorok feladatai alapján gyorsabban, hatékonyabban és olcsóbban, mint bármelyik konzultáción! Vizsgafelkészítés egyénileg és csoportosan: Kis csoport (2-4 fő) esetén már 750 Ft/óra/főtől Nagy csoportnál (5 fő felett) már 500 Ft/óra/főtől d) Feladat : d) Feladat A tanár öt egyforma jegyet oszt ki úgy, hogy egy tanuló több jegyet is kaphat. Megoldás : Megoldás Mivel a jegyek egyformák, ezért a kiválasztás sorrendje nem okoz különbséget az egyes kiválasztások között. Viszont egy tanuló több jegyet is kaphat, azaz többször is kiválasztható egy-egy tanuló. Ezek miatt az összes lehetséges eset számát ismétléses kombinációval adhatjuk meg, melynek képlete: Slide 14: Biztosra akarsz menni a vizsgán vagy az MSc felvételin? Készülj fel Corvinusos oktatónál helyben az egyetemen a korábbi vizsgasorok feladatai alapján gyorsabban, hatékonyabban és olcsóbban, mint bármelyik konzultáción! Vizsgafelkészítés egyénileg és csoportosan: Kis csoport (2-4 fő) esetén már 750 Ft/óra/főtől Nagy csoportnál (5 fő felett) már 500 Ft/óra/főtől 2. Feladat : 2. Feladat Az 1,2,3,4,5 számjegyek felhasználásával felírunk egy négyjegyű számot. Hányféle szám írható fel az alábbi esetekben? a) A szám négy különböző jegyből áll. Megoldás : Megoldás Rendelkezésre áll n=5 különböző szám, amelyek közül választunk k=4-szer. Mivel a számnak négy különböző jegyből kell állnia, ezért egyik számot sem választhatjuk kétszer, így ismétlés nélküli kiválasztásról van szó. Ha az egyes számjegyeket különböző sorrendben választjuk ki, akkor különböző számot kapunk. Azaz a kiválasztás sorrendje számít a kimenetel szempontjából. Emiatt az összes esetszámot az ismétlés nélküli variáció képletével határozhatjuk meg: Slide 17: Biztosra akarsz menni a vizsgán vagy az MSc felvételin? Készülj fel Corvinusos oktatónál helyben az egyetemen a korábbi vizsgasorok feladatai alapján gyorsabban, hatékonyabban és olcsóbban, mint bármelyik konzultáción! Vizsgafelkészítés egyénileg és csoportosan: Kis csoport (2-4 fő) esetén már 750 Ft/óra/főtől Nagy csoportnál (5 fő felett) már 500 Ft/óra/főtől b) Feladat : b) Feladat B: A négyjegyű számot három különböző szám alkotja. Megoldás : Megoldás Először azt kell figyelembe venni, hogy hányféleképp választhatjuk ki a rendelkezésre álló négy szám közül azt a hármat, amelyek a felírt számot fogják alkotni. Rendelkezésre áll n=4 különböző számjegy, amiből választunk k=3-szor. Mivel egy számot csak egyszer választhatunk, ezért ismétlés nélküli esetről van szó. Továbbá itt még nem számít a kiválasztás sorrendje sem, mivel az, hogy pl. az 1,2,3 számjegyeket ebben a sorrendben választjuk ki a számokat, nem eredményez más eseményt, mintha 3,2,1 sorrendben választottuk volna, mivel egyelőre még nem írjuk fel a négyjegyű számot, csak kiválasztjuk az azt alkotó számjegyeket. Mivel a sorrend nem számít, ismétlés nélküli kombinációval van dolgunk. Alkalmazzuk a képletét! De ezzel még nincs felírva a négyjegyű szám, csak már rendelkezésre áll az a három számjegy, amiből felírjuk. Két szám akkor különbözik egymástól, ha a számjegyei eltérő sorrendben követik egymást. Tehát azt kell megszámolni, hogy a kiválasztott 3 számjegy hányféleképp rendezhető sorba. n elem összes lehetséges sorba rendezésének számát az n! adja meg, ha nem történik ismétlődés. Ezt ismétlés nélküli permutációnak hívjuk. Megoldás : Megoldás Ha az elemek közül bármelyik ismétlődhet, akkor ismétléses permutációról beszélünk, melynek képlete: A képleten a k az ismétlődő elemeket jelenti. Jelenleg négyjegyű számot kell felírni, így n=4, azonban ehhez csak 3 különböző számjegyet használhatunk fel, azaz egy számjegynek kétszer kell szerepelnie, a többi számjegynek pedig egyszer. Ezek lesznek a „k”-k a nevezőben. Helyettesítsünk be! Egy dolgot azonban még nem vettünk figyelembe: a kiválasztott 3 számjegy közül bármelyik ismétlődhet, ez pedig 3-szorozza az esetek számát, tehát: Megoldás : Megoldás Ez a képlet akkor lenne végeredmény, ha eleve adott lenne az a 3 számjegy, amiből fel kell írni a számot. Azonban ez nem volt adott, így figyelembe kell venni, hogy hányféleképp választhatjuk ki a rendelkezésre álló 4 számjegyből azt a hármat, amiből felírjuk az összes lehetséges négyjegyű számot. Az összes lehetséges négyjegyű szám darabszámát az előző képletben írtuk fel. Azt pedig már korábban megadtuk, hogy hányféleképp választhatjuk ki 4 számból a szükséges 3-at. Az összes lehetséges szám ezek szorzataként adódik. Slide 22: Biztosra akarsz menni a vizsgán vagy az MSc felvételin? Készülj fel Corvinusos oktatónál helyben az egyetemen a korábbi vizsgasorok feladatai alapján gyorsabban, hatékonyabban és olcsóbban, mint bármelyik konzultáción! Vizsgafelkészítés egyénileg és csoportosan: Kis csoport (2-4 fő) esetén már 750 Ft/óra/főtől Nagy csoportnál (5 fő felett) már 500 Ft/óra/főtől c) Feladat : c) Feladat C: A négyjegyű szám két különböző számjegyből áll. Megoldás : Megoldás Első lépésben határozzuk meg, hányféleképp választható ki a rendelkezésre álló n=4 számjegy közül az a k=2, amelyből a négyjegyű szám felírásra kerül. Az előző feladatponthoz hasonlóan ez: Tegyük fel, hogy a két kiválasztott számjegy az 1 és a 2. Ekkor két eset fordulhat elő: Mindkét szám kétszer ismétlődik, pl. 1122 Az egyik szám háromszor ismétlődik, a másik csak egyszer fordul elő, pl. 1112 Mindkét esetet figyelembe kell venni. A két eset egymást kizáró, azaz vagy az egyik, vagy a másik történik meg. A valószínűségszámításban a „vagy” kapcsolatot az esetek számának összeadásával fejezhetjük ki. Az első esetben mindkét szám kétszer ismétlődik, ezeket az eseteket az alábbi ismétléses permutációval számolhatjuk össze: A második esetben az egyik szám háromszor ismétlődik. Mivel a két szám közül bármelyik lehet az, amelyik háromszor ismétlődik, ezért ezt a következő ismétléses permutációval adhatjuk meg: Megoldás : Megoldás Ezek alapján az összes lehetséges négyjegyű szám: Slide 26: Biztosra akarsz menni a vizsgán vagy az MSc felvételin? Készülj fel Corvinusos oktatónál helyben az egyetemen a korábbi vizsgasorok feladatai alapján gyorsabban, hatékonyabban és olcsóbban, mint bármelyik konzultáción! Vizsgafelkészítés egyénileg és csoportosan: Kis csoport (2-4 fő) esetén már 750 Ft/óra/főtől Nagy csoportnál (5 fő felett) már 500 Ft/óra/főtől

