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Introduction à MATLAB

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Information about Introduction à MATLAB
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Published on March 10, 2014

Author: mohavic

Source: slideshare.net

Description

matlab
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Universit´ Paris-Dauphine e e Deug Sciences mention Mass - 2i`me ann´e e Introduction a MATLAB ` 1 0.5 0 8 -0.5 10 6 4 2 5 0 0 -2 -4 -5 -6 -10 -8 Andr´ Casadevall e mars 2004

p. 2 AJ.Casadevall - mars 04

Table des mati`res e 1 MATLAB 1.1 Qu’est ce que MATLAB ? . . . . . . . . . . . . . 1.2 Une session MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Lancer, quitter MATLAB . . . . . . . . . 1.2.2 Fonctions et commandes . . . . . . . . . . 1.2.3 Aide en ligne - help . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Interaction avec le syst`me d’exploitation e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 8 8 9 2 Les “objets” de MATLAB 2.1 Objets et classes de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Valeurs litt´rales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.1 Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Tableaux de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Caract`res et chaˆ e ınes de caract`res . . . . . . . . . . . . e 2.2.4 Cellules et tableaux de cellules - cell array . . . . . . 2.3 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Identificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Affectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Espace de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Listes et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Construction de listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Construction de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Nombre d’´l´ments d’une liste ou d’un vecteur - length ee 2.4.4 Acc`s aux ´l´ments d’une liste ou d’un vecteur . . . . . e ee 2.4.5 Extraction de sous-listes ou de sous-vecteurs . . . . . . 2.5 Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Construction de tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Acc`s aux ´l´ments d’un tableau . . . . . . . . . . . . . e ee 2.5.3 Lignes et colonnes d’un tableau . . . . . . . . . . . . . . ´e 2.5.4 El´ments diagonaux d’un tableau - diag . . . . . . . . . 2.5.5 Sous-tableaux et blocs - fonctions tril et triu . . . . 2.5.6 Tableaux particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Op´rations sur les ´l´ments d’un tableau . . . . . . . . . . . . . e ee 2.6.1 Fonctions sum et prod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Fonctions max et min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Fonction mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Fonction cov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 12 12 13 14 14 15 15 15 18 19 19 20 21 22 22 22 23 24 24 25 26 26 26 27 27 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

` TABLE DES MATIERES 3 Expressions, scripts et m-files 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Op´rations de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1 Op´rateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.2 Op´rations sur les tableaux . . . . . . . . . . . e 3.2.3 Op´rations bool´ennes . . . . . . . . . . . . . . e e ´ 3.2.4 Evaluation des expressions - variable ans . . . 3.3 Scripts et m-files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Scripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Cr´ation de m-files . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.3 Ex´cution d’un m-file . . . . . . . . . . . . . . e ´ ements d’´criture de m-files . . . . . . . . . . 3.3.4 El´ e 3.4 Structures algorithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 S´lection - if . . . end et if . . . else . . . end e 3.4.2 R´p´tition - for . . . end . . . . . . . . . . . . e e 3.4.3 It´ration conditionnelle - while . . . end . . . . e 3.4.4 Construction switch . . . case . . . . . . . . . 3.5 Fonctions et m-files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 R`gles et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . e ee 3.5.3 Traitement des erreurs - try . . . catch . . . . 3.5.4 Optimisation des calculs . . . . . . . . . . . . . 4 MATLAB et l’analyse num´rique e 4.1 Fonctions “num´riques” . . . . . . . . . . e 4.2 Polynˆmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.3 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Fonctions d’une variable . . . . . . . . . . 4.4.1 Recherche de minimum - fmin . . 4.4.2 Recherche de racines - fzero . . . 4.4.3 Int´gration - trapz, quad et quad8 e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Courbes et surfaces 5.1 Fenˆtres graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.1.1 Cr´ation d’une fenˆtre - fonctions figure et gcf . . . . . . . . e e 5.1.2 Attributs d’une fenˆtre - get . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2 Courbes du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 La fonction plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Tracer dans une ou plusieurs fenˆtres . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.3 La commande print . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Courbes param´triques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.2.5 Personnalisation des axes et de la plotting-box . . . . . . . . . 5.2.6 Autres fonctions de trac´ de courbes planes . . . . . . . . . . . e 5.3 Courbes de l’espace - Fonction plot3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Surfaces de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Mod´lisation du domaine [x0 , x1 ] × [y0 , y1 ] - fonction meshgrid e 5.4.2 Trac´ de la surface - fonctions mesh et surf . . . . . . . . . . e 5.4.3 Surfaces et courbes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 30 30 32 33 33 33 34 34 34 36 36 37 39 39 40 41 41 42 42 . . . . . . . 45 45 46 47 48 48 48 49 . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 51 53 53 53 54 56 57 57 60 61 61 61 61 62 AJ.Casadevall - mars 04

` TABLE DES MATIERES 6 7 Importation et exportation de donn´es e 65 6.1 Retour sur les commandes save et load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.1.1 Enregistrement de la valeur de tableaux dans un fichier-text - save . . . . . 65 6.1.2 Retrouver la valeur d’un tableau - load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Matrices-test 69 8 Exemples 73 AJ.Casadevall - mars 04 p.5

` TABLE DES MATIERES p. 6 AJ.Casadevall - mars 04

1 MATLAB 1.1 1.2 1.1 Qu’est ce que MATLAB ? . . . . . . . . . . . Une session MATLAB . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Lancer, quitter MATLAB . . . . . . . . . . . 1.2.2 Fonctions et commandes . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Aide en ligne - help . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Interaction avec le syst`me d’exploitation . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 8 8 8 9 Qu’est ce que MATLAB ? MATLAB pour MATtrix LABoratory, est une application qui a ´t´ con¸ue afin de fournir un ee c environnement de calcul matriciel simple, efficace, interactif et portable, permettant la mise en œuvre des algorithmes d´velopp´s dans le cadre des projets linpack et eispack. e e MATLAB est constitu´ d’un noyau relativement r´duit, capable d’interpr´ter puis d’´valuer les e e e e expressions num´riques matricielles qui lui sont adress´es : e e – soit directement au clavier depuis une fenˆtre de commande ; e – soit sous forme de s´quences d’expressions ou scripts enregistr´es dans des fichiers-texte e e appel´s m-files et ex´cut´es depuis la fenˆtre de commande ; e e e e – soit plus rarement sous forme de fichiers binaires appel´s mex-files ou fichiers .mex g´n´r´s e e ee a ` partir d’un compilateur C ou fortran. Ce noyau est compl´t´ par une biblioth`que de fonctions pr´d´finies, tr`s souvent sous forme de ee e e e e fichiers m-files, et regroup´s en paquetages ou toolboxes . A cˆt´ des toolboxes requises local et e oe matlab, il est possible d’ajouter des toolboxes sp´cifiques ` tel ou tel probl`me math´matique, e a e e Optimization Toolbox, Signal Processing Toolbox par exemple ou encore des toolboxes cr´es par e l’utilisateur lui-mˆme. Un syst`me de chemin d’acc`s ou ou path permet de pr´ciser la liste des e e e e r´pertoires dans lesquels MATLAB trouvera les diff´rents fichiers m-files. e e 1.2 Une session MATLAB L’interface-utilisateur de MATLAB varie l´g`rement en fonction de la version de MATLAB et du e e type de machine utilis´e. Elle est constitu´ d’une fenˆtre de commande qui peut ˆtre compl´t´e par e e e e ee une barre de menu et pour les versions les plus r´centes de deux fenˆtres, l’une affichant l’historique e e de la session et l’autre la structure des r´pertoires accessibles par MATLAB. e Avant la premiere utilisation de MATLAB, il est vivement recommand´ (c’est mˆme indispensable e e dans le cas d’une installation en r´seau) ` chaque utilisateur de cr´er un r´pertoire de travail, tpMl e a e e

