integrasi

60 %
40 %
Information about integrasi
Books

Published on March 2, 2014

Author: QiuMil

Source: slideshare.net

Description

integral

I. INTEGRAL TAK TENTU Operasi kebalikan mencari fungsi derivaif Dalam derivatif : jika diketahui fungsi f , maka dapat ditentukan fungsi f dan dituliskan : dF ( x) = f ( x) dx untuk setiap x a, b a, b Dalam integral : jika diketahui fungsi f pada akan ditentukan fungsi F pada selang tersebut sehingga dF ( x) = fx dx untuk setiap x ∈ a, b ] dituliskan: [ ∈ [ ] [ ] f ( x ) dx = F ( x ) ∫ 1

Rumus dasar : n ∫ x dx = 1 n+ 1 x +c n+1 Integral integral standart 1 ∫ x dx = ln x + c Fungsi fungsi trigonometri ∫ sin xdx = −cos x + c ∫ cos xdx = sin x + c sec 2 xdx = tgx + c ∫ ∫ cos ec 2 xdx = − cot gx + c ∫ sec xtgxdx = sec x + c ∫ cos ecx cot xdx = − cos ecx + c 2

Fungsi siklometri Fungsi hiperbolik arctan x + c dx = ∫ 1 + x 2 − arc cot + c ∫ ∫ sinh xdx = cosh x + c arcsin x + c = 1 − x 2 − arccos x + c dx ∫ cosh xdx = sinh x + c arc sec x + c = ∫ x x 2 − 1 − arccos ecx + c dx Fungsi eksponensial e x dx = e x + c ∫ ax ∫ a dx = ln a + c x (a > 0, a ≠ 1) Contoh soal : 3 2 5 2x 2 (2 + sec x tan x − u )dx = + sec x − u 2 + C ∫ ln 2 5 x 3

II. METODE INTEGRAL 1.SUBSTITUSI Teorema : untuk menentukan ∫ f ( x)dx , dapat disubstitusi u = g(x) , g = fungsi yang dapat diintegralkan , jika substitusi merubah f (x)dx → h(u)du , dan bila H antiturunan h maka ∫ f ( x)dx = ∫ h(u ) = H (u ) + c = H ( g ( x)) + C Contoh soal : ∫ (2 J + 1)e − BJ ( J +1 KT dJ = ...... ? Subtitusi trigonometri Integral memuat bentuk a2 − x2 a2 + x2 x2 − a2 Subsitusi x = a sin y x = a tan y Contoh soal : ∫ ( x − 2) dx − x 2 + 4x − 3 x = a sec y 4

Transformasi integral trigonometri Misal : − d (cos x) = − ln(cos x ) + c cos x 1 x sin 2 x sin 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x) dx = − +c ∫ 2 2 2 1 subst : y = tan x 2 dx ∫ 1 + sin x + cos x = ...... ? sin x ∫ tgxdx = ∫ cos x dx = ∫ 2. PARSIAL Rumus : ∫udv = uv − ∫vdu ∫ x sin xdx = ...... ? 2 Integral parsial dapat digunakan untuk rumus reduksi Misal : sin n xdx = ∫ sin n −1 x sin xdx = ∫ sin n −1 xd (− cos x) ∫ = − sin n −1 x cos x − ∫ − cos x(n − 1) sin n −2 x cos xdx = − sin n −1 x cos x + (n − 1) ∫ sin n − 2 x(1 − sin 2 x)dx = ........... 5

INTEGRAL FRAKSI-FRAKSI ALGEBRA 1.Fraksi rasional : pembilang memiliki derajat lebih rendah dari penyebut ( 3x +1) ∫ (2 x − 3) dx = ∫ 3 11 (2 x − 3) + 2 2 dx 2x − 3 3 11 dx dx + 2∫ 2 ∫ 2 x −3 3 11 = x + ln(2 x −3) +c 2 4 = 2. Fraksi rasional dengan penyebut linier : diintegrasi menghasilkan fungsi logaritma 3 11 (2 x − 3) + (3x + 1) 2 dx = 3 dx + 11 dx = 3 x + 11 ln(2 x − 3) + c dx = ∫ 2 ∫ (2 x − 3) 2x − 3 2∫ 2 ∫ 2x − 3 2 4 6