Add a comment

Related presentations

Related pages

kombinatorika - Wiktionary

Inflection of kombinatorika (plural in -k, back harmony) singular plural; nominative: kombinatorika: kombinatorikák: accusative: kombinatorikát ...
Read more

Kombinatorika – Wikipedie

Kombinatorika (kombinatorická matematika) je část matematiky zabývající se kolekcemi prvků množin s definovanou vnitřní strukturou. Otázky ...
Read more

Kombinatorika - úvod - YouTube

http://www.mathematicator.com/ Kombinatorika v podstatě odpovídá na otázky typu: Kolika způsoby můžu něco udělat. Například kolika ...
Read more

Kombinatorik - Startseite - ooe schulen in oberoesterreich ...

Über 100 Beispiele mit Lösungen. Produktregel. Permutationen mit und ohne Wiederholungen. Auswahlprobleme. a) Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen
Read more

Kombinatorika - YouTube

Sign in now to see your channels and recommendations! Sign in. Watch Queue TV Queue
Read more

Kombinatorika | Matematičke formule - blogspot.com

Posted 14th August 2009 by mikc. Matematičke formule. Sidebar. Classic; Flipcard; Magazine; Mosaic; Sidebar; Snapshot
Read more

Kombinatorika - Wikipedia, slobodna enciklopedija ...

Kombinatorika je grana čiste matematike koja se bavi proučavanjem diskretnih (i obično konačnih) objekata. Povezana je sa mnogim drugim granama ...
Read more

Kombinatorika – Wikipédia

A kombinatorika (szó szerinti jelentése „kapcsolástan”) a matematika azon területe, amely egy véges halmaz elemeinek valamilyen szabály alapján ...
Read more

Kombinatorika - Wikipedia

Kombinatorika merret me studimin e bashkësive të fundme, me grupimin e elementeve të tyre sipas ndonjë kriteri të caktuar, me renditjen e elementeve etj.
Read more

Kombinatorika — Matematika.cz - Matematika pro střední ...

Potřebujete vědět, kolik různých pětic karet můžete vybrat z balíčku 32 karet? To je přesně typ úlohy, kterou řeší kombinatorika.
Read more