CHAPITRE 1. MATLAB par exemple, o` il pourra enregistrer ses fichiers. Lors de la premi`re session, le chemin d’acc`s ` u e e a ce r´pertoire sera ajout´ aux chemins d’acc`s connus de MATLAB (MATLABPATH), soit en utilisant e e e l’item Set Path du menu File, soit en tapant la commande addpath suivie du chemin d’acc`s au e repertoire de travail. 1.2.1 Lancer, quitter MATLAB Dans l’environnement unix, on tape la commande matlab sur la ligne de commande active ; dans les environnements Windows ou MacOs, il suffit de cliquer sur l’icˆne de l’application. o La fenˆtre de commande de MATLAB s’ouvre et on entre alors les commandes ou les expressions e ae ` ´valuer a droite du prompt >>. Le processus d’´valuation est d´clench´ par la frappe de la touche ` e e e <enter>. A chaque d´but session, l’utilisateur indiquera a MATLAB que le r´pertoire tpMl d´fini e ` e e pr´c´demment est le r´pertoire de travail de la session en tapant la commande cd suivie du chemin e e e d’acc`s au r´pertoire tpMl. e e On quitte MATLAB en tapant quit dans la fenˆtre de commande ou en s´lectionnant quit dans e e le menu File de la barre de menu pour les versions Windows ou MacOs. 1.2.2 Fonctions et commandes Certaines fonctions de MATLAB ne calculent pas de valeur num´rique ou vectorielle, mais efe fectuent une action sur l’environnement de la session en cours. Ces fonctions sont alors appel´es e commandes. Elles sont caract´ris´es par le fait que leurs arguments (lorsqu’ils existent) ne sont e e pas plac´s entre parenth`ses. Les autres fonctions se comportent de fa¸on assez semblable aux fonce e c tions math´matiques et la valeur qu’elles calculent peut ˆtre affect´e ` une variable. e e e a Dans de nombreux cas, fonctions ou commandes peuvent ˆtre appel´es avec des arguments diff´rents e e e soit par leur nombre, soit par leur nature (nombre, vecteur, matrice, . . . ). Le traitement effectu´ e d´pend alors du nombre et de la nature des arguments. Par exemple, nous verrons plus loin que la e fonction diag appel´e avec une matrice pour argument retourne le vecteur constitu´ par sa diage e onale principale ou vecteur diagonal. Lorsque cette mˆme fonction est appel´e avec un vecteur e e pour argument, elle retourne la matrice diagonale dont le vecteur-diagonal est le vecteur donn´. e Aussi une fonction ou une commande n’est pas caract´ris´e par son seul nom, mais par sa signature e e c’est ` dire l’ensemble constitu´ de son nom et de la liste de ses param`tres. a e e 1.2.3 Aide en ligne - help e e MATLAB comporte un tr`s grand nombre d’op´rateurs, de commandes et de fonctions. Tous ne seront pas d´crits dans ce document d’autant qu’une aide en ligne efficace peut ˆtre utilis´e. On e e e peut taper les commandes suivantes : – help permet d’obtenir l’aide de l’aide et donne une liste th´matique ; e – help nom de fonction donne la d´finition de la fonction d´sign´e et des exemples d’utilisation ; e e e – lookfor sujet donne une liste des rubriques de l’aide en ligne en relation avec le sujet indiqu´. e Exemple 1.2.1 : >>lookfor min minus.m: %Minus. uminus.m: %- Unary minus. REALMIN Smallest positive floating point number. FLOOR Round towards minus infinity. MIN Smallest component. FMIN Minimize function of one variable. FMINS Minimize function of several variables. p. 8 AJ.Casadevall - mars 04

1.2. UNE SESSION MATLAB COLMMD Column minimum degree permutation. GMRES Generalized Minimum Residual Method. QMR Quasi-Minimal Residual Method SYMMMD Symmetric minimum degree permutation. . . . EDU> help fmin FMIN Minimize function of one variable. X = FMIN(’F’,x1,x2) attempts to return a value of x which is a local minimizer of F(x) in the interval x1 < x < x2. ’F’ is a string containing the name of the objective function to be minimized. X = FMIN(’F’,x1,x2,OPTIONS) uses a vector of control parameters. If OPTIONS(1) is positive, intermediate steps in the solution are displayed; the default is OPTIONS(1) = 0. OPTIONS(2) is the termination tolerance for x; the default is 1.e-4. OPTIONS(14) is the maximum number of function evaluations; the default is OPTIONS(14) = 500. The other components of OPTIONS are not used as input control parameters by FMIN. For more information, see FOPTIONS. X = FMIN(’F’,x1,x2,OPTIONS,P1,P2,...) provides for additional arguments which are passed to the objective function, F(X,P1,P2,...) [X,OPTIONS] = FMIN(...) returns a count of the number of steps taken in OPTIONS(10). Examples fmin(’cos’,3,4) computes pi to a few decimal places. fmin(’cos’,3,4,[1,1.e-12]) displays the steps taken to compute pi to about 12 decimal places. See also FMINS. 1.2.4 Interaction avec le syst`me d’exploitation e Les commandes et fonctions suivantes permettent ` MATLAB d’interagir avec le syst`me d’exa e ploitation de la machine sur laquelle il est utilis´ : e – addpath path : ajoute le chemin d’acc`s (path) a la liste des chemins d’acc`s connus de e ` e MATLAB (MATLABPATH) ; – cd ou pwd : affiche le chemin d’acc`s au r´pertoire de travail actuel ; e e – cd path : fixe le r´pertoire de chemin d’acc`s path comme repertoire de travail ; e e – dir ou ls : affiche le contenu du r´pertoire de travail actuel ; e – delete : efface le fichier sp´cifi´ (peut ˆtre utilis´e sous forme de fonction sous la forme : e e e e delete(’nomDeFichier’)) ; – mkdir path : cr´e le repertoire de chemin d’acc`s path ; e e – rmpath path : supprime le chemin d’acc`s (path) du (MATLABPATH) ; e – isdir (path ) : fonction bool´enne qui retourne 1 si le chemin d’acc`s (path) est celui d’un e e r´pertoire, 0 sinon ; e – filesep : variable dont la valeur est celle du symbole s´parateur de lignes (d´pend du syst`me e e e d’exploitation de la machine utilis´e) ; e AJ.Casadevall - mars 04 p.9

CHAPITRE 1. MATLAB p. 10 AJ.Casadevall - mars 04

2 Les “objets” de MATLAB 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.1 Objets et classes de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . Valeurs litt´rales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.1 Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Tableaux de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Caract`res et chaˆ e ınes de caract`res . . . . . . . . . . . . e 2.2.4 Cellules et tableaux de cellules - cell array . . . . . . Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Identificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Affectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Espace de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Listes et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Construction de listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Construction de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Nombre d’´l´ments d’une liste ou d’un vecteur - length ee 2.4.4 Acc`s aux ´l´ments d’une liste ou d’un vecteur . . . . . e ee 2.4.5 Extraction de sous-listes ou de sous-vecteurs . . . . . . Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Construction de tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Acc`s aux ´l´ments d’un tableau . . . . . . . . . . . . . e ee 2.5.3 Lignes et colonnes d’un tableau . . . . . . . . . . . . . . ´e 2.5.4 El´ments diagonaux d’un tableau - diag . . . . . . . . . 2.5.5 Sous-tableaux et blocs - fonctions tril et triu . . . . 2.5.6 Tableaux particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Op´rations sur les ´l´ments d’un tableau . . . . . . . . e ee 2.6.1 Fonctions sum et prod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Fonctions max et min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Fonction mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Fonction cov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objets et classes de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 12 12 13 14 14 15 15 15 18 19 19 20 21 22 22 22 23 24 24 25 26 26 26 27 27 28 MATLAB Un objet est une abstraction du monde r´el (pour MATLAB celui du calcul matriciel), qui cone tient des informations (pour une matrice, par exemple, le nombre de lignes, le nombre de colonnes, la valeur des coefficients) et sur laquelle on peut appliquer un certain nombre d’op´rations (pour les e

