Integrales Calculo Difencial Matematica Universitaria

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Published on April 27, 2014

Author: cliffcachorrito

Source: slideshare.net

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Material de Apoyo para Resolver Integrales

Cálculo Integral 1 I Métodos más simples de integración Calcula las Integrales Indefinidas, Inmediatas o cuasi inmediatas, usando la tabla de integrales y aplicando las reglas elementales para la integración ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx xx x dxxdx xx x dxdx xx x dx x x dx x x dx e e dx x dx x dx x dx x dx x x dx x x dx x dxxxdxxedx x x dx e e dx e e dxxxdx xx dx x x dx x x dx x x dx x x dxxedxe dxxxdx x x dx x x dx x dxxxdxxxdx xx x dx x x dx x dx x x dx xx dx x x dxxdx x dx x x dx xx dx x x dx x x dx x x dx x x x x dxxdx x x dx x x dxxxdx x xx dtwtdxedxx dxdu u u dtgtvdxxxxdxxx x xx x x x x x x x xx x o ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ + +−⋅−⋅ +− − + +−+−+ + −−+ +− + − − + + + +− ++ + + +− = ++       −−       +       +        +−+ − −+ + +++−=+− − 22 2 2 2 22 22222 2 2 2 sen 2 2 2 22 222 2 2 52 32 3 22 2 2 22 424 3 2 3 5 2 22 23 2 5 2 3 2 3452 1 21 tg 1 2 3223 44 2 tg1 cos )9 ln 19 1 4 1 4 1 9 1 cos tg27 )8 1 arcsen )5( 1 3cossencos 1 11 1 )7 sencos ln 1 1 1 1 arctgln cos tg )6 cossen ln 2sen 2cos 13 2 14 52 1 )5 tg tg1 23 6 1 2 ln 1 cos sen tg 23 1 9 )4 12 1 1sen1 cos 12 33 )3 3 21 sencos2sen3)2 1 1 1610453)1 2 Comprobar los resultados derivando las primitivas obtenidas 10) Selectividad (2 puntos) De una función derivable se sabe que pasa por el punto A(-1,-4) y que su derivada es     > ≤− = 1 1 12 )´( xsi x xsix xf a)Halla la expresión de f(x). b) Obtén la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 2. Otras aplicaciones: 1) La velocidad de un cuerpo es dada por la fórmula smtv /1+= . Halla la ecuación del espacio que recorre en función del tiempo (e0 = 0m) 2) En el movimiento armónico oscilatorio a lo largo del eje de abscisas, la velocidad dt dx viene dada por la fórmula       + ⋅ = 0 2 cos 2 ϕ ππ T t Tdt dx donde t es el tiempo; T período de oscilación; ϕ0 fase inicial. Halla la ecuación de la posición x función de t. 3) La tensión en los bornes de un circuito es V=120 v. Uniformemente se introduce una resistencia a 0,1 ohmio por segundo. Además el circuito está conectado con la resistencia fija r = 10 ohmios. Calcula la cantidad de electricidad en coulombios que pasa por el circuito en función de t. ( I = V/R(t) ; I = dQ/dt )