3. Fraksi rasional dengan penyebut kuadrat Jika x = 1 maka 0 + 5B * dua faktor yang berbeda penyebutnya -10 fraksi parsial = => B ( −3x − 7) (−3 x − 7) dx = ∫ 2 ∫ 2x + x − 3 (2 x + 3)( x − 1) = -2 − 3x − 7 A( x − 1) + B( 2 x + 3) Jika x = -3/2 A(-5/2) + 0 = (2 x + 3)( x − 1) ( 2 x + 3)( x − 1) = -5/2 A( x − 1) + B (2 x + 3) = −3 x − 7 A =1 (−3x − 7) ( x + 1) + (−4 x − 6) dx = ∫ dx ∫ (2 x 2 + x − 3) (2 x + 3)( x − 1) − 3x − 7 =∫ dx (2 x + 3)( x − 1) dx dx =∫ + 2∫ 2x + 3 x −1 1 = ln(2 x + 3) − 2 ln( x − 1) + c 2 * penyebut merupakan pangka dua sempurna dx 1 = ∫ (1 − x) 2 1 − x + c * penyebut tidak dapa difaktorisasi dx dx 1 x+2 =∫ = ∫ x 2 + 4 x + 6 ( x + 2) 2 + 2 2 tan ( 2 ) + c 7

4. fraksi rasional dengan penyebut pangkat tiga jika tidak dapat difaktorisasi secara keseluruhan, maka integralnya dapat dipisahkan menjadi integral integral dengan tipe (2) dan (3) ( x 2 − 3) dx dx dx dx = A∫ + B∫ + C∫ ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 3) x −1 x−2 x −3 ( x 2 − 3) = A( x − 2)( x − 3) + b( x − 1)( x − 3) + c( x − 1)( x − 2) x = 1,2,3 maka ( x 2 − 3) dx dx dx ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 3) dx = −∫ x − 1 + 3∫ x − 3 − ∫ x − 2 = − ln( x − 1) − ln( x − 2) + 3 ln( x − 3) 5. fraksi irrasional integral dengan tipe : ∫ ∫ ∫ dx ( a 2 −x 2 ) dx ( x 2 −a 2 ) dx (a 2 +x 2 ) Bentuk bentuk standart yang memberikan fungsi fungsi trigonometri inversi atau hiperbolik inversi. Jika kita memiliki ∫ dx ax 2 + bx + c maka bentuk ini dapat diransformasikan menjadi salah satu benuk standart diatas dengan penyempurnaan kuadrat. Misal: ∫ dx 4 − 2x − x 2 =∫  x + 1 = sin −1  +c   2 5   5 − ( x + 1) dx 8

CONTOH PENGGUNAAN INTEGRAL DALAM KIMIA Hitung perubahan enalpi dari 1 mol CO2(g). Jika dipanaskan dari 300 K menjadi 1000K. Dikeahui a = 26,86 J/mol K ; b = 6.966 x 10-3 J/mol K2 ; c =8,243 x 10-7J/mol K3 9

6. fraksi rasional: pembilang derajatnya lebih tinggi dari penyebutnya x4 ∫ x 3 + 1 dx x4 x = x− 3 3 x +1 x +1 x x A Bx + C = = + 2 x 3 + 1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x + 1 x − x + 1 A( x 2 − x + 1) + ( Bx + 1)( x + 1) = ( x + 1)( x 2 − x + 1) = A( x 2 − x + 1) + ( Bx + D)( x + 1) = ( A + B ) x 2 + (− A + B + D) x + A + D A+B = 0 -A+B+D =1 A+D = 0 maka diperoleh A =-1/3 B =1/3 D = 1/3 x4 xdx dx = ∫ xdx − ∫ 3 ∫ x3 + 1 x +1 1 1 1 dx x+ 1 3 = x2 − ∫ 3 −∫ 3 2 2 x +1 x − x +1 1 1 1 1 1 = x2 + − ln x 2 − x + 1 − 3arctg 3 ( 2 x − 1) + c 2 3 ln x + 1 6 3 3 10