CHAPITRE 2. LES “OBJETS” DE MATLAB matrices, la somme, le produit . . . ). Un objet est caract´ris´ par des valeurs, mais pas uniquement ; e e un objet poss`de en plus un certain comportement : un tableau Excel bien que structur´ en lignes e e et colonnes comme une matrice, n’est pas une matrice, ou encore un polynˆme de degr´ trois, n’est o e pas un vecteur de R4 . La famille des objets caract´ris´s par le mˆme type de structure et les mˆme fonctionnalit´s cone e e e e stitue une classe. La classe fondamentale de MATLAB est la classe double qui mod´lise les tableaux (double array) e de dimension un ou deux de nombres r´els ou complexes (conformes ` la norme IEEE), Les nome a bres r´els ou complexes ´tant consid´r´s eux-mˆmes comme des tableaux 1 × 1. Cette e e e e e classe permet ´galement de travailler mais de fa¸on moins naturelle avec des tableaux de dimension e c sup´rieure ` deux. e a Les classes suivantes, sont moins fr´quemment utilis´es : e e – La classe char mod´lise les chaˆ e ınes de caract`res (char array), un caract`re unique ´tant e e e une chaˆ de longueur un. ıne – La classe sparse mod´lise les matrices creuses (i.e. dont la plupart des ´l´ments sont nuls) e ee r´elles ou complexes. e e e e A partir de la version 5, MATLAB a propos´ des structures compl´mentaires souvent utilis´es dans les objets pr´d´finis de MATLAB. e e – La classe cell mod´lise les tableaux de “cellules” ou cell array qui sont des sortes de e tableaux dont les ´l´ments ou cellules (cells) peuvent ˆtre de nature diff´rente, nombres, ee e e tableaux, chaˆ ınes de caract`res de longueurs diff´rentes, . . . . e e – La classe struct mod´lise les tableaux de “structures”. Ces “structures” sont des structure de e donn´es assez semblables aux struct du C, dont les composants ou champs, sont accessibles e non pas par un ou plusieurs indices comme dans le cas des tableaux, mais par une notation point´e comme dans client.name, permettant au programmeur de d´finir ces propres objets e e et ses propres classes. !!! Remarque : MATLAB ne propose ni valeurs pr´d´finies true ou false ni classe pour mod´liser e e e les bool´ens ; false est repr´sent´ par la valeur 0, true est repr´sent´e par 1 ou par e e e e e extension, par toute valeur non nulle. 2.2 Valeurs litt´rales e Les valeurs litt´rales sont les valeurs qu’on peut directement taper au clavier et qui peuvent e ˆtre affect´es ` une variable. e e a 2.2.1 Nombres Les nombres r´els et entiers (MATLAB ne distingue pas entre r´els et entiers) sont ´crits sous e e e les formes d´cimales ou scientifiques usuelles : e 2, 3.214, 1.21E33. Les nombres complexes sont ´crits sous la forme a + bi, comme dans 1+2i. e 2.2.2 Tableaux de nombres Les tableaux de nombres r´els ou complexes de dimension un ou deux suivent la syntaxe suive ante : – un tableau est d´limit´ par des crochets ; e e p. 12 AJ.Casadevall - mars 04

´ 2.2. VALEURS LITTERALES – les ´l´ments sont entr´s ligne par ligne ; ee e – les ´l´ments appartenant a la mˆme ligne sont s´par´s par des espaces (ou par des virgules) ; ee ` e e e – les diff´rentes lignes doivent comporter le mˆme nombre d’´l´ments et sont s´par´es e e ee e e par des points-virgule. Exemple 2.2.1 : Les tableaux : 1 2 3 4 s’´crivent sous la forme [1 2 3 4 ] e 1 2 3 4 [1; 2; 3; 4 ] 1 2 0 0 0 2 3 1 0 0 2 2 [1 2 0 0 ; 0 2 3 1 ; 0 0 2 2 ] : >> [1 2 3 4 ] ans = 1 2 3 4 >> [1; 2; 3; 4 ] ans = 1 2 3 4 >> [1 2 0 ans = 1 2 0 2 0 0 0 ; 0 2 3 1 ; 0 0 2 2 ] 0 3 2 0 1 2 Toutes les lignes doivent contenir le mˆme nombre d’´l´ments : e ee >> [1 2 ; 1 2 3] ??? Number of elements in each row must be the same. Dans la suite, on appelera : – vecteur un tableau de format (n, 1) i.e. ne comportant qu’une seule colonne ; – liste ou vecteur-ligne un tableau de format (1, n) i.e. ne comportant qu’une seule ligne ; – tableau un tableau au sens commun du terme, c’est ` dire une structure organis´e en lignes a e et colonnes. 2.2.3 Caract`res et chaˆ e ınes de caract`res e On ´crit les caract`res et les chaˆ e e ınes de caract`res, entre apostrophes : ’a’, ’toto’. ml e consid`re les caract`res comme des chaˆ e e ınes de caract`res de longueur un et identifie chaˆ e ınes de caract`res et liste de caract`res. e e Exemple 2.2.2 : La liste de caract`res [’a’ ’b’ ’c’ ’d’ ’e’] est identique a la chaˆ e ` ınes de caract`res e [’abcde’] : AJ.Casadevall - mars 04 p.13

CHAPITRE 2. LES “OBJETS” DE MATLAB >>[’a’ ’b’ ’c’ ’d’ ’e’] ans = abcde Mieux encore, ’abcde’ ; [’abc’ ’de’] est identique a ’abcde’ : ` >>[’abc’ ’de’] ans = abcde Cet exemple donne un id´e du rˆle des crochets [ ]. Les crochets sont le symbole de l’op´rateur e o e de concat´nation : e – concat´nation ”en ligne” lorsque le s´parateur est un espace ou une virgule ; e e – concat´nation ”en colonne” lorsque le s´parateur est un point-virgule comme dans les tableaux e e de nombres (il est alors n´cessaire que les listes de nombres ou de caract`res ainsi concat´n´es e e e e poss`dent le mˆme nombre d’´l´ments). e e ee Exemple 2.2.3 : La liste de caract`res e [’abcde’] : [’a’ ’b’ ’c’ ’d’ ’e’] est identique a la chaˆ ` ınes de caract`res e >>[’abc’ ; ’abcd’] ??? All rows in the bracketed expression must have the same number of columns. 2.2.4 Cellules et tableaux de cellules - cell array Une cellule est un conteneur dans le quel on peut placer toute sorte d’objets : nombre, chaˆ ıne de caract`res, tableau et mˆme tableau de cellules. Les tableaux de cellules permettent d’associer e e dans une mˆme structure des ´l´ments de nature tr`s diff´rente. La syntaxe des tableaux de cellules e ee e e est voisine de celle des tableaux usuels, les crochets ´tant remplac´s par des accolades. e e Exemple 2.2.4 : >> {’paul’ 4 ; ’vincent’ 7;’...’ 0} ans = ’paul’ [4] ’vincent’ [7] ’...’ [0] La manipulation des ces objets (sauf lorsqu’on on se limite a des composants qui sont des nombres ` ou des chaˆ ınes de caract`res) est un peu plus d´licate que celle des tableaux usuels et sera examin´e e e e dans un prochain chapitre. 2.3 Variables Une caract´ristique de MATLAB est que les variables n’ont pas a ˆtre d´clar´es, leur nature se e `e e e d´duisant automatiquement de l’objet qui leur est affect´ (cf. exemple 2.3.6 - section 2.3.3). Par e e abus de langage on dira “valeur d’une variable” alors qu’il faudrait parler de l’objet associ´ ` la ea variable. p. 14 AJ.Casadevall - mars 04

2.3. VARIABLES 2.3.1 Identificateurs Les r`gles de d´nomination des variables sont tr`s classiques : e e e – un identificateur d´bute par une lettre, suivie de lettres, de chiffres ou du caract`re soulign´ e e e ( ); – sa longueur est inf´rieure ou ´gale ` 31 caract`res ; e e a e – les majuscules sont distinctes des minuscules. Voici quelques identificateurs pr´d´finis : e e – ans : R´sultat de la derni`re ´valuation e e e – pi : 3,416.. – eps : inf{ ≥ 0 tels que 1 < 1 + } – inf : Infini (1/0) – NaN : “Not a Number” (0/0) √ – i,j : i et j repr´sentent tous deux le nombre imaginaire unit´ ( −1) e e – realmin : plus petit nombre r´el positif e – realmax : plus grand nombre r´el positif e 2.3.2 Affectation Le symbole d’affectation de valeur a une variable est le caract`re =. ` e Exemple 2.3.1 : >> a = [1 2 3 4 ] a = 1 2 3 4 >> a = ’abc’ a = abc L’exemple ci-dessus montre bien que dans MATLAB les variables ne sont ni d´clar´es ni typ´es. e e e 2.3.3 Espace de travail L’ensemble des variables et les objets qui leur sont associ´es constitue l’espace de travail ou e workspace de la session en cours. Le contenu de cet espace de travail va se modifier tout au long du d´roulement de la session et plusieurs commandes ou fonctions permettent de le g´rer de fa¸on e e c efficace. Les commande who et whos Ces commandes (le nom d’une commande est contrairement aux fonctions, suivi par la liste non parenth`s´e du ou des param`tres) donnent la liste des variables composant l’espace de travail. La ee e commande who donne la liste des variables pr´sentes dans l’espace de travail. La commande whos e retourne une information plus compl`te comportant pour chaque variable, la dimension du tableau e qui lui est associ´, la quantit´ de m´moire utilis´e et la classe ` laquelle il appartient. e e e e a Exemple 2.3.2 : On d´finit les variables a, b et c : e AJ.Casadevall - mars 04 p.15