Cálculo Integral 2 Soluciones Integrales Inmediatas: CxC u uetvgtCxxx x Cxxx ++−+++++−++− ; 1 ln; 2 1 ; 2 3 2 6 ;4 2 5 )1 00 245 6 23 2) Cxx x xxxx x x xw wt ex x ++−−+ −− 9 3 2 5 ;4 5 2 ;ln 3 ;cos 2 1 ; 3 2 ; )sen( ; 3 1 ;2cos 2 3 3 5 2 3 2 3 3 3) xxxxCxx x x arcsen;)arcsen( 2 1 ));arctg(sen();arctg( 2 1 ; 2 9 8 33 3 2 2233 8 3 ++−− 4) )ln(tg;234;12);ln(ln);ln(cos;23ln 3 1 );9ln( 2 1 22 xxxxxxx +−−−++ 5) ( ) ( ) 2 sen ; 2 ln ; sen4 1 ; )13(3 2 ;1 8 1 ;4 3 1 ;52 22 2 42322 xx xx xxxx − + − +− − ++ 6) xx x xxx xxee xx ·cossen; ln 1 ;1arcsen;arctg 2 1 ; 3 ln : 2 tg ; 2 ; 2 22 3252 2 − −− − 7) 3 arcsen ; 5 1 ; 8 4cos 4 2cos ;);1ln( 2 1 arctg;;arctg 3 sen2 x x xx exxeee xxxx − −+++ − 8) ( ) xe xxxxx x 3 ln 3 2 );1ln(; 3 arcsen; 2 arctg 2 1 ; 2 arcsen; 3 arctg; 3 tg27 + + 9) ( ) ; 1 arctg;tg; 3 )362 ; 2 3 2 3ln 2 3;2ln; 3 sen sen 23 x xxx x xx xx x x x −− −−       −−− 11) =+= ∫ dttte 1)( ( ) ( ) mtteCCeCt 3 2 1 3 2 )(; 3 2 3 2 0;1 3 2 3 02 3 −+=⇒−=→+==++ 12) =      += ∫ dt T t T tx 0 ·2 cos 2 )( ϕ ππ ( ) ( ) ( )000000 sen 2 sen)(sensen0; 2 sen ϕϕ π ϕϕϕ π −      +=⇒−=→+==+      + T t txCCxC T t 13 ) ( ) ( ) 100ln1200100ln1200)(100ln1200100ln12000)0( ;100ln1200 100 1200 )( 100 1200 101,0 120 )( −+=⇒−=→+== ++= + =→ + = + = ∫ ttQCCQ Ctdt t tQ tt tI 10)     >+ <+− = 1ln 1 2 1 2 )( 2 xsiqx xsikxx xf a) solución     ≥ <−− = 1ln 1 2 3 2 1 2 )( 2 xsix xsixx xf pasa por (-1,-4) ( ) ( ) 2 3 41 2 1 12 2 −=→−=+−−− kk f(x) es derivable, tiene que ser continua, estudiamos el único punto que podría dar problemas x = 1

Cálculo Integral 3 ( ) )1()(ln 2 3 2 1 2 11 2 1 fxflimqxlimxxlim xxx ==+=      −− →→→ +− 00 2 3 2 1 2 =→+=−− qq b) 12ln 2 1 )2( 2 1 2ln;2ln)2(; 2 1 )2´(1 )2)(2´()2( −+=→−=−→==> −=− xyxysoluciónffx xffy

Cálculo Integral 4  Integración de funciones racionales (cociente de polinomios) Descomponer en fracciones simples ∫P/Q Descomponer Q(x) Grado(x)≥Grado(x) ¿Inmediata? En factores NO NO SI SI I II III 1 2 FIN ∫ dxxC )( + ∫ dx xQ xR )( )( FIN 1. El numerador es de grado mayor o igual que el denominador Descomponer la fracción: )( )( )( )( )( xQ xR xC xQ xP += ; C(x) es un polinomio de integral inmediata. Seguimos con la integral de la fracción obtenida. 2. Se observa si la fracción anterior tiene integral inmediata. i) Si Q(x) es de grado 1 siempre será inmediata del tipo logaritmo neperiano (salvo algún factor constante). ii) En otro caso descartar potencias, logaritmo y arco tangente. Ejemplos de Inmediatas ya vistos: dx x x dx x dx xx x dx x dx xx dx x ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ +++− − + = +++ 22222 9 2 1 4 ; 26 62 ; )3( 1 96 1 ; 3 5 Método de Descomposición en Fracciones Simples: I) El denominador tiene sólo raíces reales distintas (simples):       − + − + − = −−− 321321 ))()(( )( rx C rx B rx A rxrxrx xP se calculan A, B, C... Cxxdx x dx x I BBx AAx xBxAx x B x A xx x +++−= + + − =       =→−=−−= =→== −++=−→ + + − = +− − ∫∫ 1ln 3 5 2ln 2 1 1 3 5 2 2 1 3 5 35;1 2 1 21;2 );2()1(32; 12)1)(2( 32