III. INTEGRAL KHUSUS Percepatan suatu benda yang bergerak sepanjang suatu garis koordinat a (t) = (2t+3)-3 m/dtk pada t = 0 adalah 4 m/dtk, carilah kecepatannya 2 detik kemudian......??? IV. INTEGRAL TERTENTU 2 ∫ (x 2 1 + 3 x − 5)dx = 1 3 x3 + 3 2 x 2 − 5 x + c = F ( x) maka jika : X = 2, F (2) = -4/3 + c X =1 , F (1) = -19/6 + c 2  4   19  11 ( x 2 + 3 x − 5)dx =  − + c  −  − + c  = ∫  3   6  6 1 Konstanta integrasinya dapat dihilangkan. 11

Sifat sifat integral tertentu : b ∫ a a f ( x) dx = −∫ f ( x )dx b b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx a<c<b jika f dan g terintegralkan pada [ a,b ] dan jika f(x) < g(x) untuk semua x dalam [ a,b ] maka b b a a ∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx berhati hatilah dengan limit integral jika menggunakan substitusi trigonometri. 1 ∫ 0 dx 2 1 +x 2 = Substitusi y = tan x Maka limitnya harus diubah dari ( 0,1) menjadi (0, π 4 ) CONTOH SOAL 5 mol gas ideal dikompresi dari 1 atm sampai 6 atm pada 27 0C. hitung ∆A 12

Suatu rx orde 2, 2A → P 1 d [ A] = k [ A]2 2 dt 1 d [ A] − ∫ = ∫ k [ A]2 2 dt A d [ A] −∫ = ∫ k dt 2 [ A] Ao − 1 A A = −kt Ao 1 1 − = −kt A Ao - 13

Integral Tak Wajar • Batas tak terhingga Definisi: b ∫ b f ( x) dx = lim a→ −∞ −∞ ∞ ∫ ∫ f ( x) dx a b f ( x ) dx = lim a b→ ∞ ∫ f ( x) dx a Contoh soal: k Menurut Hukum Kebalikan kuadrat Newton, gaya yang bekerja pada sebuah kapal ruang angkasa adalah − 2 , x k x adalah jarak (satuan mil) antara kapal dan pusat bumi. Gaya F (x) = 2 x Berapakah besarnya kerja yang diperlukan untuk mengeluarkan kapal seberat 1000 pon keluar dari medan gravitasi bumi? •Batas Integral tak terhingga Definisi: ∞ 0 ∫ Jika −∞ f ( x) dx dan ∫ f ( x) dx 0 ∞ konvergen, maka nilai: ∫ f ( x) dx −∞ 0 = ∫ −∞ ∞ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx 0 Contoh integral tak wajar: Perhatikan: 1 1 1 1 = −1− dx = −  ∫ 2  x  2   −2 −2 x 1 = −3 2 Jawaban tidak wajar karena hasil integral seharusnya bernilai positif (+). 14

Aplikasi Integral Tertentu Area di bawah Kurva Untuk menghitung area di bawah kurva, cara yang tepat adalah menggunakan integrasi. Untuk itu dibuat suatu partisi yaitu pendekatan perhitungan luasan empat persegi. AK = area di bawah kurva antara xK −1 dan xK Diasumsikan fungsi f bernilai positif pada interval ini. Selanjutnya kita bagi intervalnya menjadi n sub-interval. Kemudian total area A sebagai penjumlahan area di bawah kurva untuk tiap – tiap sub-interval: n A= ∑A K =1 K Dari gambar di atas, memperlihatkan bahwa: f ( x K −1 < ∆x ) < AK f ( x K ) ∆x 15