CHAPITRE 2. LES “OBJETS” DE MATLAB >> a = 2 ; b = ’azerty’; c = [1 2 3 ; 5 3 4] ; % la partie de la ligne qui suit le symbole % est un commentaire % les points-virgules inhibent l’affichage de la valeur des variables >> who Your variables are : a b c La commande whos donne l’information plus compl`te suivante : e >> whos Name Size Bytes Class a 1x1 8 double array b 1x6 12 char array c 2x3 48 double array Grand total is 13 elements using 68 bytes leaving 14918672 bytes of memory free On peut ´galement appliquer whos avec pour argument une ou plusieurs variables : e >> whos b c Name Size Bytes Class b 1x6 12 char array Grand total is 12 elements using 60 bytes c 2x3 48 double array leaving 14918960 bytes of memory free. La fonction size La fonction size retourne le couple (nl,nc) form´ du nombre de lignes nl et du nombre de e colonnes nc du tableau associ´ ` la variable donn´e comme comme argument. ea e Exemple 2.3.3 : On suppose que l’environnement de travail est constitu´ des trois variables a, b et c de l’exemple e pr´c´dent. La fonction size produit l’affichage suivant : e e >> size(a) ans = 1 1 >> size(b) ans = 1 6 Pour acc´der plus facilement au nombre de lignes et au nombre de colonnes, on peut affecter la e valeur retourn´e par size ` un tableau a deux ´l´ments [nl, nc] : e a ` ee >> size(c) >> [nl, nc] = size(c) nl = 2 nc = 3 Enfin size( ,1) et size( ,2) permettent l’acc`s direct au nombre de lignes et au nombre de e colonnes : p. 16 AJ.Casadevall - mars 04

2.3. VARIABLES >> size(c,1) ans = 2 >> size(c,2) ans = 3 La fonction class La fonction class retourne le nom de la classe ` laquelle appartient la variable donn´ comme a e comme argument. Exemple 2.3.4 : Avec le mˆme espace de travail que dans l’exemple pr´c´dent, la fonction class produit l’affichage e e e suivant : >> ca = class(a) ca = double >> cb = class(b) cb = char Les commandes save, load et clear - fichiers.mat Ces commandes permettent d’intervenir directement sur l’environnement de travail. – save permet de sauver tout ou partie de l’espace de travail sous forme de fichiers binaires appel´s mat-files ou fichiers .mat : e – save : enregistre la totalit´ de l’espace de travail dans le fichier matlab.mat ; e – save nom de fichier : l’espace de travail est enregistr´ dans le fichier nom de fichier ; e – save nom de variable . . . nom de variable : enregistre les variables indiqu´es (et les e objets qui leurs sont associ´s) dans un fichier .mat qui porte le nom de la premi`re e e variable ; – save nom de fichier nom de variable . . . nom de variable : enregistre les variables dans le fichier dont le nom a ´t´ indiqu´. ee e – load permet d’ajouter le contenu d’un fichier .mat ` l’espace de travail actuel ; a – clear supprime une ou plusieurs variables (et les objets aux quelles elles font r´f´rence) de ee l’environnement de travail : – clear sans argument, supprime toutes les variables de l’espace de travail actuel ; – clear nom de variable . . . nom de variable : supprime les variables indiqu´es de l’espace e de travail. Exemple 2.3.5 : Cet exemple illustre les effets de save, load et clear. Tout d’abord on d´finit trois variables a, b e et t ; la fonction eye(n) cr´e la matrice identit´ d’ordre n. e e >> a = 1 ; b = 2.5 ; t = eye(3) t = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 AJ.Casadevall - mars 04 p.17

CHAPITRE 2. LES “OBJETS” DE MATLAB >> save a b Les variables a et b sont enregistr´es dans le fichier a.mat e >> clear a b Les variables a et b sont supprim´es comme le montre la ligne suivante : e >> a ??? Undefined function or variable ’a’ On ajoute le contenu de a.mat ` l’espace de travail actuel : a >> load a >> >> x = a + b x = 2 L’espace de travail est enregistr´ dans le fichier toto.mat, puis toutes les variables de l’espace de e travail sont supprim´es : e >> save toto >> >> clear >> t ??? Undefined function or variable ’t’ load(toto) permet de retrouver l’espace de travail initial : >> load toto >> >> t t = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Ce dernier exemple montre bien que le type d’une variable est induit par sa valeur : Exemple 2.3.6 : >> clear >> a = [1 2 3 4 ] ; whos a Name Size Bytes Class a 1x4 32 double array >> a = ’abc’ ; whos a Name Size Bytes Class a 1x3 32 char array 2.4 Listes et vecteurs Les listes et les vecteurs sont des tableaux particuliers. Un vecteur est un tableau qui ne comporte qu’une seule colonne ; une liste (ou vecteur-ligne) est un tableau qui ne comporte qu’une seule ligne. MATLAB propose un certain nombre de fonctions qui simplifient l’usage des listes et des vecteurs. p. 18 AJ.Casadevall - mars 04

2.4. LISTES ET VECTEURS 2.4.1 Construction de listes Valeurs litt´rales du type liste e Ainsi que nous l’avons d´j` vu, on peut d´finir la valeur d’une liste en donnant la suite de ses ea e ´l´ments s´par´s par des espaces, la liste ´tant d´limit´e par des crochets : ee e e e e e Exemple 2.4.1 : >> l1 = [1 3 5 10 ] l1 = 1 3 5 10 Constructeur de listes e ee e L’expression vi : p : vf cr´e une liste dont les ´l´ments constituent une progression arithm´tique de valeur initiale vi , de pas p et dont tous les termes sont inf´rieurs ou ´gaux a vf . Lorsque la valeur e e ` du pas est omise (vi : vf ), la valeur du pas est fix´ par d´faut a un. e e ` Exemple 2.4.2 : >> l2 = 1 : 4 l2 = 1 2 3 4 (le pas par d´faut vaut 1) e >> l3 = 1 : 5.6 l3 = 1 2 3 4 5 (puisque 5.0000 + 1 est strictement sup´rieur ` 5.6) e a >> l4 = 1.5 : 0.3 : 2.5 l4 = 1.5000 1.8000 2.1000 2.5000 (puisque 2.4000 + 0.3 est strictement sup´rieur ` 2.5) e a Fonctions – La fonction linspace(vi , vf , n) cr´e une liste de n ´l´ments uniform´ment r´partis entre vi e ee e e vf −vi et vf : linspace(vi , vf , n) est ´quivalent a vi : n−1 : vf . e ` Exemple 2.4.3 : >> l4 = linspace(0,5, 2, 4) l4 = 0,5000 1.0000 1.5000 2.0000 – Dans la suite (section Tableaux), on d´couvrira d’autres fonctions qui permettent de construe ire des tableaux de format (m, n) quelconque. Ces fonctions permettent 2.4.2 Construction de vecteurs Valeurs litt´rales de type vecteur e On peut d´finir la valeur d’un vecteur en tapant entre deux crochets la suite de ses ´l´ments e ee s´par´es par des point-virgules comme on le voit dans l’exemple suivant : e e AJ.Casadevall - mars 04 p.19