Cálculo Integral 5 Las integrales de las fracciones son en este caso inmediatas de tipo logaritmo. Si Q(x) =5(x-2)·(x+1), el factor 1/5 se saca del símbolo ∫ y se multiplica por cada término de las fracciones simples, los coeficientes quedarían 1/10 y 1/3. II) El denominador tiene alguna raíz múltiple (doble, triple,..) Por cada raíz simple, una fracción igual que en el caso I). Por cada repetición de una raíz una fracción con denominador: cuadrado, cubo,... hasta la multiplicidad de la raíz. 323 )()())(( )( sx D sx C sx B rx A sxrx xP − + − + − + − = −− ; en este caso B o C podrían ser 0. )())(())(()()( 23 rxDsxrxCsxrxBsxAxP −+−−+−−+−=    −==+=−= =+== ++++=→ + ++= + 4;0;4;1 0;4;0 ;)1()1(4; 1)1( 4 222 2 22 ACACx xCxAxBx CxxBxAx x C x B x A xx Cx x xdx x dx x dx x I +++−−= + ++ − = ∫ ∫ ∫ 1ln4 4 ln4 1 444 2 Las integrales de fracciones cuyo denominador tenga algún exponente son inmediatas de potencia. ( ) 2 13 3 )3(22 3 )3( − −= − − = − +− ∫ x Dx Ddx x D III) El denominador tiene raíces complejas: No veremos el caso general. Sólo casos de cuasi-inmediatas relacionadas con logaritmo o/y arcotangente Cxarctgxxdx x dx xx x dx xx x dx xx x dx x dx xx dx x dx x x +++++= ++ + ++ + = ++ ++ = = ++ + ++ = ++++ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ )1(222ln 2 1 1)1( 1 2 22 )22( 2 1 22 4)22( 2 1 22 3 ; 1)1( 1 22 1 ; 16 3 ; 4 3 2 222 22222 EJERCICIOS: Resuelve todas las integrales racionales del libro. Ejercicios: 19, 20, 21, 22 f, 23 g y h. ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ +++++− +− −− − + + + −− −−− +− −+− − ++ dx xx x Cdx xx x Cdx xx xx Cdx xxx dx x x dx x xx dx xxx xxx dx xx xxx dx xx xx 321106 96 )1·( 1 1 1 1 2 2 233 23 121 )1 22 3 2 2 2 22 2 23 34 2 23 2 4

Cálculo Integral 6 • Ejercicios de ampliación: integrales racionales con raíces complejas. Para Profundizar Ej. . 49, 50 y 51.

Cálculo Integral 7 • Integración por partes: (basado en la derivada de un producto) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ⋅′−⋅=′⋅→⋅′− ′ ⋅=′⋅→′⋅+⋅′= ′ ⋅ ⋅−⋅=⋅ vuvuvuvuvuvuvuvuvu duvvudvu ; Ejemplo 1:     ′== ′=              =⋅=→⋅= =→= +−=⋅−=⋅ ∫∫∫ ∫∫ dxvdvv dxudu xdxvdxdv dx x duxu Cxxxdx x xxxdxx :obtenervparaintegrasedvpartela :duobtenerparaderivaseupartela 11 1 ln 1 ln 1 lnln 1 co mpuesta ( ) fff f f fffCfffderivadaCfffdxff lnlnln:;lnln ′=′− ′ ⋅+′= ′ +−⋅+−=⋅′∫ Ejemplo 2: ( ) ( ) xdxxdx x dx xx x dx x x x x dxxdx x vdx x dv dx x duxu Cxxxdx x x xxdx x x −=−−= − − = −+ +− = − + −                 += + =+= + =→ + = − =→= +−++= − + −+= + − − ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫ 1412 1 1 2 )1)(1( 1 2 1 12 )2 12 2 1 1 )1( 1 1 1 1 1 1 arcsen 1 14arcsen12 1 12 arcsen12 1 arcsen 2 1 2 2 1 2 1 2 221