Ketika ∆x menjadi kecil, maka f ( x K −1 ) ∆x dan f ( x K ) ∆x akan mendekati AK sehingga dapat dituliskan: n A ≈ lim ∑ f (C K ) ∆x n →∞ K =1 m C K = bilangan – bilangan dalam sub-interval antara x K −1 dan x K aka: b lim ∑ f (C= ) ∆x = A K ∫ f ( x) dx n →∞ a 2. Panjang Busur Kira – kira dapat menghitung panjang suatu busur dari kurva y = f (x) dengan integrasi. . , Untuk bagian dalam sub-interval xK −1 hingga xK berdasarkan teorema phytagoras, garis AB merupakan panjang [( ∆x ) 2 + ( ∆y K ) 2 ] , yang sama dengan ∆x [1 + (∆yK ) / ∆x] 2 adalah: ∆yK merupakan slope dan garis AB. Pada titik CK dalam interval, di mana terdapat slpe kurva f ' (CK ) ∆x yang harganya sama dengan slope AB. Sehingga panjang garis adalah ∆x [1 + f ' ( x) 2 ] Akan tetapi Dengan mengecilnya ∆x , maka panjang garis mendekati panjang busur AB, sehingga dalam limit, panjang total S antara x = a dan x = b n S = lim ∑ ∆x 1 + [ f ' ( x) 2 ] dx n →∞ K =1 b 2  dy  S = ∫ 1 +   dx  dx  a 16

Dengan cara yang sama, jika K disajikan dalam bentuk x = g (y)≤ y ≤ d c, Maka panjang busur K menjadi: d S=∫ c 2  dx  1 +   dy  dy    17

Volum Benda Putar a. Cara Cakram a.1. Sekeliling sumbu x 2 b V ox = π ∫ [ f ( x ) ] dx a b Vox = π ∫ y 2 dx a Jika terdapat 2 fungsi f1 dan f2, dengan f1 (x) f2 (x) untuk setiap x ∈ [ a, b] ≤ b 2 b 2 {[ ] } Vox = π ∫ [ f 2 ( x ) ] dx − π ∫ [ f 1 ( x ) ] dx = π ∫ f 2 ( x ) − [ f 1 ( x ) ] dx a a 2 2 18

Contoh : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang berada di bawah kurva y = x dan diatas sumbu x dari x = 0 hingga x = 4 diputar sekeliling sumbu x! 4 Vox = π ∫ y 2 dx 0 4 Vox = π ∫ 2 ( x ) dx 0 4 Vox = π ∫ xdx 0 4 1  Vox = π  x 2  2 0 Vox = π [ 8 − 0] = 8π 19

a.2. Sekeliling sumbu y d Voy = π ∫ g ( y )dy c Jika terdapat 2 fungsi g1 dan g2 yang terintegral pada [ c, d ] dengan g1 (y) ≤ g2 (y) untuk setiap y ∈ (c,d). d [ ] d [ ] Voy = π ∫ g 2 ( y ) dx − π ∫ g 1 ( y ) dy 2 c d 2 c { } Voy = π ∫ [ g 2 ( y ) ] − [ g 1 ( y ) ] dy 2 2 c 20

Contoh : Tentukan volum benda putar jika area dibawah kurva y = f (x) dan diatas sumbu x diputar sekeliling sumbu y jika : 2 f ( x ) = x ,0 ≤ x ≤ 2 2 ( ) 4 ( '2 f ( x ) = 4 − x, x  2 ) Voy = π ∫ x1 − x 2 dy + π ∫ x1 − x 2 dy 2 2 0 2 2 Voy = π ∫ ( 4 − y ) − 2 0 2 ' ( y ) dy + π ∫ 2 2 4 2 2 − y dy 2 ( 4 ) 2 Voy = π ∫ 16 − 8 y + y 2 − y dy + π ∫ 2 2 − y dy 0 2 2 ( 4 ) Voy = π ∫ y 2 − 9 y + 16 dy + π ∫ ( 4 − y )dy 0 Voy Voy Voy Voy [ [ ( 2 ] [ ] [( 2 ] 4 = π 1 y 3 − 9 y 2 + 16 + π 4 y − 1 y 2 3 2 2 2 0 = π 1 2 3 − 9 2 2 + 16 + π 4.4 − 1 4 2 − 4.2 − 1 2 2 3 2 2 2 = π 8 − 36 + 16 + π ( 8 − 6 ) 3 2 =61 π 3 ) ) ( )] 21