CHAPITRE 2. LES “OBJETS” DE MATLAB Exemple 2.4.4 : >>v1 = [1 ; 3 ; 5 ; 10 ] v1 = 1 3 5 10 Transposition La transpos´e d’une liste est un vecteur. On peut donc utiliser les expressions et les fonctions e d´finies pour les listes en les transposant ensuite avec l’op´rateur ’ (ou .’ pour les listes de nombres e e complexes). Exemple 2.4.5 : >> v2 = [1 2 3]’ v2 = 1 2 3 >> v3 = (1.5 : 0.3 : 2.5)’ v3 = 1.5000 1.8000 2.1000 2.4000 On remarquera que les parenth`ses sont n´cessaires pour d´limiter le constructeur de liste. e e e 2.4.3 Nombre d’´l´ments d’une liste ou d’un vecteur - length ee La fonction size avec pour argument une liste ou un vecteur retourne (comme pour tous les tableaux) le nombre de lignes et le nombre de colonnes de la liste ou du vecteur. Le nombre de ligne d’une liste est bien ´videmment un. La mˆme remarque vaut pour le nombre de colonnes d’un e e vecteur. Aussi, pour les listes et les vecteurs on utilise de pr´f´rence la fonction length qui retourne ee le nombre d’´l´ments ou longueur de la liste ou du vecteur. ee Exemple 2.4.6 : >> l = [1 2 3 4] ; length(l) ans = 4 >> v = [5 6 7 8 9]’ ; length(v) ans = 5 !!! Remarque : L’exemple pr´c´dent montre que l’on peut ´crire sur la mˆme ligne plusieurs expressions ` la e e e e a condition de les s´parer par une virgule ou un point-virgule. La diff´rence entre ces deux s´parateurs e e e est que le r´sultat de l’´valuation d’une expression suivie d’un point-virgule n’est pas e e affich´. e p. 20 AJ.Casadevall - mars 04

2.4. LISTES ET VECTEURS Cette notion de longueur synonyme de nombre d’´l´ments ne doit pas ˆtre confondue avec la notion ee e math´matique de norme vectorielle. Les fonctions suivantes permettent de calculer les normes e usuelles d’un vecteur (ou d’un vecteur-ligne) de Rn : p |vk |1/p . – norm(v,p) = k=1 – norm(v) = norm(v,2) – norm(v,inf) = max |vk |. k Exemple 2.4.7 : >> l = [1 1 1 1] ; v =l’ ; ans = 2 >> norm(l) ans = 2 2.4.4 norm(v) Acc`s aux ´l´ments d’une liste ou d’un vecteur e ee Soient s une liste ou un vecteur non-vide, et k un entier compris entre 1 et la longueur de la liste ou du vecteur consid´r´ (1 ≤ k ≤ length(s)). On acc`de ` l’´l´ment d’indice k de la liste ou ee e a ee du vecteur s par s(k), le premier ´l´ment de la liste ou du vecteur ´tant indic´ par 1. ee e e Exemple 2.4.8 : >> s = [1 3 5] ; s(1) ans = 1 >> s(3) ans = 5 L’acc`s en lecture ` un ´l´ment d’indice n´gatif ou dont la valeur est strictement e a ee e sup´rieure ` la longueur de la liste (ou du vecteur), conduit ` une erreur : e a a Exemple 2.4.9 : Pour la mˆme liste s qu’` l’exemple pr´c´dent : e a e e >> s(4) ??? Index exceeds matrix dimensions. Par contre, il est possible d’affecter une valeur ` un ´l´ment d’une liste ou d’un vecteur a ee dont l’indice d´passe la longueur de la liste ou du vecteur. Comme le montre l’exemple e suivant, les ´l´ments dont l’indice est compris entre la longueur de la la liste (ou du vecteur) et ee l’indice donn´ sont affect´s de la valeur 0. La longueur de la liste (ou du vecteur) est alors modifi´e e e e en cons´quence. e Exemple 2.4.10 : Toujours avec la liste s de l’exemple pr´c´dent : e e >> s = [1 3 5] ; length(s) ans = 3 >>s(6) = 6 ; s s = AJ.Casadevall - mars 04 p.21

CHAPITRE 2. LES “OBJETS” DE MATLAB 1 3 >> length(s) ans = 6 2.4.5 5 0 0 6 Extraction de sous-listes ou de sous-vecteurs Soient s une liste (ou un vecteur) non-vide et l une liste d’entiers dont la valeur est comprise entre 1 et la longueur length(s) de la liste (ou du vecteur). Alors s(l) est la liste (ou le vecteur) form´ par les ´l´ments de s dont l’indice appartient a l. e ee ` Exemple 2.4.11 : >>s = [1 3 5 0 0 6] ; l = [1 3 5] ; s1 = s(l) s1 = 1 5 0 2.5 Tableaux 2.5.1 Construction de tableaux Valeurs litt´rales de type tableau e On a d´j` vu que pour d´finir la valeur d’un tableau (sauf pour les tableaux d’ordre 1), il suffit ea e de concat´ner “en colonne” (s´parateur ;) des listes de nombres de mˆme longueur : e e e Exemple 2.5.1 : Le tableau 1 0 0 2 2 0 0 3 2 0 1 1 est d´fini par : e >>t = [1 2 0 0 ; 0 2 3 1 ; 0 0 2 1] t = 1 2 0 0 0 2 3 1 0 0 2 1 Concatenation de tableaux - [ ] L’op´rateur [ ] permet la concat´nation de tableaux : e e – Si les tableaux tk poss`dent le mˆme nombre de lignes l’expression [t1 , t2 , · · · , tp ] cr´e un e e e tableau : – qui a le mˆme nombre de lignes que les tableaux composants ; e – dont le nombre de colonnes est la somme des nombres de colonnes de chacun des tableaux composants ; – qui est obtenu en concat´nant “` droite” les tableaux composants. e a On peut dans l’expression ci-dessus remplacer les virgules par des espaces. – Si les tableaux tk ont le mˆme nombre de colonnes l’expression [t1 ; t2 ; · · · ; tp ] cr´e un e e tableau : – qui a le mˆme nombre de colonnes que les tableaux composants ; e – dont le nombre de lignes est la somme des nombres de lignes de chacun des tableaux composants ; p. 22 AJ.Casadevall - mars 04

2.5. TABLEAUX – qui est obtenu en concat´nant “les uns sous les autres” les tableaux composants. e Exemple 2.5.2 : >>t1 = [1 2 ; 2 3] t1 = 1 2 2 3 >>t2 = [3 4 ; 6 7] t2 = 3 4 6 7 >> t = [t1 , t2] % ou [t1 ts = 1 2 3 4 2 3 6 7 >> t = [t1 ; t2] t = 1 2 2 3 3 4 6 7 t2] On peut remarquer que l’´criture d’une valeur litt´rale tableau suit en fait ce type de syntaxe. e e 2.5.2 Acc`s aux ´l´ments d’un tableau e ee Soit t un tableau, soit l un entier compris respectivement entre 1 et le nombre de lignes de t (size(t,1)), et soit k d’un entier compris entre 1 et le nombre de colonnes de t (size(t,1)), t(l,k) d´signe alors l’´l´ment de la ligne l et de la colonne k du tableau t : e ee Exemple 2.5.3 : >>t = [1 2 0 0 ; 0 2 3 1 ; 0 0 2 1] t = 1 2 0 0 0 2 3 1 0 0 2 1 >> x = t(2, 3) x = 3 L’acc`s en lecture ` un ´l´ment dont les indices seraient n´gatifs ou dont la valeur serait strictement e a ee e sup´rieure au nombre de lignes ou au nombre de colonnes, conduit a une erreur : e ` Exemple 2.5.4 : >>x = t(1,5) ??? Index exceeds matrix dimensions Par contre, il est possible d’affecter une valeur ` un ´l´ment d’un tableau dont les indice a ee d´passent le nombre de ligne pour le premier indice, le nombre de colonnes pour le second. Comme e le montre l’exemple suivant, les ´l´ments du dont les indices sont compris entre le nombre de lignes ee ou le nombre de colonnes et ceux sp´cifi´, prennent la valeur 0. e e AJ.Casadevall - mars 04 p.23