Cálculo Integral 8 Ejemplo 3 (puede seguirse sin dificultad, pero no es fácil tener la “idea”) ( ) ( ) Ix x x dx x dx x x dxx xdxxxdx x x vdx x x dv dxduxu Cxx x IxxxI Ixxxdxxxxdx x x I T −= − − − = − − =−      −−=−−−= − =→ − = =→= ++−−=→+−−=→ ⇒−+−−=−+−−=⋅ − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ − −⋅− arcsen 11 1 1 1 1)2 121 2 1 11 1 .arcsen 2 1 1 2 arcsen12 arcsen111 1 2 2 22 2 2 22 1 2 22 22 2 2 22 12 2 Ejercicios: ver la tabla del libro página 346 que indica los casos más típicos de integrales que se resuelven por partes y cómo seleccionarlas en cada caso ( ) dxxdxxdxxdxxe dxxxdxexdxxdxxdxxxdxxedxxx x xx ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫ + − lnsen1lnlnsen 2senarctgarcsenln4cos 22 23   Integración por cambio de variable Invarianza de las fórmulas de integración por un cambio de variable  Caso A: se cambia una función de x por la variable t dxxfdtxft )()( ′== Casi todos los ejercicios de integrales “inmediatas” se han resuelto mediante estos cambios de variable, que se han efectuado mentalmente, con ayuda de la columna de integrales compuestas Es bueno acostumbrarse a resolver así los cambios de variable evidentes. Pero, en caso de duda, puedes realizarlo de forma explícita como se hace a continuación Ejemplo: CxCt tdt dt tIdxxxIEn C x C t dttI xdxxIEn +−=+− ==⋅==== +=+== === ∫∫∫ ∫ ∫ 2 22 33 2 2 cos 2 1 cos 2 1 sen 2 1 2 sen2xdx.dt,xtescambioelsen)2 3 sen 3 quedaintegralLacosxdx.dtsenx,tcambioelhacesecossen)1  Caso B : se cambia x por una función de t )(;)()( 1 xutdttudxtux − =′==

Cálculo Integral 9 . 3 arcsenarcsen 3 3 1 1 9 3 3 99 1 3dt.dx3t,xescambioel 9 1 . 2 arctg 2 1 arctg 2 1 1 1 4 2 2 44 1 2dt.dx2t,xescambioel 4 1 222 222 C x t dt t dt t Idx x IEn C x t dt t dt t Idx x IEn +== = − =⋅ − === − = += = + =⋅ + === + = ∫∫∫ ∫ ∫∫ ( ) ( ) .12 3 1 2 3 2)1(22 1 1;2,t1xcambioelharemosraízlaquitarpoderpara 1 ) Re (.1ln221ln22 1 2 2 1 2 ;2,txcambioelharemosraízlaquitarpoderpara 1 1 33 2 2 2 2 Cx x t t dtttdt t t I xttdtdxdx x x divisor sto Cociente d D Cxxttdt t dt t t I xttdtdxdx x D ++− + =      −=−=⋅ − = +===+ + +=++−=+−=      + −= + = === + ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ( ) ( ) ( ) .1 3 2 1 5 2 3 2 5 2)22(21 1;2,11 35 35 2 4 2 2 Cxx tt dtttdttttI xttdtdxtxCambodxxx ++−+=−=−=⋅⋅−= +===++ ∫ ∫ ∫ Ejercicios: ) 1 , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( 1 .1ln44 3 4 1ln44 3 4 1 4 44 1 44 ;4, 22 222 444 3 32 2 3 434 4 t dx t xSustituir xx dx t dx t xSustituir xx dx Cxxx tt t dt t tdt t t dt tt t I xtdttdxtxCambio xx dx DS −== − −== + ++++= =+++=      + ++= + = + = === + ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 4 arcsen);cos4,sen4(16 arcsen;)cos,sen(1 2 2 x ttdtdxtxSutituirdxx xttdtdxtxSutituirdxx ===− ===− ∫ ∫

Cálculo Integral 10  Integración de funciones trigonométricas ( ) ( ) ( ) ; 2 4cos1 4 1 2 2cos 4 1 4 2cos2cos21 2 2cos1 cos) cossensen21cossen1coscoscos) sencossensencos1sensensen) ; 2 2cos1 sen; 2 2cos1 cos ; 2 )cos()cos( sensen; 2 )cos()cos( coscos ; 2 )sen()sen( cossen; cos 1 tg1; cos sen tg ;sencos2cos;cossen22sen;1cossen 22 4 422245 2223 22 2 2 2222 xxxxx xc xxxxxxxxb xxxxxxxxa x x x x xbaxba bxax xbaxba bxax xbaxba bxax x x x x x xxxxxxxx + ⋅++= ++ =      + = ⋅+−=⋅−=⋅= ⋅−→⋅−=⋅= − = + = − −−+ = −++ = −++ ==+= −===+ Otras trigonométricas Cambio de variable Cambio a racionales a partir de tg x/2

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