b. Cara kulit b.1. Sekeliling sumbu y b Voy = 2π ∫ xf ( x )dx a b Voy = 2π ∫ xydx a b.2. Sekeliling sumbu x d Voy = 2π ∫ yf ( y )dy c d Voy = 2π ∫ yxdy c 22

Contoh soal: 1. Tentukan volum benda putar gambar ini jika diputar sekeliling sumbu x 2 Vox = 2π ∫ yxdy 0 2 4 0 ( ) 2 Vox = 2π ∫ y ( x1 − x 2 ) dy + 2π ∫ y x1 − x 2 dy 2 [ Vox = 2π ∫ y ( 4 − y ) − 0 ] ' 4 ' ( y dy + 2π ∫ y 2 − ) y dy 2 2.Tentukan volum benda putar gamabr ini jika diputar sekeliling sb y 2 4 0 2 Voy = 2π ∫ xy1 dx + 2π ∫ xy 2 dx 2 4 ( ) Voy = 2π ∫ x x dx + 2π ∫ x( 4 − x )dx 2 0 2 2 4 Voy = 2π ∫ x dx + 2π ∫ 4 x − x 2 dx 3 0 2 2 Voy 4 1 1    = 2π  x 4  + 2π 2 x 2 − x 3  3 4 0  2 23

1.Pusat Massa atau Titik Berat Benda Misalkan suatu sistem partikel terdiri atas n partikel, terletak pada bidang koordinat, maka masing-masing partikel adalah m1, m2, ..., mn; pusat massa sistem tersebut adalah: P x, y ( ) m x + m 2 x 2 + ... + m n x n x= 1 1 m1 + m 2 + ... + m n y= m1 y1 + m 2 y 2 + ... + m n y n m1 + m 2 + ... + m n 1. Titik Berat Benda Datar b ∫pxf (x )dx x = a b ∫pf (x )dx a 1 2 y = b ∫py a b 2 dx ∫ydx a Massa benda : b M = ∫ pydx a 24

Contoh soal : Tentukan titik berat bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x 3 y= x dan Absis titik potong ke dua kurva dapat dicari: y = 3 ⇒2 = 6 x y x y = x ⇒2 = y x x6 − = x 0 ( ) x x5 − = 1 0 Maka x = 0 atau x=1 Titik berat benda ( x,y ): ∫ x( x= 1 ) 1 x − x 3 dx 0 1 ∫ 1 ∫ x − x dx 3 x − x 3 dx 0 0 1 x= y= 1 6 ∫ x − x dx 20 2 5 1 5  2  x − x  5 0 5 1 2 3 1 4  2  x − x  5 4  0 1 12 x= 5 = 5 5 12 1 1 1 2 1 7  x − x  2 2 7 0  y= 5 12 5 3 y = 28 = 5 7 12 25

2. Titik Berat Bidang Datar dalam Kartesius Kutub β β x= 2 3 ∫ r cos θdθ 3α β ∫ r dθ 2 α y= 2 3 ∫ r sin θdθ 3α β ∫r α 2 dθ Contoh : Tentukan pusat massa daerah di luar kardioda r = 1 + cos θ  n θ ∈ 0,   2 dan didalam lingkaran r = 3 cos θ Jawab , 1 + cos θ = 3 cos θ 2 cos θ = 1 x= 1 cos θ = 2 π θ= 3 π ∫ {( 3 cos θ ) 2 3 3 } − (1 + cos θ ) cos θdθ 3 3 0 π ∫ {( 3 cos θ ) − (1 + cos θ ) }dθ 3 2 2 0 y= π ∫ {( 3 cos θ ) 2 3 3 3 } − (1 + cos θ ) dθ 3 0 π ∫ {( 3 cos θ ) 3 2 } − (1 + cos θ ) dθ 2 0 26