CHAPITRE 2. LES “OBJETS” DE MATLAB Exemple 2.5.5 : >> t = [1 2 0 0 ; 0 2 3 1 ; 0 0 2 1] t = 1 2 0 0 0 2 3 1 0 0 2 1 >> t(1,5) = 2 t = 1 2 0 0 2 0 2 3 1 0 0 0 2 1 0 2.5.3 Lignes et colonnes d’un tableau Soient t un tableau non-vide et l un entier compris entre 1 et la nombre de lignes du tableau t. Alors t(l, :) d´signe la ligne l de t. De mˆme, si k est un entier compris entre 1 et le nombre e e de colonnes de t, t( :, k) d´signe la colonne k de t. e Exemple 2.5.6 : >> t 1 2 0 2 0 0 >> x = t(2, :) x = 0 2 >> y = t(:, 3) y = 0 3 2 2.5.4 0 3 2 0 1 1 2 0 0 3 1 0 ´e El´ments diagonaux d’un tableau - diag Soit t un tableau non-vide, diag(t) retourne le vecteur form´ des ´l´ments de la diagonale e ee principale de t (les ´l´ments de la forme t(k, k)). v = diag(t, k) o` k est un entier compris ee u entre-size(1, t) et size(2, t), retourne le vecteur form´ des ´l´ment de la k ieme diagonale de e ee t, la diagonale d’indice z´ro ´tant la diagonale principale, les valeurs positives correspondant aux e e sur-diagonales, les valeurs n´gatives aux sous-diagonales. e Exemple 2.5.7 : Avec le mˆme tableau t que dans l’exemple pr´c´dent : e e e >> t 1 2 0 0 2 3 0 0 2 >> v = diag(t) v = 1 2 2 >> v = diag(t,1) p. 24 0 1 1 2 0 0 AJ.Casadevall - mars 04

2.5. TABLEAUX v = 2 3 1 >> v = diag(t,-1) v = 0 0 2.5.5 Sous-tableaux et blocs - fonctions tril et triu Soient t un tableau non-vide, l une liste d’entiers compris entre 1 et le nombre de lignes de t, et k une liste d’entiers compris entre 1 et le nombre de colonnes de t. Alors t(l, k) est le tableau form´ par les ´l´ments de t dont l’indice de ligne appartient a l et l’indice de colonne appartient e ee ` a ` k. Exemple 2.5.8 : >> t 1 2 3 2 2 3 3 0 2 >> l = [1 2]; k = [1 3 >> t(l, k) ans = 1 3 5 2 3 0 4 1 1 5]; 5 0 0 Les fonctions tril et triu extraient respectivement les termes situ´s sur et au-dessous de la k ieme e diagonale, et les termes situ´s sur et au-dessus de la k ieme diagonale. e Exemple 2.5.9 : Avec le mˆme tableau que dans l’exemple ci-dessus : e >> tril(t,1) ans = 1 2 2 2 3 0 >> triu(t,-1) ans = 1 2 2 2 0 0 0 3 2 0 0 1 0 0 0 3 3 2 4 1 1 5 0 0 tril(t,0) s’´crit aussi tril(t), de mˆme, triu(t,0) s’´crit aussi triu(t). e e e AJ.Casadevall - mars 04 p.25

CHAPITRE 2. LES “OBJETS” DE MATLAB 2.5.6 Tableaux particuliers Les fonction ci-dessous permettent de construire des tableaux correspondant aux matrices usuelles : identit´, matrice nulle, ainsi qu’` des matrices-test tr`s utiles pour valider des algorithmes e a e d’analyse matricielle (voir aussi la fonction gallery) . Fonction diag Argument un vecteur ou une liste s vander un vecteur ou une liste s eye hilb invhilb magic ones pascal rand zeros wilkinson un entier n un entier n un entiers n un entier n un entier n un entier n un entier n un entier n un entier n R´sultat e matrice diagonale dont la diagonale est la liste ou le vecteur s matrice de Vandermonde d’ordre n = length(s) engendr´e par s e matrice identit´ d’ordre n e matrice de Hilbert d’ordre n : hi,j = 1/(i + j − 1) inverse de la matrice de Hilbert d’ordre n carr´ magique d’ordre n e matrice A carr´e d’ordre n telle que ai,j = 1 e matrice depascal d’ordre n matrice al´atoire carr´e d’ordre n e e matrice nulle d’ordre n matrice de Wilkinson d’ordre n Les fonctions eye, ones et zeros peuvent ˆtre appel´es avec deux arguments entiers n et m. Le e e r´sultat est alors une matrice de format n × m form´e des n premi`res lignes et des m premi`res e e e e colonnes de la matrice carr´e du mˆme type d’ordre max(n, m). e e 2.6 Op´rations sur les ´l´ments d’un tableau e ee Les fonctions pr´sent´es ci-dessous effectuent des op´rations arithm´tiques it´rativement sur les e e e e e ´l´ments d’une liste ou d’un vecteur. Appliqu´es ` un tableau, elles effectuent ces mˆmes op´rations ee e a e e sur les colonnes du tableau (sauf pour cov). Ce sont des fonctions extrˆmement efficaces (voir plus e loin). 2.6.1 Fonctions sum et prod – Appliqu´e ` une liste ou un vecteur, la fonction sum (respectivement prod) calcule la somme e a (respectivement le produit) des ´l´ments la liste ou du vecteur. ee – Appliqu´e ` un tableau la fonction sum (respectivement prod) retourne une liste dont chacun e a des ´l´ments est la somme (respectivement le produit) des ´l´ments de chaque colonne. ee ee Exemple 2.6.1 : >> s = [5 2 3 1 7] ; p = prod(s) , s = sum(s) p = 210 s = 18 >> t = vander([1 2 3]) t = 1 1 1 4 2 1 9 3 1 >> p = prod(t) p = p. 26 AJ.Casadevall - mars 04

´ ´ ´ 2.6. OPERATIONS SUR LES ELEMENTS D’UN TABLEAU 36 6 1 >> s = sum(t) s = 14 6 3 Pour obtenir la valeur de l’´l´ment maximal du tableau : ee >> m = max(max(t)) m = 9 2.6.2 Fonctions max et min – Appliqu´e ` une liste ou un vecteur, la fonction max (respectivement min) d´termine le e a e plus grand ´l´ment (respectivement le plus petit ´l´ment) de la liste ou du vecteur et ee ee ´ventuellement la position de cet ´l´ment dans la liste ou le vecteur. e ee – Appliqu´e ` un tableau la fonction max (respectivement min) retourne la liste des plus grands e a (respectivement plus petit ´l´ments) de chaque colonne. ee Exemple 2.6.2 : >> s = [5 2 3 1 7] ; [ma, ind] = max(s) ma = 7 ind = 5 >> [mi, ind] = min(s) mi = 1 ind = 4 >> t = magic(3) , [ma, ind] = max(t) t = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 ma = 8 9 7 ind = 1 3 2 Pour obtenir la valeur de l’´l´ment maximal du tableau : ee >> m = max(max(t)) m = 9 2.6.3 Fonction mean – Appliqu´e ` une liste ou un vecteur, la fonction mean d´termine la moyenne des ´l´ment de e a e ee la liste ou du vecteur. – Appliqu´e ` un tableau la fonction mean retourne la liste des moyennes des ´l´ments de chaque e a ee colonne. AJ.Casadevall - mars 04 p.27

CHAPITRE 2. LES “OBJETS” DE MATLAB Exemple 2.6.3 : >> s = [5 2 3 1 7] ; m = mean(s) m = 3.6000 >>t = pascal(3) , m = mean(t) t = 1 1 1 1 2 3 1 3 6 m = 1.0000 2.0000 3.3333 Pour obtenir la moyenne des ´l´ments du tableau : ee >> m = mean(meanx(t)) m = 2.1111 2.6.4 Fonction cov – Appliqu´e ` une liste ou un vecteur, cov d´termine la variance des ´l´ment de la liste ou du e a e ee vecteur. – Appliqu´e ` un tableau o` chaque ligne repr´sente une observation et o` chaque colonne e a u e u correspond a une variable, la fonction cov retourne la matrice de covariance des ´l´ments du ` ee tableau. Exemple 2.6.4 : Avec le mˆmes objets que dans l’exemple pr´c´dent : e e e >> c = cov(s) c = 5.8000 >>c = cov(t) c = 0 0 0 1.0000 0 2.5000 0 2.5000 6.3333 Pour obtenir la variance de chaque colonne sous forme de vecteur-ligne : >> c = diag(cov(t))’ c = 0 1.0000 6.3333 p. 28 AJ.Casadevall - mars 04

