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Gram schmidt

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Information about Gram schmidt

Published on March 9, 2014

Author: bpastranag

Source: slideshare.net

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S.E.P. S.E.I.T. D.G.I.T. INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLÁN MATEMATICAS IV GRUPO: C242 ESPECIALIDAD: INGENIERIA INDUSTRIAL EQUIPO: LAS ESTRELLAS 4.6 CAMBIO DE BASE, BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACION DE GRAM SCHMIDT PRESENTAN: ABURTO GARCIA OFELIA MAZARIEGOS LOPEZ CANDY ADRIANA CATEDRATICO: ING. BELINDA PASTRANA M INAT L IT ÁN, VE 27 DE NOVIE B R. M RE DE 2006 L

UNIDAD 4 MATEMATICAS IV 4.6 * Cambio de base * Base ortonormal * Proceso de ortonormalización Gram-Schmidt

UNIDAD 4 Cambio de base MATEMATICAS IV Existe un número infinito de bases para tener un espacio vectorial de dimensión n cualquiera y n vectores linealmente independientes. Se cambia de base mediante el cálculo de una matriz.

Ejemplo 4.6.1 UNIDAD 4 Sean U1 = 1  0 ÷   Entonces B1 = U2 =  0   ÷ 1  { U1 , U 2 } Sean V1 =  1   ÷ 3 MATEMATICAS IV es la base canónica en R2 V2 =  −1  ÷ 2  Como V1 y V2 son linealmente independientes, V1 no es múltiplo de V2. B2 = { V1 , V2 } es una segunda base en R2 Sea X =  x1  un vector en R2  ÷  x2 

UNIDAD 4 MATEMATICAS IV Esta notación significa que: X=  x1   ÷  x2  = 1   0 x1  ÷+ x2  ÷ = x1u1 + x2u2 0 1  Es decir X esta en términos de B, entonces:  x1  ( X ) B1 =  ÷  x2 

UNIDAD 4 MATEMATICAS IV Base ortonormal V es ortogonal si sus elementos son entre si perpendiculares: < Vi Vj > = 0 (producto punto). Si además cada elemento de la base tiene de norma = 1, la base se llama ortonormal. Base ORTOGONAL Base ORTONORMAL x x ⊥y  ⊥ y   ;  |x| = 1; |y| = 1

Ejemplo 4.6.2 UNIDAD 4 MATEMATICAS IV Los vectores unitarios canónicos E1 …En en Rn forman una base ortonormal de Rn y además cada uno de ellos tiene norma = 1, por lo tanto: Ei . Ej = 0 ( 1, 0 )( 0, 1 ) Producto escalar = producto interno de las coordenadas de los vectores.

UNIDAD 4 MATEMATICAS IV Proceso de ortonormalización gram schmidt Pasos para aplicar el proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt: Paso 1. A1 = B1 Paso 2. Se toma A2 y se resta su proyección a lo largo de A1 para tener B2. Paso 3. Se toma A3 y se resta sus proyecciones a lo largo de B1 y B2 para obtener B3. Paso 4. Se toma A4 y se restan sus proyecciones a lo largo de B1, B2 y B3 para obtener B4 Paso 5. Se continúa hasta que se genere una base ortogonal de W.

UNIDAD 4 MATEMATICAS IV Método de Gram–Schmidt Los dos primeros pasos del método de Gram–Schmidt Definimos el operador proyección con proyecta el vector V ortogonalmente en el vector U.

UNIDAD 4 MATEMATICAS IV El método de Gram–Schmidt entonces funciona como sigue:

UNIDAD 4 Ejemplo 4.6.3 MATEMATICAS IV Considera el siguiente conjunto de vectores en Rn (con el convencional producto interno) Ahora, aplicamos Gram–Schmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:

UNIDAD 4 MATEMATICAS IV Verificamos que los vectores U1 y U2 son de hecho ortogonales: Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo su tamaño como hemos mostrado anteriormente:

UNIDAD 4 MATEMATICAS IV

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