3. Titik Berat Benda Putar a. Berputar sekeliling sumbu x ( ) b xy 2 dx ∫ P x ,0 x = ab y 2 dx ∫ a Contoh : Tenrtukan titik berat benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh parabola y = 4-x2 dan berada pada kuadran I diputar sekeliling sumbu x! 2 ( ) ( 2 ∫x 4 −x P x,0 ⇒x = 0 ) 2 dx 2 ∫4 − x 2 dx 0 32 5 = 3 = 256 8 15 27

Contoh soal integrasi dalam Kimia: 1. Hitung rata-rata momentum linear dari partikel yang bergerak dalam kotak berdimensi satu dengan panjang a dan fungsi gelombang ϕ = A sin nπ x. a Mekanika kuantum operator untuk momentum linear adalah: nπ  h d  nπ x xdx A sin a i a 2π dx  a nπ nπ ∫ A sin a x ⋅ A sin a xdx 0 a h d 2πi dx , maka: ∫ A sin Px = 0 Px = h 2ia a ∫sin 0 a ∫sin 0 Px = nπ nπ x cos xdx a a hn 2ia 1 2 a ∫sin 0 a  2 nπ xdx a nπ nπ x cos xdx a a ∫1 −cos  0 2 nπ  x dx  a  −nh  a  2 nπ x 2nπ sin 2ia  a 0 a Px = a  2nπ x  sin 2  + 4nπ  a 0  0   0 a h [sin nπ −sin 0] 0 4iπ Px = = =0 a [sin 2nπ −sin 0] a a+ 4 nπ 28

Add a comment

Related presentations

Related pages

Integrasi - Print Management and Infrastructure Service

Our business is to understand what are the customer business problems, and provide the most effective and innovative solutions. Not all problems can be ...
Read more

Integrasi - Microsoft Store

Ich stimme zu, dass diese Seite Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und Werbung verwendet.
Read more

SBP Integrasi Gombak - Wikipedia

Sekolah Berasrama Penuh Integrasi Gombak (translated as Gombak Integrated Fully Residential School) is one of the 67 boarding schools administered by the ...
Read more

Integrasi Itqaan

call us: +603-9281 2430. menu. home; tentang kami; sistem pendidikan; kurikulum; pendaftaran
Read more

SBP Integrasi Tun Abdul Razak - Wikipedia

Sekolah Berasrama Penuh Integrasi Tun Abdul Razak (English: Tun Abdul Razak Integrated Boarding School, Abbreviation: InSTAR) was one of 67 boarding ...
Read more

| Integrasi Contractor

Integrasi Contractor, one of Integrasi Group division, is a contractor company which focuses on on civil construction, housing, landscape, hotel, factory and
Read more

Integrasi dan Hubungan Etnik - de.scribd.com

Menganalisis kepentingan program perpaduan dan integrasi nasional demi kestabilan dan kesejahteraan sosia di Malaysia
Read more

KAFA DaerahPetaling - scribd.com

Bil Nama/Alamat Sekolah 1. KAFA Integrasi Surau Al-Irsyadiah, Lot 2 Jalan 17/3, Seksyen 17, 40000 Shah Alam. KAFA Integrasi As-Sufla, Jalan Ikan Sepat,D/A ...
Read more

Integrasi Nasional - scribd.com

MAKALAH PENDIDIKAN KEWARGANEGARAAN. INTEGRASI NASIONAL KELOMPOK 9 Vivi Indah Pancarani (1306462) Meta Ramaya Lusifira (1306282) Silvia Herwin (1302407)
Read more

PDB-101: Integrase

PDB-101 Educational portal of RCSB PDB ... Integrase is the enzyme that splices the viral DNA into a cellular chromosome.
Read more