3 Expressions, scripts et m-files 3.1 3.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Op´rations de MATLAB . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1 Op´rateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.2 Op´rations sur les tableaux . . . . . . . . . . . . e 3.2.3 Op´rations bool´ennes . . . . . . . . . . . . . . . e e ´ 3.2.4 Evaluation des expressions - variable ans . . . . 3.3 Scripts et m-files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Scripts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Cr´ation de m-files . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.3 Ex´cution d’un m-file . . . . . . . . . . . . . . . e ´e 3.3.4 El´ments d’´criture de m-files . . . . . . . . . . . e 3.4 Structures algorithmiques . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 S´lection - if . . . end et if . . . else . . . end . e 3.4.2 R´p´tition - for . . . end . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.3 It´ration conditionnelle - while . . . end . . . . . e 3.4.4 Construction switch . . . case . . . . . . . . . . 3.5 Fonctions et m-files . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 R`gles et propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . e ee 3.5.3 Traitement des erreurs - try . . . catch . . . . . 3.5.4 Optimisation des calculs . . . . . . . . . . . . . . 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 30 30 30 32 33 33 33 34 34 34 36 36 37 39 39 40 41 41 42 42 Introduction Un des avantages de MATLAB est de proposer une syntaxe tr`s simple pour traduire les calculs e matriciels. Les op´rateurs sont repr´sent´s par les mˆmes symboles (` une ou deux exceptions pr´s) e e e e a e que ceux utilis´s commun´ment en alg`bre lin´aire. Mieux, ils op`rent directement sur les tableaux e e e e e (par exemple, il n’est pas n´cessaire d’´crire des boucles pour effectuer la somme ou ou le produit e e de deux matrices).

CHAPITRE 3. EXPRESSIONS, SCRIPTS ET M-FILES 3.2 3.2.1 Op´rations de e MATLAB Op´rateurs e Class´s par ordre de priorit´ d´croissante, les op´rateurs utilis´s par MATLAB sont les suivants : e e e e e – exponentiation et transposition – l’exponentiation ^ et .^ – la conjugaison ’ et la transposition .’ – op´rateurs multiplicatifs e – les produits * et .*, – les divisions a droite /, ./ et ` gauche , . ` a – op´rateurs additifs et de n´gation e e – les op´rateurs additifs unaire et binaires + et e – la n´gation ~ e – op´rateurs bool´ens avec par ordre de priorit´ : e e e – les op´rateurs de comparaison e – <, >, <= et >= – ´galit´ ==, non ´galit´ ~= e e e e – puis les op´rateurs logiques e – et logique & – ou logique | A propos des op´rateurs bool´ens, il est rappel´ qu’il n’existe pas dans MATLAB de vrai type e e e bool´en, que false est repr´sent´ par la valeur 0 et que true est repr´sent´e par la valeur 1 et par e e e e e extension par toute valeur non nulle, ce qui est confirm´ par l’´valuation des expressions suivantes : e e Exemple 3.2.1 : >> 2&3 ans = 1 >> 2&0 ans = 0 >> 2|3 ans = 1 >> ~3 ans = 0 >> 2==3 ans = 0 % l’´galit´ est bien celle des nombres et non celle des pr´dicats ! e e e 3.2.2 Op´rations sur les tableaux e Losqu’ils sont appliqu´s ` des nombres (ou ` des expressions bool´ennes) dont la valeur est e a a e repr´sent´e par un tableau de dimensions (1 × 1), le r´sultat fourni par ces op´rateurs est le r´sultat e e e e e usuel. Losqu’ils sont appliqu´s ` des listes, des vecteurs ou plus g´n´ralement des tableaux, le e a e e r´sultat est bien sˆr quelque peu diff´rent. Dans le tableau suivant, A et B sont des tableaux et c e u e est un nombre : p. 30 AJ.Casadevall - mars 04

´ 3.2. OPERATIONS DE MATLAB Op´rateur e A+B A+c=c+A A−B A−c c−A A∗B A∗c=c∗A A. ∗ B Aˆn (n > 0) Aˆn (n < 0) A.ˆB A A. B/A AB A./B A.B A/c R´sultat e tableau dont les ´l´ments sont d´finis par aij + bij ee e tableau dont les ´l´ments sont d´finis par aij + c ee e tableau dont les ´l´ments ont pour valeur aij − bij ee tableau dont les ´l´ments ont pour valeur aij − c ee tableau dont les ´l´ments ont pour valeur c − aij ee tableau r´sultant du produit matriciel de A par B e tableau dont les ´l´ments ont pour valeur c ∗ aij ee tableau dont les ´l´ments ont pour valeur aij ∗ bij ee A ∗ A ∗ · · · ∗ A (n fois) −1 ∗ A−1 ∗ · · · ∗ A−1 (|n| fois) A tableau dont les ´l´ments ont pour valeur (aij )bij ee transpos´-conjugu´e du tableau A, aij = aji e e transpos´ du tableau A, aij = aji e si tous les ´l´ments de A sont r´els, A. = A ee e tableau X solution de l’´quation matricielle XA = B e si A est inversible X = BA−1 tableau X solution de l’´quation matricielle AX = B e si A est inversible X = A−1 B tableau dont les ´l´ments ont pour valeur aij /bij ee tableau dont les ´l´ments ont pour valeur bij /aij ee A.B = B./A tableau dont les ´l´ments ont pour valeur aij /c ee Conditions A et B mˆme format e A et B mˆme format e nb col. A = nb lign. B A et B mˆme format e A carr´e e A inversible A et B mˆme format e nb col. A = nb col. B nb lign. A = nb lign. B A et B mˆme format e A et B mˆme format e On notera qu’` certains op´rateurs est associ´ un op´rateur point´, * et .* par exemple. a e e e e De fa¸on g´n´rale, l’op´rateur point´ correspond a une op´ration semblable a celle repr´sent´e par c e e e e ` e ` e e l’op´rateur non point´, mais appliqu´e non pas ”matriciellement” mais “terme ` terme” : * est e e e a l’op´rateur matriciel alors que .* est l’op´rateur du produit “terme a terme”. e e ` Exemple 3.2.2 : On cr´e deux matrices a et b. La fonction ones(n) cr´e une matrice carr´e d’ordre 2 dont tous les e e e termes sont ´gaux a 1 ; la fonction eye(2) cr´e la matrice identit´ d’ordre 2. e ` e e >> a a = 1 1 >> b b = 2 1 >> c c = 4 2 >> d d = = [1 2;1 0] 2 0 = ones(2)+eye(2) 1 2 = a*b 5 1 = a.*b AJ.Casadevall - mars 04 p.31

CHAPITRE 3. EXPRESSIONS, SCRIPTS ET M-FILES 2 1 3.2.3 2 0 Op´rations bool´ennes e e Dans la suite, “tableau bool´en” d´signera un tableau dont les ´l´ments ont pour valeur 0 e e ee ou 1, 0 repr´sentant false et 1( ou par extension par toute valeur non nulle), repr´sentant true. Les e e op´rateurs bool´ens sont peut-ˆtre ceux dont le comportement peut apparaˆ le plus d´routant e e e ıtre e parce qu’il fonctionnent “terme a terme ” : ` Exemple 3.2.3 : Avec les variables a et b d´finies dans l’exemple pr´c´dent on obtient : e e e >> a , b a = 1 2 1 0 b = 2 1 1 2 >> a == b ans = 0 0 1 0 Dans l’expression a == 1 == 3 → f alse → 0, 1 == 1 → true → 1, Il en est de mˆme pour e b la comparaison porte sur les ´l´ments homologues de a et b : ee 2 == 1 → f alse → 0 0 == 2 → f alse → 0 a > b: >> a > b ans = 0 1 1 0 Dans l’exemple suivant, on ´value a & b, et a | b. Les valeurs des ´l´ments des matrice a et b sont e ee converties, avant l’´valuation, en valeurs bool´ennes avec la convention habituelle : 0 vaut false, e e toute valeur non-nulle vaut true : >> a & b ans = 1 1 1 0 >> a | b ans = 1 1 1 1 En r´sum´, si a et b sont des tableaux de mˆme format et si op d´signe un des op´rateurs e e e e e bool´ens <, >, <=, >=, & et | , le r´sultat de a op b est d´fini par : e e e Op´rateur e R´sultat e Condition a op b “tableau bool´en” dont les ´l´ments sont d´finis par aij op bij mˆme format e ee e e p. 32 AJ.Casadevall - mars 04

3.3. SCRIPTS ET M-FILES 3.2.4 ´ Evaluation des expressions - variable ans Les expressions sont ´valu´es de la gauche vers la droite, suivant l’ordre de priorit´ indiqu´ plus e e e e haut. Pour des op´rateurs de mˆme ordre de priorit´, la r`gle est comme en math´matiques, celle e e e e e de l’associativit´ ` gauche. ea La frappe de <entrer> d´clenche l’´valuation. La valeur de expression ´valu´e est affich´e sous la e e e e e ligne courante et est en l’absence d’affectation explicite, affect´e par d´faut ` une variable-syst`me e e a e g´n´rique d´sign´e par ans pour answer. e e e e Exemple 3.2.4 : >> a = .5 a = 0.5000 >> a*pi ans = 1.5708 >> b = 2 b = 2 >> ans ans = 1.5708 La derni`re ´valuation n’a pas modifi´ la valeur de ans puisqu’elle comportait une affectation. e e e 3.3 3.3.1 Scripts et m-files Scripts Un script est une s´quence d’expressions ou de commandes. Un script peut se d´velopper sur e e une ou plusieurs lignes. Les diff´rentes expressions ou commandes doivent ˆtre s´par´es par une e e e e virgule, un point-virgule ou par le symbole de saut de ligne constitu´ de trois points . . . suivis e de <entrer> (le rˆle des trois points et d’inhiber le m´canisme d’´valuation lors d’un passage o e e a ` la ligne). Comme pour une expression unique, la frappe de <entrer> d´clenche le processus e d’´valuation. Les expressions sont ´valu´es dans leur ordre d’´criture. Seule la valeur des expression e e e e suivie d’une virgule ou d’un saut de ligne est affich´e, celle des expressions suivies d’un point-virgule, e ne l’est pas. Exemple 3.3.1 : >> a = .5, 2*a, save a, b = pi; 2*b, c = a*b a = 0.5000 c = 1.5708 ans = 6.2832 c =1 .5708 >> ans ans = 6.2832 AJ.Casadevall - mars 04 p.33

CHAPITRE 3. EXPRESSIONS, SCRIPTS ET M-FILES ´ Ecrire un script est assez fastidieux, aussi MATLAB permet d’enregistrer le texte d’un script sous forme de fichier de texte appel´s m-files, en raison de leur extension. e 3.3.2 Cr´ation de m-files e Les fichiers .mat ou mat-files que nous avons ´voqu´s dans le chapitre pr´c´dant sont des e e e e fichiers binaires qui permettent d’enregistrer des valeurs. Les m-files permettent d’enregistrer les scripts sous forme de fichiers-texte et servent en particulier ` d´finir de nouvelles fonctions (une a e grande partie des fonctions pr´d´finies de MATLAB sont stock´es sous forme de m-files dans la e e e toolbox matlab. Les m-files peuvent ˆtre cr´es par n’importe quel ´diteur. Dans les versions r´centes de MATLAB e e e e il existe un petit ´diteur int´gr´ que l’on peut appeler a partir du menu file ou a partir de la barre e e e ` ` de menu de la fenˆtre de commande. e Exemple 3.3.2 : Dans la fenˆtre de l’´diteur tapez les lignes suivantes : e e % a b c script - essai . m = .5; = pi; = a * b Sauvez le fichier dans le r´pertoire de travail sous le nom de essai.m. e !!! Remarque : On peux utiliser les techniques du copier/coller pour transf´rer des parties de script de la fenˆtre e e e e de commande de MATLAB vers l’´diteur et r´ciproquement. Il faut prendre garde au fait que dans e la fenˆtre de commande de MATLAB les sauts de ligne lancent l’´valuation des expressions ; il faut e alors utiliser . . . <entrer> ` la place des sauts de ligne. a 3.3.3 Ex´cution d’un m-file e Pour ex´cuter le script contenu dans un m-file et Il suffit de taper le nom de ce m file dans la e fenˆtre de commande suivi de < entrer > e Exemple 3.3.3 : Pour ex´cuter le script pr´c´dent, on tape essai et on obtient : e e e >> essai c = 1.5708 La pr´sence d’un point-virgule ; ` la fin des deux premi`res lignes du script a neutralis´ l’affichage e a e e des valeurs de a et b. 3.3.4 ´e El´ments d’´criture de m-files e Commentaires Les lignes de commentaires sont pr´c´d´es du caract`re %. e e e e p. 34 AJ.Casadevall - mars 04

3.3. SCRIPTS ET M-FILES Entr´es - input et menu e – La fonction input permet la saisie d’une valeur depuis le clavier. Plus pr´cis´ment : e e – Pour les valeurs num´riques, n = input(’message’) affiche message et affecte ` la e a variable n la valeur num´rique entr´e au clavier. e e – Pour les chaˆ ınes de caract`res, str = input(’message’,’s’) affiche message et affecte ` e a la variable str la valeur entr´e au clavier consid´r´e alors comme une chaˆ de caract`res. e ee ıne e Exemple 3.3.4 : >> n = input(’Entrez la valeur de n ’) >> nom = input(’Entrez votre nom ’,’s’) – La fonction menu g´n`re un menu dans lequel l’utilisateur doit choisir une option : e e result = menu(’titre’, ’opt1’, ’opt2’, . . . , ’optn’) La valeur retourn´e dans la variable result est ´gale au num´ro de l’option choisie. menu est e e e souvent utilis´ en relation avec la structure algorithmique switch-case. e Exemple 3.3.5 : result = menu(’Traitement’, ’Gauss’, ’Gauss-Jordan’, ’Quitter’) Affiche la fenˆtre graphique suivante : e Si l’utilisateur s´lectionne Gauss, la variable result prend la valeur 1, la valeur 2 s’il e s´lectionne Gauss-Jordan et la valeur 3 pour Quitter. e Affichages - disp - num2str - format – La valeur d’une variable est tr`s simplement affich´e en faisant ´valuer une expression r´duite e e e e a ` la variable elle-mˆme. e Exemple 3.3.6 : >> a = [1 2] ; >> a a = 1 2 – La fonction num2str(x) o` x est un nombre, retourne la valeur litt´rale de ce nombre. u e Exemple 3.3.7 : >> s = [’la valeur de pi est : ’ num2str(pi)] ; >> s s = la valeur de pi est : 3.1416 AJ.Casadevall - mars 04 p.35

CHAPITRE 3. EXPRESSIONS, SCRIPTS ET M-FILES – La commande disp(t) o` t est une chaˆ de caract`res ou un tableau, affiche la valeur u ıne e de cette chaˆ de caract`re ou de ce tableau sans faire r´f´rence au nom de la variable. ıne e ee Cette commande sera souvent utilis´e avec num2str pour afficher les valeurs des expressions e num´riques. e Exemple 3.3.8 : >> a = [1 2;3 4] ; >> disp(a) 1 2 3 4 >> disp([ ’ordre de la matrice a : ’ ordre de la matrice a : 2 num2str(size(a,1)) ] ); – La commande format permet de choisir entre plusieurs modes d’affichage (sans interf´rer avec le type des valeurs num´riques affich´es qui est toujours le type double) : e e e Commande Affichage Exemple format short d´cimal ` 5 chiffres e a 31.416 format short e scientifique a 5 chiffres ` 31.416e+01 format long d´cimal ` 16 chiffres e a 31.4159265358979 format long e scientifique a 16 chiffres ` 314159265358979e+01 format hex hexad´cimal e format bank virgule fixe a deux d´cimales ` e 31.41 format rat fractionnaire 3550/113 format + utilise les symboles +, - et espace pour + afficher les nombres positifs n´gatifs et nuls e Pause La commande pause permet de m´nager une pause dans l’ex´cution d’un m file : e e – sans argument pause suspend l’ex´cution jusqu’` ce que l’utilisateur presse sur une touche. e a – pause(n ) suspend l’ex´cution pendant n secondes. e Interaction avec le syst`me d’exploitation e MATLAB poss`de des fonctions et des commandes qui permettent d’obtenir la liste des e r´pertoires accessibles ou matlabpath, la liste des fichiers d’un r´pertoire donn´, les ´diter et e e e e ´ventuellement les effacer : e – addpath path : ajoute path ` la liste matlabpath des r´pertoires accessibles par MATLAB ; a e – p = pwd : retourne dans p le chemin d’acc`s au r´pertoire de travail actuel ; e e – cd path : change le r´pertoire de travail pour celui sp´cifi´ par path ; e e e – d = di

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